数域上扭除量函数值域的连通分支
Connected components of the ranges of twisted divisor functions on number fields
AI总结：
研究实值Dirichlet特征下扭理想除量函数值域闭包的连通分支数，证明其有限性，并在有理数域上刻画了所有可能取值，对Galois扩张给出了指数下界。
摘要：
设 $r\in\mathbb{C}$，$K$ 是 $\mathbb{Q}$ 的有限扩张，$I_K$ 是 $K$ 的整数环 $\mathcal{O}_K$ 中整理想的幺半群，$\chi$ 是 Dirichlet 特征。定义扭理想除量函数 $\sigma_{r, K, \chi} : I_K \rightarrow \mathbb{C}$ 为 $$\sigma_{r,K,\chi}(I) = \sum_{J \mid I} N(J)^{-r}\chi(N(J)),$$ 其中 $N$ 表示理想范数。对于实数 $r>1$，我们研究闭包 $\overline{\sigma_{r,K,\chi}(I_K)}$ 的连通分支数 $C_{r, K, \chi}$，当 $\chi$ 是模 1 的主特征时记为 $C_{r,K}$。我们证明当 $\chi$ 是实值时 $C_{r,K,\chi}$ 是有限的。当 $K = \mathbb{Q}$ 时，我们证明对于固定的 $r > 1$，每个充分大的正整数都可以实现为 $C_{r,\mathbb{Q},\chi}$，并且如果 $r$ 充分大，那么当 $\chi$ 变化时每个正整数都可以实现。对于 $\mathbb{Q}$ 上的有限 Galois 扩张 $K$，我们给出了 $C_{r,K}$ 的新指数下界，并证明对于每个固定的整数 $s \geq 2$，当 $K$ 取遍 $\mathbb{Q}$ 的 $s$ 次扩张时，$C_{r,K}$ 的值无界。
英文摘要：
Let $r\in\mathbb{C}$, let $K$ be a finite extension of $\mathbb{Q}$, let $I_K$ be the monoid of integral ideals in the ring of integers $\mathcal{O}_K$ of $K$, and let $χ$ be a Dirichlet character. Then define the twisted ideal divisor function $σ_{r, K, χ} : I_K \rightarrow \mathbb{C}$ by $$σ_{r,K,χ}(I) = \sum_{J \mid I} N(J)^{-r}χ(N(J)),$$ where $N$ denotes the ideal norm. For real $r>1,$ we study the number of connected components $C_{r, K, χ}$ of the closure $\overline{σ_{r,K,χ}(I_K)}$, writing $C_{r,K}$ when $χ$ is the principal character modulo 1. We prove that $C_{r,K,χ}$ is finite when $χ$ is real-valued. When $K = \mathbb{Q}$, we show that for fixed $r > 1,$ every sufficiently large positive integer is realized as $C_{r,\mathbb{Q},χ},$ and if $r$ is sufficiently large, then every positive integer is realized as $χ$ varies. For finite Galois extensions $K$ over $\mathbb{Q}$, we exhibit new exponential lower bounds for $C_{r,K},$ and we prove that for every fixed integer $s \geq 2$, the values $C_{r,K}$ are unbounded as $K$ ranges over degree-$s$ extensions of $\mathbb{Q}$.
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