Multi-loop integrand reduction techniques
Simon Badger, Hjalte Frellesvig, Yang Zhang
本文综述了双圈振幅的D维被积函数约化算法的最新进展，并给出了它们在QCD中五点全正螺旋度振幅的非平面最大切割中的应用实例。
We review recent progress in D-dimensional integrand reduction algorithms for two loop amplitudes and give examples of their application to non-planar maximal cuts of the five-point all-plus helicity amplitude in QCD.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Ninja: Automated Integrand Reduction via Laurent Expansion for One-Loop Amplitudes
我们提出了公共C++库Ninja，它实现了通过Laurent展开方法计算单圈积分的被积函数约简。该算法适用于复杂的单回路过程的应用。
Integrand reduction of one-loop scattering amplitudes through Laurent series expansion
我们提出了一个半解析方法的被积减少的一个循环的振幅，系统的应用程序的Laurent展开的被积分解的基础上。在渐近极限中，主积分的系数是对角方程组的解，适当地由其参数形式先验已知的反项校正。被积函数的Laurent展开是通过多项式除法实现的。并讨论了积分约化在分子秩大于传播子个数情况下的推广。
Multi-loop Integrand Reduction with Computational Algebraic Geometry
讨论了多圈被积函数约简方法的最新进展。动机的可能性，通过广义么正性切割的多回路振幅的自动化建设，我们描述了一个程序，以获得一般参数化的任何多回路被积在可重正化规范理论。该方法依赖于计算代数几何技术，如Gröbner基和理想的初等分解。我们提出了一些结果的两个和三个回路振幅的Macaulay 2计算机代数系统和Mathematica包BasisDet的帮助下获得。
A simple formula for the infrared singular part of the integrand of one-loop QCD amplitudes
我们证明了一个著名的简单公式的显式红外极点的单圈QCD振幅有一个相应的简单的对应的未积分形式。未积分公式近似的被积函数的单圈QCD振幅在所有软和共线奇异区域。因此，它定义了一个本地的反红外奇异项，并可以用作一个成分的数值计算的单圈振幅。
Multi-leg One-loop Massive Amplitudes from Integrand Reduction via Laurent Expansion
提出了一种基于被积函数约化和Laurent展开相结合的单圈散射振幅约化方法。我们描述了其实施的计算机代码NINJA的一般功能，其接口GoSam。我们应用新的减少到一系列选定的过程，涉及大量的粒子，从六到八条腿。
Integrand reduction beyond one-loop calculations
在本演示中，我们回顾了整数约简技术的一般特征，特别关注它们在一个循环之外的推广。我们首先简要讨论了一个循环的情况下，在这种情况下，积分约简算法已经建立，并在过去十年中发挥了重要作用，在自动化工具的发展，物理观测值的理论评估。在过去的几年里，将积分降阶技术推广到所有环路一直是几项努力的主题，从而更好地理解了散射振幅的普遍性质。这些研究的最终目标是发展有效的替代计算技术，用于评价费曼积分超过一个循环。
The Integrand Reduction of One- and Two-Loop Scattering Amplitudes
用于减小散射振幅的积分级方法是成熟的技术，其已经在单回路的几个应用中证明了其有效性。除了单回路计算工具的自动化和改进之外，在过去的一年中，我们观察到在开发基于类似原理的双回路和更高回路振幅新技术方面取得了非常有趣的进展。在本演示中，我们回顾了积分级方法的主要特点，特别关注代数技术，如用于改进单循环简化的Laurent级数展开，以及揭示多循环振幅结构的多元多项式除法。
Reducing full one-loop amplitudes to scalar integrals at the integrand level
我们展示了如何从任意散射过程的完整单圈振幅中提取4点、3点、2点和1点单圈标量积分的系数。以类似的方式，也可以导出有理项。基本上不需要关于振幅的解析结构的信息，这使得我们的方法对于高效的数值实现具有吸引力
The classification of two-loop integrand basis in pure four-dimension
本文试图对纯四维时空中所有双圈图的被积函数基进行分类。我们的分类包括确定分子结构的双环图的拓扑结构，以及用Gröbner基方法得到的外动量不同运动学组态下的分子集合。在我们的研究中，通过将所有传播子设置为在壳而定义的多样性发挥了重要作用。讨论了簇的结构，以及当图的角动量满足某些特殊的运动学条件时，簇如何分裂成各种不可约分支。这些信息对于约化过程中被积函数基系数的数值或解析拟合是至关重要的。
Tensor integrand reduction via Laurent expansion
我们介绍了一种新的方法，通过劳伦展开算法的应用程序的一个循环的被积函数减少，在公共C++库忍者。我们展示了如何通过适当的收缩的循环分子张量与切割相关的投影仪计算洛朗展开的系数，使得有可能接口忍者到任何一个循环矩阵元素生成器，可以提供该张量的组件。我们在Ninja库中实现了这项技术，并将其与MadLoop接口，这是公共MadGraph5_aMC@NLO框架的一部分。我们进行了详细的性能研究，与其他公共还原工具进行了比较，即CutTools，Samurai，IREGI，PJFry++和Golem。我们发现Ninja在速度和数值稳定性方面都优于传统的被积函数约简，后者与张量积分约简工具Golem相当，但后者比Ninja更有限且更慢。我们认为，许多基准多尺度过程的复杂性不断增加，涉及QCD和电弱校正以及有效的非renormalizable耦合，表明忍者的性能尺度以及所考虑的过程的秩和多重性。
Integrand-reduction techniques for NLO and beyond
在简要介绍了积分约简方法之后，我们将回顾GoSam 2.0单循环计算自动化框架的主要功能，并说明其在SM过程中的应用，该过程涉及与射流和光子一起产生大质量粒子。这些结果是通过将GoSam与不同的Monte Carlo框架相结合，从而将NLO计算与部分子簇射效应相结合而获得的。在演讲的第二部分，我们将重点介绍GoSam在NLO之外的应用。该代码已被用于NNLO计算中的实虚贡献的计算和近似NNLO和再确认技术所需的硬函数的评估。最后，我们将简要讨论一个有前途的方法，用于减少散射振幅超过一个循环的基础上，通过多元多项式除法被积函数减少。
Debye screening mass in hot QCD at three loops: Canonical form of the integrand
本研究针对热QCD三圈水平下的德拜屏蔽质量，利用热被积函数典范形式的新进展，重新整理相关计算项，强调积分变量平移的作用，以简化未来高阶计算。
Multiloop Integrand Reduction for Dimensionally Regulated Amplitudes
我们提出了通过多元多项式除法作为一种自然的技术来编码的费曼振幅的么正性条件的被积函数的减少。我们推导出一个递归公式的被积函数的减少，有效的任意尺寸调节回路积分与任何数量的循环和外部腿，它可以用来获得任何被积函数的分解分析与有限数量的代数运算。一般的结果示出的应用程序在QED和QCD的双圈费曼图，表明所提出的约化算法也可以无缝地应用于被积体与出现任意功率的交换子。
Multi-loop Integrand Reduction via Multivariate Polynomial Division
本文介绍了散射振幅的被积函数约化的最新进展。被积函数级方法允许通过对相应的被积函数执行运算来将幅度表示为主积分的线性组合。这种方法已经在一个循环中成功应用和自动化，最近扩展到更高的循环。我们描述了一个连贯的框架，基于简单的概念，代数几何，如多元多项式除法，它可以用来获得任何振幅的被积函数分解在任何循环顺序。在一个循环的情况下，我们讨论了一个改进的约简算法，基于应用的Laurent级数展开的被积函数，这已实现在半数值库忍者。在两个循环中，我们提出了减少五点振幅在N=4 SYM，与一个基于幺正性的建设的被积函数。我们还描述了多循环分而治之的方法，它总是可以用来找到任何费曼图的被积函数分解，无论形式和被积函数的复杂性，与纯代数运算。
The all-loop conjecture for integrands of reggeon amplitudes in N=4 SYM
本文提出了N=4 SYM中Wilson线形状因子的被积函数的全圈猜想。特别是，我们提出了一个新的胶合操作的动量扭量空间用于获得reggeon树级振幅和循环被积从相应的表达式壳振幅。引入胶合过程是用来获得BCFW递归的树级reggeon振幅和他们的循环被积。此外，我们提供了预测reggeon循环integrands写在局部积分的基础上。作为对循环级胶合操作正确性的检验，我们导出了N=4 SYM中LO BFKL核的表达式。
Scattering AMplitudes from Unitarity-based Reduction Algorithm at the Integrand-level
SAMURAI是一种自动数值评估工具，用于对维度正则化方案内的任何散射振幅进行单循环校正。它是基于分解的被积函数根据OPP的方法，扩展到适应的广义d维酉切割技术的实施，并使用多项式插值利用离散傅立叶变换。SAMURAI可以处理被积函数，被积函数既可以是费曼图的分子，也可以是三级振幅的乘积。本文讨论了量子电动力学中的六光子和八光子散射以及量子色动力学中的六夸克散射。SAMURAI已被实施为一个Fortran 90库，公开提供，它可能是一个有用的模块，面向自动化下一个领先的顺序计算相关的LHC现象学的虚拟校正的系统评估。
Local integrands for two-loop all-plus Yang-Mills amplitudes
我们表示的平面五和六胶子双圈杨米尔斯振幅与所有的正螺旋在紧凑的解析形式使用D维局部被积是免费的虚假奇点。被积函数是固定的壳树振幅在六个维度使用D维广义酉削减。所得到的表达式示出有明显的红外行为在被积函数的水平。我们还发现简单的陈述的合理的条款后，在4- 200维集成。
Tensorial Reconstruction at the Integrand Level
我们提出了一种新的方法来减少单圈振幅通过重建张量表达式的散射振幅。通过在积分动量中采样，在被积函数级进行重建。有几个有趣的应用程序，这种新的方法在现有的技术减少一个循环多腿振幅：处理数值不稳定的点，如在附近的消失革兰行列式;允许采样的分子函数的基础上的积分动量的实际值;优化的数值减少的情况下，长表达式的分子函数。
Local integrands for two-loop QCD amplitudes
在这次演讲中，我们回顾了最近的计算五和六胶子双圈振幅在杨米尔斯理论使用的局部被积，使红外极结构的表现。本文对BCJ关系与全重数结构的关系作了一些评述。
Integrands of loop amplitudes within loop-tree duality
使用环树对偶，我们涉及到一个重整$n$ -点$l$ -环振幅在量子场论的相空间积分的正则化$l$ -倍向前限制的UV减去$(n+2l)$ -点树振幅的对象。我们表明，最多三个循环后一个对象是很容易计算的递归关系。这定义了一个被积函数的环路振幅与一个整体定义的环路动量。场和质量重整在壳方案中进行。
Two-loop Integrand Decomposition into Master Integrals and Surface Terms
环路振幅方便地表示在主积分的系数进行过程相关的信息。类似地，在积分之前，循环被积函数可以表示为传播子乘积与通用分子张量的线性组合。这样的分解是数值么正性方法的重要输入，该方法从壳上树振幅构造被积函数系数。我们提出了一种新的方法来组织多循环被积函数的直接和的条款，集成为零（表面条款）和剩余的主被积函数。这种分解有利于一个通用的，数值的酉方法，多回路振幅规避分析积分减少。消失积分被称为分部积分恒等式。我们的建设可以被看作是一个明确的建设一套完整的集成的部分身份不包括双重传播。有趣的是，一类“水平”的身份被挑出来，以及改变传播功率。
Primary Feynman rules to calculate the epsilon-dimensional integrand of any 1-loop amplitude
当使用维数正则化/降维时，单圈费曼图的ε维分子产生有理贡献。我列出了一套基本的规则，允许提取这些条款在被积函数的水平，在任何理论包含标量，矢量和费米子，如电弱标准模型，QCD和超对称性。
Ward identity preserving local ultraviolet counterterms for photoproduction at two loops in QCD
本文基于双环光产生过程，利用局部有限修正项方法，构建了满足守恒恒等式要求的紫外修正项，为后续数值积分和扩展局部减法框架到喷注过程奠定基础。
Global Bases for Nonplanar Loop Integrands, Generalized Unitarity, and the Double Copy to All Loop Orders
本文提出一种基于图的全局圈积分基底构造方法，可同时处理平面与非平面贡献，并直接读出广义幺正性系数，从而将树级双拷贝推广到任意圈阶引力振幅。
One-Loop Yang-Mills Integrands from Scattering Equations
我们调查的背景下的散射方程，如何单圈线性传播被积体在规范理论可以连接到被积体与二次传播使用双向前限制。我们通过例子说明我们的程序，并演示如何派生的二次被积函数的不同部分是一致的切割被积函数来自四维广义酉。我们还评论应用程序，并讨论可能的进一步推广。
Integrand-Level Reduction of Loop Amplitudes by Computational Algebraic Geometry Methods
基于计算代数几何，我们提出了一种可重正化场论多圈振幅积分级约化的算法。该算法使用（1）Gröbner基方法来确定整数级约简的基，（2）理想的初等分解来分类酉割的所有不等价解。由此产生的基础和削减解决方案可以用来重建被积函数从酉削减，通过多项式拟合技术。该算法的基确定部分已在Mathematica软件包BasisDet中实现。主分解部分可以很容易地进行代数几何软件，与包BasisDet的输出。该算法的工作在D=4和$D=4-2ε$维，我们提出了一些两个和三个循环的应用程序的例子，这个算法。
On the Integrand-Reduction Method for Two-Loop Scattering Amplitudes
我们提出了第一个实现的积分减少方法的两个回路散射振幅。我们表明，剩余的多粒子削减的振幅是多项式的不可约标量产品涉及回路动量，并减少的振幅方面的主积分可以实现通过多项式拟合的被积函数，没有任何先验知识的积分基础。我们讨论了如何多项式形状的残留物确定的基础上出现在最终结果中的主积分。我们提出了一个四维的建设性算法，我们适用于平面和非平面的贡献，在N=4 SYM的4点和5点MHV振幅。本文讨论的技术扩展了适用于单圈振幅的成熟的类似方法，并且可以被认为是对任何规范理论中的双圈振幅在积分级上的系统化约简的初步研究，适合于它们的自动半解析评估。
Counting to one: reducibility of one- and two-loop amplitudes at the integrand level
微扰量子场论中振幅的计算涉及到大的圈积分。这些积分的复杂性，再加上大量的费曼图，使得计算非常困难。简化方法被证明是非常有帮助的，降低了需要实际计算的积分的数量。特别是，在被积函数级技术的减少，提高了这些计算的速度和设置。在这篇文章中，我们演示，通过计算张量结构和独立系数的数量，如何写这样的关系在被积函数水平的一个和两个循环的振幅。我们澄清他们的连接，所谓的假条款在一个循环，并讨论他们的结构，在两个循环的情况下。这种方法也适用于更高的回路，所得结果适用于平面和非平面图。
Applications of integrand reduction to two-loop five-point scattering amplitudes in QCD
本文综述了量子色动力学中两圈五点散射振幅的被积函数能级约化的最新进展。我们提出了一些基准结果的领导色双圈五胶子振幅的物理区域，以及两个夸克和三个胶子和四个夸克和一个胶子的部分子通道的评估。
General finite two-loop amplitude integrand for photoproduction in quark annihilation
本文通过引入动量流和抵消项，将双圈有限振幅被积函数的构造从无色粒子产生扩展到包含末态实光子的过程，并消除了自能修正引起的幂次奇点，为红外相减方法在末态喷注过程中的应用提供了新见解。
An All-loop Soft Theorem for Pions
本文针对$SU(N)$ NLSM平面极限下圈积分被积函数的Adler零在两圈及以上被破坏的问题，提出并验证了一个适用于任意圈数和腿数的非零“代数软定理”及其在壳版本。
An Integrand Reconstruction Method for Three-Loop Amplitudes
本文研究了具有无质量运动学的三圈四点函数的最大割问题。通过应用Groebner基和初等分解，我们开发了一种方法，通过广义么正性切割提取所有十个传播子的主积分系数的任意三盒配置。作为一个例子，我们给出了三圈三盒对Yang-Mills中胶子-胶子散射的贡献的解析结果。
Towards numerical two-loop integrand reduction
本文提出适用于d=4-2ε和d=4维度的双圈螺旋度振幅被积函数层级约化方法，结合在研的HELAC-2LOOP框架，为任意散射过程双圈振幅自动化计算程序的构建奠定基础。
Integrand Reduction for Two-Loop Scattering Amplitudes through Multivariate Polynomial Division
我们描述了一种新的方法，用于减少散射振幅的应用，基于多元多项式除法，我们最近提出的。这种技术产生了完整的被积函数分解任意振幅，无论循环的数量。它允许在任何多颗粒切割，其知识是一个强制性的先决条件，应用的整合减少程序的残留物的测定。通过使用除法模Groebner基，我们可以得到一个简单的被积函数递归关系，生成任意多圈振幅的被积函数的多粒子极点分解。我们将新的约化算法应用于四维N=4个超杨米尔斯和N=8个超引力系统中对五点散射振幅有贡献的双圈平面图和非平面图，其分子函数在积分动量中包含最多秩2项.我们确定所有的多项式剩余参数化相应的拓扑和子拓扑的削减。我们得到的积分基础的分解，每个图的多项式形式的残留物。我们的方法是非常适合于一个cumerical实现，其一般的数学性质提供了一个有效的算法的推广的积分减少方法在微扰理论的所有订单。
Surface Kinematics and "The" Yang-Mills Integrand
本文解决了非超对称Yang-Mills理论中规范积分元定义的长期难题，提出“曲面运动学”结构方案，使积分元满足规范不变性与一致圈割，并支持任意维度递归计算。
The integrand form of infrared singularities of two-loop QCD scattering amplitudes
本文提出用局部有限主积分基表达二阶QCD散射振幅的红外奇异性，通过系统重构积分形式，为双胶子产生振幅的有限部分提供显式表达。
Causal representation of multi-loop Feynman integrands within the loop-tree duality
费曼表示中多圈散射振幅的数值计算通常需要同时处理物理（因果）和非物理（非因果）奇点。循环树对偶（LTD）提供了一个强大的框架，可以很容易地识别和区分这两种类型的奇点，然后简化分析的基础表达式。在本文中，我们的工作明确的对偶表示的多回路费曼积分产生的三个父拓扑，我们称之为极大，次极大和次极大次极大回路拓扑。特别是，我们的目标是表达这些双重贡献，独立的循环和内部配置的数量，仅在因果传播。因此，提供了非常紧凑和因果被积函数表示的所有订单。为了做到这一点，我们重建他们的解析表达式从有限域上的数值计算。这个过程隐含地抵消了所有非物理奇点。我们还解释了纠缠的因果阈值的结果。鉴于对偶表达式的简单结构，我们将它们数值积分到整数时空维度的四个循环，利用它们在被积函数级的光滑行为。
Two-Loop Amplitude Reduction with HELAC
本文介绍将HELAC框架扩展至双圈振幅计算的最新进展，提出覆盖从圈拓扑生成到递推关系构建的自动化双圈被积函数算法，并初步探讨了将双圈振幅约化至主积分基的新方法。
Lotty -- The loop-tree duality automation
阐述了新的制定的循环树的对偶性，我们介绍了Mathematica软件包Lotty，后者在多循环级别自动化。通过研究Lotty的特点和回顾前人的研究，我们讨论了任意多圈振幅的表示都可以在被积函数的层次上以一种只显示物理信息的形式出现，我们称之为多圈Feynman被积函数的因果表示.为了阐明Lotty在这一自动化中的作用，我们回顾了被积函数的对偶表示的计算结果，直到四个循环。同样，在Lotty框架内，我们提供了支持的全循环因果表示最近由同一作者。在双环平面和非平面拓扑中研究了Lotty生成的被积函数的数值稳定性，并进行了数值积分，与已知结果进行了比较.
On BCFW shifts of integrands and integrals
本文首先将Britto-Cachazo-Feng-Witten（BCFW）树级在壳递归关系推广到任意圈阶的散射振幅的被积函数和积分。令人惊讶的是，它表明，大BCFW移位限制的被积体具有相同的结构，在任何最低限度的耦合杨米尔斯理论在四维或多维的相应的树水平的振幅。这意味着这些被积函数可以从它们的“单割”的子集重构。主要的工具是powercounting费曼图在一个特殊的光锥规范选择较早在树的水平Arkani-Hamed和卡普兰。研究了被积函数位移与积分位移之间的关系。两个特定的来源之间的差异的积分和被积函数确定相关的紫外和红外发散。这是交叉检查与已知的结果，螺旋度等振幅在一个循环。壳上剩余的性质在每个单一的切割奇点的被积函数的评论。几个自然现象和进一步研究的机会出现了。
Constructing d-log integrands and computing master integrals for three-loop four-particle scattering
我们计算所有的主积分的无质量的三圈四粒子散射振幅的过程，如双射流或双光子生产在大型强子对撞机。我们提出了我们的结果中的Laurent展开的积分的维数调节器高达8 $^{\text{th}}$权力，与系数表示的谐波多项式。作为主积分的基础，我们选择只有对数极点的被积函数的积分-称为$d$对数形式。这一选择大大方便了随后的计算通过微分方程的方法。我们详细介绍了如何通过一个改进的算法最初开发的作者之一，获得这个基础。我们提供了这个算法的一个公共实现。我们解释了如何自然地应用在统一的上下文中的算法。此外，我们分类我们的$d$日志形式根据其软和共线属性。
Automated one-loop calculations with GoSam
在这次演讲中，程序包GOSAM，它可以用于自动计算的单圈振幅的多粒子过程。被积函数是根据费曼图生成的，可以通过d维被积函数级分解或张量约简或两者的组合来约简。通过各种例子，我们表明，GOSAM可以产生单圈振幅的QCD和电弱理论，模型文件的理论超越标准模型可以链接以及。
Efficient integrand reduction for particles with spin
与自旋粒子的散射振幅被示出分解成多个副本的简单的构建块的所有循环的订单，这可以被用来有效地减少这些振幅的总和超过标量积分。该方法清晰地揭示了非物理运动学奇异性的缺失，揭示了主积分及其系数之间的新的一致性关系。得到了纯Yang-Mills理论中五胶子二圈和四胶子三圈平面散射振幅的解析结果，以及导致更高阶奇异性的解析结果.
Framework for a novel mixed analytical/numerical approach for the computation of two-loop $N$-point Feynman diagrams
讨论了一个用双积分表示和计算双环$N$ -点费曼图的框架。被积函数是“广义单循环型”多点函数乘以简单的加权因子。这两个变量的最后积分是数值计算，而被积函数中的成分，特别是“广义单循环型”函数，是解析计算的。这个想法是说明了几个例子的标量三点和四点功能。
The loop-tree duality at work
本文综述了环树对偶方法的最新发展，着重讨论了单圈积分和散射振幅对偶表示的环被积函数的奇异性。我们表明，在循环树对偶方法中，在被积函数级，对应的对偶表示的不同组成部分之间的奇异性是部分抵消的。剩余的阈值和红外奇异性被限制在回路动量空间的有限区域内，该区域的大小与外部动量相同，并且可以映射到实修正的相空间以消除软发散和共线发散。
Adaptive Integrand Decomposition
我们提出了一个简化的被积函数减少算法的多回路散射振幅在$d = 4 - 2ε$维度，它利用了平行和正交的子空间，$d=d_\parallel+d_\perp$，其中$d_\parallel$的积分动量的分解是由图的腿所跨越的空间的维度。我们讨论了一个更轻的多项式除法算法的优点，以及如何Gegenbauer多项式的正交关系，可以适当地用于进行整合的不可约单项式，消除虚假积分。应用一个和两个循环的积分，任意运动学，进行了讨论。
On-the-fly reduction of open loops
在开环算法的基础上，我们引入了一种新的方法，用于自动构建单圈振幅及其减少到标量积分。其关键思想是在循环段的乘积中对单循环被积函数进行因式分解，使得在构建被积函数时可以执行各种操作。减少被积函数的飞行中，在每个段乘法，循环图的建设和减少统一在一个单一的数值递归。通过这种方式，我们完全避免了具有高张量秩的对象，从而以急剧的方式降低了计算的复杂性。由于采用了动态方法，该方法也适用于螺旋度求和和不同图表的合并，原始开环算法的速度可以以非常显著的方式进一步提高。此外，通过对二阶Gram行列式进行简单展开来解决所用约化等式的虚假奇异性，我们实现了非常高的数值稳定性。新算法的这些功能将在即将发布的OpenLoops程序中公开提供，对于NLO多分支和NNLO实-虚计算特别有吸引力。
Recursion Relations for One-Loop Goldstone Boson Amplitudes
本文构造了SU（N）非线性西格玛模型中单圈平面被积函数的递推关系。这推广了具有特殊软极限的各种量子场论中树能级振幅的软递推。主要成分是定义的单回路平面被积函数，这是固定的广义酉意义上的削减，并要求阿德勒零上的所有外部腿。我们发现，这并不唯一固定的被积函数，所以额外的约束的软行为的循环动量。我们的工作是第一步，扩展现代振幅方法的环路振幅有效场论与特殊的软限制。
Automated computation of scattering amplitudes
我们回顾了一些最新的进展，在计算单圈散射振幅，导致建设的高效和自动化的计算工具的非线性光学预测。特别注意的是致力于基于么正性的方法和整数级减少技术。单循环集成级技术的扩展到更高的订单也简要说明。
Dual-color decompositions at one-loop level in Yang-Mills theory
在这项工作中，我们将杨-米尔斯理论中的对偶颜色分解的构造扩展到单圈水平，即，给出了如何将杨-米尔斯理论中的单圈被积函数写成对偶的DDM-形式和对偶的迹-形式。在对偶形式下，对于颜色标量理论，被积函数被分解为颜色有序的单圈被积函数，并具有适当的对偶颜色系数;在对偶DDM分解中，对偶颜色系数可以直接由运动因子的Jacobi恒等式从BCJ形式得到。在对偶道分解中，对偶道因子可通过施加单圈KK关系、反射关系以及它们与运动学因子的对偶DDM形式的关系来获得。
Causal representation and numerical evaluation of multi-loop Feynman integrals
循环树对偶（LTD）已成为一种新颖的替代引导多圈散射振幅的数值计算。事实上已经发现，费曼被积函数在应用有限有限责任公司之后，显示出一种只包含物理信息的表征，即所谓的因果表征。在这次演讲中，我们讨论了多圈费曼被积函数的全圈因果表示，最近发现的描述循环拓扑，顶点和边的特征。同样，为了阐明数值稳定性有限公司integrands，我们提出的应用程序，涉及两个循环的平面和非平面三角形的数值评估存在几个运动学不变量。
Tame multi-leg Feynman integrals beyond one loop
本文提出将费曼积分重构为参数少且被积函数可控的形式，使剩余积分参数与外腿数无关，并成功高效计算六外腿两圈非平面费曼积分。
Integrands for QCD rational terms and N=4 SYM from massive CSW rules
我们使用大量的CSW规则导出明确的紧凑的表达式，在QCD中的有理项的被积与任何数量的外部腿。具体地说，我们提出了一圈全正和一负胶子振幅的全n被积。我们提取的虚假的外部气泡的贡献系统的有限的一部分，这是至关重要的积分级CSW规则在理论中没有超对称性的应用。我们的方法产生的被积体是独立的CSW参考旋量的选择，甚至在集成。此外，我们提出了一个递归推导最近提出的大规模CSW风格的顶点扩展的大规模树振幅和循环被积的库仑分支N=4 SYM。推导需要仔细研究的边界项在所有线移位递归关系，并提供了一个严格的（虽然是间接的）证明最近提出的建设大规模的振幅软限制的无质量壳振幅。我们表明，大量的顶点扩展显然保持所有的全纯和一半的反全纯超荷，由图，甚至离壳。
Hidden symmetry of four-point correlation functions and amplitudes in N=4 SYM
利用拉格朗日插值方法研究了N=4对称群中应力张量超多重态的四点关联函数。我们认为，作为N=4的超共形对称性的推论，由此产生的全圈被积函数具有一个意想不到的完全对称下的四个外部和所有的内部（积分）点的交换。仅这一点就允许我们预测的三圈关联函数的被积函数多达四个待定常数。进一步，利用振幅/关联函数对偶性，我们能够完全确定三圈被积函数在平面极限。我们执行一个独立的检查这个结果，通过验证它是一致的算子乘积展开，特别是它正确地再现了三个循环的异常尺寸的小西算子。作为研究的副产品，我们还得到了两个半BPS算子和一个Konishi算子在三圈水平上的三点函数。我们使用同样的技术，制定出一个紧凑的形式为四个循环的四点被积函数，并讨论了推广到更高的循环。
Universal Decomposition of Phase-Space Integrands
本文利用计算代数几何技术系统地进行部分分式分解，证明了次领头阶实辐射贡献的相空间积分被积函数存在与过程无关的普适基，为用主积分基分解相空间积分迈出了第一步。
Amplitudes within causal loop-tree duality
我们研究了因果循环树对偶中大规模$ϕ^3$ -理论中的标量单圈振幅。我们推导出振幅的被积函数的递推关系。被积函数是由建设免费的虚假奇异H-曲面。在考虑重整化和轮廓变形的情况下，通过Monte Carlo积分得到了积分振幅.我们已经检查了多达七点，我们的结果与分析结果一致。
Numerical integration of one-loop Feynman diagrams for N-photon amplitudes
在计算次领先级高能碰撞中红外安全可观测量的截面时，一种方法是进行所有的积分，包括数值的虚环积分。人们将使用减法方案，以类似于用于真实发射图的风格从被积函数中去除红外和共线发散。然后，我们将通过蒙特卡罗积分以及对末态动量的积分来进行回路积分。本文探讨了如何进行数值积分。我们研究了无质量电子环的N光子散射振幅，以便有一个奇异的被积函数的情况下，然而，是不是那么奇异，需要减法。我们报告N = 4，N = 5与左手耦合，N=6的结果。
The 2-loop matter power spectrum and the IR-safe integrand
大尺度结构调查可能是宇宙学信息的下一个主要探测。因此，可靠地预测它们的可观测量至关重要。大尺度结构的有效场论（EFTofLSS）为弱非线性区域提供了一种明显收敛的微扰理论，其中暗物质关联函数是在与非线性尺度knl相关的波数上的波数k的展开中计算的。为了将预测推到更高的波数，有必要计算2圈物质功率谱。对于等时微扰子，正如标准微扰理论一样，在每个图中存在IR发散，在最终结果中完全抵消。我们开发了一种方法，所有的2-循环图计算为一个积分，与被积函数，显然是免费的任何IR发散。这使我们能够以一种可靠的方式计算2回路功率谱，这种方式比标准技术在数值上的挑战性要小得多。我们应用我们的方法缩放宇宙的线性功率谱是一个单一的幂律k，和IR发散可以特别容易地干扰准确的评估环路校正，如果不小心处理。我们表明，我们的结果是独立的IR截止，并在重整化后，UV截止，并评论如何在这里提出的方法自然地推广到更高的循环。
Applications of the loop-tree duality
我们描述了一种新的方法来执行非线性光学计算，结合实和虚拟振幅在被积函数的水平，与一个完全本地补偿它们之间的IR，和虚拟的被积函数和适当定义的计数器之间的条款在UV，在这样一种方式，物理观测值可以计算在4维。该方法的优点之一是，所有的散射振幅的积分同时进行，而不需要张量减少，或投影到主积分集。因此，它可以在NLO计算的自动化方面提供很大的进步，其中实际的瓶颈是多分支过程的分析计算的复杂性和结果的数值稳定性。
Geometry and causality for efficient multiloop representations
多圈散射振幅是当前高能物理计算中的一个严重瓶颈。获得新的被积函数水平表示与光滑的行为是解决这个问题的关键，并超越精度前沿。在这次演讲中，我们描述了一种新技术，以避免非物理奇点的方式重写多圈费曼被积函数。该方法受Loop-Tree Duality（LTD）定理的启发，利用几何概念推导出任意多环多腿散射振幅的因果结构。这种表示使被积函数更加稳定，允许更快的数值模拟，并打开了QFT高阶校正的新的重新解释的路径。
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