The iterated Carmichael lambda function
Carmichael lambda函数$λ(n)$被定义为最小正整数$m$，使得对于所有$a$和$n$互质，$a^m$全等于1模$n,$。函数$λ_k(n)$被定义为$λ(n).$的$k$阶。以前的结果显示了$n/λ_k(n)$的正常顺序，其中$k=1,2.$我们将显示所有$k.$的正常顺序
2011-11-15 math.NT
Radically weakening the Lehmer and Carmichael conditions
Lehmer问题是关于是否存在满足条件phi（n）的复合整数n的问题|（n-1），（其中phi是Euler-phi函数），而Carmichael数满足较弱的条件lambda（n）|（n-1）（其中lambda是Carmichael通用指数函数）。我们进一步弱化这个条件，看看那些复合n，其中phi（n）的每个素除子也整除n-1。(So rad（phi（n））|（n-1）.）虽然这些数字似乎是远远超过卡迈克尔数，我们表明，他们的分布有相同的粗糙的上界的卡迈克尔数，这是严格的约束。
2012-10-06 math.NT
The number of iterates of the Carmichael lambda function required to reach 1
Carmichael lambda函数$λ(n)$被定义为最小正整数$m$，使得对于所有$(a,n)=1.$ $λ_k(n)$的$a^m \equiv 1 \pmod{n}$被定义为$λ(n).$的$k$ th，令L（n）是最小的$k$，对于$λ_k(n)=1.$它很容易表明，$L(n) \ll \log n.$它是证明，$L(n)\asymp \log\log n,$，但以前它是不知道是$o(\log n)$，几乎所有的$n.$我们将表明，$L(n) \ll (\log n)^δ$，几乎所有的我们还将证明几乎所有$n$的$L(n) \gg \log\log n$，并猜想L（n）的正规序。
2012-03-21 math.NT
Two problems on the distribution of Carmichael's lambda function
令$λ(n)$表示乘法群模$n$的指数。我们发现，当$q$是奇数，每个互质剩余类模$q$击中同样经常由$λ(n)$作为$n$变化。在更强的假设下，$\gcd(q,6)=1$，我们证明了均匀分布持续整个西格尔-Walfisz型范围内的均匀性。通过类似的方法，我们证明了$λ(n)$关于自然密度服从Benford首数律。此外，如果我们假设GRH，那么本福德定律对$a$ mod $n$的阶成立，对任何固定整数$a\notin \{0,\pm 1\}$成立。
2023-03-24 math.NT
Runs of integers with constant values of the Carmichael function
本文研究Carmichael λ函数在连续整数上取相同值的最大连续段长度，通过引入基于Baker-Harman关于移位素数最大素因子结果的反向计数论证，改进了2023年已有的上界估计。
2024-06-07 math.NT
A quantum algorithm for computing the Carmichael function
量子计算机可以有效地解决许多数论问题。本文利用有效的量子算法作为预言机，给出了一个计算任意整数$N$的Carmichael函数的算法，该算法的概率尽可能接近1.该算法需要$O((\log n )^3n^3)$量子运算，或使用快速乘法的$O(\log\log n (\log n)^4 n^2)$运算。验证，量子优化和应用RSA和素性测试进行了讨论。
2021-11-03 math.NT quant-ph
The iterated Carmichael λ-function and the number of cycles of the power generator
模l次幂函数f（x）= x^l（mod n）的迭代提供了一个公共的伪随机数生成器（当l=2时称为Blum-Blum-Shub生成器）。这种伪随机数发生器的周期与λ（λ（n））密切相关，其中λ（n）表示卡迈克尔函数，即任何整数模n的最大乘法阶。本文证明了对于几乎所有的n，λ（λ（n））的大小是n/exp（（1+o（1））（log log n）^2 log log log n）.我们猜想λ的第k阶λ的一个类似公式。我们推断，对于几乎所有的n，上述伪随机数生成器至少有exp（（1+o（1））（log log n）^2 log log log n）个不相交的圈。此外，我们表明，这个表达式是准确的，几乎所有的n下的广义黎曼假设的Kummerian字段的假设。我们还考虑了将整数n降为1所需的λ的迭代次数，证明了这个次数无限次小于（1+o（1））（log log n）/log 2，并推测log log n几乎总是真正的数量级。
2004-06-16 math.NT
Small values of Carmichael's lambda function
University of Georgia（佐治亚大学）
研究λ(n)的分布，给出L(x,y)的上界，并在合理假设下渐近精确，应用于2模n的阶远小于x^{1/2}的奇数n的计数。
2026-06-18 math.NT
On Carmichael and polygonal numbers, Bernoulli polynomials, and sums of base-$p$ digits
该研究在$p$进数理论框架下给出Carmichael数的新刻画，揭示其与Bernoulli多项式分母、基$p$数字和的关联，定义了本原Carmichael数，证明Carmichael数可表为显式多边形数，并给出相关集合的模子集覆盖。
2021-05-12 math.NT
On a certain arithmetic function defined via Bernoulli numbers
Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院西伯利亚分院系统动力学与控制理论马特罗佐夫研究所）
研究定义在奇数\(n\geq3\)上、通过伯努利数构造的算术函数，该函数将素数、卡迈克尔数和久加数统一到一个整除性准则中，为相关研究提供新视角。
2026-10-06 math.NT
Piatetski-Shapiro sequences
我们考虑了Piatetski-Shapiro序列$\fl{n^c}$（$n=1,2,3,...$）与$c>1$，$c\not\in\N$的各种算术问题.我们证明了一个正函数$θ(c)$，它具有$\fl{n^c}$的最大素因子无限次超过$n^{θ(c)-\eps}$的性质.对于$c\in(1,\tfrac{149}{87})$，我们证明了$\fl{n^c}$无平方的自然数$n\le x$的计数函数满足期望的渐近公式.对于$c\in(1,\tfrac{147}{145})$，我们证明了有无穷多个完全由$p=\fl{n^c}$形式的素数组成的卡迈克尔数。
2012-03-27 math.NT
A Proof of Bala's Congruence Conjectures for A158690
本文证明了Bala关于OEIS序列A158690的两个同余猜想，通过一般定理和Stirling数公式，得到模周期性与移位Gauss同余。
2026-09-09 math.CO math.NT
Incomplete exponential sums over exponential functions
本文推广了$\displaystyle\sum_{n\le N}e^{2πiag^n/p}$型指数和的定界方法，使之适用于$g$不一定是原根的情形.我们还显示了Shkredov最近的一些结果，关于乘法子群的加法性质意味着新的界限的总和正在审议。
2013-02-18 math.NT
Moments of an exponential sum related to the divisor function
我们使用圆的方法来获得紧界的$L^p$范数的指数和涉及除数函数的$p > 2$。
2018-07-19 math.NT
L-functions of certain exponential sums over finite fields II
本文计算了一类重要的由解析数论导出的指数和的L函数的$q$ -adic斜率。我们的主要工具包括Adolphson-Sperber的工作复曲面指数和万的分解定理。
2021-07-28 math.NT
On certain arithmetic functions involving exponential divisors, II
研究了一类含指数因子的算术函数的渐近性质。
2009-10-10 math.NT
L-functions of Certain Exponential Sums over Finite Fields
本文完全确定了解析数论中一类重要的指数和的L函数的斜率和权。我们的主要工具包括Adolphson-Sperber的工作复曲面指数和万的分解定理。我们的主要结果的一个后果是这些指数和的尖锐估计。另一个结果是得到了关于复曲面指数和权的Adolphson-Sperber猜想的一个明确的反例。
2021-07-15 math.NT
Exponential sums and finite field $A$-hypergeometric functions
本文定义了有限域$A$ -超几何函数，并证明了它们是环面上指数和族的Fourier展开。对于$A$的适当选择，我们的有限域$A$ -超几何函数可以专门化为McCarthy定义的有限域${}_kF_{k-1}$ -超几何函数.
2012-10-23 math.NT
Exponential moments of the logarithm of the Riemann zeta-function twisted by arguments
本文讨论了黎曼ζ函数的矩。本文给出了变元扭曲的黎曼ζ函数的对数的指数矩的一个上界。我们的结果改进了Najnudel关于黎曼ζ函数幅角指数矩的结果，并给出了指数矩的无条件上界.
2022-08-24 math.NT
Integer properties of a composition of exponential generating functions
本文研究了指数母函数的一种复合。我们得到了新的性质，这种组合，它允许区分素数从合数。利用文[1]的结果，我们得到了Bell数的已知性质（$k=0$的Touchard同余）和欧拉数的新性质.关键词：指数母函数，母函数的合成，合成，素性，Touchard同余，贝尔数，欧拉数。
2012-11-09 math.NT
Double exponential sums and congruences with intervals and exponential functions modulo a prime
设$p$是一个大素数，$g$是任意乘阶$T$模$p$的整数.本文给出了双指数和$$ S=\sum_{n\in \mathcal{N}}\left|\sum_{m\in \mathcal{M} }e_p(an g^{m})\right|, \quad \gcd (a,p)=1, $$的一个新的估计，其中$\mathcal{N}$和$\mathcal{M}$是具有$|\mathcal{N}|=N$和$|\mathcal{M}|=M<T$元素的连续整数的区间.一个代表性的例子是主要结果的以下结果：如果$N=M\approx p^{1/3}$，则$|S|< N^{2-1/8 + o(1)}$。然后，我们应用我们的估计，以获得新的结果添加剂同余涉及区间和指数函数。
2018-10-15 math.NT
L-functions of symmetric powers of the generalized Airy family of exponential sums
本文研究了与广义Airy指数和族相关的仿射直线上ell-adic层的k次对称幂的L-函数。我们计算这个有理函数的次数和无穷远处的局部因子。
2010-08-02 math.NT
On approximation measures of $q$-exponential function
我们将给出与$q$ -指数函数有关的某些无穷乘积的有效逼近测度。有两个主要目标。首先证明$q$ -指数函数在有理点的值的一个显式的非理性度量结果。然后，如果我们将近似限制为形状$d^s/N$的有理数，我们可以用$2+\frac{1}{3+2\sqrt 3}=2.1547...$代替Bundschuh的无理性指数$7/3$。
2014-12-12 math.NT
Averages of exponential twists of the von Mangoldt function
本文得到了指数和$\sum_{x<n\leq 2x}Λ(n)e(αk n^θ)$与$θ\in(0,5/12),$的一些改进结果，其中$Λ(n)$是von Mangoldt函数.这样的指数和与所谓的准黎曼假设有关，并且由Vinogradov \cite{Va}和Murty-Srinivas \cite{Mu}考虑。
2022-03-23 math.NT
Linear recurrences and asymptotic behavior of exponential sums of symmetric boolean functions
本文对对称布尔函数的指数和所满足的整系数齐次线性递推式的次数进行了改进。这种改进是严格的。我们还计算了对称布尔函数的渐近行为，并提供了一个公式，使我们能够确定一个对称布尔函数是否是渐近不平衡的。特别地，当对称函数的次数是2的幂时，则指数和远小于$2^n$。
2011-01-24 math.NT
Exponential sums with Dirichlet coefficients of L-functions
改进和推广了作者最近的结果，给出了区间上所有整数和素数上L函数的Dirichlet系数指数和的条件估计.特别是，我们建立了新的条件结果指数和Hecke特征值和平方的Hecke特征值素数。我们利用这些估计来改进我们最近关于对称平方L函数的Hecke本征形在黎曼假设下的Piatetski-Shapiro素数处的Hecke本征值平方的结果。
2012-10-29 math.NT
On the $L^1$ norm of an exponential sum involving the divisor function
本文给出了和$\sum_{n\le x}τ(n) e(αn)$的$L^1$范数的界，其中$τ(n)$是除数函数.
2017-04-19 math.NT
Size of product of a number and its multiplicative inverse, Moments of L-functions and Exponential Sums
本文研究了一个数与其模为素数p的乘法逆乘积的平均大小，这与L函数的矩有关，并导出了某个三重指数和的一个奇异的渐近公式.
2014-12-27 math.NT
A note on the exponential sums of the localized divisor functions
我们证明了与局部$k-$除数函数相关的指数和的上界，即，将正整数$n$写成$k\ge 2$正整数的乘积的方法的计数函数，每个正整数都属于一个指定的区间。特别地，这给出了$k-$除数函数$d_k(n)$的指数和的估计。
2015-12-01 math.NT
The Riemann zeta function and exact exponential sum identities of divisor functions
本文证明了一个计算两个移位黎曼zeta函数乘积的显式积分公式，由此推导出涉及除数函数的无穷族精确指数和恒等式，并提出了无需算术技巧的矩阵求逆计算除数函数的推测性方法。
2023-11-13 math.NT
On certain arithmetic functions involving exponential divisors
整数$d$被称为$n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}>1$的指数除数，如果$d=\prod_{i=1}^r p_i^{c_i}$，其中$c_i \mid a_i$对于每个$1\le i \le r$。具有相同素因子的整数$n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}, m=\prod_{i=1}^r p_i^{b_i}>1$称为指数互质，如果对每个$1\le i\le r$都有$(a_i,b_i)=1$。研究了一类含指数因子和指数互质整数的算术函数的渐近性质。
2009-10-10 math.NT
Rational exponential sums over the divisor function
我们考虑了Shparlinski提出的一个问题，给出了算术函数$τ(n)$上有理指数和的非平凡界，计算了$n$的因子数。这是使用一些想法萨特有关的分布在剩余类的功能$ω(n)$，计数的数量素因子的$n$，使问题的形式，在那里，一般的模，我们可以应用一个界布尔增益有关指数和子群的有限阿贝尔群和素模的一些结果Korobov和Shkredov。
2013-09-24 math.NT
Decoupling, exponential sums and the Riemann zeta function
本文在[B-D1]，[B-D2]的基础上建立了一个新的曲线解耦不等式，它对某些指数和蕴涵了一个新的中值定理，这对于[H]中进一步发展的Bjueri-Iwaniec方法是至关重要的.特别地，这导致临界线上的zeta函数的改进的界限$|ζ(\frac 12+it)|\ll t^{53/342+\varepsilon}$
2016-02-22 math.NT
Integration in terms of exponential integrals and incomplete gamma functions I
本文给出了指数积分和不完全Γ函数积分的Liouville原理。
2018-02-21 cs.SC math.NT
On the exponential local-global principle for meromorphic functions and algebraic functions
利用指数局部-整体原理证明了Skolem猜想在代数函数上的秩为1的情形，并讨论了它在亚纯函数上的类似情形。
2014-04-03 math.CV math.NT
Dwork-Carlitz Exponential and Overconvergence for Additive Functions in Positive Characteristic
研究了有限域$\mathbb F_q$上函数域上的$\mathbb F_q$ -线性函数的超收敛现象.特别地，引入了Dwork指数的模拟。
2006-07-29 math.AG math.NT
A new Generating Function of Exponential Polynomials and its Applications to the Related Polynomials and Numbers
本文利用基于运算观点的计算方法证明了一个新的指数多项式母函数。给出了它在几何多项式、Bernoulli数和欧拉数中的应用。
2016-01-16 math.CA math.NT
Ramanujan's approximation to the exponential function and generalizations
利用Perron鞍点法重新检验了Ramanujan对指数函数的逼近。这允许一个广泛的推广，包括巴克霍尔茨的结果，并在所有的渐近展开系数可以给出封闭的形式。拉马努金近似的指数积分处理类似。
2022-05-17 math.CO math.NT
Comparing C and Zilber exponential fields, zero sets of exponential polynomials
本文继续了复指数场与Zilber指数场的比较研究。对于后者，我们利用丢番图几何证明了关于指数函数零点集的各种性质，对于C，我们利用解析函数理论证明了这些性质，如恒等式定理。
2013-10-25 math.NT math.RA
A sup-Hodge bound for exponential sums
研究了$T$ -adic指数和的$C$ -函数.建立了$C$ -函数的牛顿多边形的一个显式算术界。该多边形位于霍奇多边形之上。给出了$p$ -幂阶指数和的$C$ -函数的一个Sup-Hodge界.
2009-12-31 math.AG math.NT
Summing Lambert Series in Euler's q-Exponential Functions
本文给出了用欧拉q-指数函数对Lambert级数求和的公式，并给出了几个与著名算术函数有关的Lambert级数的例子。这些功能包括：莫比乌斯$μ(n)$、欧拉totient $φ(n)$、乔丹totient $J_{k}(n)$、von Mangoldt $Λ(n)$、约数函数$σ_{s}(n)$、拉马努金求和$c_{q}(n)$以及平方和函数$r_{2}(n),r_{4}(n),r_{8}(n)$。
2018-11-27 math.CA math.NT
Integration in finite terms and exponentially algebraic functions
Institut Camille Jordan, Université Lyon 1（里昂第一大学）；University of East Anglia（东英吉利大学）
本文结合微分代数与模型论技术，推广Abel和Liouville的方法，研究代数微分方程的指数代数性问题，得到多个经典函数的指数超越性、独立性结论及对应可判定性结果。
2025-10-30 math.CA math.LO math.NT
