Approximating minimum representations of key Horn functions
Horn函数是布尔函数的一个子类，作为一种通用工具出现在计算机科学和数学的许多不同领域，用来描述蕴涵和依赖关系。寻找最小尺寸的表示，这些功能相对于最常用的措施是一个计算困难的问题，仍然很难，即使是重要的子类的关键霍恩功能。在本文中，我们提供了对数因子近似算法的关键霍恩函数的所有措施，在文献中研究的问题是已知的困难。
2019-03-22 cs.DB cs.DS
Approximating the Expected Values for Combinatorial Optimization Problems over Stochastic Points
考虑随机几何模型，其中每个节点的位置是给定度量空间中的随机点，或者每个节点的存在是不确定的。本文研究了随机点上的几个组合优化或几何优化问题的期望长度的计算问题，包括最近对、最小生成树、$k$ -聚类、最小完美匹配和最小圈覆盖。我们还考虑了估计最接近对的长度或直径至多或至少是给定阈值的概率的问题。上述问题中的大多数已知是$\sharpP$ -难的。我们得到FPRAS（完全多项式随机逼近方案）的存在和位置不确定性模型中的大多数。我们的随机最小生成树的位置不确定模型的结果改进了以前已知的常数因子近似算法。我们对其他问题的结果是我们所知的第一个。
2015-02-17 cs.DS
Approximating the Minimum Equivalent Digraph
MEG（最小等价图）问题是给定一个有向图，寻找一个小的边子集，使节点之间保持所有的可达关系。这个问题是NP难的。本文给出了一种性能保证为pi^2/6 ~ 1.64的近似算法。该算法及其分析基于收缩长循环的简单思想。(This结果在“关于具有有界圈长的强连通有向图”（1996）中得到了稍微加强。）该分析直接适用于2-Exchange，一个简单的“局部改进”算法，表明其性能保证为1.75。
2002-05-18 cs.DM cs.DS
A Near-Optimal Sublinear-Time Algorithm for Approximating the Minimum Vertex Cover Size
本文给出了一个近似最优的次线性时间算法来逼近图G中最小顶点覆盖的大小。该算法可以查询其选择的任何顶点v的度deg（v），并且对于每个1 <= i <= deg（v），它可以请求v的第i个邻居。令VC_opt（G）表示G中顶点覆盖的最小大小，该算法以高的恒定成功概率输出，估计VC_estimate（G），使得VC_opt（G）<= VC_estimate（G）<= 2 * VC_opt（G）+n *n，其中n是给定的加性近似参数。我们把这样的估计称为（2，n）-估计。该算法的查询复杂度和运行时间为~O（avg_deg * poly（1/n）），其中avg_deg表示图中顶点的平均度。Yoshida et al.（STOC 2009）提出的最佳次线性算法，其查询复杂度和运行时间为O（d^4/ε ^2），其中d是图中的最大度。由于Parnas和Ron（TCS 2007），为了获得这样的估计（具有任何常数乘法因子），给定Omega（avg_deg）的下限（对于常数ω），我们的结果几乎是最优的。在图是稠密的情况下，也就是说，边的数量是Theta（n^2），我们考虑另一个模型，其中算法可以询问，对于任何一对顶点u和v，u和v之间是否有边。（2，n）-最小顶点覆盖的大小的估计，其查询复杂度和运行时间为~O（n）* poly（1/n）。
2011-10-05 cs.DS
Approximating the Regular Graphic TSP in near linear time
本文提出了一种计算无向正则图中旅行推销员行程的随机近似算法。给定一个$n$ -顶点，$k$ -正则图，该算法以高概率在$O(nk \log k)$时间内计算出长度最多为$\left(1+\frac{7}{\ln k-O(1)}\right)n$的路线.这改进了Vishnoi（\cite{Vishnoi12}，FOCS 2012）针对同一问题的最新结果，包括近似因子和运行时间。我们的算法的关键成分是一种技术，使用边着色算法采样周期覆盖$O(n/\log k)$周期具有高概率，在近线性时间。此外，我们还给出了一个确定性的$\frac{3}{2}+O\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)$因子近似算法$O(nk)$。
2014-06-13 cs.DS
Approximating Vertex Cover in Dense Hypergraphs
我们考虑超图的最小顶点覆盖问题，其中每个超边的大小为k（也称为最小碰集问题，或元素频率为k的最小集覆盖）。存在提供k-近似的简单算法，并且这被认为是在多项式时间内可实现的最佳可能近似。我们将展示如何利用密度和正则性的输入超图打破这一障碍。特别地，我们提供了一个近似因子为k/（1 +（k-1）d/（k Delta））的随机多项式时间算法，其中d和Delta分别是平均次数和最大次数，并且Delta必须是Omega（n^{k-1}/log n）。该算法推广了Imamura和Iwama（SODA'05）的稠密图顶点覆盖递归采样技术。作为推论，我们得到了次稠密正则超图的一个逼近因子k/（2-1/k），它在唯一对策猜想下是最好的.
2010-12-12 cs.DS
Approximating {0,1,2}-Survivable Networks with Minimum Number of Steiner Points
我们考虑具有最小Steiner点数的可生存网络（SN-MSP）问题的低连接性变体：给定度量空间（M，d）中终端的有限集合$R$、“不稳定”终端的子集$B \subseteq R$以及连接性要求{ r_{uv}：u，v \in R}，找到附加点的最小大小集合$S \subseteq M$，使得$R \cup S$的单位圆盘图包含成对内部边不相交的$r_{uv}$和$(B \cup S)$，disjoint PDMATHBMU-所有PDMATHBMV的路径。当针对所有$u,v \in R$的$r_{uv}=1$是{具有最小数目的斯坦纳点的\sf斯坦纳树}（ST-MSP）问题时的情况，并且$r_{uv} \in \{0,1\}$是{具有最小数目的斯坦纳点的\sf斯坦纳森林}（SF-MSP）问题。令$Δ$为单位球中任意两个点之间的距离大于1的最大点数。已知$\mathbb{R}^2$中的$Δ=5$。先前已知的{ \sf ST-MSP}的近似比在任意赋范空间\cite{NY}中是$\lfloor (Δ+1)/2 \rfloor+1+ε$，在欧几里得空间$\mathbb{R}^2$中是$2.5+ε$ \cite{cheng2008relay}。我们的近似比ST-MSP是$1+\ln(Δ-1)+ε$在任意赋范空间，在$\mathbb{R}^2$减少到$1+\ln 4+ε< 2.3863 +ε$。…
2013-04-29 cs.DS
Approximating Minimum-Cost k-Node Connected Subgraphs via Independence-Free Graphs
对于最小代价$k$ -结点连通生成子图问题，在结点数至少为$k^3(k-1)+k$的条件下，给出了一个6-近似算法.我们应用组合预处理，基于Frank-Tardos算法的$k$ -outconnectivity，将任何输入转换为一个实例，这样的迭代舍入方法给出了2-近似保证。这是第一个常数因子近似算法，即使在渐近设置的问题，也就是说，限制的情况下，节点的数量是下界的函数$k$。
2012-12-17 cs.DM cs.DS math.CO
Approximating Cycles in Directed Graphs: Fast Algorithms for Girth and Roundtrip Spanners
图的围长，即其最短圈的长度，是图的一个基本参数。不幸的是，所有已知的用于计算（甚至近似地）有向加权$m$ -边和$n$ -节点图中的围长和围长相关结构的算法都需要$Ω(\min\{n^ω, mn\})$时间（对于$2\leqω<2.373$）。在本文中，我们大大改善这些运行时间如下：* 乘法近似在近线性时间：我们给出了一个算法，在$\widetilde{O}(m)$时间计算$\widetilde{O}(1)$ -乘法近似的周长以及$\widetilde{O}(1)$ -乘法往返行程的周长与$\widetilde{O}(n)$边缘高概率（w.h.p）。* 几乎紧的加法近似：对于未加权图和任何$α\in (0,1)$，我们给出了一个算法，在$\widetilde{O}(mn^{1 - α})$时间计算围长w.h.p的$O(n^α)$ -加法近似，并部分去随机化它。我们表明，如果没有组合布尔矩阵乘法的突破，我们的算法的运行时间不能显着提高。我们的主要技术贡献，以实现这些结果是第一个近线性时间算法计算往返覆盖，有向图分解概念的关键，以前的往返crossover建设。以前不知道如何计算这些显著快于$Ω(\min\{n^ω, mn\})$时间。鉴于传统的困难，有效地处理有向图，我们希望我们的技术可以找到进一步的应用。
2018-08-10 cs.DS
Approximating Minimum-Cost Connected T-Joins
我们设计并分析了最小代价连通T-连接问题的近似算法：给定一个无向图G =（V;E），G的边都是非负代价的，且G是一个节点子集T，找到（如果存在）一个最小代价的生成连通子图H，使得T中的每个节点都是奇数度，不在T中的每个节点都是偶数度; H可以有G的任意边的多个副本.两个著名的特例是TSP（|T| = 0）和s-t路径TSP（|T| = 2）。最近，An，Kleinberg和Shmoys [STOC 2012]改进了后一个问题的长期5/3近似保证，并提出了一种基于LP舍入的算法，该算法实现了（1+sqrt（5））/2 < 1.6181的近似保证。我们证明了安等人的方法。扩展到最小成本连接的T-连接问题。他们提出了一个新的证明，保证了s-t路径TSP的5/3近似;他们的证明很容易扩展到最小成本连接T-join问题。接下来，我们通过扩展他们的LP舍入算法来改进5/3的近似保证，以获得对于所有|T| >= 4的13/8 = 1.625的近似保证。最后，我们专注于奖品收集版本的问题，并提出了一个原始-对偶算法，是“拉格朗日乘子保持”，并实现了近似保证3 - 2/（|T| -1）时，|T| >= 4。我们的原始-对偶算法是一个推广已知的原始-对偶2-近似的奖品收集的s-t路径TSP。此外，我们表明，我们的分析是紧密的，提出的实例与|T| >= 4，这样的算法找到的解决方案的成本正好是3 - 2…
2012-07-24 cs.DS
Approximating Constrained Minimum Cost Input-Output Selection for Generic Arbitrary Pole Placement in Structured Systems
本文研究一般任意极点配置的最小费用约束输入输出选择问题。输入-输出集合在每个输入可以影响的状态集合和每个输出可以感测的状态集合是预先指定的意义上是受约束的。我们的目标是最优地选择一个输入输出集，系统没有结构上的固定模。多项式算法不存在解决这个问题，除非P=NP。为此，我们提出了一个近似算法，将问题分解为三个子问题：a）最小成本可达性问题，b）最小成本灵敏度问题和c）最小成本不相交循环问题。我们证明了问题a）和b）等价于一个适当定义的加权集合覆盖问题。我们还证明了问题c）等价于最小代价完美匹配问题。在此基础上，给出了求解最小费用一般任意极点配置问题的近似算法。所提出的算法结合了一个近似算法来解决加权集覆盖问题，以解决a）和b）和最小成本完美匹配算法来解决c）。此外，我们证明了该算法是多项式时间的，并给出了一个顺序最优解的最小成本的输入输出选择一般的任意极点配置问题。
2018-01-10 cs.DS math.OC
Minimum Weight Cycles and Triangles: Equivalences and Algorithms
我们考虑的基本算法问题，找到一个圈的最小重量的加权图。特别地，我们证明了边权在{1，.，M}中，或者在具有{-M，...，M}且无负圈的三角形的最小权三角形的最小权三角形可以有效地简化为在Theta（n）-节点无向图中找到具有{1，.，O（M）}。粗略地说，我们的减少意味着以下令人惊讶的现象：一个最小的循环与任意数量的加权边缘可以“编码”使用只有三个边缘在大致相同的重量间隔！这解决了Itai和Rodeh [SIAM J. Computing 1978和STOC'77]提出的一个长期未决问题。我们的有效减少的一个直接后果是O（Mn^{omega}）-时间算法使用快速矩阵乘法（FMM）找到一个最小的重量循环在两个无向图整数权重从区间[1，M]和有向图整数权重从区间[-M，M]。后者似乎揭示了所有对最短路径（APSP）问题和有向图中的最小权重循环问题之间的强烈分离，因为Zwick [J. ACM 2002]的最快已知APSP算法的运行时间为O（M^{0.681}n^{2.575}）。相比之下，当仅允许组合算法时（即不使用FMM），最小权重循环的唯一已知解决方案是计算APSP。有趣的是，在这种情况下，这两个问题之间的任何分离都将是一个惊人的突破，正如Vassilevska W。和Williams [FOCS'10]，任何O（n^{3-eps}）时间算法（eps>0）的最小权重周期立即意味着…
2011-04-14 cs.DS
Approximating the minimum directed tree cover
给定一个有向图$G$，其弧上的代价为非负，$G$的有向树覆盖是一个有根有向树，使得$T$触及$G$中每条弧的头或尾（或两者）.最小有向树覆盖问题（DTCP）是寻找一个最小费用的有向树覆盖。已知该问题是$NP$ -hard问题。本文证明了加权集合覆盖问题（SCP）是DTCP的一个特例。因此，人们最多可以期望DTCP与SCP具有相同的比率。通过设计一个纯组合的DTCP近似算法，证明了该算法的近似比为$\max\{2, \ln(D^+)\}$，其中$D^+$是$G$中节点的最大外向度，从而在某种程度上满足了这个期望.
2010-09-02 cs.DM cs.DS math.OC
Approximating Star Cover Problems
给定一个度量空间$(F \cup C, d)$，我们考虑具有平衡负载的$(F \cup C, d)$的星覆盖。星型是一对$(f, C_f)$，其中$f \in F$和$C_f \subseteq C$，星型的负载是$\sum_{c \in C_f} d(f, c)$。在最小负载$k$ -星覆盖问题$(\mathrm{MLkSC})$中，人们试图使用使星的最大负载最小化的$k$星来覆盖客户端$C$的集合，并且在最小大小星覆盖$(\mathrm{MSSC})$中，人们的目标是找到覆盖$C$所需的最多$T$的负载的星的最小数目，其中$T$是给定参数。我们获得新的双准则近似的两个问题，使用新的舍入算法，他们的标准LP松弛。对于$\mathrm{MLkSC}$，我们找到一个包含$(1+\varepsilon)k$星和$O(1/\varepsilon^2)\mathrm{OPT}_{\mathrm{MLk}}$负载的星覆盖，其中$\mathrm{OPT}_{\mathrm{MLk}}$是最佳负载。对于$\mathrm{MSSC}$，我们找到一个星覆盖，其中$O(1/\varepsilon^2) \mathrm{OPT}_{\mathrm{MS}}$星的负载最多为$(2 + \varepsilon) T$，其中$\mathrm{OPT}_{\mathrm{MS}}$是问题的最佳星数。以前，非平凡…
2019-12-03 cs.DS
Approximating Min-Mean-Cycle for low-diameter graphs in near-optimal time and memory
针对加权有向图的 Min-Mean-Cycle 问题，论文提出基于熵正则化线性规划松弛与 Matrix Balancing 的近似算法，在多对数直径图上取得近线性时间，并实现 $O(n)$ 额外内存。
2021-11-14 cs.DS math.OC
Approximating Red-Blue Set Cover and Minimum Monotone Satisfying Assignment
本文为红蓝集合覆盖和电路最小单调满足赋值问题提出改进的近似算法，并给出相应的下界与完整性间隙结果。
2023-07-07 cs.DS
Approximating maximum integral multiflows on bounded genus graphs
我们设计了第一个常数因子近似算法，以寻找一个完整的多商品流的最大总价值的情况下，供应图与需求的边缘可以嵌入在有界亏格的定向表面。这扩展了平面实例的最新结果。我们的技术包括一个uncrossing算法，这是显着更困难的比在平面的情况下，一个分区的循环在LP解决方案的支持到自由同伦类，和一个新的舍入程序自由同伦非分离周期。
2021-05-31 cs.CG cs.DM cs.DS
A note on finding long directed cycles above the minimum degree bound in 2-connected digraphs
本文证明在2连通有向图中判定是否存在长度至少为最小度加3的有向圈是NP困难的，与无向图情形的算法结果形成对比。
2025-07-04 cs.DS
Almost-Linear Time Algorithms for Incremental Graphs: Cycle Detection, SCCs, $s$-$t$ Shortest Path, and Minimum-Cost Flow
本文首次为增量图中的环检测、强连通分量维护、s-t 最短路、最大流和最小费用流等问题给出近线性时间算法，核心是利用动态 oblivious routing 提取近似极小比率环并结合内点法框架实现。
2023-11-30 cs.DS
Approximating Directed Connectivity in Almost-Linear Time
Purdue University（普渡大学）
本文提出了一种基于收缩包裹技术的随机算法，用于在几乎线性时间内近似计算有向图的边和顶点连通性。
2025-11-28 cs.DS
Approximating k-Edge-Connected Spanning Subgraphs via a Near-Linear Time LP Solver
在$k$-边连通生成子图（$k$ ECSS）问题中，我们的目标是计算一个最小成本的子网络，该子网络对最多$k$链路故障具有弹性：给定一个$n$-节点$m$-边图，边上具有成本函数，我们的目标是计算一个最小成本的$k$-边连通生成子图。这个NP-困难问题推广了最小生成树问题，并且是更广泛的一类生存网络设计问题（SNDP）的“统一情况”。两个因素一直保持最佳的近似比多项式时间算法的整个类的SNDP，即使是一个特殊的情况下$2$ ECSS。然而，最快的$2$近似算法相当慢，需要$O(mn k)$时间[Khuller，Vishkin，STOC '92]。可以获得更快的时间复杂度的$O(n^2)$，但是具有更高的近似保证的$(2k-1)$ [Gabow，Goemans，Williamson，IPCO '93]。我们的主要贡献是一个算法，$(1+ε)$-近似的最佳分数的解决方案，在$\tilde O(m/ε^2)$时间（独立的$k$），这可以变成一个$(2+ε)$近似算法，运行在时间$\tilde O\left(\frac{m}{ε^2} + \frac{k^2n^{1.5}}{ε^2}\right)$（积分）$k$ ECSS，这提高了运行时间的上述结果，同时保持近似比任意接近的一个因素。
2022-05-30 cs.DS
Approximating Minimum Manhattan Networks in Higher Dimensions
University of Arizona（亚利桑那大学）；AT&T Labs Research（AT&T实验室研究部）；Wilhelm-Schickard-Institut für Informatik, Universität Tübingen（蒂宾根大学威廉-席克ardt计算机科学研究所）；Institut für Informatik, Universität Würzburg（维尔茨堡大学计算机科学研究所）
针对高维最小曼哈顿网络问题三维尚无近似算法的现状，提出任意固定维下的$O(n^\eps)$近似算法，及三维端点在$k\ge2$个平行平面时的$4(k-1)$近似算法。
2012-04-27 cs.CG cs.DS
Approximating Edit Distance Within Constant Factor in Truly Sub-Quadratic Time
编辑距离是两个字符串相似性的度量，基于将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小字符插入、删除和替换次数。编辑距离可以使用以二次时间运行的动态规划算法精确计算。Andoni、Krauthgamer和Onak（2010）给出了一种近似线性时间算法，该算法在近似因子$\text{poly}(\log n)$内近似编辑距离。在本文中，我们提供了一个算法的运行时间$\tilde{O}(n^{2-2/7})$，近似的编辑距离在一个常数的因素。
2021-02-16 cs.DS
Minimum Cuts and Shortest Cycles in Directed Planar Graphs via Noncrossing Shortest Paths
设$G$是具有非负边权的$n$ -结点简单有向平面图.本文研究了计算（1）具有最小权的$G$的整体割和（2）具有最小权的$G$的~圈的基本问题。前一个问题的最佳已知算法，在$O(n\log^3 n)$时间内运行，可以从\Lacki，Nussbaum，Sankowski和Wulff-Nilsen的单源全汇最大流算法中获得。最好的先前已知的结果为后者的问题是$O(n\log^3 n)$时间算法的武尔夫尼尔森。通过利用平面图中两个问题之间的对偶性，我们通过分治算法找到最短的非退化循环，在$O(n\log n\log\log n)$时间内解决了这两个问题。我们的结果的核心是一个$O(n\log\log n)$ -时间算法计算节点之间的非交叉最短路径，以及有序的公共面上的有向平面图，这是从Italiano，Nussbaum，Sankowski，和Wulff-Nilsen算法的无向平面图。
2017-03-23 cs.DS
Approximating minimum-cost edge-covers of crossing biset-families
$V$的子集的有序对$\hat{S}=(S,S^+)$称为{ \em biset}，如果$S \subseteq S^+$ ; $(V-S^+,V-S)$是$\hat{S}$的余-biset。如果$X \cap Y \neq \emptyset$是两个偏置集$\hat{X},\hat{Y}$相交，如果$X \cap Y \neq \emptyset$和$X^+ \cup Y^+ \neq V$是两个偏置集$\hat{X},\hat{Y}$相交。由$\hat{X} \cap \hat{Y} = (X \cap Y, X^+ \cap Y^+)$和$\hat{X} \cup \hat{Y} = (X \cup Y,X^+ \cup Y^+)$定义了两个偏集$\hat{X},\hat{Y}$的交和并。如果$\hat{X} \cap \hat{Y}, \hat{X} \cup \hat{Y} \in {\cal F}$对于任何交叉（相交）的$\hat{X},\hat{Y} \in {\cal F}$，则双集族${\cal F}$交叉（相交）。一条有向边覆盖一个双集$\hat{S}$，如果它从$S$到$V-S^+$。我们考虑的问题，覆盖交叉biset家庭${\cal F}$的最小成本集的有向边缘。虽然对于相交的${\cal F}$，标准的原始-对偶算法计算出最优解，但相交${\cal F}$…
2012-07-18 cs.DS
Fully Dynamic Algorithms for Minimum Weight Cycle and Related Problems
在完全动态环境下考虑有向最小权圈问题。据我们所知，到目前为止，还没有完全动态的算法被设计专门为一般的有向图的最小重量圈问题。通过简单地调用Demetrescu和Italiano的全动态APSP算法[J. ACM'04]，可以实现$\tilde{O}(n^2)$分摊更新时间。然而，这个界限并没有比稀疏图的琐碎从头开始重新计算算法有所改进。我们的第一个贡献是一个非常简单的确定性$(1+ε)$ -近似算法支持顶点更新（即，改变与指定顶点关联的所有边）在$[1,W]$中对于具有实边权重的有向图的条件接近最优$\tilde{O}(m\log{(W)}/ε)$分摊时间内。利用已知的技术，该算法可以在平面图上实现，并给出了一些新的保持平面有向图的近似割和流的次线性全动态算法。此外，我们展示了一个蒙特卡洛随机精确的全动态最小权重循环算法与$\tilde{O}(mn^{2/3})$最坏情况下的更新，真正的边缘权重。为此，我们推广了Abraham等人[SODA'17]的完全动态的APSP数据结构，以解决“多对最短路径问题”，其中人们对计算每次更新后某些$k$（而不是所有$n^2$）固定源-目标对的距离感兴趣。我们表明，在这种情况下，$\tilde{O}((m+k)n^{2/3})$最坏情况下的更新时间是可能的。
2021-06-22 cs.DS
Approximating Minimum Cost Connectivity Orientation and Augmentation
我们调查的问题，解决组合连接增强和方向设置。我们给出了一个多项式时间的6-近似算法，找到一个最小成本的子图的无向图$G$，承认一个方向覆盖一个非负交叉$G$ -超模需求函数，由弗兰克定义。一个重要的例子是$(k,\ell)$ -边连通性，它是全局边连通性和根边连通性的一个常见推广。我们的算法是基于一个非标准的应用程序的迭代舍入方法。我们观察到，标准的线性规划与切割约束是不适合的，并使用替代的线性规划与分区和共分区的约束。该证明需要一种新型的分区和共分区不交叉技术。我们还考虑了问题设置时，成本的边缘可以是不同的两个可能的方向。对于$k$边缘连接性的更简单要求，问题已经变得更加困难。Khanna，Naor和Shepherd证明了当$k=1$为整数时，自然线性规划的完整性缺口至多为$4$，并证明了对于所有固定的$k$，它是常数。我们通过证明一个$Ω(|V|)$完整性缺口来反驳这个猜想，即使当$k=2$。
2017-11-16 cs.DM cs.DS math.CO
Improved Algorithms for Computing the Cycle of Minimum Cost-to-Time Ratio in Directed Graphs
研究了在具有$ n $节点和$ m $边的有向图中求最小费用时间比的圈的问题。这个问题在组合优化中有很长的历史，最近在定量验证的背景下看到了有趣的应用。我们专注于强多项式算法，以覆盖与图的大小相比权重相对较大的用例。我们的主要结果是一个算法的运行时间$ \tilde O (m^{3/4} n^{3/2}) $，它给出了第一个改进Megiddo的$ \tilde O (n^3) $算法[JACM'83]的稀疏图。我们进一步展示了如何获得一个算法的运行时间$ n^3 / 2^{Ω{(\sqrt{\log n})}} $一般图和一个算法的运行时间$ \tilde O (n) $恒定树宽图。为了获得我们的主要结果，我们开发了一个并行算法的负循环检测和单源最短路径，可能是独立的利益。
2017-04-26 cs.DS
Minimum cycle and homology bases of surface embedded graphs
我们研究的问题，找到一个最小的循环基础（一个最小的重量集的循环，形成一个基础的循环空间）和最小的同源基础（一个最小的重量集的循环，产生$1$ -维（$\mathbb{Z}_2$）-同源类）的无向图嵌入在一个表面上。这两个问题是密切相关的，因为图的最小圈基包含它的最小同调基，而任何图的$1$ -骨架的最小同调基恰是它的最小圈基。对于最小圈基问题，我们给出了嵌入在亏格为$g$的可定向曲面上的图的确定性$O(n^ω+2^{2g}n^2+m)$ -时间算法。最著名的表面嵌入图的现有算法是那些一般的图：$O(m^ω)$时间蒙特卡罗算法和确定性$O(nm^2/\log n + n^2 m)$时间算法。对于最小同调基问题，我们给出了一个确定性的$O((g+b)^3 n \log n + m)$ -时间算法嵌入到一个可定向或不可定向表面上的属$g$与$b$边界组件的图，假设最短路径是唯一的，改进了现有的算法的许多值的$g$和$n$。唯一最短路径的假设可以使用随机化以高概率避免，或者通过将同源基算法的运行时间增加因子$O(\log n)$而确定性地避免。
2016-07-18 cs.CG cs.DS
Approximating APSP without Scaling: Equivalence of Approximate Min-Plus and Exact Min-Max
Zwick的$(1+\varepsilon)$ -近似算法用于所有对最短路径（APSP）问题，在时间上运行$\widetilde{O}(\frac{n^ω}{\varepsilon} \log{W})$，其中$ω\le 2.373$是矩阵乘法的指数，并且$W$表示最大权重。这可用于近似几个图形特征，包括同一时间范围内的直径、半径、中位数、最小权重三角形和最小权重循环。由于Zwick的算法使用缩放技术，因此它在运行时间中具有因子$\log W$。在本文中，我们研究是否APSP及相关问题承认近似计划，避免缩放技术。也就是说，算术运算的次数应该与$W$无关;这称为强多项式。我们的主要结果如下。- 我们设计的近似计划在强多项式时间$O(\frac{n^ω}{\varepsilon} \text{polylog}(\frac{n}{\varepsilon}))$的APSP无向图以及图形特征的直径，半径，中位数，最小重量三角形，最小重量圈有向或无向图。- 对于有向图上的APSP，我们设计了一个强多项式时间的近似方案$O(n^{\frac{ω+ 3}{2}} \varepsilon^{-1} \text{polylog}(\frac{n}{\varepsilon}))$ .这比最好的精确算法快得多。- 我们解释了为什么我们的近似计划APSP有向图有一个更糟糕的指数比$ω$：我们的指数$\frac…
2019-07-25 cs.CC cs.DS
Computing Minimum Cycle Bases in Weighted Partial 2-Trees in Linear Time
本文提出了一种线性时间算法，用于计算加权部分2-树中最小循环基（MCB）的隐式线性空间表示，即，树宽为2的图。隐式表示可以在与MCB的大小成比例的运行时间中显式化。我们的算法改进了Borradaile，Sankowski和Wulff-Nilsen [Min $st$ -cut Oracle for Planar Graphs with Near-Linear Preprocessing Time，FOCS 2010]的结果--它为所有平面图计算了MCB在$O(n \log^5 n)$时间上的隐式$O(n \log n)$空间表示--对于部分2-树的特殊情况，通过polylog因子。这种改进以前仅针对外平面图实现[Liu和Lu：Minimum Cycle Bases of Weighted Outerplanar Graphs，IPL 110：970- 974，2010]。
2014-01-10 cs.DM cs.DS
Minimum-weight Cycle Covers and Their Approximability
一个图的圈覆盖是一组圈，使得每个顶点恰好是一个圈的一部分。L-圈覆盖是指每个圈的长度都在集合L中的圈覆盖。我们研究如何以及L-循环覆盖的最小重量可以近似。对于无向图，我们设计了一个多项式时间的近似算法，该算法对所有的集合L都达到一个常数的近似比。另一方面，我们证明了问题不能近似的因子为2-eps的某些集合L。对于有向图，我们提出了一个多项式时间的近似算法，达到了O（n）的近似比，其中$n$是顶点的数量。这是渐近最优的：我们证明了这个问题不能近似在一个因子O（n）内。为了对比最小权重的循环覆盖的结果，我们表明，计算最大权重的L-循环覆盖的问题，至少在原则上，可以任意近似。
2007-05-02 cs.CC cs.DM cs.DS
On Strongly Connected Digraphs with Bounded Cycle Length
MEG（最小等价图）问题是给定一个有向图，寻找一个小的边子集，使节点之间保持所有的可达关系。这个问题是NP难的。本文证明了对于每个有向圈最多有三条边的图，MEG问题等价于最大二部匹配问题，因而在多项式时间内是可解的。这导致改进了以前最好的近似算法的性能保证的一般问题“近似最小等效有向图”（1995年）。
2002-05-10 cs.CC cs.DS
Minimum Flow Decomposition in Graphs with Cycles using Integer Linear Programming
最小流分解（MFD）-找到一个最小的加权源到汇路径集，完美地分解流的问题-是计算机科学中的经典问题，它的变体是生物信息学和交通运输等不同领域的强大模型。即使在非循环图上，这个问题也是NP难的，大多数实际的解决方案都是通过解析法或近似法。虽然有一个广泛的机构的研究无环图，目前，没有\emph{exact}解决方案的图与循环。在本文中，我们提出了第一个ILP制定的三个自然变种的MFD问题的图与周期，要求分解只包括加权源到汇的路径或周期，步道，和步行，分别。在生物信息学和交通运输的三个日益复杂的数据集上，我们的方法在10分钟内解决了任何问题。我们的实现可以在github.com/algbio/MFD-ILP上免费获得。
2023-01-16 cs.DS math.CO math.OC
