Using Fibonacci factors to create Fibonacci pseudoprimes
Carmichael证明了对于足够大的$L$，$F_L$至少有一个素除子是$\pm 1({\rm mod}\, L)$。对于给定的$F_L$，我们将证明不同的奇素除子与该同余条件的乘积是Fibonacci伪素数。这样的伪素数可以用于尝试（这里不成功）找到Baillie-PSW伪素数的例子，即一个奇数斐波那契伪素数，与$\pm 2({\rm mod}\, 5)$全等，也是一个以2为基数的伪素数。
2021-05-28 math.NT
On property of least common multiple to be a $D$-magic number
最小公倍数（$lcm$）已被证明是一个特殊的性质，$D$ -幻数，也就是说，它的最低有效数字$0$不改变时，该号码被转移到所有其他编号系统具有较小的基地。数字$lcm + 1$也保留了此属性。
2018-06-25 math.NT
An analog of the arithmetic triangle obtained by replacing the products by the least common multiples
本文介绍了Al-Karaji算术三角形的一种模拟，即在二项式系数公式中代入与最小公倍数的乘积。然后，我们给出了与所得到的三角形相关的一些性质和一些未解决的问题。
2010-02-09 math.NT
A Distinct Covering System with Minimum Modulus 7 and Minimal Least Common Multiple 10080
Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（上海科技大学数学科学学院）
研究最小模为7的独特覆盖系统的最小公倍数，通过连续过滤论证构造出最小公倍数为10080的系统，并证明其最小性。
2026-07-22 math.NT
The least common multiple of random sets of positive integers
研究了随机子集$A\subset \{1,\dots, n\}$中元素的最小公倍数的典型行为。例如，我们证明，$\text{lcm}\{a:\ a\in A\}=2^{n(1+o(1))}$几乎所有的子集$A\subset\{1,\dots,n\}$。
2013-12-13 math.NT
The least common multiple of a quadratic sequence
对于Z[x]中的任何不可约二次多项式f（x），我们得到估计log l.c.m.。(f(1),..., f（n））= nlog n + Bn + o（n）其中B是依赖于f的常数。
2010-01-20 math.NT
On Cilleruelo's conjecture for the least common multiple of polynomial sequences
Cilleruelo的一个猜想指出，对于一个不可约多项式$f$，其次数为$d\geq 2$的整数系数，序列$f(1), f(2), \dots, f(N)$的最小公倍数$L_f(N)$的渐近增长为$\log L_f(N)\sim (d-1)N\log N$为$N\to \infty$。我们建立了一个版本的这个猜想几乎所有的移位的一个固定的多项式，范围的$N$取决于范围的移位。
2019-04-15 math.NT
The least common multiple of a sequence of products of linear polynomials
令$f(x)$为若干整系数线性整系数多项式的乘积。在本文中，我们得到估计：$\log {\rm lcm}(f(1), ..., f(n))\sim An$作为$n\rightarrow\infty $，其中$A$是一个常数依赖于$f$。
2011-12-27 math.NT
Asymptotic behavior of the least common multiple of consecutive reducible quadratic progression terms
令$l$和$m$是具有$l>m\ge 0$的两个整数，并且令$f(x)$是两个具有整数系数整系数多项式的乘积。在本文中，我们证明了$\log {\rm lcm}_{mn<i\le ln}\{f(i)\}=An+o(n)$，其中$A$是一个常数，只依赖于$l$，$m$和$f$。
2014-06-24 math.NT
Asymptotic Improvements of Lower Bounds for the Least Common Multiples of Arithmetic Progressions
对于互质正整数$u_0$和$r$，考虑有限等差数列$\{u_k:=u_0+kr\}_{k=0}^n$的最小公倍数$L_n:=\mathrm{lcm}(u_0,u_1,\ldots, u_n)$.我们推导出新的$L_n$的下界，改善以前获得的$u_0$或$n$是大的。当$r$是素数时，对于适当选择的$u_0$，我们的最佳界是$n+1$的一个因子，并且也几乎是$n\to\infty$的一个因子。
2014-07-01 math.NT
An identity involving the least common multiple of binomial coefficients and its application
本文证明了恒等式$$\lcm\{\binom{k}{0}, \binom{k}{1}, >..., \binom{k}{k}\} = \frac{\lcm(1, 2, ..., k, k + 1)}{k + 1} (\forall k \in \mathbb{N}) .$$作为应用，给出了著名的非平凡下界$\lcm(1, 2, ..., k) \geq 2^{k - 1}$ $(\forall k \geq 1)$的一个简单证明.
2009-06-13 math.NT
Asymptotic behavior of the least common multiple of consecutive arithmetic progression terms
令$l$和$m$是两个整数，其中$l>m\ge 0$，并且令$a$和$b$是整数，其中$a\ge 1$和$a+b\ge 1$。在本文中，我们证明了$\log {\rm lcm}_{mn<i\le ln}\{ai+b\} =An+o(n)$，其中$A$是一个常数依赖于$l, m$和$a$。
2013-02-24 math.NT
Nair's and Farhi's identities involving the least common multiple of binomial coefficients are equivalent
1982年，Nair证明了一个恒等式：${\rm lcm}({k \choose 1}, 2{k \choose 2}, >..., k{k \choose k}) ={\rm lcm}(1, 2, ..., k), \forall k\in \mathbb{N}.$最近，Farhi证明了一个新的恒等式：${\rm lcm}({k \choose 0}, {k \choose 1}, >..., {k \choose k}) =\frac{{\rm lcm}(1, 2, ..., k+1)}{k+1}, \forall k\in \mathbb{N}.$本文证明了Nair恒等式与Farhi恒等式是等价的.
2009-07-20 math.NT
On the Least Common Multiple of Polynomial Sequences at Prime Arguments
Cilleruelo证明了如果$f\in\mathbb{Z}[x]$是一个不可约的$d\ge 2$次多项式，那么$\log \operatorname{lcm} \{f(n)\mid n<x\} \sim (d-1)x\log x.$本文研究了素变元的类似，即$\operatorname{lcm} \{f(p)\mid p<x\}$，其中$p$表示一个素数，并得到了它的非平凡下界，此外，我们还给出了关于$f(p).$的最大素除子的一些结果
2021-11-28 math.NT
On the average value of the least common multiple of $k$ positive integers
本文导出了和$\sum_{n_1,\ldots,n_k \le x} f([n_1,\ldots, n_k])$的一个带误差项的渐近公式，其中$[n_1,\ldots, n_k]$表示正整数的最小公倍数$n_1,\ldots, n_k$（$k\ge 2$）和$f$属于一大类乘法算术函数，其中包括函数$f(n)=n^r$、$φ(n)^r$、$σ(n)^r$（$r>-1$实数），其中$φ$是欧拉函数，$σ$是约数和函数。证明是由基本的参数，使用的卷积方法的几个变量的算术函数的扩展，从观察，给定一个乘法函数$f$，$k$变量$f([n_1,\ldots,n_k])$的功能是乘法。
2016-07-26 math.NT
On the least common multiple of random $q$-integers
对于每个正整数$n$和每个$α\in [0, 1]$，令$\mathcal{B}(n, α)$表示概率模型，其中随机集$\mathcal{A} \subseteq \{1, \dots, n\}$是通过以概率$α$独立地挑选$\{1, \dots, n\}$的每个元素来构造的。Cilleruelo、Rué、Šarka和Zumalacárregui证明了$\mathcal{A}$元素的最小公倍数的对数的几乎必然的渐近公式。令$q$是一个不定式，令$[k]_q := 1 + q + q^2 + \cdots + q^{k-1} \in \mathbb{Z}[q]$是正整数$k$的$q$ -类似物。我们确定$X := \operatorname{deg} \operatorname{lcm}\!\big([\mathcal{A}]_q\big)$的期望值和方差，其中$[\mathcal{A}]_q := \big\{[k]_q : k \in \mathcal{A}\big\}$。然后，我们证明了一个几乎肯定的渐近公式$X$，这是一个$q$ -模拟的结果Cilleruelo等人。
2020-12-09 math.NT
Nontrivial effective lower bounds for the least common multiple of a $q$-arithmetic progression
本文研究了序列${(u_n)}_{n \in \mathbb{N}}$的连续项的最小公倍数的非平凡有效下界，其中$q , r$为正整数，$u_0$为非负整数，使得$\mathrm{gcd}(u_0 , r) = \mathrm{gcd}(u_1 , q) = 1$ .对于这样的序列，我们表明，对于所有的正整数$n$，我们有$\mathrm{lcm}\{u_1 , u_2 , \dots , u_n\} \geq c_1 \cdot c_2^n \cdot q^{\frac{n^2}{4}}$，其中$c_1$和$c_2$是正常数，只依赖于$q , r$和$u_0$。这可以被认为是作者（2005年）和Hong和Feng（2006年）已经获得的算术级数的下界的$q$模拟。
2020-08-24 math.NT
On the least common multiple of binary linear recurrence sequences
本文给出了一大类二元线性递归序列的最小公倍数的估计方法。令$P,Q,R_0$和$R_1$为固定整数，并令$\boldsymbol{R}=\left(R_n\right)_{n}$为由$R_{n+2}=PR_{n+1}-QR_{n}$ $(\forall n\geq 0)$定义的递归序列。在参数满足一定条件的情况下，对所有正整数$n$和$k$，确定了$L_{k,n}:=\mathrm{lcm}\left(R_k,R_{k+1},\dots,R_n\right)$的一个有理非平凡因子，使得$n\geq k$ .作为结果，我们推导出$L_{k,n}$的非平凡有效下界，并建立了$\log \left(L_{n,n+m}\right)$的渐近公式，其中$m$是一个固定的正整数。表示由$\left(F_n\right)_{n}$通常的斐波那契序列，我们证明，例如，对于任何$m\geq 1$，我们有\[\log \mathrm{lcm}\left(F_{n},F_{n+1},\dots,F_{n+m}\right)\sim n(m+1)\logΦ~~~~\text{as}~n\rightarrow +\infty,\]其中$Φ$表示黄金分割率。最后给出了关于Lucas序列的最小公倍数的一些有趣的恒等式和性质。
2020-11-07 math.NT
Further Improvements of Lower Bounds for the Least Common Multiples of Arithmetic Progressions
对于互素正整数u_0和r，考虑等差数列{u_k：= u_0+k*r}（0 <= k <= n）.定义L_n：= lcm{u_0，u_1，.，u_n}，且a >= 2为任意整数。本文证明了：对于整数α，r >= a和n >= 2*alpha*r，有L_n >= u_0*r^{alpha+a-2}*（r+1）^n.特别地，令a = 2产生对L_n上的最佳先前下界（由Hong和Yang获得）的改进，除了三个α的选择，r >= 2。
2009-06-16 math.NT
Uniform lower bound for the least common multiple of a polynomial sequence
设$n$为正整数，$f(x)$为非负整数系数的多项式.本文证明了除了$f(x)=x$和$n=1, 2, 3, 4, 6$之外的${\rm lcm}_{\lceil n/2\rceil \le i\le n} \{f(i)\}\ge 2^n$和$f(x)=x^s$，其中$s\ge 2$是整数，$n=1$是整数，其中$\lceil n/2\rceil$表示不小于$n/2$的最小整数.这改进和扩展了Nair在1982年，Farhi在2007年和Oon在2013年获得的下界。
2013-10-09 math.NT
Identities and estimations involving the least common multiple of strong divisibility sequences
本文首先证明了对于任意强整除序列$\boldsymbol{a} = \left(a_n\right)_{n\geq 1}$，我们有恒等式：$\mathrm{lcm} \left\lbrace \binom{n}{0}_{\bf{a}}, \binom{n}{1}_{\bf{a}},\dots, \binom{n}{n}_{\bf{a}} \right\rbrace = \frac{\mathrm{lcm} \left(a_1,\dots , a_n , a_{n+1}\right)}{a_{n+1}}$ $\left(\forall n \geq 1\right)$，推广了Farhi的恒等式（在2009年得到的关于$a_n=n$的恒等式）.然后，我们从这个恒等式推导出一些其他有趣的恒等式。最后，我们应用这些恒等式估计了某些Lucas序列的连续项的最小公倍数。用$\left(F_n\right)_n$表示通常的斐波那契序列，我们证明了例如对于所有的$n \geq 1$，我们有\[ Φ^{\frac{n^2}{4}-\frac{9}{4}} \leq \mathrm{lcm}\left(F_1,\dots,F_n\right) \leq Φ^{\frac{n^2}{3}+\frac{4n}{3}} , \]，其中$Φ$表示黄金分割率。
2020-04-10 math.NT
New Lower Bounds for the Least Common Multiples of Arithmetic Progressions
对于互质正整数$u_0$和$r$以及$0\le k\le n$，定义$u_k:=u_0+kr$。令$L_n:={\rm lcm}(u_0, u_1, ..., u_n)$和$a, l\ge 2$为任意整数。在本文中，我们表明，对于整数$α\geq a$和$r\geq \max(a, l-1)$和$n\geq lαr$，我们有$$L_n\geq u_0r^{(l-1)α+a-l}(r+1)^n.$$特别是，让$l=3$产生的最好的以前的$L_n$上的下界由Hong和Kominers获得的改进。
2012-11-19 math.NT
Nontrivial upper bounds for the least common multiple of an arithmetic progression
本文建立了有限等差数列连续项最小公倍数的非平凡有效上界。精确地说，我们证明了对任意两个互质正整数$a$和$b$，有$b\geq 2$，我们有\[\mathrm{lcm}\left(a,a+b,\dots,a+nb\right) \leq \left(c_1\cdot b\log b\right)^{n+\left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor}~~~~(\forall n\geq b+1),\]，其中$c_1=41.30142$ .如果另外$b$是一个素数和$a<b$，那么我们证明，对于任何$n\geq b+1$，我们有$\mathrm{lcm}\left(a,a+b,\dots,a+nb\right) \leq \left(c_2\cdot b^{\frac{b}{b-1}}\right)^n$，其中$c_2=12.30641$。最后，我们应用这些不等式来估计由$M(n):=\frac{1}{φ(n)}\sum_{\substack{1\leq\ell\leq n \\ \ell \wedge n=1}}\frac{1}{\ell}$定义的算术函数$M$（$\forall n \geq 1$），以及广义Chebyshev函数$θ(x;k,\ell)$的一些值。
2020-04-15 math.NT
New results on the least common multiple of consecutive integers
在研究某些有限整数序列的最小公倍数时，第一作者引入了由$g_k(n) := \frac{n (n + 1) ... (n + k)}{\lcm(n, n + 1, >..., n + k)}$ $(\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\})$定义的有趣的算术函数$g_k$ $(k \in \mathbb{N})$。他证明了$g_k$ $(k \in \mathbb{N})$是周期的，$k!$是$g_k$的周期。他提出了开放的问题，包括确定最小的积极时期$P_k$的$g_k$。最近，S。Hong和Y. Yang等人将$g_k$的周期$k!$改进为$\lcm(1, 2, ..., k)$。此外，他们还证明了$P_k$总是正整数$\frac{\lcm(1, 2, >..., k, k + 1)}{k + 1}$的倍数。这个猜想的直接结果是，如果$(k + 1)$是素数，那么$g_k$的确切周期正好等于$\lcm(1, 2, ..., k)$。本文首先证明了S. Hong和Y.然后给出了$P_k$ $(k \in \mathbb{N})$的精确值。作为推论，我们推导出$P_k$等于$\lcm(1, 2, ..., k)$不能被某个素数整除的部分。
2008-08-11 math.NT
The least common multiple of consecutive quadratic progression terms
设$k$是任意给定的正整数，$f(x)\in {\mathbb Z}[x]$是以$a$和$D$分别为前导系数和判别式的二次多项式.与二次级数$\{f(n)\}_{n\in \mathbb{N}^*}$中任何$k+1$连续项的最小公倍数${\rm lcm}_{0\le i\le k}\{f(n+i)\}$相关联，我们定义了所有整数$n\in \mathbb{N}^*\setminus Z_{k, f}$的函数$g_{k, f}(n):=(\prod_{i=0}^{k}|f(n+i)|)/{\rm lcm}_{0\le i\le k}\{f(n+i)\}$，其中$Z_{k,f}:=\bigcup_{i=0}^k\{n\in \mathbb{N}^*: f(n+i)=0\}$。在本文中，我们首先证明了$g_{k,f}$最终是周期的当且仅当$D\ne a^2i^2$对所有整数$i$与$1\le i\le k$。因此，我们开发了一个详细的$p$ -adic分析$g_{k, f}$，并确定其最小周期。最后，我们得到了当$n$趋于无穷大时，所有二次多项式$f$的$\log {\rm lcm}_{0\le i\le k}\{f(n+i)\}$的渐近公式。
2014-04-03 math.NT
Nontrivial lower bounds for the least common multiple of some finite sequences of integers
本文提出了一种方法，它可以导出某些有限序列的最小公倍数的非平凡下界。我们得到有效的下界（这在某种程度上是最优的）的算术级数和下界效率较低（但非平凡）的二次序列的形式$u_n = a n (n + t) + b$与$(a, t, b) \in {\mathbb{Z}}^3, a \geq 5, t \geq 0, \rm{gcd}(a, b) = 1$的一般条款。由此，我们推导出例如下限：$\mathrm{lcm}\{1^2 + 1, 2^2 + 1, ..., n^2 + 1\} \geq 0,32 (1,442)^n$（对于所有$n \geq 1$）。在本文的最后一部分，我们研究了整数$\mathrm{lcm}(n, n + 1, ..., n + k)$ $(k \in \mathbb{N}, n \in {\mathbb{N}}^*)$。我们表明，它有一个除数$d_{n, k}$简单的依赖于PDMATHAMT和$k$，和一个多PDMATHAMV也简单的依赖于PDMATHAMT。此外，我们证明了两个等式：$\mathrm{lcm}(n, n + 1, ..., n + k) = d_{n, k}$和$\mathrm{lcm}(n, n + 1, ..., n + k) = m_{n, k}$持有无限多对$(n, k)$。
2008-03-03 math.NT
An improved bound on the least common multiple of polynomial sequences
Cilleruelo证明，如果次数为$d\ge 2$的$f\in\mathbb{Z}[x]$在有理数上不可约，则$\log\operatorname{lcm}(f(1),\ldots,f(N))\sim(d-1)N\log N$为$N\to\infty$。他在$d = 2$案例中证明了这一点。最近，Maynard和Rudnick证明了存在带有$\log\operatorname{lcm}(f(1),\ldots,f(N))\gtrsim c_d N\log N$的$c_d > 0$，并证明了人们可以服用$c_d = \frac{d-1}{d^2}$。我们用改进的常数$c_d = 1$给出了这个结果的另一种证明。我们还证明了有界$\log\operatorname{rad}\operatorname{lcm}(f(1),\ldots,f(N))\gtrsim\frac{2}{d}N\log N$，并提出了更强的猜想：$\log\operatorname{rad}\operatorname{lcm}(f(1),\ldots,f(N))\sim (d-1)N\log N$是$N\to\infty$ .
2019-11-05 math.NT
Nontrivial effective lower bounds for the least common multiple of some quadratic sequences
研究了数$L_{c,m,n} := \mathrm{lcm}\{m^2+c ,(m+1)^2+c , \dots , n^2+c\}$，其中$c,m,n$是正整数，使得$m \leq n$ .准确地说，我们证明了$L_{c,m,n}$是有理数\[\frac{\displaystyle\prod_{k=m}^{n}\left(k^2+c\right)}{c \cdot (n-m)!\displaystyle\prod_{k=1}^{n-m}\left(k^2+4c\right)} ,\]的倍数，我们得出（作为后果）的$L_{c,m,n}$一些非平凡的下界。例如，我们证明，如果$n- \frac{1}{2} n^{2/3} \leq m \leq n$，那么我们有$L_{c,m,n} \geq λ(c) \cdot n e^{3 (n - m)}$，其中$λ(c) := \frac{e^{- \frac{2 π^2}{3} c - \frac{5}{12}}}{(2 π)^{3/2} c}$。此外，必须指出的是，我们的方法（侧重于交换代数）是新的，不同于以前使用的Farhi，Oon和Hong。
2020-01-10 math.NT
Effective estimates for the least common multiple of some integer sequences
本文主要研究整数序列的最小公倍数的估计问题。本文主要研究了一类二次序列的$\mathrm{lcm}$的有效有界性，以及等差数列和强整除序列的有效有界性。首先，我们利用交换代数和复分析的方法建立了某些二次序列的$\mathrm{lcm}$的新的非平凡下界。其次，对强整除序列的算术性质进行了更深入的研究，得到了关于强整除序列的$\mathrm{lcm}$的三个有趣的恒等式，推广了Farhi（2009）和Nair（1982）的一些恒等式，并由此得到了广义Fibonacci序列（所谓Lucas序列）的$\mathrm{lcm}$的精确估计.我们还发展了一种方法，为Bateman（2002）关于等差数列的$\mathrm{lcm}$的渐近结果提供了一个有效的版本。最后，我们发现后一种方法可以适用于估计序列$(n^2+1)_n$的$\mathrm{lcm}$，这特别允许我们改进Farhi（2005）和Oon（2013）的下界。本文还包括一些文献结果的一般介绍。
2020-12-10 math.NT
The Least Common Multiple of a Bivariate Quadratic Sequence
本文研究整数二元二次多项式取值的最小公倍数渐近行为，证明一般情形下其对数数量级为 $\frac{N\log\log N}{\sqrt{\log N}}$，并完整刻画了四类可能行为及其出现条件。
2023-07-09 math.NT
On a conjecture of Krukenberg and a problem of Dalton and Trifonov
本文证明了不同模数覆盖系在最小模数为5时最大模数≥108、最小公倍数≥1440，最小模数为6时最小公倍数≥5040（均为最优值），解决了Krukenberg猜想及Dalton与Trifonov的问题。
2025-08-25 math.NT
Generalized LCM matrices
设$f$为算术函数。由$f$的值以$[i,j]$的最小公倍数$f\big([i,j]\big)$作为其$i,\; j$条目给出的矩阵$[f[i,j]]_{n\times n}$被称为最小公倍数（LCM）矩阵。我们考虑这个矩阵的推广，其中元素的形式为$f\big(n,[i,j]\big)$和$f\big(n,i,j,[i,j]\big)$。
2011-08-30 math.NT
The Least Number with Prescribed Legendre Symbols
在这篇文章中，我们估计的整数的数量高达$X$，它可以表示为一个正定的，二元积分二次型的判别式是小的相对于$X$。这是从理解符号的向量时，计算勒让德符号的小整数$n$在多个素数。
2016-10-29 math.NT
A Brownian weak limit for the least common multiple of a random m-tuple of integers
令$B_n(m)$是在$\{1,2,\ldots,n\}$的所有$m$元素子集中随机均匀选取的集合。我们提供了一个pathwise建设的集合$(B_n(m))_{1\leq m\leq n}$和证明的最小公倍数的整数在$(B_n(\lfloor mt\rfloor))_{t\geq 0}$，适当的中心和规范化，收敛到布朗运动时，两个$m,n$趋于无穷大。我们的方法包括两个步骤。首先，我们证明了上述结果是一个多维中心极限定理的对数的最小公倍数的$m$独立随机变量具有均匀分布的$\{1,2,\ldots,n\}$。其次，我们提供了一个新的近似的最小公倍数的随机样本的产品的元素与忽略的重在其素分解。
2020-04-12 math.NT math.PR
Limit theorems for the least common multiple of a random set of integers
令$L_{n}$为整数的随机集的最小公倍数，该整数的随机集是通过以概率$θ\in (0,1)$独立于其它元素保留每个元素而从$\{1,\ldots,n\}$获得的。我们证明了过程$(\log L_{\lfloor nt\rfloor})_{t\in [0,1]}$，经过中心化和规范化，弱收敛到一定的高斯过程，而不是布朗运动。进一步的结果包括一个强大数定律$\log L_{n}$以及泊松极限定理的制度时，$θ$依赖于$n$在一个适当的方式。
2018-01-26 math.NT math.PR
The least common multiple of consecutive arithmetic progression terms
令$k\ge 0,a\ge 1$和$b\ge 0$为整数。通过$g_{k,a,b}(n):=\frac{(b+na)(b+(n+1)a)...(b+(n+k)a)} {{\rm lcm}(b+na,b+(n+1)a,...,b+(n+k)a)}.$设$a=1$和$b=0$为任意正整数$n$定义算术函数$g_{k,a,b}$，则$g_{k,a,b}$成为Farhi以前介绍的算术函数. Farhi证明了$g_{k,1,0}$是周期的，$k!$也是周期的。Hong和Yang将Farhi的周期$k!$改进为${\rm lcm}(1,2,...,k)$，并证明了$\frac{{\rm lcm}(1,2,...,k,k+1)}{k+1}$可整除$g_{k,1,0}$的最小周期。最近，Farhi和Kane证明了这个猜想，并确定了$g_{k,1,0}$的最小周期。对于一般整数$a\ge 1$和$b\ge 0$，很自然地会问一个有趣的问题：$g_{k,a,b}$是周期性的吗？如果是，那么$g_{k,a,b}$的最小周期是多少？我们首先证明了算术函数$g_{k,a,b}$是周期的。随后，我们提供了详细的$p$ -进分析的周期函数$g_{k,a,b}$。最后，我们确定了$g_{k,a,b}$的最小周期。我们的结果将Farhi-Kane定理从正整数集推广到一般的算术级数。
2010-02-18 math.NT
Dense sets of natural numbers with unusually large least common multiples
本文构造了一类自然数稠密集合，其倒数和在双对数尺度下增长异常快，同时最小公倍数倒数和受平方控制，从而否定回答了 Erdős 和 Graham 的问题，并澄清了 Bergelson 和 Richter 研究的“几乎互素”集合的性质。
2025-11-11 math.NT
On the least common multiple of $q$-binomial coefficients
在本文中，我们证明了以下等式$$ \lcm({n\brack 0}_q,{n\brack 1}_q,...,{n\brack n}_q) =\frac{\lcm([1]_q,[2]_q,...,[n+1]_q)}{[n+1]_q}, $$，其中${n\brack k}_q$表示$q$ -二项式系数和$[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}$。该结果是Farhi恒等式的$q$ -类似物[Amer. Math. Monthly，November（2009）]。
2009-07-16 math.CO math.NT
Share at least half the numbers in a nontrivial LCM-closed set a nontrivial divisor?
对于一个非零自然数的有限集，如果它包含至少一个不同于1的元素和它的任何子集的最小公倍数，则存在一个子集，它的至少一半成员的公因数大于1。利用自然数作为素幂集的序理论环的表示，证明了该猜想等价于Frankl的并闭集猜想.一些结果的情况下，猜想，这也有意义的解释图和格理论，是已知的举行。这个猜想的一个等价对偶版本是，对于一个包含至少两个元素和任意子集的最大公因数的非零自然数的有限集，其中一个成员的素幂不是超过一半成员的素幂。
2018-08-28 math.NT
On the algebraic functional equation for the mixed signed Selmer group over multiple $\mathbb{Z}_p$-extensions
设$E$是定义在数域上的椭圆曲线，在固定奇素数$p$以上的所有素数处具有好约化，其中至少一个素数是$E$的超奇异素数。本文建立了椭圆曲线在多重$\mathbb{Z}_p$ -扩张上在$p$以上的每一素数处具有好约化的混合符号Selmer群的代数函数方程.
2020-04-22 math.NT
On the least common multiple of shifted powers
令$a \geq 2$为整数。证明了对于$\{-1, +1\}$中的每个周期序列$(s_n)_{n \geq 1}$，存在一个有效的可计算有理数$C_\mathbf{s} > 0$使得\begin{equation*} \log\operatorname{lcm}(a + s_1, a^2 + s_2, \dots, a^n + s_n) \sim C_\mathbf{s} \cdot \frac{\log a}{π^2} \cdot n^2 , \end{equation*}为$n \to +\infty$，其中$\operatorname{lcm}$表示最小公倍数.此外，我们表明，如果$(s_n)_{n \geq 1}$是一个序列的独立和均匀分布的随机变量在$\{-1, +1\}$然后\begin{equation*} \log\operatorname{lcm}(a + s_1, a^2 + s_2, \dots, a^n + s_n) \sim 6 \operatorname{Li}_2\!\big(\tfrac1{2}\big) \cdot \frac{\log a}{π^2} \cdot n^2 , \end{equation*}概率$1 - o(1)$，作为$n \to +\infty$，其中$\operatorname{Li}_2$是双对数函数。
2021-03-14 math.NT math.PR
On the least common multiple of several random integers
令$L_n(k)$表示在$\{1,2,\ldots ,n\}$中均匀选择的$k$个独立随机整数的最小公倍数。本文利用纯概率方法，对一类具有多项式增长$r>-1$的乘法算术函数~ $f$，导出了$\frac{f(L_n(k))}{n^{rk}}$的$n\to\infty$依分布收敛的判别准则.此外，我们确定的极限作为一个无限的产品的独立随机变量的素数索引。在此过程中，我们计算了发生在上述无穷乘积中的独立几何定律的截尾和的生成函数。这个生成函数是合理的，我们把它的生成函数的某一最大型丢番图方程，其中我们解决了一个广义版本。我们的结果扩展了Erdés和Wintner（1939），Fernández和Fernández（2013）以及Hilberdink和Tóth（2016）的定理。
2019-11-07 math.NT math.PR
Functional Limit Theorems for Random Least Common Multiples
South China University of Technology（华南理工大学）；Zhengzhou University（郑州大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
研究随机选取子集\(A_n\)中整数最小公倍数\(L_n\)相关过程的极限定理，通过证明泛函大偏差、中偏差原理及Strassen型泛函重对数律，给出大偏差率函数，用再生核希尔伯特空间描述中偏差率函数和LIL聚类集。
2026-07-10 math.NT math.PR
Extremal Least Common Multiples in Rows of Pascal's Triangle
研究帕斯卡三角形行中选取n个项的最小公倍数的极值，给出渐近公式与结构描述，并验证了n=15和n=41处的有限结构转变。
2026-10-02 math.CO math.NT
Sharp Diameter Bounds for Nonnegative Cyclotomic Multiples
Academy of Mathematics and Systems Science Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Mathematical Sciences Soochow University（苏州大学数学科学学院）
本文证明非负循环分圆倍式的支撑直径下界为(p-1)N/p，并刻画等式情形，证实Steinberger猜想，进而建立Coven-Meyerowitz直径界及其改进。
2026-09-09 math.CO math.NT
