Nonexistence of finite-time blow-up for the equivariant harmonic map heat flow from $B^2$ to $S^2$
EPFL（洛桑联邦理工学院）
研究从二维圆盘到球面的等变调和映射热流，在一般光滑时变边界条件下，证明当 $D \geq 3$ 时不存在有限时间爆破。
2026-08-21 math.AP
On blow-up trees for the harmonic map heat flow from $B^2$ to $S^2$
EPFL（洛桑联邦理工学院）
研究从\(B^2\)到\(S^2\)的调和映射热流，利用最大值和比较原理，证明有限时间解的气泡树分解仅一个气泡，且展示了任意\(k\geq1\)时无限时间爆破的解。
2026-07-24 math.AP
Large $s$-harmonic functions and boundary blow-up solutions for the fractional Laplacian
利用Stampacchia理论，给出了分数拉普拉斯算子驱动的狄利克雷问题的弱解的概念.然后，我们研究了有界区域$Ω$上的半线性问题同时具有两种不同的边界条件：$Ω$外解的形状和边界的加权极限。我们允许非线性是正的或负的，我们寻找在边界处爆炸的解。我们首先观察到在边界处爆炸的s-调和函数的存在性：这些函数在负非线性情况下将被用作上解，在正非线性情况下将被用作下解。
2013-11-18 math.AP
Schrodinger Flow Near Harmonic Maps
对于从$R^2 \times R^+$到2-球$S^2$的薛定谔流，我们不知道有限能量解是否能在有限时间内爆破。研究了能量与等变调和映射族能量相近的等变解。我们证明了这样的解决方案保持接近调和映射，直到爆破时间（如果有的话），当且仅当最近的调和映射的长度尺度为零。
2005-04-25 math.AP
Stable blow up dynamics for the 1-corotational energy critical harmonic heat flow
我们展示了一个稳定的有限时间爆破制度的1-共转能量临界谐波热流从$\Bbb R^2$到一个光滑的紧凑的旋转表面的$\Bbb R^3$减少到半线性抛物问题$$\partial_t u -\pa^2_{r} u-\frac{\pa_r u}{r} + \frac{f(u)}{r^2}=0$$的一个适当的功能类$f$。在能量临界拓扑中，相应的初始数据可以选择为光滑的、局域性好的、任意接近基态调和映射的数据。我们给出了相应的奇异性形成的尖锐渐近性，这种奇异性形成是通过以[Van den Bergh，J.; Hulshof，J.; King，J.，调和映射热流中鼓泡的形式渐近性，SIAM应用数学，第63卷，o 5。第1682-1717页]。我们的方法在于继续[Raphaël，P.;罗德年克希岛，临界共旋波映射和等变杨米尔斯问题的稳定爆破动力学，将出现在预备数学IHES。[Merle，F.; Raphaël，P.; Rodnianski，I.，Blow up dynamics for smooth solutions to the energy critical Schrodinger map，preprint 2011.]。
2011-06-05 math.AP
Convex solutions to the mean curvature flow
本文研究了$\R^{n+1}$中中曲率流的古凸解的分类。与II型奇点分类相关的一个公开问题是凸平移解是否对于某个整数$2\le k\le n$是$k$ -旋转对称的，即它的水平集是球还是柱$S^{k-1}\times \R^{n-k}$。本文对二维空间的整体解给出了肯定的回答。在高维情形下，我们证明了存在非旋转对称的整体凸平移解，但任何整体凸平移解在空间的blow-down是$k$ -旋转对称的.我们还证明了一个古老的凸解的时空吹扫整个空间$\R^{n+1}$是一个收缩球或柱。
2010-02-08 math.AP math.DG
Finite time blowup and type II rate for harmonic heat flow from Riemannian manifolds
本文研究了调和热流有限时间奇异性的存在性及其形成模式。经过Coron-Ghidaglia，Ding和Chen-Ding的工作，我们得到了m ≥ 3时在小初始能量下的爆破解。不久，Chang-Ding-Ye找到了二维爆破解。本文的第一部分致力于构造新的例子，有限时间爆破解没有小性条件3<=m<7。实际上，当考虑从B_1 \subset R^m到S^mPDMATHABMM R^{m+1}的旋转对称调和热流时，我们将证明：当b> \vartheta_m时，最大解在有限时间内爆破;当0<b<π/2时，最大解存在于所有时间。这个结果可以看作是Chang-Ding-Ye和Chang-Ding的结果在高维情形的推广，但这是基于一个完全不同的论点。第二部分研究了爆破解的速度。当M是R^2中的有界区域时，考虑\partial M上的Dirichlet边界条件，Hamilton得到了爆破速率必须快于（T-t）^{-1}.在类似的设置下，它后来通过Topping到（T-t）^{-1}进行了一点改进|对数（T-t）|.在本文中，我们将结果推广到所有的黎曼曲面M，并将Topping率提高到（T-t）^{-1}a（|对数（T-t）|），这一结果与Raphael-Schweyer最近关于旋转对称解的结果相当.对于高维情形3<=m<7，我们将证明一个完全不同的现象，即所有的旋转对称爆破解不可能是II型的，这与Bi…
2021-12-29 math.AP
Quantized slow blow up dynamics for the corotational energy critical harmonic heat flow
我们考虑从$\Bbb R^2$到$\Bbb R^3$的光滑紧致旋转曲面的能量临界调和热流。对于具有共旋对称性的初始数据，演化归结为半线性径向对称抛物问题$$\partial_t u -\pa^2_{r} u-\frac{\pa_r u}{r} + \frac{f(u)}{r^2}=0$$，对于适当的一类函数$f$。给定一个整数$L\in \Bbb N^*$，我们展示了一组任意接近能量临界拓扑中的最小能量调和映射$Q$的初始数据，使得相应的解通过以{ \it量化}速率给出的速度集中其能量$$\nabla u(t,r)-\nabla Q(\frac{r}{ł(t)})\to u^* in L^2$$而在有限时间内爆炸：根据正式预测[3]，$$ł(t)=c(u_0)(1+o(1))\frac{(T-t)^L}{|\log (T-t)|^{\frac{2L}{2L-1}}},$$。L=1的情况对应于[37]中显示的稳定状态，并且$L\ge 2$的数据在某种弱意义上留在余维$(L-1)$的流形上。我们的分析是[36，32，37]的继续，进一步展示了激发慢爆破率的存在机制和这些阈值动力学的相关不稳定性。
2013-01-09 math.AP
Strict type-II blowup in harmonic map flow
University of Wisconsin, Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文研究了二维调和映射流中严格类型II破裂现象，证明在严格类型II破裂点处的映射具有Hölder连续性。
2023-05-16 math.AP math.DG
Stable blowup for the harmonic map heat flow into perturbed spheres
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
该研究针对3至6维、靶流形为单位球面微小扰动的调和映射热流，构造了稳定自相似爆破解并证明其渐近非线性稳定性，采用类似波映射方程相关问题的摄动方法完成论证。
2026-08-05 math.AP math.FA
Infinite time blow-up for half-harmonic map flow from $\mathbb{R}$ into $\mathbb{S}^1$
研究了具有函数$u:\mathbb{R}\times [0, \infty)\to \mathbb{S}^1$的半调和映射流\begin{equation}\label{e:main00} \left\{\begin{array}{ll} u_t = -(-Δ)^{\frac{1}{2}}u + \left(\frac{1}{2π}\int_{\mathbb{R}}\frac{|u(x)-u(s)|^2}{|x-s|^2}ds\right)u\quad\text{ in }\mathbb{R}\times (0, \infty), u(\cdot, 0) = u_0\quad\text{ in }\mathbb{R}, \end{array} \right. \end{equation}的无限时间爆破现象。设$q_1,\cdots, q_k$是$\mathbb{R}$中的不同点，存在初始数据$u_0$和光滑函数$ξ_j(t)\to q_j$，$0<μ_j(t)\to 0$，如$t\to +\infty$，$j = 1, \cdots, k$，使得问题（\ref{e:main00}）的解$u_q$具有\begin{equation*} u_q =ω_\infty +\sum_{j= 1}^k \left(ω(\frac{x-ξ_j(t)}{μ_j(t)} )-ω_\infty \ri…
2017-11-15 math.AP
Large harmonic functions for fully nonlinear fractional operators
研究了有界光滑区域$Ω\subset \mathbb R^N$上分数阶调和函数解的存在性、唯一性和边界爆破轮廓。我们处理调和函数与一致椭圆，完全非线性非局部算子，包括线性情况$$ (-Δ)^s u = 0 \quad \mbox{in} \ Ω, $$，其中$(-Δ)^s$表示分数拉普拉斯阶$2s \in (0,2)$。利用粘性解理论和Perron方法构造了$\bar Ω^c$中具有零外部条件的调和函数，并对任意给定的边界数据$h \in C(\partial Ω)$构造了边界爆破剖面$$ \lim_{x\to x_0, x \in Ω}\mathrm{dist}(x, \partial Ω)^{1-s}u(x)=h(x_0), \quad \mbox{for all} \quad x_0\in \partial Ω, $$.我们的方法使我们能够提供爆破率的解决方案和它的梯度估计。即使在线性情况下，结果也是新的。
2023-01-24 math.AP
Stable type II blowup for the 7 dimensional 1-corotational energy supercritical harmonic map heat flow
在1-共转对称性的附加假设下，我们考虑了从$\mathbb{R}^d$到$\mathbb{S}^d$的能量-超临界调和映射热流。我们感兴趣的是7维的情况下，这是之间的边界I型爆破制度。对于这个问题，我们构造了一个稳定的有限时间爆破解决方案的条件下的共旋对称，通过浓度的普遍配置文件$$u(r,t) \sim Q\left(\frac{r}{λ(t)}\right),$$，其中$Q$是固定的解决方案的方程和速度是由速率$$λ(t) \sim \frac{\sqrt{(T-t)}}{|\log(T-t)|},$$，这对应于Biernat预测的速度。
2017-10-28 math.AP math.DG
Gradient estimates and blow-up analysis for stationary harmonic maps
对于黎曼流形之间的平稳调和映射，我们给出了内部和边界梯度一致估计的一个充要条件。我们还证明了，如果解析目标流形不携带任何调和S ^2，则平稳映射的奇异集是m \leq n - 4可求长的。这两个结果都来自于对弱收敛平稳调和映射序列的亏损测度和能量集中集的一般分析。
1999-05-01 math.AP math.DG
Blow up dynamics for equivariant critical Schrödinger maps
对于从2+1维到2-球面的薛定谔映射问题，我们证明了等变有限时间爆破解的存在性，这些解接近于动态重标的最低能量调和映射，标度参数由$t^{-ν}$和$ν>3/2$给出.
2012-12-30 math.AP
Mean curvature flow of noncompact hypersurfaces with Type-II curvature blow-up. II
本文继续研究了\cite{IW19}的前两位作者在完备非紧嵌入超曲面的中曲率流中的II型曲率爆破。特别地，我们构造了旋转对称类中的中曲率流解，在“消失”时间$T$附近具有以下精确渐近性：（1）最高曲率集中在超曲面的尖端（脐点），并以$(T-t)^{-1}$的速率爆破。(2)在附近的尖端，解决方案收敛到一个翻译孤子称为碗孤子。(3)在接近空间无穷大时，超曲面以指数速率接近坍缩的圆柱体。
2019-11-14 math.AP math.DG
Controlled harmonic map heat flow and blow-up from the disk to the sphere
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
本文研究圆盘到球面的单余旋调和映射热流，提出适应控制的粘合策略以阻止爆破，并证明边界控制可驱动爆破或阻止无限时间浓度。
2026-09-10 math.AP math.OC
Renormalization and blow up for wave maps from $S^2\times \RR$ to $S^2$
我们构造了一个单参数的有限时间爆破族，由$ν\in(1/2,1].$参数化的从$S^2\times \RR$到$S^2,$的旋转波映射问题作为主要研究对象的纵向函数$u(t,α)$将被获得为从$\RR^2$到$S^2.$的旋转指数为1的重新标度的调和映射的扰动。指数坐标$(α,θ).$在这些坐标$u(t,α)=Q(λ(t)α)+\mathcal{R}(t,α),$中，其中$Q(r)=2\arctan{r},$是到球体的标准共旋调和映射，$λ(t)=t^{-1-ν},$和$\mathcal{R}(t,α)$是局部能量变为零的误差，因为$t\rightarrow 0.$由于能量集中，在$(t,α)=(0,0)$处将发生爆破，并且直到该点，解将具有正则性$H^{1+ν-}.$
2012-06-13 math.AP
A blow-up phenomenon for a non-local Liouville-type equation
我们考虑一个非局部的刘维方程对应的规定的测地曲率的圆。我们建立了一个家庭的解决方案，爆破在一个临界点的规定曲率函数的调和扩展，提供了一些通用的假设得到满足。
2021-12-09 math.AP
Shrinkers, expanders, and the unique continuation beyond generic blowup in the heat flow for harmonic maps between spheres
利用混合的分析和数值方法，我们研究了从$d$维球到$3\leq d\leq 6$自身的共转调和映射的热流奇点的发展。通过粘合在一起的收缩和膨胀渐近自相似的解决方案，我们构造的整体弱解是光滑的，除了一个序列的时间$T_1<T_2<...<T_k<\infty$，在那里发生的I型爆破在一个极点的球。我们证明了在一般情形下，爆破后的连续是唯一的，在每一个爆破时刻$T_i$，映射的拓扑度改变1，最终解在零能量常数映射处停止.
2011-06-10 math-ph math.AP math.MP
Blow-up for the 3-dimensional axially symmetric harmonic map flow into S2
我们构造了三维调和映射流到球$S^2$，\begin{align*} u_t & = Δu + |\nabla u|^2 u \quad \text{in } Ω\times(0,T) \\ u &= u_b \quad \text{on } \partial Ω\times(0,T) \\ u(\cdot,0) &= u_0 \quad \text{in } Ω, \end{align*}中的有限时间爆破解，其中有$u(x,t): \bar Ω\times [0,T) \to S^2$ .这里$Ω$是$\mathbb{R}^3$中的有界光滑轴对称域。我们证明了，对于任何圆$Γ\subset Ω$具有相同的轴对称性，和任何足够小的$T>0$存在初始和边界条件，使$u(x,t)$爆破正是在时间$T$和精确的曲线$Γ$，实际上$$ |\nabla u(\cdot ,t)|^2 \rightharpoonup |\nabla u_*|^2 + 8πδ_Γ\text{ as } t\to T . $$为一个经常的功能$u_*(x)$，其中$δ_Γ$表示狄拉克措施支持的曲线。这是第一个例子的爆破解决方案的空间余维2奇异集，最大的尺寸预测的部分正则性理论的陈Struwe和郑。
2019-02-11 math.AP math.DG
On type-II singularities in Ricci flow on $\mathbb{R}^{N}$
在每一维$N\geq 3$上，对每一实数$λ\geq 1$，构造了$\mathbb{R}^{N}$上里奇流在有限时刻遇到整体奇点的一族完全旋转对称解$T$ .奇点的形成任意缓慢，曲率以$(T-t)^{-(λ+1)}$的速率任意快速地膨胀。在原点附近，这种解的爆破一致收敛到Bryant孤子。在空间无穷远附近，解的爆破一致收敛于收缩圆柱孤子。作为这一结果的应用，我们证明了$\mathbb{R}^N$上存在里奇流的标准解，其在原点附近的爆破一致收敛于Bryant孤子.
2015-09-19 math.AP math.DG
Dynamics of solutions in the 1d bi-harmonic nonlinear Schrödinger equation
Institut de Mathématiques de Bourgogne, UMR 5584 Institut Universitaire de France, Université Bourgogne Europe（勃艮第数学研究所）；Florida International University（佛罗里达国际大学）
研究一维双调和非线性薛定谔方程解的动力学，分析基态解稳定性及不同α值下的散射、爆炸行为。
2026-02-27 math.AP
Higher order neck analysis of harmonic maps and its applications
本文证明了曲面上的调和映射序列爆破时颈部区域的一些精确估计。新的估计使我们能够看到颈部中心的形状。作为应用，我们证明了一个关于爆破时的零点和指数的不等式。
2019-04-15 math.AP math.DG
Stable self-similar blowup in the supercritical heat flow of harmonic maps
考虑了从$\mathbb R^3$到三球面共转调和映射的热流，证明了一个特殊的自相似收缩器的非线性渐近稳定性，该自相似收缩器的封闭形式未知.我们的方法为抛物型发展方程自相似爆破的稳定性分析提供了一种新的、系统的、鲁棒的和建设性的方法。特别是，我们完全避免使用微妙的李雅普诺夫泛函，单调性公式，间接的论点，或脆弱的抛物线结构，如最大值原理。实际上，我们的方法将自相似收缩算子的非线性稳定性分析归结为自伴线性化算子的谱分析。
2016-10-29 math-ph math.AP math.DG
On regularity of a boundary point for higher-order parabolic equations: towards Petrovskii-type criterion by blow-up approach
证明了对于双调和方程，典型抛物面顶点的最优正则性准则可以用1934年导出的热方程的Petrovskii型Osgood-Dini积分条件表示.讨论了第一Fourier系数法在其它偏微分方程中的推广。综述了椭圆和抛物型偏微分方程的边界点正则性。
2009-01-26 math.AP
Singularity formation for the two-dimensional harmonic map flow into $S^2$
我们构造了二维调和映射流到球$S^2$，\begin{align*} u_t & = Δu + |\nabla u|^2 u \quad \text{in } Ω\times(0,T) \\ u &= φ\quad \text{on } \partial Ω\times(0,T) \\ u(\cdot,0) &= u_0 \quad \text{in } Ω, \end{align*}中的有限时间爆破解，其中$Ω$是$\mathbb{R}^2$，$u: Ω\times(0,T)\to S^2$，$u_0:\barΩ\to S^2$是光滑的，$φ= u_0\big|_{\partialΩ}$中的有界光滑区域.给定域中的任何点$q_1,\ldots, q_k$，我们找到初始和边界数据，以便解在这些点处精确爆破。每一点周围的轮廓接近于1-共旋调和映射的渐近奇异标度。我们通过“反向冒泡”构造了一个爆破后的连续解作为时空中具有有限个间断点的$H^1$ -弱解，它保持了爆破后解的同伦类.
2019-07-16 math.AP math.DG
Mean curvature flow of noncompact hypersurfaces with Type-II curvature blow-up
研究了旋转对称非紧嵌入超曲面的中曲率流的II型曲率爆破现象。使用分析技术的基础上正式匹配渐近和建设的上，下障碍解决方案包络形式解方案与规定的行为，我们表明，对于每个初始超曲面考虑，中曲率流解决方案表现出以下行为附近的“消失”时间$T$：（1）最大曲率集中在超曲面的顶点（脐点），并且对于参数$γ>1/2$的每个选择，存在具有以速率$(T-t)^{-(γ+1/2)}$膨胀的最高曲率的解。(2)在尖端附近，解收敛到一个平移孤子，这是一个更高的维模拟的“死神”解决方案的曲线缩短流。(3)远离叶尖，流面以取决于参数$γ$的特征速率接近一个塌陷圆柱。
2017-05-07 math.AP math.DG
Renormalization and blow up for charge one equivariant critical wave maps
本文证明了从2+1维到2-球面的波映射问题的等变有限时间爆破解的存在性。这些解决方案是一个动态重新缩放的基态谐波映射加上辐射项的总和。当时间接近爆破时间时，后者的局部能量趋于零。这是通过首先通过求解一个椭圆型方程，然后通过微扰分析来“重正化”重新标度的基态谐波映射轮廓来实现的。
2006-10-07 math-ph math.AP math.MP
The spectra of harmonic layer potential operators on domains with rotationally symmetric conical points
研究了与Laplacian算子（Neumann-Poincaré算子的伴随）相关联的双层位势的伴随，作为$\mathbb{R}^3$中具有锥点的区域的边界面$Γ$上的映射.该算子的谱直接反映了相关传输问题在$Γ$上的适定性。特别地，如果域被理解为嵌入在具有单位介电常数的背景介质中的具有复介电常数$ε$的夹杂物，则当$(ε+1)/(ε-1)$属于能量范数中的预解集时，域的极化率张量被很好地定义。我们研究表面$Γ$，具有有限数量的圆锥点旋转对称。在能量空间上，我们证明了本质谱由一个区间组成。在$L^2(Γ)$上，即对于平方可积边界数据，我们证明了本质谱由一个可数的曲线并组成，在该曲线外，Fredholm指数可以计算为关于本质谱的卷绕数。我们提供了明确的公式，取决于锥点的开口角。我们加强了我们的研究与非常精确的数值实验，计算的能量空间谱和谱测度的极化率张量在两个不同的例子。我们的结果表明，谱测度的密度可以非常迅速地接近零的能量空间谱的连续部分。
2017-09-29 math.AP math.FA math.SP
On the stability of type II blowup for the 1-corotational energy supercritical harmonic heat flow
本文考虑了从$\mathbb{R}^d$到具有$d \geq 7$的$d$球$\mathbb{S}^d$的能量超临界谐波热流.在1-共转对称的附加假设下，问题简化为一维半线性热方程$$\partial_t u = \partial^2_r u + \frac{(d-1)}{r}\partial_r u - \frac{(d-1)}{2r^2}\sin(2u).$$。我们为该方程构造一族$\mathcal{C}^{\infty}$解，其通过通用轮廓$$u(r,t) \sim Q\left(\frac{r}{λ(t)}\right),$$的集中在有限时间内爆破，其中$Q$是方程的稳态解，并且速度由量化率$$λ(t) \sim c_u(T-t)^\frac{\ell}γ, \quad \ell \in \mathbb{N}^*, \;\; 2\ell > γ= γ(d) \in (1,2].$$给出。构造依赖于两个参数：由于Merle，Raphaël和Rodnianski开发的鲁棒通用能量方法和调制技术，将问题减少到有限维[Camb. Jour. Math，3（4）：439-617，2015]对于能量超临界非线性薛定谔方程和Raphaël和Schweyer [Anal. PDE，7（8）：1713-1805，2014]，然后我们通过矛盾来解决有限维问题，并使用Brouwer不动点定理得出…
2017-04-04 math.AP math.DG
Slowly vanishing mean oscillations: non-uniqueness of blow-ups in a two-phase free boundary problem
在Kenig和Toro的两相自由边界问题中，研究了互补NTA域上的调和测度的Radon-Nikodym导数$h= dω^-/dω^+$的正则性如何控制它们公共边界的几何形状.现在已知$\log h \in C^{0,α}(\partial Ω)$意味着边界在逐点上有唯一的爆破，这是齐次调和多项式的零点集。本文给出了具有$\log h \in C(\partial Ω)$的域的例子，这些域的边界具有非唯一爆破点。从哲学上讲，这些例子来自于无限数量的振荡或旋转爆破极限，但非常缓慢。
2022-10-31 math.AP math.CA
Construction of a spectrally stable self-similar blowup solution to the supercritical corotational harmonic map heat flow
证明了从$\mathbb R^3$到三球面的共转调和映射的热流的（谱）稳定的自相似爆破解$f_0$的存在性。特别地，我们的结果验证了作者提出的谱隙猜想，并为证明$f_0$的非线性稳定性奠定了基础.在我们的分析的核心在于一个新的单调自相似解$f_0$的存在性结果。虽然这种解决方案已经被构造之前，我们的方法揭示了大量的定量性质的$f_0$，导致稳定的结果。其中一个关键因素是使用了区间运算：一种严格的计算机辅助函数估计方法。这是很容易验证我们的结果，强大的数值，但本文的目的是提供数学上严格的证明。
2018-04-20 math-ph math.AP math.DG
Bubbling location for $F$-harmonic maps and Inhomogeneous Landau-Lifshitz equations
设$f$是闭黎曼曲面（M，g）上的正光滑函数.定义从$M$到黎曼流形$(N,h)$的映射$u$的$f-energy$为$$E_f(u)=\int_Mf|\nabla u|^2dV_g.$$本文研究了$E_f$的Palais-Smale序列的爆破性质.我们将证明，如果Palais-Smale序列不是紧的，那么它一定在$f$的某些临界点处爆破。作为一个序列，如果一个非齐次Landau-Lifshitz系统，即$$u_t=u\timesτ_f(u)+τ_f(u),\s u:M\to S^2$$的解在时间$\infty$爆破，那么爆破点一定是$f$的临界点。
2005-08-08 math-ph math.AP math.MP
Blow-up suppression for the nematic liquid crystal flow via Couette flow on $\mathbb{R}^2$
School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology（大连理工大学数学科学学院）；Department of Mathematics, Chinese University of Hong Kong（香港中文大学数学系）
本文通过引入足够幅度的Couette流，在弱假设下抑制了二维向列相液晶流的爆破现象，并构造了初始能量超过8π的例子。
2026-02-02 math.AP
Existence and stability of shrinkers for the harmonic map heat flow in higher dimensions
本文研究了高维调和映射热流的奇异性形成，通过构造旋转对称目标流形，证明了稳定共旋自相似收缩解的存在性，揭示了 Cauchy 问题的稳定爆破机制。
2023-04-08 math.AP math.DG
Blow-up and lifespan estimates for solutions to the weakly coupled system of nonlinear damped wave equations outside a ball
本文考虑了球外多分量半线性经典阻尼波动方程组的初边值问题，它具有几个基本边界条件（Dirichlet/Neumann/Robin边界条件）.通过应用一个检验函数的方法与明智的选择检验函数，它近似的调和函数受到这些边界条件的$\partial Ω$，同时，我们已经成功地证明了爆破结果在有限的时间，以及在捕捉尖锐的上界寿命估计小的解决方案，在两个和更高的空间维度。最后，我们将在一维情形下讨论这类结果。
2022-01-24 math.AP
Global well-posedness, blow-up and stability of standing waves for supercritical NLS with rotation
考虑带转动的聚焦质量超临界非线性薛定谔方程\begin{equation*} iu_{t}=-\frac{1}{2}Δu+\frac{1}{2}V(x)u-|u|^{p-1}u+L_Ωu,\quad (x,t)\in \mathbb{R}^{N}\times\mathbb{R}, \end{equation*}，其中$N=2$或$3$，$V(x)$为各向异性调和势.这里$L_Ω$是量子力学角动量算符。我们建立的整体存在和爆破的能量空间的条件。此外，我们证明了在一定条件下的旋转和波的频率的驻波强不稳定性。最后，我们通过考虑适当的局部极小化问题，构造了轨道稳定的驻波解。这些结果得到的非线性是$L^{2}$ -超临界。
2021-02-19 math.AP
Dynamics of Bubbling Wave Maps with Prescribed Radiation
本文研究了能量临界单等变波映射取值于双球面。众所周知，任何有限能量波映射都是通过将（可能）几个基态调和映射的副本的能量集中在原点而形成奇点的。如果只有一个能量泡被集中，解分解成一个动态重新标度的调和映射加上一个项，该项说明了从奇点辐射出去的能量。在本文中，我们构造爆破解决方案，通过规定的辐射分量的地图。此外，我们给出了一个尖锐的分类的动力学爆破速率为每一个解决方案，这一规定的辐射。
2019-08-22 math.AP
Estimates for harmonic functions near pseudo-corners
IRMAR UMR 6625 du CNRS, Université de Rennes 1（雷恩第一大学 IRMAR UMR 6625 CNRS）
研究伪角点附近调和函数的估计，通过内展开方法分析高阶Sobolev范数和奇异性系数的发散行为。
2025-10-07 math.AP
Uniqueness of Blow-ups for the Superconductivity Free Boundary Problem
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Westlake University（西湖大学）
研究超导自由边界问题在原点附近的行为，证明在奇异点处二次吹胀的唯一性，通过二次部分缩放和迹自由二次调和函数投影，结合Lyapunov恒等式和双倍环估计，得出二次系数收敛，从而证明吹胀的唯一性。
2026-04-26 math.AP
Eigenstructure of the linearized electrical impedance tomography problem under radial perturbations
Aalto University（阿尔托大学）
本文研究了在径向扰动下线性化电阻抗断层成像问题的特征结构，证明了线性近似下的特征函数对应于球面谐波，并给出了特征值的显式公式。
2026-03-16 math.AP
Convergence rate, location and $\partial_z^2$ condition for fully bubbling solutions to SU(n+1) Toda Systems
众所周知，$SU(n+1)$ Toda系统的研究不仅对物理学中的Chern-Simons模型有重要意义，而且对理解从Riemann曲面到$\mathbb C\mathbb P^n$的全纯曲线、调和序列或调和映射也有重要意义。研究黎曼曲面上$SU(n+1)$ Toda方程组的一个主要目的是完全理解完全泡解的渐近行为。在这篇文章中，我们使用一个统一的方法来研究一般$SU(n+1)$ Toda系统的完全冒泡的解决方案，我们证明了三个主要的尖锐的估计重要的构造冒泡的解决方案：封闭的整体解决方案，爆破点的位置和$\partial_z^2$条件。
2014-10-27 math.AP
Classification of Blow-ups and Free Boundaries of Solutions to Unstable Free Boundary Problems
通常，解决方案$u$到\[ Δu(\mathbf{x})=f(\mathbf{x})χ_{\{u>ψ\}} \]不是$C^{1,1}$，即使对于$f$平滑和$ψ(\mathbf{x})\equiv0$也是如此。点周围的$u$不是$C^{1,1}$称为奇点，所有这些点的集合，奇异集。本文分析了$\mathbb{R}^{3}$中的爆破、自由边界$\partial\{u>ψ\}$和奇点$\mathbf{x}^{0}=(x^{0},y^{0},z^{0})$附近的奇异集。我们表明，爆破的形式\[ \lim_{j\to\infty}\frac{u(r_{j}\cdot+\mathbf{x}^{0})}{\|u\|_{L^{\infty}(B_{r_{j}}(\mathbf{x}^{0}))}}, \] $r_{j}\to0^{+}$是唯一的，自由边界$\partial\{u>ψ\}$是旋转接近表面$(x-x^{0})^{2}+(y-y^{0})^{2}=2(z-z^{0})^{2}$或$(x-x^{0})^{2}=(z-z^{0})^{2}$，奇异点是孤立的或包含在$C^{1}$曲线。证明的方法是基于将$u$的解投影到调和二次齐次多项式空间上。
2015-10-13 math.AP
Fourth order Schrödinger equation with mixed dispersion on certain Cartan-Hadamard manifolds
本文研究Cartan-Hadamard流形上混合色散四阶薛定谔方程，在双曲空间证明小初值全局解与散射，在旋转对称流形上获得加权Strichartz估计及爆破结果。
2022-07-30 math.AP math.DG
Blow-up of radially symmetric solutions for a cubic NLS type system in dimension 4
针对四维能量临界的三次非线性 Schrödinger 系统，本文利用凸性方法证明低初始能量、高动能的径向对称解有限时间爆破，并通过集中紧性与变分方法建立基态及最佳 Sobolev 常数。
2025-03-18 math.AP
Asymptotic stability of harmonic maps under the Schrödinger flow
对于从$\R^2\times\R^+$到2-球面$§^2$的薛定谔映射，不知道有限能量解是否能在有限时间内形成奇点（"爆破“）。我们考虑能量接近于两参数等变调和映射族能量的等变解。我们证明了，如果映射的拓扑度至少是4，blowup { \it不}发生，和全球解决方案收敛（在分散的意义上-即分散）到一个固定的调和映射的时间趋于无穷大。证明使用，除其他事项外，一个时间依赖分裂的解决方案，“广义Hasimoto变换”，并对某一两个空间维线性薛定谔方程，其潜在的临界功率空间奇异性和衰减的Schr hartz（色散）估计。在此过程中，我们建立了一个能量空间局部适定性结果，其存在时间由附近调和映射的长度尺度决定。
2006-09-21 math-ph math.AP math.MP
Asymptotic stability, concentration, and oscillation in harmonic map heat-flow, Landau-Lifshitz, and Schroedinger maps on R^2
我们考虑了从R^2到S^2的m次等变映射的铁磁Landau-Lifshitz方程（包括调和映射热流和Schroedinger流作为特例）.如果m \geq 3，我们证明了近最小能量的解决方案收敛到一个调和映射，t走向无穷（渐近稳定性），以前的工作扩展到度m = 3。由于调和映射分量的空间衰减缓慢，需要一种新的方法来处理m=3，包括（在其他工具中）参数动力学的“范式”，以及具有足够排斥势的薛定谔算子的2D径向双端点Schroedinger估计（这可能是一些独立的兴趣）。当m=2时，这种渐近稳定性可能会失败：在热流的情况下，进一步的对称性限制，我们表明，更奇异的渐近性是可能的，包括无限时间浓度（爆破），甚至“永恒振荡”。
2009-04-03 math.AP
Infinity-harmonic functions and inverse mean curvature flow clusters
研究无穷调和函数，通过新理论将其与逆平均曲率流簇关联，证明了二维空间中无穷调和函数的结构和正则性等结果，如函数的光滑性、临界点性质及多项式增长的整体解性质等。
2026-07-09 math.AP math.DG
Blow-up scaling and global behaviour of solutions of the bi-Laplace equation via pencil operators
作为主要问题，考虑了有界区域$Ω\subset \re^2$中的双Laplace方程$Δ^2u=0 (Δ=D_x^2+D_y^2)$，在光滑边界$\partial Ω$上满足非齐次Dirichlet或Navier型条件.此外，曲线$$Γ= Γ_1\cup...\cupΓ_m \subset Ω, \quad \mbox{on which we assume homogeneous Dirichlet} \quad u=0,$$的有限集合集中在原点$0 \in Ω$（对于任何其他点的分析都是类似的）。这使得上述椭圆问题超定。本文根据爆破标度技术和非自伴算子谱理论，讨论了在这种可容许多裂纹尖端$0$处解$u(x,y)$的可能行为类型。典型类型的容许裂纹被证明是由一个可数家庭的调和多项式，这是现在表示为铅笔本征函数，而不是他们的经典表示通过一个标准的Sturm-Liouville问题的节点集。最后，对于一个固定的容许裂纹形成在原点，这使我们能够描述所有的边界数据，可以产生这样的爆破裂纹结构。特别是，它示出了如何在这个数据集的协维增加的渐近直线裂纹的数量集中在0。
2014-12-05 math.AP
Smooth long-time existence of Harmonic Ricci Flow on surfaces
证明了在有限奇异时刻，正亏格曲面上调和里奇流的映射分量的能量密度和区域流形的曲率必须同时爆破.作为直接结果，我们得到了具有大耦合常数的调和里奇流的光滑长时间存在性。
2016-09-23 math.AP math.DG
Flat points in zero sets of harmonic polynomials and harmonic measure from two sides
我们得到了调和多项式零集的局部平坦性的定量估计。有两种选择：在每一点上，要么零点集在所有尺度上均匀地远离超平面的Hausdorff距离，要么零点集在小尺度上变得局部平坦，具有任意小的常数。从两个方面给出了调和测度自由边界问题的一个应用，其中边界的爆破是调和多项式的零集。
2012-04-26 math.AP math.CA
Short-time existence of the $α$-Dirac-harmonic map flow and applications
本文利用$α$ -Dirac-调和映射的热流和Blow-up分析讨论了闭曲面上Dirac-调和映射的一般存在性定理。更精确地说，对于任意Dirac算子具有非平凡极小核的初始映射，我们首先证明了$α$ -Dirac-调和映射的热流的短时存在性.当Dirac算子的核不再沿流方向保持极小时，存在性的障碍是奇异时间。在这种情况下，即使映射相对于时间是平滑的，内核也可能不是连续的。为了克服这个问题，我们利用目标流形的解析性来获得Dirac算子在给定初始映射的同伦类中具有极小核的映射的密度。然后，当我们到达奇异时间时，这个密度允许我们选择另一个能量较低的地图来重新启动流动。因此，我们得到一个在一组孤立点上可能不连续的流。利用小能量正则性和Blow-up分析，我们得到了闭曲面上非平凡$α$ -harmonic映射（$α\geq1$）的存在性.此外，如果目标流形不允许任何非平凡调和球面，则映射部分保持在与给定初始映射相同的同伦类中。
2019-12-24 math.AP math.DG
A quantitative second order estimate for (weighted) $p$-harmonic functions in manifolds under curvature-dimension condition
本文在 Ricci 曲率下有界及 Bakry-Émery 曲率-维数条件下，为黎曼流形和加权流形中的正（加权）$p$-调和函数建立了 $\ln w$ 的定量二阶 Sobolev 估计。
2024-03-15 math.AP math.DG
