Representations of the mapping class group of a non-orientable surface
Ferit Deniz, Wilhelm Singhof
通过考虑闭不可可定向曲面的适当的有限覆盖空间，构造了其映射类群在某些大算术群中具有有限指数像的线性表示.
By considering appropriate finite covering spaces of closed non-orientable surfaces, we construct linear representations of their mapping class group which have finite index image in certain big arithmetic groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Mapping class groups of non-orientable surfaces for beginners
本文件是主要针对非专家的小型培训班的笔记。目的是为可定向曲面的映射类群理论提供一种初步的方法。
Abelian subgroups of the mapping class groups for non-orientable surfaces
Birman-Lubotzky-McCarthy证明了可定向曲面的映射类群的任一阿贝尔子群都是可定向生成的.我们应用Birman-Lubotzky-McCarthy的论点的映射类群的非可定向曲面。特别地，我们发现了一个与给定的映射类群的无挠子群同构的有限生成群。
Simple infinite presentations for the mapping class group of a compact non-orientable surface
本研究针对紧致不可定向曲面的映射类群，在已有无限表示的基础上，提出了更简单的多种无限表示形式，推进了该群的表示理论研究。
The first homology group with twisted coefficients for the mapping class group of a non-orientable surface of genus three with two boundary components
对于亏格为3的具有两个边界分支的可定向曲面$N$的映射类群，确定了$H_1(N;\mathbb{Z})$中系数为的第一同调群.
The first homology group with twisted coefficients for the mapping class group of a non-orientable surface with boundary
本文计算了带穿孔和/或边界的不可定向曲面各类映射类群在H_1(N;Z)系数下的第一同调群。
The proper geometric dimension of the mapping class groups of non-orientable surfaces with punctures
本文研究带孔洞非可定向曲面完全映射类群的proper几何维数，证明其与虚拟上同调维数在除有限低复杂度情形外一致，并给出例外情形的显式界。
Generating twist subgroup of mapping class group of non-orientable surface by involutions
设$N_{g}$表示亏格$g$的闭不可可定向曲面，${\mathcal M} _g$表示$N_{g}$的映射类群.令${\mathcal T} _g$表示${\mathcal M} _g$的扭曲子群，它是由所有Dehn扭曲生成的${\mathcal M} _g$的子群。本文证明了${\mathcal T} _g$是由$g \geq 16$或$g = 14$的六个对合生成的。
Ergodic actions of mapping class groups on moduli spaces of representations of non-orientable surfaces
本文研究了映射类群对可定向曲面的基本群在SU（2）中表示的模空间的作用。该行动被证明是遍历相对于一个自然措施。此测量值是使用与由曲面组的表示定义的映射相关联的前推测量值来定义的。”张云飞信誓旦旦的说道。这个结果是Goldman关于可定向曲面的早期结果的推广。
Torsion normal generators of the mapping class group of a non-orientable surface
证明了阶数大于2的非可定向曲面的映射类群的任意周期元的正规闭包都包含换位子群，对于$g\geq 7$，交换子群等于扭曲子群，并给出了对合的正规闭包包含扭曲子群的充要条件.最后，给出了周期单元正常生成$\mathcal{M}(N_g)$的判据，并给出了实例。
A presentation for the mapping class group of a non-orientable surface from the action on the complex of curves
本文研究了映射类群M（F）在可定向曲面F的曲线复形上的作用。利用K. S. Brown，M（F）的一个表示，它是用曲线集的互补曲面的映射类群来定义的，只要F不是散点的，即F的曲线复形是单连通的.我们还计算每个零星表面的映射类群的有限表示。
Small dilatation pseudo-Anosov mapping classes coming from the simplest hyperbolic braid
本文研究了由单3-流形的圆上的纤维化产生的最小伸缩伪Anosov映射类，即“最简单伪Anosov辫”的映射环面。所得到的结果包括亏格g= 2，3，4，5，8的可定向映射类的最小亏格以及g = 2，4（mod 6）时的Lanneau和Thiffeault的可定向映射类的最小亏格.当g = 4，6，8时，可定向映射类的最小伸缩严格大于不可定向映射类的最小伸缩.
Property $P_{\text{naive}}$ for non-orientable big Mapping Class Groups
本文提出可定向大映射类群子群满足性质 $P_{\ ext{naive}}$ 的判据，并借助定向二重复盖推广至不可定向无限型曲面映射类群。
Generating the mapping class group of a non-orientable punctured surface by involutions
用$N_{g,n}$表示亏格为$g$的不可定向闭曲面，用${\mathcal N}_{g,n}$表示$N_{g,n}$的映射类群. Szepietowski证明了${\mathcal N}_{g,n}$是由多个对合生成的。在他的生成集中元素的数量线性地依赖于$g$和$n$。在$n=0$的情况下，Szepietowski发现了一个对合生成集，其元素的数量不依赖于$g$，表明${\mathcal N}_{g,0}$是由四个对合生成的。在这篇论文中，我们证明了当$n \geq 0$是奇数时，${\mathcal N}_{g,n}$是由8个对合生成的，当$g \geq 14$是偶数时，是由11个对合生成的。
An infinite presentation for the mapping class group of a non-orientable surface
给出了可定向曲面的映射类群的无限表示。生成集由所有德恩扭曲和所有crosscap推动地图沿着简单的循环。
An infinite presentation for the twist subgroup of the mapping class group of a compact non-orientable surface
Stukow给出了由所有Dehn扭曲生成的紧致非可定向曲面的映射类群的子群的有限表示。本文主要利用Stukow和Birman正合列在非可定向曲面的映射类群上给出的表示，给出了这一群的无限表示.
A presentation for the mapping class group of the closed non-orientable surface of genus 4
对于任意可定向的紧致曲面F，已知映射类群M（F）的有限表示。如果F是不可定向的，那么只有当F的亏格至多为3且边界分量很少时，才知道这种表示。本文从亏格4的闭非可定向曲面在所谓的曲线序复形上的作用出发，得到了它的映射类群的有限表示。
Finiteness of mapping degree sets for 3-manifolds
本文通过构造某些映射，完成了以下问题的回答：对于哪一个闭可定向三维流形$N$，映射度集$cD(M,N)$对于任何闭可定向三维流形$M$都是有限的？
An infinite presentation for the mapping class group of a non-orientable surface with boundary
给出了具有边界分量的可定向曲面的映射类群的无限表示。该演示文稿是第二作者[15]给出的演示文稿的概括。
The level $d$ mapping class group of a compact non-orientable surface
本研究探讨紧非定向曲面的level $d$映射类群与$\u274c$的level $d$主同余子群的关系，给出了对应映射类群的正规生成集与部分情形下的有限生成集。
A class function on the mapping class group of an orientable surface and the Meyer cocycle
本文在亏格为$g$的曲面$Σ_{g,2}$的映射类群$\mathcal{M}_{g,2}$上定义了一个$\mathbf{QP}^1$值类函数.令$E$为裤子$P$上的$Σ_{g,2}$束。将环和$P$的乘积沿着每个纤维的边界粘到$E$上，我们得到$P$上的闭曲面丛。通过将$P$和两个圆盘的乘积粘到$E$上，我们得到了另一个闭曲面丛。我们的类函数的符号上限制了$\mathcal{M}_{g,2}$上的2-上循环，该上循环由$P$上这两个表面丛的签名之差定义。
A minimal generating set of the level 2 mapping class group of a non-orientable surface
构造了亏格$g$的不可定向曲面的第二层映射类群的极小生成集，并确定了它对$g\ge4$的阿贝尔化.
The proper geometric dimension of the mapping class group of an orientable surface with punctures
本文证明了带穿孔可定向闭曲面全映射类群的真正作用紧上分类空间维数等于其虚拟上同调维数，并推得全球面辫群的真正几何维数。
Generating the twist subgroup of the level $2$ mapping class group of a non-orientable closed surface
本文为不可定向闭曲面的映射类群中由Dehn扭转生成且在Z2同调上平凡作用的子群，构造了两个小生成集。
A small generating set for the twist subgroup of the mapping class group of a non-orientable surface by Dehn twists
本文给出了可定向曲面的映射类群的扭曲子群的小生成集。生成元的个数与德恩扭群的生成元个数的下界之差为1。从Hirose [5]的一个论证中得到了它的下界。
First integral cohomology group of the pure mapping class group of a non-orientable surface of infinite type
本文计算亏格至少为3的无限拓扑型的非可定向曲面的纯映射类群的首次积分上同调。为了这个目的，我们还证明了其他几个已知的结果，如亚历山大方法的存在性，事实上，映射类群是同构的曲线图的自同构群的曲线图的拓扑刚性，和结构的纯映射类群作为波兰集团和半直积。
Homological stability for the mapping class groups of non-orientable surfaces
证明了非可定向曲面的映射类群的同调随曲面的亏格稳定。结合Madsen和Weiss最近的工作，我们得到了非可定向曲面的稳定映射类群的分类空间，直到同调同构为止，是R^{n+2}中2-平面的Grassmannian上的典范丛所构成的Thom谱的无限闭路空间.特别是，我们表明，稳定的有理上同调是一个多项式代数的发电机在度4 i-这是非定向模拟的芒福德猜想。
Mapping class group orbit closures for non-orientable surfaces
设$S$是一个具有负欧拉示性数且为有限型的连通不可可定向曲面。本文描述了Teichmüller空间中的测量层、射影测量层和点的映射类群轨道在$\mathcal M\mathcal L$和$\mathcal P\mathcal M\mathcal L$中的可能闭包.特别是，我们得到的封闭在$\mathcal M\mathcal L$的加权双边曲线集的一个特征。
Minimal Generation of Mapping Class Groups: A Survey of the Orientable Case
本文综述了可定向面映射类群的最小生成问题，探讨了从经典结果到最新突破的生成集发展，包括通过三个反交换元生成特定面群的最新结果。
Embeddings of braid groups into mapping class groups and their homology
构造了辫群到可定向和不可可定向曲面的映射类群中的几类嵌入，证明了它们在可定向情形下诱导平凡映射的稳定同调，而在不可定向情形下不诱导平凡映射的稳定同调.我们发现，这些嵌入是非几何意义上的标准生成器的辫群没有映射到德恩扭曲。
Farrell cohomology of the pure mapping class group of non-orientable surfaces
本文针对带标记点的非可定向曲面纯映射类群，通过分类 p 阶子群共轭类并推广曲面核满同态的拓扑等价概念，确定了奇素数 p 情形下亏格为 p 的 Farrell 上同调的 p-准素分量。
On the dimension of the mapping class groups of a non-orientable surface
设$\mathcal{N}_g$为不可定向闭曲面的映射类群。证明了当$g\neq 4,5$时，$\mathcal{N}_g$的真上同调维数、真几何维数和虚上同调维数相等.特别地，存在用于维度$\mathrm{vcd}(\mathcal{N}_g)=2g-5$的适当动作的$\mathcal{N}_g$的分类空间的模型。对于具有边界和可能的穿孔的非可定向曲面的映射类群，以及具有穿孔和不具有边界的非可定向曲面的纯映射类群，得到了类似的结果.
Injective homomorphisms of mapping class groups of non-orientable surfaces
设$N$是亏格$ρ$的紧致、连通、不可定向曲面，具有$n$边界分支，具有$ρ\ge 5$和$n \ge 0$，$\mathcal{M} (N)$是$N$的映射类群.证明了：若$\mathcal{G}$是$\mathcal{M} (N)$的有限指数子群，且$φ: \mathcal{G} \to \mathcal{M} (N)$是单射同态，则存在$f_0 \in \mathcal{M} (N)$使得对所有$g \in \mathcal{G}$都有$φ(g) = f_0 g f_0^{-1}$.我们推导出$\mathcal{M} (N)$的抽象表示符与$\mathcal{M} (N)$一致。
A finite generating set for the level 2 twist subgroup of the mapping class group of a closed non-orientable surface
得到了闭非可定向曲面的映射类群的2级扭曲子群的有限生成集。该生成集由沿非分离的双边简单环的crosscap推映射和沿非分离的双边简单闭曲线的Dehn扭曲的平方构成。证明了亏格$g=3$和亏格$g\geq 5$的水平2扭子群在映射类群中由沿非分离的双边简单环的横截推映射正规生成.作为应用，我们计算了亏格$g\geq 5$和$g=3$的2级扭子群的第一同调群.
Braid groups of the projective plane, mapping class groups of non-orientable surfaces and algebraic K-theory of their group rings
该研究刻画了3弦实射影平面辫群及3标记点实射影平面映射类群整群环的低次代数K理论，并给出了k≥3个标记点的不可定向曲面映射类群群环的代数K理论群一般公式。
The Torsion Generating Set Of The Dehn Twist Subgroups Of Non-orientable Surfaces
设$N_g$是亏格为$g$的不可可定向曲面，$\text{MCG}(N_g)$是$N_g$的映射类群，$\mathcal{T}(N_g)$是由$\text{MCG}(N_g)$的所有Dehn扭曲生成的指数为2的子群.证明了对于奇亏格，$\mathcal{T}(N_g)$可以由三个有穷级元生成.
Curves on non--orientable surfaces and crosscap transpositions
设$N_{g,n}$是亏格为$g$的具有一个边界分支的$n$-穿孔不可可定向曲面.对于$g\geq 2$，$N_{g,n}$的映射类群的生成元之一是交叉覆盖转置。本文给出了广义Dynnikov坐标下交叉换位及其逆在$N_{g,n}$中多重曲线集上作用的显式公式。
A normal generating set for the Torelli group of a non-orientable closed surface
对于一个闭曲面$S$，它的Torelli群$\mathcal{I}(S)$是$S$的映射类群的子群，该映射类群由平凡地作用在$H_1(S;\mathbb{Z})$上的元素组成。当$S$可定向时，$\mathcal{I}(S)$的生成集是已知的。本文给出了$g\geq4$的$\mathcal{I}(N_g)$的正规生成集，其中$N_g$是亏格- $g$不可定向闭曲面。
Generating the mapping class group by three involutions
证明了亏格$g$的闭连通可定向曲面的映射类群是由$g\geq 6$的三个对合生成的.
On endomorphisms of surface mapping class groups
证明了可定向曲面的映射类群到有限指数子群上的每一个自同态都是自同构。
The limit set of non-orientable mapping class groups
该研究围绕几何有限无限协体积Fuchsian群与紧不可定向曲面映射类群的猜想类比，从正反两方面提供证据，证实Gendulphe猜想的大部分内容，同时指出猜想中的凸核不具备拟凸性。
Finiteness of nonzero degree maps between three-manifolds
本文证明了每一个可定向闭3-流形都以非零度映射到至多1/2个同胚不同的不可约非几何可定向闭3-流形上。此外，给定任意非零整数，作为一个直到符号的映射度，每个可定向闭3-流形都以该映射度映射到仅1/2个同胚不同的可定向闭3-流形上。
On visualization of the linearity problem for mapping class groups of surfaces
本文给出了可定向曲面的映射类群的两类线性条件：一种是一次穿孔曲面，另一种是闭曲面。对于一次穿孔的情况下，该条件被描述在相应的闭曲面的基本群的线性表示的变形空间上的映射类群的作用。对于闭曲面，该条件用本质简单闭曲线在相应曲面上的合痕类所生成的向量空间来描述。后一个条件也描述了紧致可定向曲面的映射类群的线性性。
Periodicity of the pure mapping class group of non-orientable surfaces
证明了亏格为$g\geqslant 2$的不可定向闭曲面的纯映射类群$\mathcal{N}_{g}^{k}$具有$p$ -周期上同调，对于每个奇素数$p$，$\mathcal{N}_{g}^{k}$具有$p$ -挠.利用Yagita不变量和由$p$阶子群表示得到的上同调类，得到了当$g\geqslant 3$和$k\geqslant 1$满足时，$p$ -周期小于或等于$4$.此外，结合Nielsen实现定理和$p$ -周期的一个刻画，证明了当$\mathcal{N}_{g}^{k}$有$p$ -周期上同调、$g\geqslant 3$和$k\geqslant 0$时，$\mathcal{N}_{g}^{k}$的$p$ -周期由$4$下界.这些结果部分回答了G.希望和你。蒂尔曼
Co-orientable taut foliations in Dehn fillings of pseudo-Anosov mapping tori with co-orientation-reversing monodromy
研究了伪Anosov映射筒Dehn填充后可定向紧致叶面的存在性，证明了特定斜率下填充后存在可定向紧致叶面，并给出了相关例子。
Automorphisms of braid groups on orientable surfaces
本文计算了辫群$\mathbf{P}_n(Σ)$和$\mathbf{B}_n(Σ)$在每一个可定向曲面$Σ$上的自同构群$\operatorname{Aut}(\mathbf{P}_n(Σ))$和$\operatorname{Aut}(\mathbf{B}_n(Σ))$，除少数情况外，它们同构于扩张映射类群$\mathcal{M}^*_n(Σ)$的群扩张.证明了除非$Σ$是二次穿孔球面，否则$\mathbf{P}_n(Σ)$总是$\mathbf{B}_n(Σ)$的特征子群，且$n=2$是二次穿孔球面.
Generators for the mapping class group of a nonorientable surface
本文证明了不可可定向曲面的映射类群的Szepietowski生成元系是由Dehn扭和$Y$ -同胚构成的极小生成元集。
Statistical convex-cocompactness for mapping class groups of non-orientable surfaces
本研究证明不可定向曲面模空间的有限体积形变收缩核具有类凸核性质，其映射类群在其上的作用为统计凸紧的，结合已有结果推导出轨道点增长、伪Anosov元泛性及遍历性等结论，证明依赖复杂度长度概念。
A Chord Diagrammatic Presentation of the Mapping Class Group of a Once Bordered Surface
Ptolemy广群是一个组合广群，它是由标记三价胖图上的基本移动生成的，具有三种关系。通过Teichmüller空间的胖图分解，证明了Ptolemy广群是Teichmüller空间的基本路广群的一个映射类群等变子群，其对象为一个离散集.特别是，它导致一个无限的，但组合简单，介绍了映射类群的可定向曲面。本文以弦滑为生成元，利用五种关系，用标记线性弦图给出了具有一个边界分支的可定向曲面的Ptolemy广群的全映射类群等变子广群.我们还介绍了这种演示文稿的双重版本，它具有某些应用程序的优势，其中之一是。
Embeddings and the (virtual) cohomological dimension of the braid and mapping class groups of surfaces
本文利用无边界紧致连通不可可定向曲面N的辫群和映射类群与其可定向双覆盖S的辫群和映射类群之间的关系，研究了这些群的嵌入及其（虚）上同调维数。我们首先推广了Birman和Chillingworth以及Gonçalves和Guaschi的结果，证明了N相对于k点子集的映射类群MCG（N ; k）嵌入到S相对于2k点子集的映射类群MCG（S; 2k）中.然后，我们计算所有紧凑的，连接的非球面的无边界的辫群的上同调维数。最后，当N的亏格大于或等于2时，给出了MCG（N ; k）的虚上同调维数的上界.
Finiteness of 3-manifolds associated with non-zero degree mappings
本文证明了一个关于所有三维流形的$\partial$ -模式的gut分解的有限性结果，该分解是通过沿着一个封闭的不可压缩曲面分裂一个给定的可定向的、不可约的和$\partial$ -不可约的三维流形而得到的.然后利用Thurston范数，我们推导出由一个给定的紧致3-流形支配的所有3-流形的JSJ-片，直到同胚，属于紧致3-流形的有限集合。我们还证明了在$S^3$中，任何闭的可定向3-流形只支配2/3个整同调球面，任何紧致的可定向3-流形只支配2/3个纽结的外部.
The symplectic representation of the mapping class group is unique
从亏格$g\geq 3$的可定向曲面的映射类群到$\GL(2g,\C)$的任何非平凡同态都共轭于标准辛表示。证明了在小于或等于$3g-3$的维数上，映射类群没有忠实的线性表示.
Birman-Hilden theory for big mapping class groups
本文研究了无限类型表面的分岔覆盖映射的Birman-Hilden性质，并展示了非定向无限类型表面的映射类群可作为其定向双覆盖映射类群的子群。
Isomorphisms between big mapping class groups
我们证明了可定向无限型曲面的映射类群之间的任何同构都是由曲面之间的同胚诱导的。我们的论点还适用于这些“大”映射类群的有限指数子群之间的自同构，并表明每个有限指数子群有有限的外自同构群。作为一个关键成分，我们证明了所有的单纯自同构之间的曲线复形的无限型可定向曲面诱导同胚。
The Birman exact sequence for 3-manifolds
研究了紧致$3$ -流形的Birman正合列，得到了流形的映射类群与消去一个内点所得到的子流形的映射类群之间的关系的完整图象.这涵盖了可定向流形和不可定向流形。
A spine for the decorated Teichmüller space of a punctured non-orientable surface
本文为带穿孔非可定向曲面的装饰 Teichmüller 空间构造骨架，证明形变收缩关于纯映射类群等变，并给出单穿孔情形下最小维数的真作用分类空间模型。
Effective mapping class group dynamics III: Counting filling closed curves on surfaces
我们证明了一个定量估计与节能误差项的数量填充闭测地线地线的给定的拓扑型和长度$\leq L$上的任意封闭，定向，负曲面。更一般地说，我们证明了估计同类的自由同伦类的填充闭曲线的给定的拓扑型的封闭的，可定向曲面，其几何相交数相对于一个给定的填充测地线电流是$\leq L$。的证明依赖于最近取得的进展上的有效动力学的映射类群的Teichmüller空间和空间的闭曲线的封闭，可定向曲面的研究，并介绍了一种新的方法来解决计数问题的映射类群轨道，自然会产生省电的错误条款。该方法也被应用于研究关于Thurston非对称度量的Teichmüller空间的映射类群轨道的计数问题。
On squares of Dehn twists about non-separating curves of a non-orientable closed surface
可定向闭曲面的层次$2$映射类群可以由非分离曲线的Dehn扭曲的平方生成。另一方面，不可定向闭曲面$N_g$的水平$2$映射类群$\mathcal{M}_2(N_g)$不能仅由Dehn扭曲生成，因此它不能由关于非分离曲线的Dehn扭曲的平方生成.本文证明了$\mathcal{M}_2(N_g)$的Dehn扭子群也不能由关于非分离曲线的Dehn扭的平方生成。作为应用，我们给出了关于分离曲线的Dehn扭生成的$\mathcal{M}_2(N_g)$子群和关于非分离曲线的Dehn扭的平方生成的$\mathcal{M}_2(N_g)$子群的有限生成集.此外，我们还研究了$\mathcal{M}_2(N_g)$对$N_g$的非分离简单闭曲线的作用。
Superinjective Simplicial Maps of Complexes of Curves and Injective Homomorphisms of Subgroups of Mapping Class Groups II
设R是亏格为g的紧致连通可定向曲面，具有p个边界分支.设C（R）是R上的曲线复形，Mod_R^* 是R的扩张映射类群.假设g = 2且p > 1或g > 2且p >= 0。证明了从C（R）到C（R）的单纯映射lambda是超内射的当且仅当它是由R的同胚诱导的.作为推论，我们证明了：如果K是Mod_R^* 的有限指数子群，f是K到Mod_R^* 的单同态，则f是由R的同胚诱导的，并且f对Mod_R^* 的自同构有唯一的扩张.这将作者以前关于亏格至少为3的闭连通可定向曲面的结果推广到曲面R上。
On 2-convex non-orientable surfaces in four-dimensional Euclidean space
本文证明四维欧几里得空间中满足顶点度至多五的2-凸闭曲面（光滑或多面体）具有到二维环面的度为1的映射，并由此推出射影平面和克莱因瓶不能2-凸嵌入$E^4$。
All finite groups are involved in the Mapping Class Group
设$Γ_g$表示亏格$g\geq 1$闭可定向曲面的保向映射类群。本文证明了对于固定的$g$，每个有限群都是$Γ_g$的有限指数子群的商.
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