When the Nontrivial, Small Divisors of a Natural Number are in Arithmetic Progression
Iannucci认为积极的除数的自然数$n$不超过$\sqrt{n}$，并发现所有形式的数字，其这种除数是在等差数列。本文通过排除平凡因子$1$和$\sqrt{n}$（当$n$是平方数时），推广了Iannucci的结果.令人惊讶的是，我们的等差数列的长度不能超过$5$。
2021-06-04 math.NT
Circulant graphs and GCD and LCM of Subsets
给定两个整数集合$A$和$B$，我们考虑寻找一个集合$S \subseteq A$的最小可能基数，使得$S \cup B$的元素的最大公约数等于$A \cup B$的元素的最大公约数. $B = \emptyset$和$\#B = 1$的特殊情况是特别有趣的，并且与图论有一些联系。我们还考虑了元素的最小公倍数的相应问题。我们通过将这些问题与最小覆盖问题联系起来，建立了这些问题的NP完全性和近似结果。
2014-02-21 cs.CC math.NT
Linear recurrences of order at most two in nontrivial small divisors and large divisors
对于每一个正整数$N$，定义$$S'_N \ =\ \{1 < d < \sqrt{N}: d|N\}\mbox{ and }L'_N \ =\ \{\sqrt{N} < d < N : d|N\}.$$最近，Chentouf的特点是所有正整数$N$，使一组小因子$\{d\le \sqrt{N}: d|N\}$满足线性递归的顺序最多为2。我们通过排除平凡因子$1$的考虑，这大大增加了分析的复杂性，非平凡扩展的结果。我们的第一个结果刻画了所有正整数$N$使得$S'_N$满足至多二阶的线性递归。此外，我们的第二个结果的特点是所有积极的$N$，使$L'_N$满足线性递归的顺序最多为2，从而大大扩展了最近的结果，特点是$N$与$L'_N$是在一个等差数列。
2022-10-01 math.NT
On the Least Common Multiple of Polynomial Sequences at Prime Arguments
Cilleruelo证明了如果$f\in\mathbb{Z}[x]$是一个不可约的$d\ge 2$次多项式，那么$\log \operatorname{lcm} \{f(n)\mid n<x\} \sim (d-1)x\log x.$本文研究了素变元的类似，即$\operatorname{lcm} \{f(p)\mid p<x\}$，其中$p$表示一个素数，并得到了它的非平凡下界，此外，我们还给出了关于$f(p).$的最大素除子的一些结果
2021-11-28 math.NT
Asymptotics of arithmetic functions of GCD and LCM of random integers in hyperbolic regions
证明了随机整数的最大公因数和最小公倍数的极限定理。虽然整数均匀分布在一个超立方体的大小不断增长的情况下是经典的，我们看看均匀分布在子水平集的多元对称多项式，我们称之为双曲区域。沿着我们的主要结果，我们得到了一些渐近估计的整数点的数量在这些双曲型区域，当它们的大小趋于无穷大。
2022-04-19 math.NT math.PR
Nontrivial upper bounds for the least common multiple of an arithmetic progression
本文建立了有限等差数列连续项最小公倍数的非平凡有效上界。精确地说，我们证明了对任意两个互质正整数$a$和$b$，有$b\geq 2$，我们有\[\mathrm{lcm}\left(a,a+b,\dots,a+nb\right) \leq \left(c_1\cdot b\log b\right)^{n+\left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor}~~~~(\forall n\geq b+1),\]，其中$c_1=41.30142$ .如果另外$b$是一个素数和$a<b$，那么我们证明，对于任何$n\geq b+1$，我们有$\mathrm{lcm}\left(a,a+b,\dots,a+nb\right) \leq \left(c_2\cdot b^{\frac{b}{b-1}}\right)^n$，其中$c_2=12.30641$。最后，我们应用这些不等式来估计由$M(n):=\frac{1}{φ(n)}\sum_{\substack{1\leq\ell\leq n \\ \ell \wedge n=1}}\frac{1}{\ell}$定义的算术函数$M$（$\forall n \geq 1$），以及广义Chebyshev函数$θ(x;k,\ell)$的一些值。
2020-04-15 math.NT
Zero sums amongst roots and Cilleruelo's conjecture on the LCM of polynomial sequences
本文在多项式为偶多项式的附加假设下，利用多项式根之间的零和处理 $Q_f(N)$ 的大素数因子，推进了 Cilleruelo 关于不可约多项式连续值最小公倍数增长的猜想，并改进了 Sah 的相关猜想。
2024-01-11 math.NT
Schreier Numbers and Nontrivial Small Divisors Satisfying Linear Recurrence of Order at Most Two
Schreier集一直是一个研究对象，因为首先介绍了在1930年由Jozef Schreier构建一个反例的猜想巴拿赫。1974年，乔治·安德鲁斯发现了这些集合和斐波那契数之间的有趣联系，此后，朱棣文、比兰德和芬奇-史密斯证明了更多的组合式结果。在平行Iannucci介绍了概念的小因子和特点的所有自然数的小因子是在等差数列，结果被推广的Chentouf和朱。然后结合这两个思想，朱棣文引入了Schreier数的概念，它的非平凡小因子集（小因子不包括1）是Schreier。我们的主要结果有两个方面：我们首先证明了这些数的渐近密度为0，并且存在无穷多个差为2或4的非素Schreier对。然后受Chu推广的Iannucci结果的启发，我们刻画了所有非平凡小因子满足阶不大于2的线性递归的自然数。
2022-09-23 math.NT
Effective estimates for the least common multiple of some integer sequences
本文主要研究整数序列的最小公倍数的估计问题。本文主要研究了一类二次序列的$\mathrm{lcm}$的有效有界性，以及等差数列和强整除序列的有效有界性。首先，我们利用交换代数和复分析的方法建立了某些二次序列的$\mathrm{lcm}$的新的非平凡下界。其次，对强整除序列的算术性质进行了更深入的研究，得到了关于强整除序列的$\mathrm{lcm}$的三个有趣的恒等式，推广了Farhi（2009）和Nair（1982）的一些恒等式，并由此得到了广义Fibonacci序列（所谓Lucas序列）的$\mathrm{lcm}$的精确估计.我们还发展了一种方法，为Bateman（2002）关于等差数列的$\mathrm{lcm}$的渐近结果提供了一个有效的版本。最后，我们发现后一种方法可以适用于估计序列$(n^2+1)_n$的$\mathrm{lcm}$，这特别允许我们改进Farhi（2005）和Oon（2013）的下界。本文还包括一些文献结果的一般介绍。
2020-12-10 math.NT
Factorization of power GCD matrices and power LCM matrices on certain gcd-closed sets
对于整数$x$和$y$，$(x, y)$和$[x, y]$分别代表$x$和$y$的最大公约数和最小公倍数。用$|T|$表示有限集合$T$的元素个数。令$a,b$和$n$是正整数，并且令$S=\{x_1, \cdots, x_n\}$是$n$不同正整数的集合。我们用$(S^a)$表示（分别）。$(x_i,x_j)$的$a$次幂的$n\times n$矩阵（分别为$[x_i,x_j]$）作为其$(i,j)$ -条目。对于任何$x\in S$，定义$G_{S}(x):=\{d\in S: d<x, d|x \ {\rm and} \ (d|y|x, y\in S) \Rightarrow y\in \{d,x\}\}$。本文证明了如果$a|b$和$S$是gcd闭的（即$(x_i, x_j)\in S$对所有整数$i$和$j$都有$1\le i, j\le n$）且$\max_{x\in S}\{|G_S (x)|\}=3$使得任意元素$y_1,y_2\in G_S(x)$满足$[y_1,y_2]=x$和$(y_1,y_2)\in G_S(y_1)\cap G_S(y_2)$），则$(S^a)|(S^b)$，$(S^a)|[S^b]$和$[S^a]|[S^b]$在环$M_{n}({\mathbb Z})$中成立.这推广了2022年得到的Chen-Hong-Zhao定理。这也部分地证实了Ho…
2025-10-07 math.NT
Common Divisors of Values Polynomials and common factors of indices in a Number Field
设$\mathbb{K}$是$\mathbb{Q}$上度为$n$的数域。设$\widehat{\mathbb{A}}$是$\mathbb{K}$的在$\mathbb{Q}$上本原的整数集合，$I(\mathbb{K})$是它的索引。Gunji和McQuillan定义了以下整数$i(\mathbb{K})=\underset{θ\in \widehat{\mathbb{A}}}{\text{lcm}}\;i(θ)$，其中$i(θ)=\underset{x\in \mathbb{Z}}{\text{gcd}}\;F_θ(x)$和$F_θ(x)$是$θ$在$\mathbb{Q}$上的特征多项式。证明了：若$p$是小于等于$n$的素数，则存在度为$n$的数域$\mathbb{K}$，$p$可整除$i(\mathbb{K})$ .我们计算三次域的$i(\mathbb{K})$。对于次数小于$7$的最简单数域族，我们也确定了$I(\mathbb{K})$和$i(\mathbb{K})$.我们也给\cite{Kihel}的问题一和两个答案。此外，我们还给出了\cite{Kihel}中定理11的反例，并讨论了他们的猜想。
2018-01-12 math.NT
Gcd-closed sets and divisibility among power GCD matrices and power LCM matrices
Hubei Minzu University（湖北民族大学）
本文证明了Hong猜想，即在满足特定条件的gcd闭集上，幂GCD矩阵和幂LCM矩阵在a|b时能被幂GCD矩阵整除。
2026-08-19 math.NT
Nontrivial effective lower bounds for the least common multiple of a $q$-arithmetic progression
本文研究了序列${(u_n)}_{n \in \mathbb{N}}$的连续项的最小公倍数的非平凡有效下界，其中$q , r$为正整数，$u_0$为非负整数，使得$\mathrm{gcd}(u_0 , r) = \mathrm{gcd}(u_1 , q) = 1$ .对于这样的序列，我们表明，对于所有的正整数$n$，我们有$\mathrm{lcm}\{u_1 , u_2 , \dots , u_n\} \geq c_1 \cdot c_2^n \cdot q^{\frac{n^2}{4}}$，其中$c_1$和$c_2$是正常数，只依赖于$q , r$和$u_0$。这可以被认为是作者（2005年）和Hong和Feng（2006年）已经获得的算术级数的下界的$q$模拟。
2020-08-24 math.NT
The normal order of of the divisor-counting function for invariants of rank 2 Drinfeld modules
当素数$p$在Drinfeld模的普通约化的素数上变化时，我们计算了具有非平凡自同态环的秩为2的Drinfeld模的约化模的Euler-Poincaré特征和Frobenius迹的除数计数函数的一阶和二阶矩.从这些时刻，我们得到的正常秩序的素除子的数量，这些不变量。
2016-03-27 math.NT
Covering systems where the prime divisors of all moduli are only $2$, $3$, or $5$
本文研究了所有正整数四元组(m,a,b,c)的问题，其中a≥b≥c，使得存在一个具有最小模m和模数的最小公倍数为2^a 3^b 5^c的覆盖系统。当m=2,3,4,5或6时，除了m=6且b=c=1的情况外，得到了所有这样的四元组的完整描述。还证明了如果模数的最小公倍数仅包含2，3或5作为质因数，则m≤9，并构造了一个具有m=8，a=8，b=3，c=2的覆盖系统。当存在覆盖系统时，提供了示例。通过整数规划或新的估计方法证明了覆盖系统的不存在性。
2026-05-18 math.NT
Nontrivial effective lower bounds for the least common multiple of some quadratic sequences
研究了数$L_{c,m,n} := \mathrm{lcm}\{m^2+c ,(m+1)^2+c , \dots , n^2+c\}$，其中$c,m,n$是正整数，使得$m \leq n$ .准确地说，我们证明了$L_{c,m,n}$是有理数\[\frac{\displaystyle\prod_{k=m}^{n}\left(k^2+c\right)}{c \cdot (n-m)!\displaystyle\prod_{k=1}^{n-m}\left(k^2+4c\right)} ,\]的倍数，我们得出（作为后果）的$L_{c,m,n}$一些非平凡的下界。例如，我们证明，如果$n- \frac{1}{2} n^{2/3} \leq m \leq n$，那么我们有$L_{c,m,n} \geq λ(c) \cdot n e^{3 (n - m)}$，其中$λ(c) := \frac{e^{- \frac{2 π^2}{3} c - \frac{5}{12}}}{(2 π)^{3/2} c}$。此外，必须指出的是，我们的方法（侧重于交换代数）是新的，不同于以前使用的Farhi，Oon和Hong。
2020-01-10 math.NT
Studying the inertias of LCM matrices and revisiting the Bourque-Ligh conjecture
设$S=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$是有限的不同正整数集。在本文中，我们假设集合$S$是GCD闭的。集合$S$的LCM矩阵$[S]$被定义为具有$\mathrm{lcm}(x_i,x_j)$作为其$ij$元素的$n\times n$矩阵。著名的Bourque-Ligh猜想曾经指出，GCD闭集$S$的LCM矩阵总是可逆的，但目前众所周知的事实是，任何非平凡的LCM矩阵都是不确定的，在适当的情况下，它甚至可以是奇异的（即使假设$S$是GCD闭的）。然而，没有更多的是知道的一般LCM矩阵的惯性。本文的最终目的就是要改善这种状况。假设$S$是交闭集，我们定义了一个全新的格论概念：如果集合$\mathrm{meetcl}(C_S(x_i))\setminus C_S(x_i)$可以表示为两个不相交链的并，则元素$x_i\in S$在$S$中生成一个双链集（这里集合$C_S(x_i)$由集合$S$的被$x_i$覆盖的所有元素组成，并且$\mathrm{meetcl}(C_S(x_i))$是包含集合$S$的最小交闭子集$C_S(x_i)$）。然后，我们继续研究莫比乌斯函数在每个元素生成双链集的集合上的值，并使用莫比乌斯函数的性质来解释为什么布尔奎-光猜想在许多情况下成立，而在某些非常特殊的情况下失败。之后，我们将注意力转向惯性，并看到在某些情况下，可以通过单独查看$(S,|)$…
2019-10-15 math.CO math.NT
Rational exponential sums over the divisor function
我们考虑了Shparlinski提出的一个问题，给出了算术函数$τ(n)$上有理指数和的非平凡界，计算了$n$的因子数。这是使用一些想法萨特有关的分布在剩余类的功能$ω(n)$，计数的数量素因子的$n$，使问题的形式，在那里，一般的模，我们可以应用一个界布尔增益有关指数和子群的有限阿贝尔群和素模的一些结果Korobov和Shkredov。
2013-09-24 math.NT
Kernel-Checked Exclusions for the Erdős-Selfridge Odd Covering Problem: Any Odd Covering of $\mathbb{Z}$ Has lcm Exceeding 10000
Millennium Research（千年研究）
研究埃尔德什 - 塞尔弗里奇奇数覆盖问题，通过Lean 4形式化证明，利用密度论证、丰富度下限、中国剩余容量证书及枚举等方法，得出整数集\(\mathbb{Z}\)的奇数覆盖其模最小公倍数超10000的结论，贡献在于提供内核检查的认知成果。
2026-07-29 cs.LO math.NT
Simultaneous core partitions with nontrivial common divisor
本文研究当 s 和 t 具有非平凡公因子 g 时 (s,t)-核与 (s̄,t̄)-核分拆的性质，利用 g-核与 g-商方法获得新生成函数、双射及正性结果，并证明其继承 Ramanujan 型同余。
2020-05-24 math.CO math.NT
Divisibility among power GCD and power LCM matrices on certain gcd-closed sets
本文研究gcd闭集上幂GCD与幂LCM矩阵的整除性，证明满足特定条件时三类整除关系成立，还找到不满足该条件仍成立的集合，推广了已有定理并部分证实相关猜想。
2025-10-06 math.NT
Bilinear sums of Kloosterman sums, multiplicative congruences and average values of the divisor function over families of arithmetic progressions
本文从模$q$的约化剩余集和任意集上的平均得到了等差数列$n \equiv a \pmod q$在$a$上的除数函数函数$τ(n)$与$n \le x$之和的几个渐近公式.主要目标是通过对$a$进行少量的平均来获得$q \ge x^{2/3}$的非平凡结果。我们记得，对于$a$的个别值，我们目前的方法的极限是对于任意固定的$\varepsilon> 0$的$q \le x^{2/3-\varepsilon}$。我们的方法基于Blomer（2008）基于Voronoi求和公式的方法，我们将其与Kowalski，Michel和Sawin（2017）和Shparlinski（2017）的Kloosterman和的双线性和的一些最新结果相结合。我们还利用额外的应用程序的Voronoi求和公式后，扩大到Kloosterman和，这减少了问题估计的解决方案的数量乘性同余。
2018-11-22 math.NT
Sums of algebraic trace functions twisted by arithmetic functions
我们得到了新的界限，与一些层模素$p$的有界导体，扭曲的莫比乌斯函数，也由广义除数函数的同型迹函数的短和。这些迹函数包括Kloosterman和和其他几个经典数论对象。对于长度至少为$p^{1/2+\varepsilon}$且$\varepsilon >0$为任意固定的区间，我们的界是非平凡的，该固定的$\varepsilon >0$小于{1}的最近结果中所要求的在莫比乌斯函数的情况下至少为$p^{3/4+\varepsilon}$和在除数函数的情况下至少为$p^{2/3+\varepsilon}$的长度。Fouvry，E.~ Kowalski和P.~ Michel（2014）和E.~ Kowalski，P. ~Michel and W.~ Sawin（2018）。
2018-04-21 math.NT
Arithmetic of seminormal weakly Krull monoids and domains
研究了具有非平凡导体的正规$v$ -Noether弱Krull幺半群的算法，这些幺半群具有有限的类群和所有类中的素除子.这些幺半群包含了整体域中全纯环的正规阶。的重要性质的正规性，使我们能够给出精确的算术结果类似的著名结果Krull幺半群有有限的类群和素除子在每个类。例如，这使我们能够证明长度集的并集是区间，并提供半因子性的特征。
2015-08-04 math.AC math.NT
