Multi-Index Stochastic Collocation for random PDEs
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；Università di Pavia（帕维亚大学）
本文提出多索引随机摄动法（MISC）用于计算具有随机数据的PDE解的统计量，通过优化选择最有效的混合差分，提升方法效率，并分析了在最优情况下收敛率仅由确定性求解器处理一维问题的收敛率决定。
2016-07-21 cs.NA math.NA
Multilevel tensor approximation of PDEs with random data
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；University of Basel（巴塞尔大学）
本文提出一种新的低秩多级策略，用于求解随机扩散问题，通过自适应低秩张量技术近似高维差分，实现误差平衡和低秩张量格式的解表示。
2016-06-17 cs.NA math.NA
Adaptive Single- and Multilevel Stochastic Collocation Methods for Uncertain Gas Transport in Large-Scale Networks
在本文中，我们关注的是量化的不确定性，所产生的一天内的振荡，通过大规模的网络输送天然气的需求。的气体流动的短期瞬态动力学建模的层次的双曲系统的平衡法的基础上的等熵欧拉方程。我们扩展了一种新的自适应策略，解决椭圆偏微分方程的随机数据，最近提出和分析郎，Scheichl，和西尔维斯特[J.计算。物理、419：109692，2020]，不确定的气体运输问题。样本相关的自适应网格和模型的细化在物理空间中的自适应各向异性稀疏Scorpak网格在随机空间相结合。一个单级的方法，平衡的物理和随机逼近和多层次的方法，另外最大限度地减少计算成本的离散化误差被认为是。取自公共气体库的两个例子证明了从感兴趣的随机量计算的期望值的差错控制的可靠性，以及随机内插的进一步使用，例如，网络出口处的最小和最大压力值的近似密度函数。
2020-12-07 cs.CE cs.NA math.NA
On the convergence of adaptive stochastic collocation for elliptic partial differential equations with affine diffusion
证明了有限维仿射系数定常参数扩散方程的自适应配置法的收敛性。自适应算法依赖于最近推出的残差为基础的可靠的后验误差估计。对于收敛性证明，最近使用的一个策略随机Galerkin方法与分层误差估计转移到配置设置。扩展到自适应配置法的其他变体（包括T. Gerstner和M.葛里贝尔）进行了探索。
2021-06-16 cs.NA math.NA
Error estimation and adaptivity for stochastic collocation finite elements Part I: single-level approximation
提出并分析了一种求解线性椭圆型偏微分方程的自适应加密策略。该自适应策略扩展了Guignard和Nyndham在2018年引入的后验误差估计框架（SIAM J. Numer.肛门，56，3121- 3143）来覆盖具有非仿射参数系数依赖性的问题。一个次优的，但仍然可靠和方便的实施策略涉及近似的解耦PDE问题与一个共同的有限元近似空间。本文（第一部分）介绍了使用这种单级策略获得的计算结果。使用一个潜在的更有效的多级近似策略，其中网格是单独定制的，将在本工作的第二部分中讨论的结果。用于生成数值结果的代码可在GitHub上获得
2022-08-22 cs.NA math.NA
A semi-analytical collocation method for solving multi-term variable-order time fractional partial differential equations
提出了一种求解多项变阶时间分数阶偏微分方程（VOTFPDE）的新的半解析配置法。该方法采用傅里叶级数展开进行空间离散，将原始的多项VOTFPDE变换为一系列多项变阶时间分数阶常微分方程（VOTFODE）。然后，这些VOTFODE可以解决使用最近发展的向后替代方法。数值算例验证了所提出的数值方法在求解多项VOTFPDE时的准确性和有效性。
2020-07-18 cs.NA math.NA
Multilevel Methods for Uncertainty Quantification of Elliptic PDEs with Random Anisotropic Diffusion
Universität Basel（巴塞尔大学）
本文研究了具有随机各向异性扩散系数的椭圆扩散问题，通过Karhunen-Loève展开参数化随机矢量场及解，并证明多级格点和多级求积方法可降低计算复杂度，保持收敛速率。
2018-02-12 cs.NA math.NA
Point collocation with mollified piecewise polynomial approximants for high-order partial differential equations
本研究利用磨光基函数的高阶与高光滑特性，通过点配置方法求解偏微分方程，采用最小二乘法处理超定系统，数值算例验证了其在Poisson、线弹性和双调和问题上的收敛性。
2024-06-28 cs.NA math.NA
Implicit multiderivative collocation solvers for linear partial differential equations with discontinuous Galerkin spatial discretizations
Hasselt University（哈瑟尔特大学）；United States Naval Academy（美国海军学院）
本文提出了一种新的离散化方法用于不稳对流扩散方程，结合多导数时间积分器和减少未知数数量的新型离散化方法，展示了六阶完全隐式摄动方法的高精度和大时间步长能力。
2017-02-08 cs.NA math.NA
Multilevel Sparse Grid Methods for Elliptic Partial Differential Equations with Random Coefficients
Florida State University（佛罗里达州立大学）
本文提出多级稀疏网格方法，用于高效处理具有随机系数的椭圆偏微分方程，通过减少计算成本实现高精度模拟。
2014-04-08 cs.NA math.NA
A hybrid Haar wavelet collocation method for nonlocal hyperbolic partial differential equations
本文提出了一种基于有限差分和Haar小波的混合配置法求解非局部双曲型偏微分方程。由于非局部边界条件的存在，发展一种高效、精确的数值方法来求解这类问题是一项困难的任务。该方法的特点是利用给定的数据有效地处理积分边界条件。由于Haar小波的各种吸引人的性质，如封闭形式的表达，紧支撑和正交性，Haar小波被有效地用于空间离散和二阶有限差分用于时间离散。为了保证算法的收敛性，研究了算法的稳定性和误差估计.最后，数值结果与现有的一些结果进行了比较，表明所提出的方法得到的数值结果优于现有的一些结果。
2022-11-14 cs.NA math.NA
A kernel-based least-squares collocation method for surface diffusion
该研究将定常椭圆方程过测试的收敛理论推广到光滑闭曲面抛物型方程，提出采用空间配点与过测试的核基无网格线法求解曲面扩散问题，为非对称Kansa型配点法的抛物问题应用提供理论支撑。
2023-05-04 cs.NA math.NA
A discrete least squares collocation method for two-dimensional nonlinear time-dependent partial differential equations
Queensland University of Technology（昆士兰科技大学）；University of Oxford（牛津大学）；University of Wisconsin（威斯康星大学）
本文提出了一种正则化的离散最小二乘配点和有限体积方法，用于求解在不规则域上二维非线性时变偏微分方程。通过在背景矩形（插值）网格上定义张量积三次样条基函数来近似解，从而实现高空间精度和简便的实现，并为扩展到三维问题奠定了坚实基础。采用半隐式时间步进方法将非线性偏微分方程转换为线性边界值问题。研究发现，基于圆形控制体积的新的无网格有限体积方法在半径趋于零时退化为配点方法。两种方法在每个时间步进中都产生一个大规模的约束最小二乘问题。发现正则化可以产生相对良好条件的系统，可以使用QR分解准确求解。进行了广泛的数值研究以展示现有方法的有效性，包括将新方法应用于具有不同分数指数的耦合时间分数偏微分方程组，这些分数指数分布在解域的不同（不规则形状）区域中。
2019-04-26 cs.NA math.NA
Optimal preconditioners for nonsymmetric multilevel Toeplitz systems with application to solving non-local evolutionary partial differential equations
研究提出一种针对非对称多级Toeplitz系统的对称正定多级Tau预条件子，应用于非局部演化偏微分方程的时间并行求解，实现了与网格无关的最优收敛。
2024-09-24 cs.NA math.NA
Convergence of adaptive stochastic collocation with finite elements
本文研究具有随机扩散参数的椭圆偏微分方程，采用随机配置与有限元离散，并证明了自适应丰富参数空间与细化网格算法的收敛性。
2025-05-31 cs.NA math.NA
Accelerating stochastic collocation methods for partial differential equations with random input data
University of Tennessee（田纳西大学）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
本文提出并分析了一种通用加速技术，用于降低使用随机置信方法求解具有随机输入数据的偏微分方程的计算复杂度，通过利用SC插值的构造加速确定性解集，提升迭代求解器的初始近似。
2015-05-04 cs.NA math.NA
A Multilevel Monte Carlo Virtual Element Method for Uncertainty Quantification of Elliptic Partial Differential Equations
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；University of Vienna（维也纳大学）
本文提出一种基于虚拟元离散化的多级蒙特卡洛虚拟元方法，用于求解具有随机扩散系数的椭圆偏微分方程，通过减少最细层级所需样本数来降低计算成本，验证了方法的收敛性和效率。
2026-04-15 cs.NA math.NA
Convergence of meshfree collocation methods for fully nonlinear parabolic equations
该研究在粘性解框架下证明了全非线性抛物型偏微分方程终值问题的无网格配点法的收敛性，条件为终端条件与非线性项的基函数逼近在各时间步成立，并通过径向基函数数值实验验证了该结论。
2025-10-30 cs.NA math.NA
Multilevel quadrature for elliptic parametric partial differential equations in case of polygonal approximations of curved domains
Universität Bonn（波恩大学）；Fraunhofer Institute for Algorithms and Scientific Computing (SCAI)（弗劳恩霍夫算法与科学计算研究所）；Universität Basel（巴塞尔大学）；Università della Svizzera italiana（瑞士意大利语大学）
本文研究了在曲线域多边形近似情况下，利用多重级次求积方法高效求解椭圆参数偏微分方程的问题，通过稀疏张量积近似空间变量与参数之间的关系，提出了一种基于稀疏网格构造的反向多重级次求积方法，并分析了多边形近似对物理域的影响及双线性形式的数值近似。
2018-12-31 cs.NA math.NA
A spectral collocation method for elliptic PDEs in irregular domains with Fourier extension
基于Fourier延拓，提出了一种求解任意非规则区域上变系数椭圆型偏微分方程的过采样配置法.该方法只利用等距节点上的函数值，计算量小，通用性强。虽然各种数值实验来证明这种方法的有效性，它表明，逼近误差迅速达到一个平台，随着自由度的增加，由于固有的病态框架。
2022-11-11 cs.NA math.NA
A Multivariate Spline based Collocation Method for Numerical Solution of Partial Differential Equations
本文提出一种基于多元多项式样条的配点法，用于求解泊松方程和非散度形式二阶椭圆型偏微分方程，并通过二维、三维数值实验及与已有方法的比较，证明其高效且精度相当或更优。
2023-04-17 cs.NA math.AP math.NA
Development of a New Spectral Collocation Method Using Laplacian Eigenbasis for Elliptic Partial Differential Equations in an Extended Domain
National Taiwan University（台湾大学）
本文提出一种保留解正则性的新谱摄动法，通过在扩展域中定义基函数，有效控制收敛性，适用于复杂几何问题的求解。
2018-03-07 cs.NA math.NA
On the Stability of Some Spline Collocation Implicit Difference Scheme
Institute for System Dynamics and Control Theory, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院西伯利亚分院系统动力学与控制理论研究所）
针对具有多重特征曲线的线性偏微分代数方程组边值问题，通过样条配置方法构造了各变量任意逼近阶的差分格式，并给出了其绝对稳定的充分条件。
2013-03-26 cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximations of high-dimensional semilinear partial differential equations with locally monotone coefficient functions
半线性抛物型偏微分方程（PDE）的全历史递推多层Picard逼近方法是唯一能证明克服维数灾难的方法，如果系数函数和非线性项是全局Lipschitz连续的，且非线性项是梯度无关的.本文将这一结果推广到局部单调系数函数。我们的结果涵盖了一系列的多项式系数函数的半线性偏微分方程。
2022-04-28 cs.NA math.NA math.PR
Approximation of Stochastic Partial Differential Equations by a Kernel-based Collocation Method
Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）
本文提出基于核配点法（无网格逼近方法）的理论框架，用于估计高维随机偏微分方程的解，并通过隐式时间步进将随机抛物型方程转化为椭圆型方程，数值实验验证了方法的可行性。
2012-09-07 cs.NA math.NA math.PR
A compressive spectral collocation method for the diffusion equation under the restricted isometry property
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
本文提出了一种压缩谱摄动法用于偏微分方程的数值近似，该方法基于谱Sturm-Liouville近似和在随机点上强形式的摄动，利用压缩感知原理。在扩散方程的情况下，证明了在合适假设下，压缩谱摄动法的矩阵满足压缩感知的限制等距性质，同时通过数值示例展示了其在降低计算成本的同时保持高精度的能力。
2018-10-16 cs.NA math.NA
L1-ROC and R2-ROC: L1- and R2-based Reduced Over-Collocation methods for parametrized nonlinear partial differential equations
重复求解某些参数化的偏微分方程（pPDE）的繁重任务，例如在优化背景下，使得在不牺牲任何精度的情况下设计更有效的数值求解器势在必行。减少基础法就是这样一种选择。通过数学上严格的误差估计，RBM在参数诱导的高保真解流形的精心构建的子空间中寻求代理解。利用离线-在线分解过程，它可以将效率提高几个数量级。然而，这种分解，通常通过经验插值方法（EIM）时，偏微分方程是非线性的或其参数依赖非仿射，是具有挑战性的实现，或严重降低在线效率。在本文中，我们增加和扩展的EIM方法的上下文中解决pPDE在两种不同的方式，从而减少过配置法（ROC）。这些是稳定的，并且能够避免直接应用EIM所固有的效率降低。这些方法有两个组成部分。第一种策略是在近似两倍于代理空间的基数的位置上进行配置。第二个是一个有效的方法，为战略选择的参数值，以建立减少的解决方案空间，我们研究了两个选择，最近的经验L1的方法和一个新的指标的基础上减少的残差。总之，这两个成分使计划，L1-ROC和R2-ROC，在线有效和免疫的非线性和非仿射问题离线和在线EIM的效率下降。对三类不同非线性问题的数值试验表明了新算法的高效性、准确性和优越的稳定性。
2019-06-18 cs.NA math.NA
A stochastic collocation approach for parabolic PDEs with random domain deformations
Boston University（波士顿大学）
本文研究了如何通过随机置信法近似依赖于线性抛物型偏微分方程解的量的统计矩，其中几何形状被随机参数化，并通过等价的确定性域和随机系数进行重新映射，推导了随机矩的收敛率并与数值实验进行比较。
2019-05-28 cs.NA math.NA
Unraveled Multilevel Transformation Networks for Predicting Sparsely-Observed Spatiotemporal Dynamics
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
在本文中，我们解决的问题，预测复杂的，非线性时空动态时，可用的数据记录在不规则间隔稀疏的空间位置。大多数用于建模时空动态的现有深度学习模型要么是针对规则网格中的数据设计的，要么是努力从稀疏和不规则间隔的数据站点中揭示空间关系。我们提出了一个深度学习模型，该模型使用来自稀疏分布数据站点的数据来学习预测未知的时空动态。我们基于径向基函数（RBF）配点法，这是经常用于无网格解偏微分方程（PDE）。RBF框架允许我们解开观察到的时空函数，并学习RBF空间上的数据站点之间的空间相互作用。然后，学习的空间特征用于组成原始观测的多级变换，并预测其在未来时间步长中的演变。我们使用合成和真实世界的气候数据证明了我们的方法的优势。
2022-03-16 cs.CE cs.LG cs.NA
An investigation of global radial basis function collocation methods applied to Helmholtz problems
全局径向基函数（RBF）配置法是求解偏微分方程（PDE）的一类具有无限光滑基函数的方法，它适用于一般几何条件下，且对光滑解函数具有指数收敛性质.同时，对于大量的未知数和决定基函数平坦程度的形状参数的小值，出现的线性系是稠密的和严重病态的。我们以Helmholtz方程作为应用问题进行了理论分析和数值实验。我们分析和证明了收敛性作为未知数的函数和不同的形状参数范围。我们提供了理论结果的PDE解决方案的平坦极限和调查时，非对称配置矩阵成为奇异的。我们还提供了实用的策略选择的方法参数和评估结果亥姆霍兹问题在弯曲波导的几何形状。
2020-01-29 cs.NA math.NA
Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of Allen-Cahn partial differential equations via truncated full-history recursive multilevel Picard approximations
高维非线性偏微分方程的近似解是应用数学中最具挑战性的问题之一。像有限差分或有限元这样的标准确定性近似方法在计算工作量在维度上呈指数增长的意义上遭受维度灾难。在这项工作中，我们克服了这一困难的情况下，反应扩散型偏微分方程的局部Lipschitz连续coervice非线性（如艾伦-卡恩偏微分方程），通过引入和分析截断变量最近推出的全历史递归多级皮卡德近似计划。
2019-07-15 cs.NA math.AP math.NA
Spline-Based Stochastic Collocation Methods for Uncertainty Quantification in Nonlinear Hyperbolic PDEs
针对基于广义多项式混沌的随机配置方法难以捕捉非线性双曲PDE不连续解、易产生吉布斯振荡的问题，提出采用保形样条插值的替代方法，通过数值算例验证其在准确量化不确定性同时抑制振荡的优势。
2024-08-21 cs.NA math.NA
Isogeometric collocation on planar multi-patch domains
我们提出了一个基于配置的等几何框架来构造一个$C^2$光滑近似的解决方案的泊松方程在平面双线性参数化多补丁域。所使用的全局$C^2$ -光滑离散空间的偏微分方程的建设是简单的，并一致适用于所有可能的多补丁配置。$C^2$ -光滑空间的基可以描述为对应于多片域的单片、边和顶点的三种不同类型的局部支集函数的跨度。对于配置点的选择，这是重要的配置问题的稳定性和收敛性，两种不同的选择进行了数值研究。第一种方法采用张量积Greville横坐标作为配置点，并显示了多补丁的情况下相同的收敛行为为一个补丁的情况[2]，这是次优的，特别是奇数样条度。第二种方法推广了超收敛点的概念，从一个补丁的情况下（参见。[1，15，32]）到多补丁的情况。再次，这些点具有更好的收敛性能比Greville横坐标的情况下，奇样条度。
2019-10-04 cs.NA math.NA
Adaptive Ch Method with Local Coupled Multiquadrics for Solving Partial Differential Equations
针对偏微分方程求解问题，在覆盖-节点框架下提出基于LCMQs的自适应Ch方法，通过先调局部覆盖尺寸C再细化节点间距h达预设容差，经泊松问题验证精度好且为真正无网格方法。
2025-11-18 cs.NA math.NA
Kernel-based collocation methods for heat transport on evolving surfaces
本研究针对演化表面上的对流-扩散偏微分方程求解问题，提出两类基于核的无网格配点算法，分别适配参数方程定义和点云形式的演化表面，经验证可正确求解高曲率、不连续初值条件下的相关问题。
2019-06-04 cs.NA math.NA
Numerical study of Galerkin-collocation approximation in time for the wave equation
本文提出一种基于Galerkin-配位的高阶时空有限元方法，用于波动方程的时间隐式逼近，旨在结合Galerkin精度与配位方法低计算成本，并通过数值实验验证其精度与效率。
2019-05-13 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo methods for highly heterogeneous media
University of Bath（巴斯大学）
研究多层蒙特卡罗方法在随机系数椭圆偏微分方程中的应用，扩展分析至张量值系数和点评估，并涵盖对数正态随机系数。
2012-06-07 cs.NA math.NA
A two-level stochastic collocation method for semilinear elliptic equations with random coefficients
Southwest Jiaotong University（西南交通大学）；Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）；Purdue University（普渡大学）；Washington State University（华盛顿州立大学）
本文提出一种两级随机插值方法，用于求解具有随机系数的半线性椭圆方程，通过粗网格低阶插值与细网格高阶插值结合，实现计算效率提升，理论证明其精度与传统方法相当。
2016-11-29 cs.NA math.NA
Adaptive Multilevel Monte Carlo Methods for Stochastic Variational Inequalities
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文提出基于确定性自适应网格细化的自适应多级蒙特卡罗有限元方法，用于求解路径问题，并通过数值实验验证了方法的理论和效率。
2017-12-19 cs.NA math.NA
Extreme learning machine collocation for the numerical solution of elliptic PDEs with sharp gradients
本文介绍了一种基于机器学习的数值方法，利用一组S形函数来近似求解椭圆型偏微分方程的配置问题。我们表明，一个前馈神经网络与一个单一的隐层与sigmoidal函数和固定的，随机的，内部的权重和偏见，可以用来准确地计算配置解决方案。固定内部权重和偏差的选择导致了所谓的极端学习机器网络。我们讨论了如何确定内部权重和偏差的范围，以获得一个良好的下划线近似空间，我们探讨了所需的配置点的数量。我们证明了所提出的方法的效率与几个一维扩散-平流-反应问题，表现出陡峭的行为，如边界层。边界条件直接作为配点方程施加。我们指出，没有必要训练网络，因为所提出的数值方法导致线性问题，可以很容易地使用最小二乘法解决。数值结果表明，该方法具有较好的精度.最后，我们比较了所提出的方法与有限差分，并指出显着的改进，在计算成本方面，从而避免了耗时的训练阶段。
2020-12-11 cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximation algorithm for semilinear partial integro-differential equations and its complexity analysis
本文提出一种用于半线性抛物型偏积分微分方程的多层 Picard 逼近算法，证明其收敛到唯一粘性解，并给出多项式复杂度上界以避免维度灾难，最高在万维数值算例中验证了有效性。
2025-03-12 cs.NA math.NA math.PR
Adaptive meshfree approximation for linear elliptic partial differential equations with PDE-greedy kernel methods
本文研究椭圆型偏微分方程边值问题的无网格近似，提出了一组推广的PDE-greedy选择准则，分析了近似误差界与收敛速率，并证明目标数据相关算法收敛更快且能缓解维度灾难。
2025-01-23 cs.NA math.NA
On the approximation of the solution of partial differential equations by artificial neural networks trained by a multilevel Levenberg-Marquardt method
INPT-IRIT, University of Toulouse and ENSEEIHT（INPT-IRIT，图卢兹大学和ENSEEIHT）；ISAE-SUPAERO, University of Toulouse（ISAE-SUPAERO，图卢兹大学）
本文研究了利用人工神经网络近似偏微分方程解的问题，提出了一种多级Levenberg-Marquardt方法用于训练，通过数值实验展示了该方法在训练人工神经网络时的高效性。
2019-04-09 cs.LG cs.NA math.NA
Bounds-constrained finite element approximation of time-dependent partial differential equations
本文针对有限元方法无法保证界约束的问题，提出结合变分不等式与配置型龙格-库塔方法的新格式，实现时空高阶且约束一致满足，并给出多个数值算例验证。
2025-06-20 cs.NA math.NA
Exploiting Inexact Computations in Multilevel Monte Carlo and Other Sampling Methods
Heidelberg University（海德堡大学）；Charles University（查理大学）
本文研究多层抽样中的不精确计算，提出自适应确定各离散层最低精度的 MLMC 算法，并在椭圆型 PDE 中证明低精度求解可带来最高 3.5 倍内存收益和 1.5 倍 FLOPs 加速。
2025-09-30 cs.NA math.NA stat.CO
An adaptive multilevel Monte Carlo algorithm for the stochastic drift-diffusion-Poisson system
提出了一种求解具有非零复合率的随机漂移-扩散-Poisson系统的自适应多层Monte Carlo算法。估计后验误差以使得能够针对空间维度进行面向目标的自适应网格细化，而估计先验误差以保证$H^1$误差的\red{linear}收敛。在自适应网格细化中，误差指示符的有效估计产生更好的差错控制。对于随机维数，我们使用多层蒙特卡罗方法来解决这个系统的随机偏微分方程。最后，这里开发的技术相比，均匀网格细化的优势进行了讨论，使用一个现实的数值例子。
2020-05-22 cs.NA math.NA
Two-level a posteriori error estimation for adaptive multilevel stochastic Galerkin FEM
研究了一类参数椭圆型偏微分方程（PDE），其中方程的系数和右端函数依赖于无穷多个（不确定）参数.我们引入了一个两级后验估计来控制这类偏微分方程问题的多级随机伽辽金近似的能量误差。我们证明了两层估计总是为未知的逼近误差提供一个下界，而上界等价于一个饱和假设。我们提出并实证比较三种自适应算法，其中利用估计器的结构来执行空间细化以及参数富集。本文还讨论了实现方面的计算多级随机Galerkin近似。
2021-03-17 cs.NA math.NA
Discontinuous collocation and symmetric integration methods for distributionally-sourced hyperboloidal partial differential equations
针对Dirac δ等分布源的线性双曲偏微分方程，提出将离散源转为全域源并采用保持时间反演对称性的间断感知时间步进器，通过分布源波动方程验证其适用性。
2023-08-15 astro-ph.HE cs.NA gr-qc
On Symmetric Kernel Collocation for Nonlinear PDEs
Saarland University（萨尔兰大学）；University of Stuttgart（斯图加特大学）
研究非线性偏微分方程，将其转化为最优恢复广义插值问题，在RKHS中分析收敛性，提出残差贪婪策略选点，数值实验表明该策略能使偏微分方程残差更小。
2026-07-08 cs.NA math.NA
Deep collocation method: A framework for solving PDEs using neural networks with error control
提出一种基于单隐层神经网络构建基函数的自适应深度配置法，通过配置最小二乘和渐进误差指示器求解偏微分方程，实现了高精度与鲁棒性。
2025-03-07 cs.NA math.NA
Numerical simulations for full history recursive multilevel Picard approximations for systems of high-dimensional partial differential equations
高维非线性偏微分方程（PDE）的求解是应用数学中最具挑战性的问题之一。特别地，很难开发出不受维数灾难影响的近似算法，因为算法计算精度近似$ε> 0$所需的计算操作的数量在所需精度的倒数$1/ε$和PDE的维数$d \in \mathbb{N}$中最多多项式增长。最近，一种新的近似方法，所谓的全历史递归多层次Picard（MLP）近似方法，已被引入，直到今天，这种近似方案是唯一的近似方法在科学文献中已被证明克服灾难的维数在一般时间范围的半线性偏微分方程的数值逼近。本文的一个重要贡献是将MLP近似方法推广到半线性偏微分方程系统，并在几个例子上进行了数值测试。更具体地说，我们建议的MLP近似方法的情况下，艾伦-卡恩偏微分方程，正弦戈登型偏微分方程，耦合半线性热偏微分方程系统，半线性布莱克-斯科尔斯偏微分方程在多达1000个维度。所呈现的数值模拟结果表明，在这些示例PDE中的每一个的情况下，所提出的MLP近似方法在短运行时间内产生非常准确的结果，并且特别地，所呈现的数值模拟结果表明，所提出的MLP近似方案显著优于用于高维半线性PDE的某些基于深度学习的近似方法。
2020-05-25 cs.NA math.NA
Rank adaptive tensor recovery based model reduction for partial differential equations with high-dimensional random inputs
ShanghaiTech University（上海科技大学）
本文提出了一种基于秩自适应张量恢复的系统降维方法，用于处理具有高维随机参数的偏微分方程模型。通过核主成分分析在降维空间中构造随机格点近似，针对高维随机输入问题开发了新的高效秩自适应张量恢复方法，并提出了非凸优化问题中的新高效初始化策略，建立了总体降维方法的数学框架，分析了其稳定性，并通过数值实验展示了其效率。
2019-02-14 cs.NA math.NA
An adaptive stochastic Galerkin method based on multilevel expansions of random fields: Convergence and optimality
本文研究了二阶椭圆型偏微分方程的随机Galerkin方法。它结合了随机变量的算子压缩和空间变量的基于树的样条小波逼近。依赖于给定的随机扩散系数的多级扩展，该方法被证明可以实现最佳的计算复杂性的对数因子。与现有的结果相比，这尤其适用于当可实现的收敛速度受限于随机场的规则性，而不是受限于空间近似阶。数值实验证明了算法的收敛性和复杂性.
2022-06-01 cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximations and deep neural networks with ReLU, leaky ReLU, and softplus activation overcome the curse of dimensionality when approximating semilinear parabolic partial differential equations in $L^p$-sense
Division of Mathematical Sciences, School of Physical and Mathematical Sciences, Nanyang Technological University, Singapore（数学科学系，物理与数学科学学院，南洋理工大学，新加坡）；Faculty of Mathematics, Bielefeld University, Germany（数学学院，比勒菲尔德大学，德国）
研究证明，多级皮卡尔近似与具有ReLU、leaky ReLU和softplus激活函数的深度神经网络能以L^p意义近似半线性Kolmogorov PDE解，且计算复杂度和参数数量随维度和精度要求呈多项式增长。
2026-03-23 cs.LG cs.NA math.NA
