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arXiv 1808.07550math.NT
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关于除数函数的象闭包中的间隙

On Gaps in the Closures of Images of Divisor Functions

Niven Achenjang, Aaron Berger

备注：
10 pages
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摘要：

给定一个复数$c$，通过$σ_c(n)=\sum_{d\mid n}d^c$定义除数函数$σ_c:\mathbb N\to\mathbb C$。在本文中，我们看看$\overline{σ_{-r}(\mathbb N)}$，拓扑闭包的形象$σ_{-r}$，当$r>1$。我们展示了新的下界的连接组件的数量$\overline{σ_{-r}(\mathbb N)}$，使这个界限从线性的$r$指数。最后，我们讨论了$\overline{σ_{-r}(\mathbb N)}$的间隙的一般结构，以努力实现一个可能的单调性结果。

英文摘要：

Given a complex number $c$, define the divisor function $σ_c:\mathbb N\to\mathbb C$ by $σ_c(n)=\sum_{d\mid n}d^c$. In this paper, we look at $\overline{σ_{-r}(\mathbb N)}$, the topological closures of the image of $σ_{-r}$, when $r>1$. We exhibit new lower bounds on the number of connected components of $\overline{σ_{-r}(\mathbb N)}$, bringing this bound from linear in $r$ to exponential. Finally, we discuss the general structure of gaps of $\overline{σ_{-r}(\mathbb N)}$ in order to work towards a possible monotonicity result.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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