Global existence for the confined Muskat problem
本文证明了具有有限深度（受限）的稳定Muskat问题的Lipschitz连续解的整体存在性，初值满足与振幅、斜率和深度有关的小性条件.该论点的基础是，对于这些\emph{small}初始数据，振幅和斜率在所有正时间内保持一致有界。我们注意到，对于其中一些解，斜率可以增大，但仍然有界。这与无限深的情况非常不同，在无限深的情况下，解的斜率满足最大值原理。我们的工作推广了以前的结果，其中的深度是无限的。
2014-02-28 math.AP
Global solutions for the Muskat problem in the scaling invariant Besov space $\dot B^1_{\infty, 1}$
研究了具有任意粘度差的单相和两相Muskat问题。它们是关于图的自由边界的拟线性抛物型方程。证明了在尺度不变的齐次Besov空间$\dot B^1_{\infty, 1}$中，小数据点的解是唯一的.证明利用了一个新的结构的狄利克雷-诺依曼算子，使我们能够实现一个强大的不动点参数。作为该方法的结果，仅假设初始数据在$\dot B^1_{\infty, 1}$中，并且解映射在相同拓扑中是Lipschitz连续的。对于一般的Muskat问题，唯一已知的标度不变结果是在严格包含在$\dot B^1_{\infty, 1}$中的Wiener代数（加上$L^2$假设）中获得的。
2021-03-26 math.AP
Global well-posedness for the three dimensional Muskat problem in the critical Sobolev space
本文通过新的问题表述捕捉三维稳定 Muskat 问题的隐藏振荡特性，在临界 Sobolev 空间中证明了只要 $\dot H^2$ 半范数足够小即可获得全局适定性，首次允许 Lipschitz 半范数任意大，突破了以往小斜率限制。
2024-05-03 math.AP
Global in Time Estimates for Multi-phase Muskat Problem
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
本文研究多相Muskat问题在密度取n+1个不同常数值时的全局时间衰减估计，通过线性化分析和非线性项控制，得到比经典情况更慢的衰减率。
2026-07-02 math.AP
Well-posedness of the Muskat problem with $H^2$ initial data
本文研究了二维多孔介质中两种不可压缩流体界面的动力学行为，其流动由Muskat方程模拟。对于两相Muskat问题，我们建立了全局适定性和衰减到平衡的小$H^2$扰动的休息状态。对于单相Muskat问题，我们证明了局部适定性的$H^2$初始数据的任意大小。最后，我们表明，解决方案的Muskat方程瞬间变得无限光滑。
2014-12-24 math.AP
Global regularity for 2D Muskat equations with finite slope
本文研究了不可压缩多孔介质中两个常密度流体界面的二维Muskat方程，其速度由达西定律给出。我们建立，只要两种流体之间的界面的斜率保持有界和一致连续，解决方案仍然是定期的。证明利用非局部非线性抛物方程的性质，通过一系列的非线性下界的非局部运营商。这些被用来推断，只要界面的斜率保持一致有界，曲率保持有界。然后，非线性边界允许我们获得局部存在的任意大的初始数据类$W^{2,p}$，$1<p\leq \infty$。我们进一步提供了一个小的初始数据的全局正则性结果：如果界面的初始斜率足够小，存在唯一的解决方案的所有时间。
2015-07-06 math.AP
Global self-similar solutions for the 3D Muskat equation
本文证明了同黏度异密度流体下三维Muskat方程全局自相似解的存在性，给出其初始数据形态与解的差值估计，并借助新的函数空间估计完成证明。
2025-07-30 math.AP
On the Cauchy problem for the Muskat equation. II: Critical initial data
本文证明了在$L^2$中具有三个半导数的Lipschitz函数的临界空间中，Muskat方程的Cauchy问题对任意初始值都是时间上的局部适定性.此外，我们还证明了在小性假设下，解在时间上是全局存在的。
2021-03-03 math.AP
Duchon-Robert solutions for the Rayleigh-Taylor and Muskat problems
我们构造分析解的欧拉方程与两种流体之间的接口，扩展Duchon和罗伯特的工作。我们还表明，估计Duchon和罗伯特产量全球分析解的Muskat问题的小初始数据。
2013-09-06 math.AP
On the global existence for the Muskat problem
Muskat问题模拟了具有不同恒定密度的两种不可压缩不混溶流体之间的界面的动力学。在这项工作中，我们证明了三个结果。首先，我们证明了一个$L^2(\R)$最大值原理，在一个新的“日志”守恒律\eqref{ln}的形式是满足的方程\eqref{ec1d}的界面。我们的第二个结果是证明了满足$\|f_0\|_{L^\infty}<\infty$和$\|\partial_x f_0\|_{L^\infty}<1$的初始数据的Lipschitz连续解的整体存在性。我们利用的事实，即绑定$\|\partial_x f_0\|_{L^\infty}<1$传播的解决方案，这授予强大的紧凑性相比，日志守恒律。最后，我们证明了唯一强解的整体存在性结果，如果初始数据小于一个显式可计算常数，例如$\| f\|_1 \le 1/5$。以前的这类结果使用了一个小的常数$ε\ll1$，这是不明确的。
2010-07-21 math.AP
On The Muskat Problem With Viscosity Jump: Global In Time Results
Muskat问题模拟了两种不同特性的不可压缩不混溶流体在多孔介质中的过滤。在本文中，我们考虑两种不同的恒定密度和不同的恒定粘度的流体的二维和三维设置。在这种情况下，有关的轮廓方程是非局部的，不仅在发展系统中，而且在涡度振幅和自由界面之间的隐式关系。在其他额外的困难中，没有最大值原理可用于$L^\infty$中界面的振幅和斜率。我们证明了临界空间中中等大小初始稳定数据的全局时存在性结果。我们还增强了以前的方法，显示平滑（即时解析性），提高了3D中的介质尺寸常数，以及分析规范的急剧衰减率。发现的技术是双重的，给不适定性非常低的正则解在不稳定的情况下。
2017-12-19 math.AP
Global Regularity for Gravity Unstable Muskat Bubbles
在本文中，我们研究了达西定律所支配的多孔介质中的流体动力学：Muskat问题。我们考虑两种不同密度和粘度的不混溶流体在重力的影响下，其中一种流体完全被另一种流体包围的设置。这种设置是重力不稳定的，因为沿着界面的一部分，密度较大的流体必须在另一个之上。令人惊讶的是，即使没有毛细现象，圆形气泡也是以由流体之间的密度跳跃确定的垂直恒定速度移动的稳态溶液。利用我们发现的这种稳定状态，我们能够证明全球在时间上的存在性和唯一性的动态气泡的近圆形形状的表面张力的影响下。我们证明了低正则性初始数据的全局存在性结果。此外，我们证明了这些解决方案是即时分析和指数衰减快的时间圆。
2021-06-03 math.AP
On the Cauchy problem for the Muskat equation with non-Lipschitz initial data
本文主要研究Muskat方程的Cauchy问题。我们认为初始数据属于临界索伯列夫空间的函数与三个半导数在$L^2$，分数对数校正。作为推论，我们得到了非Lipschitz初始自由曲面的第一个局部和整体适定性结果。
2020-09-09 math.AP
Note on the dissipation for the general Muskat problem
我们认为耗散的Muskat问题，我们给一个令人惊讶的不等式的Constantin-Cordoba-Gancedo-Strain持有更大的一般性的一个初等证明。
2022-10-10 math.AP
On Nonlinear Stability of Muskat Bubbles
本文提出一种气泡自适应公式，显著精简证明，并获得了临界正则性下二维重力-毛细 Muskat 气泡的全局适定性结果。
2023-12-21 math.AP
Well-posedness for viscosity solutions of the one-phase Muskat problem in all dimensions
本文将积分微分方程的粘性解理论应用于单相Muskat方程，证明了在所有维度下相应Hamilton-Jacobi-Bellman方程在特定初始条件下的全局适定性。
2025-05-02 math.AP
On a generalized Muskat type problem
我们证明了多维Muskat型初边值问题的可解性。所提出的描述多孔介质中非均质流输运现象的数学模型依赖于Brinkman方程的广义公式。
2014-04-09 math.AP
Mixing solutions for the Muskat problem with variable speed
我们提供了一个快速证明的存在性混合弱解的Muskat问题的可变混合速度。我们的证明是相当短的，并扩展了以前的结果在\cite{ccf:ipm}和\cite{fsz:ipm}。
2020-05-18 math.AP
The Muskat problem with $C^1$ data
本文证明了在$\dot C^1(\mathbb{R}^d)\cap L^2(\mathbb{R}^d)$中，Muskat方程的Cauchy问题对任意初始值都是局部适定的.
2021-12-23 math.AP
Growth in the Muskat problem
我们回顾了最近的一些结果Muskat问题模拟多相流在多孔介质中。此外，我们证明了一个新的正则性准则的初始数据在临界空间（$\dot{W}^{1,\infty}$和$\dot{H}^{3/2}$）的一些范数。
2019-03-30 math.AP
Porous media: the Muskat problem in 3D
Muskat问题涉及两种不可压缩流体在多孔介质中的过滤。本文将讨论三维空间中Rayleigh-Taylor条件与初界面拓扑的关系，以证明其在索伯列夫空间中的局部存在性。
2010-05-19 math.AP
Bounded weak solutions to the thin film Muskat problem via an infinite family of Liapunov functionals
薄膜Muskat问题是一个具有交叉扩散的二阶退化抛物型方程组，本文构造了一个可数无穷Liapunov泛函族。更精确地说，对于每n个$\ge$ 2，我们构造一个n次齐次多项式，它在[0，$\infty$）^2上是凸的，其性质是它的积分是该问题的李雅普诺夫泛函。在一维空间中证明了整体有界非负弱解的存在性。
2021-10-04 math.AP
Rayleigh-Taylor breakdown for the Muskat problem with applications to water waves
Muskat问题模拟了多孔介质中两种不同流体界面的演化。Rayleigh-Taylor条件是自然达到线性稳定的Muskat问题。我们表明，瑞利-泰勒条件最初可能会举行，但打破在有限的时间。作为所用方法的结果，我们证明了水波转向的存在性。
2011-06-10 math.AP
Finite speed of propagation and waiting time for a thin film Muskat problem
建立了两相Muskat问题薄膜近似非负弱解的有限传播速度。支持度的时间扩展率与系统的尺度不变性相匹配。此外，我们确定的初始数据的等待时间现象发生的充分条件。
2015-09-30 math.AP
Coercivity of the Dirichlet-to-Neumann operator and applications to the Muskat problem
本文研究了具有Lipschitz边界的带状半空间域上的Dirichlet-to-Neumann算子。证明了由Dirichlet-to-Neumann算子生成的二次型控制着某些尖锐的齐次分数Sobolev范数。作为应用，我们证明了在\cite{DGN}中构造的单相Muskat问题的全局Lipschitz解在任何Hölder范数$C^α$，$α\in (0, 1)$中随时间指数衰减.
2022-11-11 math.AP
A note on stability shifting for the Muskat problem
在这份说明中，我们表明，存在的解决方案的Muskat问题，转移稳定的政权：他们开始不稳定，然后变得稳定，最后返回到不稳定的政权。我们还展示了中等大小的$L^{\infty}$规范的衍生物的初始条件，开发一个转向奇点的解决方案的数值证据。
2015-02-06 math.AP
Well-posedness and stability results for some periodic Muskat problems
我们研究了二维Muskat问题在水平周期性设置和任意密度和粘度的流体。我们表明，在表面张力效应的存在下，Muskat问题是一个拟线性抛物型问题是适定的索伯列夫空间$H^r(\mathbb{S})$的每个$r\in(2,3)$。当忽略表面张力效应时，Muskat问题是一个完全非线性的发展方程，在Rayleigh-Taylor条件满足的区域内是抛物型的。然后，我们建立了适定性的Muskat问题的开子集的$H^2(\mathbb{S})$定义的Rayleigh-Taylor条件。此外，我们确定了所有的平衡解，并研究了平凡和小指形平衡点的稳定性。此外，其他定性性质的解决方案，如抛物线平滑，爆破行为，并为全球存在的标准进行了概述。
2018-04-27 math.AP
On the Two-Dimensional Muskat Problem with Monotone Large Initial Data
我们考虑多孔介质中具有不同密度的两种不可压缩不混溶流体的演化，称为Muskat问题[21]，其在二维中类似于Hele-Shaw单元[26]。对于一类单调的大初值问题，我们证明了整体弱解的存在性。证明是基于一个局部适定性结果的初始数据与某些特定的渐近在空间无穷远和一个新的最大值原理的一阶导数的图形功能。
2016-09-24 math.AP
On the parabolicity of the Muskat problem: Well-posedness, fingering, and stability results
在本文中，我们认为在一个周期性的几何形状的Muskat问题，并将毛细管以及重力效应的建模。利用这一性质证明了问题的适定性，并建立了平坦平衡点的指数稳定性。利用分歧理论，我们也发现手指形的稳定状态，都是不稳定的。
2011-09-21 math.AP
The domain of parabolicity for the Muskat problem
我们解决的Muskat问题的适定性在一个周期性的几何形状，并在一个设置，使我们能够考虑一般的初始和边界数据，重力效应，以及表面张力的影响。在没有表面张力的情况下，我们证明了瑞利-泰勒条件确定了一个域的抛物线的Muskat问题。这个属性用于建立问题的适定性。在表面张力效应的存在下，Muskat问题是抛物型的一般初始和边界数据。作为我们分析的一个双积，我们得到了与某些衍射问题相关的Dirichlet-Neumann型算子是小Hölder空间尺度上强连续和解析半群的负生成元.
2018-04-30 math.AP
A maximum principle for the Muskat problem for fluids with different densities
本文考虑两种不同密度的不可压缩流体按达西定律演化的流体界面问题。这种情况被称为具有相同粘度的流体的马斯卡特问题，在二维数学上类似于两相海勒-肖细胞。我们证明了在稳定的情况下（密度较大的流体在下面）自由边界的$L^\infty$范数的最大值原理。
2007-12-07 math.AP
Eventual regularization for the 3D Muskat problem: Lipschitz for finite time implies global existence
我们证明了对于任何固定的Lipschitz常数$L$，存在一个时间$L$只依赖于$L$，使得如果$f:[0,T^*]\times \mathbb{R}^{2}\to [0,1]$是具有$||\nabla_x f||_{L^\infty}\leq L$的稳定Muskat问题的经典解，则$f$唯一地扩展到一个定义为所有时间的经典解.我们的证明是简短、定量和明确的。
2020-07-06 math-ph math.AP math.MP
Self-similarity in a thin film Muskat problem
研究了两相Muskat问题的薄膜近似非负弱解的大时间行为。首先提供了自相似解的分类：总是有一个唯一的甚至自相似的解决方案，而非对称的自相似解决方案的连续存在某些流体配置。尽管这种非唯一性，收敛的所有非负弱解的自相似解决方案的证明。
2014-09-25 math.AP
A note on stability shifting for the Muskat problem II: Stable to Unstable and back to Stable
在这篇文章中，我们证明了存在Muskat问题的解决方案，这些解决方案在以下意义上改变了稳定制度：它们开始稳定，然后变得不稳定，最后回到稳定制度。这证明了存在双稳定性转移的方向相反，在[科尔多瓦，戈麦斯-塞拉诺，兹拉托，一个说明稳定性转移的马斯卡特问题。腓翻译罗伊。Soc. A，373（20140278），2015]
2015-12-08 math.AP
Mixing solutions for the Muskat problem
本文证明了在完全不稳定区域中，不可压缩多孔介质方程对于所有Muskat型$H^5$初值的混合解的存在性。该证明结合了凸积分、轮廓动力学和非光滑半经典型伪微分算子的基本微积分。
2021-03-12 math.AP
Local-existence for the Inhomogeneous Muskat problem
在这项工作中，我们研究了两种不同的渗透率的多孔介质中的两种不同的流体之间的界面的演化。当流体的自由边界由流体的密度和粘度之间的不连续性给出时，证明了索伯列夫空间中局部解的存在性。
2017-01-20 math.AP
The vanishing surface tension limit of the Muskat problem
Muskat问题，在其一般设置，涉及两个不可压缩的不同密度和粘度的多孔介质中的流体之间的界面演化。界面运动由重力和毛细力驱动，其中毛细力是由于表面张力。对于首阶，在索伯列夫空间$H^{1+\frac{d}{2}}(\mathbb{R}^d)$（其中$d$是界面的维数）中，有和无表面张力效应的Muskat问题都是标度不变的.我们证明了对于任何满足Rayleigh-Taylor条件的亚临界数据，当$\frak{s}\to 0$满足时，具有表面张力$\frak{s}$的Muskat问题的解在时间上局部以速率$\sqrt{\frak{s}}$收敛到不具有表面张力的Muskat问题的唯一解。这允许初始界面具有无界或甚至不是局部平方可积〔的〕。另外，若初始曲率平方可积〔的〕，则得到了以最优速度$\frak{s}$收敛的结果.
2020-12-10 math.AP
Paralinearization of the Muskat equation and application to the Cauchy problem
我们将Muskat方程线性化，得到一个具有紧致形式的显式抛物型发展方程。利用这个结果给出了具有$s>3/2$的齐次索伯列夫空间$\dot{H}^1(\mathbb{R})\cap \dot{H}^s(\mathbb{R})$中粗糙初值Cauchy问题的局部适定性的一个简单证明.本文基本上是独立的，并不依赖于一般的结果paradifferential微积分。
2019-07-03 math.AP
Global well-posedness of the one-phase Muskat problem with surface tension
Brown University（布朗大学）
本文研究了具有表面张力的单相Muskat问题的全球适定性，证明了初始数据足够小的情况下，问题存在唯一的全局强解，并在时间趋于无穷时解在Lipschitz范数下收敛于零。
2026-05-07 math.AP physics.flu-dyn
Semiclassical estimates for pseudodifferential operators and the Muskat problem in the unstable regime
我们得到了具有低正则符号的伪微分算子的新的半经典估计。这样的符号自然出现在柯西问题相关的最近弱解的不稳定的Muskat问题通过凸积分构建在[CCF 16]。特别是，我们的新的估计揭示了紧密的关系之间的速度开放的混合区和规律性的相间。
2021-04-08 math.AP
Global well-posedness for the one-phase Muskat problem in 3D
Brown University（布朗大学）；Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）；University of Maryland（马里兰大学）
本文针对三维单组分Muskat问题，利用Dahlberg-Kenig的层势最优正则性等关键工具，证明了其周期Lipschitz初始数据下存在唯一全局时间强解，且解的Hölder范数随时间指数衰减，将二维相关结果推广到了三维情形。
2026-08-04 math.AP
Rigorous thin film approximations of the one-phase unstable Muskat problem
本文研究重力与表面张力驱动下单相不稳定Muskat问题，利用深度平均公式推导出经典与新型精细薄膜方程两种渐近近似，并证明了低正则初始数据下向原始解的最优收敛阶。
2023-04-03 math.AP
Non-splat singularity for the one-phase Muskat problem
对于水波方程，splat奇点的存在性已在[3]中得到证明，即，界面在有限时间内沿弧自相交。本文的目的是证明在多孔介质中的不可压缩流体动力学不存在splat奇点。
2015-02-23 math.AP
The existence of a smooth interface in the evolutionary elliptic Muskat--Verigin problem with nonlinear source
研究了具有非线性源的椭圆型方程的两相Muskat-Verigin自由边界问题.通过对自由边界上的一个条件进行抛物正则化，证明了光滑解和光滑自由边界的存在性。
2013-07-02 math.AP
A thin film approximation of the Muskat problem with gravity and capillary forces
非负弱解的存在性示出的薄膜近似的Muskat问题考虑重力和毛细作用力。该模型描述了两个流体层高度的时空演化，是一个完全耦合系统的两个四阶退化抛物方程。存在性证明依赖于这样一个事实，即该系统可以被看作是在有限二阶矩的概率测度空间中的2-Wasserstein距离的梯度流。
2012-06-25 math.AP
Exact solutions to a Muskat problem with line distributions of sinks and sources
考虑了在表面张力可忽略的假设下，两相Hele-Shaw问题，即Muskat问题的演化.我们使用Schwarz函数的方法，并允许汇和源线分布与位于外部和内部域，两相母体的不相交的支持。我们给出了精确解的例子时，接口属于某一家庭的代数曲线，定义的初始形状的边界，尖点的形成没有发生。
2017-08-10 math.AP
Large Time Decay Estimates for the Muskat Equation
我们证明了在二维和三维的Muskat方程的解决方案的时间衰减。在\cite{JEMS}和\cite{CCGRPS}中，作者引入了规范$\|f\|_{s}(t)= \int_{\mathbb{R}^{2}} |ξ|^{s}|\hat{f}(ξ)| \ dξ$来证明Muskat问题解的整体存在性。在本文中，对于3D麝香猫问题，给定初始数据$f_{0}\in H^{l}(\mathbb{R}^{2})$为一些$l\geq 3$，使$\|f_{0}\|_{1} < k_{0}$为一个常数$k_{0} \approx 1/5$，我们证明了在时间上的一致的$\|f\|_{s}(t)$为$-d < s < l-1$和假设$\|f_{0}\|_ν < \infty$，我们证明了时间衰减估计的形式$\|f\|_{s}(t) \lesssim (1+t)^{-s+ν}$为$0 \leq s \leq l-1$和$-d \leq ν< s$。这些大时间衰减率与线性Muskat方程的最佳速率相同。我们也证明了类似的结果在二维。
2016-11-10 math.AP
On a local solvability of the contact Muskat problem
本文研究二维接触Muskat问题在零表面张力下的局部经典可解性，针对界面与固定边界成锐角的初值情形证明了一对一可解性，并给出了等待时间现象存在的充分条件。
2024-11-22 math.AP
The porous medium equation as a singular limit of the thin film Muskat problem
薄膜Muskat问题的奇异极限是在较轻流体的密度（可能还有粘度）为零时进行的，多孔介质方程被确定为极限问题。特别是，密度较大的流体的高度被示出为朝向多孔介质方程的解收敛，并且在空间维度d $\le$ 4中提供了这种收敛的显式速率。此外，在一定的制度，并通过相应的初始条件给出了较轻的流体的高度的限制。
2021-08-20 math.AP
Global well-posedness for the 2D stable Muskat problem in $H^{3/2}$
我们证明了一个唯一的强解的整体存在性结果，在$\dot H^{5/2} \cap \dot H^{3/2}$与小$\dot H^{3/2}$半规范的2D Muskat问题，因此允许接口有任意大的有限斜率和有限的能量（由于$L^{2}$最大值原理）。证明是基于使用一个新的配方的Muskat方程，涉及振荡项。然后，在齐次Besov空间中小心地使用插值不等式允许我们关闭{ \emph{a priori} }估计。
2020-05-18 math-ph math.AP math.FA
The multiphase Muskat problem with general viscosities in two dimensions
本文研究了重力作用下垂直均匀多孔介质中三种具有一般粘度的不混溶流体运动的二维多相Muskat问题。采用Rellich类型的身份在该政权的流体是根据其粘度，分别是一个诺依曼系列参数时，流体是不有序的粘度，我们可以重铸的控制方程作为一个强耦合的非线性和非局部演化问题的函数parameterized分离的流体尖锐的接口。如果在每个界面上都满足Rayleigh-Taylor条件，则该问题是抛物型的。基于这一性质，我们证明了多相Muskat问题在所有的$L_2$ -亚临界索伯列夫空间中是适定的，并且它具有一些抛物光滑性质.
2022-02-24 math.AP
Interface evolution: the Hele-Shaw and Muskat problems
本文研究了由达西定律导出的二维不可压流动界面的发展方程。自由边界由流体密度和粘度之间的不连续性给出。这个物理场景被称为二维Muskat问题或两相Hele-Shaw流。我们证明了局部存在的索伯列夫空间时，最初，在正常方向上的压力梯度的差异有适当的标志，这也被称为瑞利-泰勒条件的假设。
2008-06-13 math.AP
Splash singularities for the one-phase Muskat problem in stable regimes
本文证明了在稳定状态下Muskat问题的有限时间奇异性的形成。我们发现的框架是一个干燥的区域，其中密度和粘度设置为等于$0$（压力梯度等于$(0,0)$）在流体域的补充。奇点是飞溅型的：光滑的流体边界由于两个不同的粒子在一个点上碰撞而崩溃。这是抛物问题的飞溅奇点的第一个例子。
2015-02-07 math.AP
The confined Muskat problem: differences with the deep water regime
本文研究了两种不同密度的不可压缩流体在多孔条$\RR\times[-l,l]$中的界面演化。这个问题被称为Muskat问题，类似于两相Hele-Shaw细胞。本文的主要目的是比较流体无边界运动时的模型和流体受限时的模型之间的定性性质。我们发现，在一个精确的意义上，边界降低扩散率和系统变得更加奇异。
2013-01-18 math.AP
