An improved bound on the least common multiple of polynomial sequences
Cilleruelo证明，如果次数为$d\ge 2$的$f\in\mathbb{Z}[x]$在有理数上不可约，则$\log\operatorname{lcm}(f(1),\ldots,f(N))\sim(d-1)N\log N$为$N\to\infty$。他在$d = 2$案例中证明了这一点。最近，Maynard和Rudnick证明了存在带有$\log\operatorname{lcm}(f(1),\ldots,f(N))\gtrsim c_d N\log N$的$c_d > 0$，并证明了人们可以服用$c_d = \frac{d-1}{d^2}$。我们用改进的常数$c_d = 1$给出了这个结果的另一种证明。我们还证明了有界$\log\operatorname{rad}\operatorname{lcm}(f(1),\ldots,f(N))\gtrsim\frac{2}{d}N\log N$，并提出了更强的猜想：$\log\operatorname{rad}\operatorname{lcm}(f(1),\ldots,f(N))\sim (d-1)N\log N$是$N\to\infty$ .
2019-11-05 math.NT
The Least Common Multiple of Polynomial Values over Function Fields
本文将 Cilleruelo 关于整数多项式取值最小公倍数的猜想推广到函数域 F_q[T]，给出上下界，并对一类包含所有二次多项式的特殊多项式证明渐近公式成立，同时完成其分类。
2025-01-04 math.NT
Trigonometric polynomials with frequencies in the set of squares
本文研究频率限制在平方数集合中的三角多项式，证明了当频率范围长度为 N^{γ0-ε} 时其 L4 范数可由 L2 范数控制，推进了 Cilleruelo-Cordoba 猜想，并揭示了该猜想与 Ruzsa 因数分布猜想之间的联系。
2023-12-05 math.CA math.NT
The abc-conjecture is true for at least $N(c), 1 \leq N(c) <ϕ(c)/2$, partitions a, b of c
证明了对任意正整数c，至少有N（c），c的$1\leq N(c) < ϕ(c)/2$表示为两个无公因数的正整数a，b之和，使得N（c）根R（abc）都大于kc，其中k为绝对常数.
2003-01-07 math.NT
Models of Prime-Like Sequences Generated by Least Element Sieve Operations Like the Sieve of Eratosthenes
我们建议其他模型的筛产生的序列，如筛的埃拉托塞尼解释随机性质的素数，如孪生素数猜想，林补猜想，黎曼猜想，和素数定理。
2017-09-04 math.NT
The Elliott-Halberstam conjecture implies the Vinogradov least quadratic nonresidue conjecture
对于每个素数$p$，令$n(p)$表示模$p$的最小二次非剩余。Vinogradov证明了每个固定$\eps>0$的$n(p) = O(p^\eps)$。该猜想源自广义黎曼假设，并且已知对几乎所有素数$p$都成立，但总体上仍然开放。在本文中，我们表明，维诺格拉多夫的猜想也遵循从埃利奥特-Halbernovel猜想的分布在等差数列的素数，从而提供了一个潜在的“非乘法”路线维诺格拉多夫猜想。我们还给出了这个参数的一个变体，该参数从张最近介绍的类型的“II型”估计中获得短中心字符和的界限，并通过Polymath项目进行改进，或者从高阶除数函数的变体上的分布水平的界限。特别是，如果我们有分布水平高于$2/3$（当导体不是无立方的）或$3/4$（如果导体是无立方的）的II型估计，我们可以得到比伯吉斯界更好的结果;从道德上讲，如果我们有分布水平分别高于$2/3$或$3/4$的第三或第四除数函数$τ_3, τ_4$的估计，我们也可以得到这样的结果。最后给出了最小原根的一些应用。
2015-01-13 math.NT
On a conjecture of Krukenberg and a problem of Dalton and Trifonov
本文证明了不同模数覆盖系在最小模数为5时最大模数≥108、最小公倍数≥1440，最小模数为6时最小公倍数≥5040（均为最优值），解决了Krukenberg猜想及Dalton与Trifonov的问题。
2025-08-25 math.NT
On the Erdős-Turán Conjecture and the growth of $B_{2}[g]$ sequences
本文研究Erdős-Turán猜想中B₂[g]序列的加法基性质与增长密度；通过构造满足两两和表示数受限的序列，证明在g>1/ε时其可带小项三项表示所有充分大整数，并将计数下界改进为≫x^{g/(2g+1)}。
2024-05-07 math.CO math.NT
Share at least half the numbers in a nontrivial LCM-closed set a nontrivial divisor?
对于一个非零自然数的有限集，如果它包含至少一个不同于1的元素和它的任何子集的最小公倍数，则存在一个子集，它的至少一半成员的公因数大于1。利用自然数作为素幂集的序理论环的表示，证明了该猜想等价于Frankl的并闭集猜想.一些结果的情况下，猜想，这也有意义的解释图和格理论，是已知的举行。这个猜想的一个等价对偶版本是，对于一个包含至少两个元素和任意子集的最大公因数的非零自然数的有限集，其中一个成员的素幂不是超过一半成员的素幂。
2018-08-28 math.NT
Resolving Grosswald's conjecture on GRH
本文研究了Grosswald关于模$p$的最小原根$g(p)$的猜想.假设广义黎曼假设（GRH），并建立在以前的工作由科恩，奥利维拉e席尔瓦和Trudgian，我们解决了Grosswald的猜想，证明了$g(p)< \sqrt{p} - 2$的所有$p>409$。我们的方法还表明，在GRH下，我们有$\hat{g}(p)< \sqrt{p}-2$的所有$p>2791$，其中$\hat{g}(p)$是最小素原根模$p$。
2015-08-21 math.NT
Lower Bounds on the Least Common Multiple of a Polynomial Sequence and its Radical
针对Cilleruelo关于多项式序列最小公倍数的猜想，本文改进了一类特殊不可约多项式（含可分解多项式）及其根式的下界，并推广了Sah的已有结果。
2025-09-17 math.NT
Newman's conjecture for the partition function modulo integers with at least two distinct prime divisors
本文证明了在素因子个数为d的正整数集合中，满足划分函数Newman猜想的正整数M的密度为1，并将该类猜想推广至弱全纯模形式，应用于t-core划分与广义Frobenius划分。
2025-05-29 math.NT
A new proof of the Hansen-Mullen irreducibility conjecture
给出了Hansen-Mullen不可约性猜想的一个新证明。证明依赖于一个应用程序的（看似新的）充分条件存在的元素的程度$n$在支持功能的有限域。这种与不可约多项式的联系是通过具有有限域中的值的函数的离散傅里叶变换（DFT）的最小周期来实现的。我们利用这种关系，并证明，在一个基本的方式，相关功能的DFT特征基本对称函数（产生系数的特征多项式）有足够大的最小周期（除了一些真正的例外）。这与文献中用于解决具有指定系数的不可约多项式的存在性的先前技术形成鲜明对比。
2016-04-14 math.NT
An intermediate conjecture between Goldbach and Dubner: every even number is the sum of a prime and a twin prime
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
该研究提出介于哥德巴赫与杜布纳猜想间的中间猜想，用罗曼诺夫方法结合塞尔伯格筛法给出条件性结果，验证了10^14以内偶数均满足该猜想。
2026-08-28 math.NT
Diophantine decidability for curves and Grothendieck's section conjecture
设$X$是定义在数域$K$上的亏格至少为2的光滑、射影、几何不可约曲线.我们证明了如果Grothendieck截面猜想对$X$成立，则存在一个算法来确定$X$是否有$K$ -有理点.
2010-02-22 math.NT
On Grosswald's conjecture on primitive roots
Grosswald的猜想是$g(p)$，模$p$的最小原根，对所有$p>409$满足$g(p) \leq \sqrt{p} - 2$。通过证明$g(p) \leq \sqrt{p} -2$对所有$409<p< 2.5\times 10^{15}$和所有$p>3.67\times 10^{71}$都成立，我们朝着这个猜想取得了进展。
2015-03-16 math.NT
The Least Prime in Arithmetic an Progression
本文利用现代硬件更新Wagstaff关于算术级数中最小素数的计算，提出并验证了形如 $3ϕ(n)\log(n)\log(ϕ(n))$ 的改进上界猜想。
2024-04-02 math.NT
The congruent numbers have positive natural density
证明了有理椭圆曲线y^2 = x^3 - n^2x对于至少41.9%的无平方因子正整数n = 1，2，3 mod 8满足完全的Birch和Swinnerton-Dyer猜想，并且对于至少55.9%的无平方因子正整数n = 5，6，7 mod 8满足正则的BSD猜想.特别是，至少55.9%的正无平方数整数等于5、6或7 mod 8是全等数。这些证明完成了由田、袁和张开始的一个论点。
2016-03-29 math.NT
Rank growth of elliptic curves in nonabelian extensions
给定一条椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，Goldfeld猜想它的二次扭曲的一半的秩为零，另一半的秩为一。然而，更高的秩扭曲确实发生了：根据奇偶猜想，Gouvêa和Mazur通过秩至少为2的判别式构造了$X^{1/2-ε}$扭曲。对于任何$d\geq 3$，我们建立在他们的工作，考虑扭曲程度$d$ $S_d$ -扩展$\mathbb{Q}$与判别$X$。我们证明，至少有$X^{c_d-ε}$这样的扭曲与积极的排名，其中$c_d$是一个积极的常数，往往$1/4$作为$d\to\infty$。此外，受一个适当的奇偶猜想，我们得到相同的结果与秩至少为2的扭转。
2018-10-09 math.NT
A positivity conjecture related to the Riemann zeta function
根据尼曼和贝兹-杜阿尔特的两个著名定理，黎曼假设等价于一个关于最小二乘逼近的简单判据。在进行与此准则相关的计算时，我们观察到一个奇怪的现象：没有明显的原因，至少与黎曼ζ函数相关的某个无限三角形矩阵的前10亿个元素都是正的。在这篇文章中，我们描述了导致这一观察的背景，并提出了一个猜想。
2020-11-04 math.CV math.NT
Dynamical uniform boundedness and the $abc$-conjecture
我们解决的情况下，单临界多项式的Morton和Silverman的一致有界性猜想，假设推广的$abc$ -猜想。对于次数至少为5的单临界多项式，我们只需要标准的$abc$ -猜想。
2019-01-14 math.DS math.NT
On the Moments of Least $s$-Gaps of Partitions and a Conjecture of Baruah and Talukdar
National Institute of Technology, Raipur（印度理工学院赖布尔分校）
本文研究分拆的最小 $r$-间隙的 $k$ 阶矩，给出精确公式，并证明 Baruah 与 Talukdar 关于奇偶最小 $r$-间隙和渐近等价的猜想，同时推广了相关恒等式。
2026-10-12 math.CO math.NT
Sur la conjecture abc, version corps de fonctions d'Oesterle
我们展示了一个弱形式的函数场版本的Oesterle的ABC猜想。它断言，如果$B$是一个复杂的投影连接曲线，交叉点的数量，计数没有多重性，一个固定的除数$D$的程度$d>0$超过$B$与图形$H$的一个部分$h:B\to B\times \bP^1$的第一个投影至少是$(d-2)n-C(B,D)$，其中$n$是程度$H$超过$\bP^1$，和$C(D,B)$一个常数只取决于这两个数据。我们证明这个数至少是$(d-2[\sqrt {d}]).n-C(D,B)$。常数是无效的。
2007-03-29 math.AG math.NT
Finiteness of K3 surfaces and the Tate conjecture
对于特征至少为5的有限域k，证明了Tate猜想对定义在k的代数闭包上的K3曲面成立当且仅当在k的每个有限扩张上只有n个K3曲面.
2014-03-12 math.AG math.NT
