On the stability of type II blowup for the 1-corotational energy supercritical harmonic heat flow
本文考虑了从$\mathbb{R}^d$到具有$d \geq 7$的$d$球$\mathbb{S}^d$的能量超临界谐波热流.在1-共转对称的附加假设下，问题简化为一维半线性热方程$$\partial_t u = \partial^2_r u + \frac{(d-1)}{r}\partial_r u - \frac{(d-1)}{2r^2}\sin(2u).$$。我们为该方程构造一族$\mathcal{C}^{\infty}$解，其通过通用轮廓$$u(r,t) \sim Q\left(\frac{r}{λ(t)}\right),$$的集中在有限时间内爆破，其中$Q$是方程的稳态解，并且速度由量化率$$λ(t) \sim c_u(T-t)^\frac{\ell}γ, \quad \ell \in \mathbb{N}^*, \;\; 2\ell > γ= γ(d) \in (1,2].$$给出。构造依赖于两个参数：由于Merle，Raphaël和Rodnianski开发的鲁棒通用能量方法和调制技术，将问题减少到有限维[Camb. Jour. Math，3（4）：439-617，2015]对于能量超临界非线性薛定谔方程和Raphaël和Schweyer [Anal. PDE，7（8）：1713-1805，2014]，然后我们通过矛盾来解决有限维问题，并使用Brouwer不动点定理得出…
2017-04-04 math.AP math.DG
The blowup along the diagonal of the spectral function of the Laplacian
我们提出了一个关于光滑紧致黎曼流形的Laplacian谱函数在对角线附近的普适性的精确猜想。我们证明了这个猜想时，流形和度量是真正的解析，我们也提出了一个替代证明时，流形是圆球。
2012-10-29 math-ph math.AP math.DG
Construction of a spectrally stable self-similar blowup solution to the supercritical corotational harmonic map heat flow
证明了从$\mathbb R^3$到三球面的共转调和映射的热流的（谱）稳定的自相似爆破解$f_0$的存在性。特别地，我们的结果验证了作者提出的谱隙猜想，并为证明$f_0$的非线性稳定性奠定了基础.在我们的分析的核心在于一个新的单调自相似解$f_0$的存在性结果。虽然这种解决方案已经被构造之前，我们的方法揭示了大量的定量性质的$f_0$，导致稳定的结果。其中一个关键因素是使用了区间运算：一种严格的计算机辅助函数估计方法。这是很容易验证我们的结果，强大的数值，但本文的目的是提供数学上严格的证明。
2018-04-20 math-ph math.AP math.DG
Quantized slow blowup dynamics for the energy-critical Schrödinger map flow
Sorbonne Université（索邦大学）；Morningside Center of Mathematics, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究所）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
该研究针对同伦度为1的等变初始数据，构造了接近基态调和映射的初始数据，证明能量临界薛定谔映射流会以量化速率有限时间爆破，引入了新的李雅普诺夫泛函完成证明。
2026-10-27 math.AP
Mechanisms of unstable blowup in a quadratic nonlinear Schrödinger equation
该研究针对二次非线性薛定谔方程实初值全局适定的猜想，找到会引发爆破的反例初值，提出爆破初值集为对应非线性热方程零平衡点稳定流形的猜想，并用参数化方法给出启发性论证。
2024-10-10 math.AP math.DS
About the blowup of quasimodes on Riemannian manifolds
在任何维数为$n$的紧致黎曼流形$(M, g)$上，$L^2$归一化的本征函数${ϕ_λ}$满足$||ϕ_λ||_{\infty} \leq C λ^{\frac{n-1}{2}}$其中$-Δϕ_λ = λ^2 ϕ_λ.$由于它是由标准$n$ -球面$S^n$上的带球面调和函数得到的，所以在所有$(M, g)$的类中边界是尖锐的.当然，对于许多黎曼流形，例如平坦环面$\R^n/Γ$，它不是尖锐的。我们说$S^n$，而不是$\R^n/Γ$，是一个具有最大本征函数增长的黎曼流形。本文的问题是确定具有最大特征函数增长的$(M, g)$。在较早的工作中，我们两个人表明，这样的$(M, g)$必须有一个点$x$的集合${\mathcal L}_x$的测地线循环在$x$有积极的措施，在$S^*_x M$。我们加强了这一结果，在这里，这样的流形必须有一个点，其中集合${\mathcal R}_x$的回归方向的测地线流通过x满足$|{\mathcal R}_x|>0$。我们还表明，如果没有这样的点，$L^2$规范化的准模有sup-norms是$o(λ^{n-1)/2})$，并在另一个极端，我们表明，如果有一个点吹$x$在第一个返回映射的流量是身份，那么有一个序列的准模与$L^\infty$ -规范是$Ω(λ^{(n-1)/2})$。
2009-08-05 math.AP math.CA
Codimension one threshold manifold for the critical gKdV equation
我们构造了质量临界gKdV方程孤子附近的“阈值流形”，完成了arXiv：1204.4625和arXiv：1204.4624中的结果。在孤立子的邻域中，余维为1的C1流形将有限时间内爆破的解和“出口区”中的解分开。在流形上，解在时间上是全局的，并且局部收敛到孤子。特别是，孤子行为是强烈不稳定的爆破。
2015-02-16 math.AP
Asymptotic stability of harmonic maps under the Schrödinger flow
对于从$\R^2\times\R^+$到2-球面$§^2$的薛定谔映射，不知道有限能量解是否能在有限时间内形成奇点（"爆破“）。我们考虑能量接近于两参数等变调和映射族能量的等变解。我们证明了，如果映射的拓扑度至少是4，blowup { \it不}发生，和全球解决方案收敛（在分散的意义上-即分散）到一个固定的调和映射的时间趋于无穷大。证明使用，除其他事项外，一个时间依赖分裂的解决方案，“广义Hasimoto变换”，并对某一两个空间维线性薛定谔方程，其潜在的临界功率空间奇异性和衰减的Schr hartz（色散）估计。在此过程中，我们建立了一个能量空间局部适定性结果，其存在时间由附近调和映射的长度尺度决定。
2006-09-21 math-ph math.AP math.MP
Uniqueness of blowups for forced mean curvature flow
本文证明了受迫平均曲率流在闭自收缩子和圆圆柱自收缩子处切锥的唯一性，推广了Schulze和Colding-Minicozzi的结果，并涵盖黎曼流形情形。
2023-10-12 math.AP math.DG
Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation
在欧几里德空间$\mathbf{R}^3$上的Navier-斯托克斯方程可以表示为$\partial_t u = Δu + B(u,u)$的形式，其中$B$是无发散向量场$u$上的某个双线性算子，该算子服从消去性质$\langle B(u,u), u\rangle=0$（其等价于Navier-斯托克斯方程的能量恒等式）。在本文中，我们考虑这个方程的修改$\partial_t u = Δu + \tilde B(u,u)$，其中$\tilde B$是双线性算子$B$的平均版本（其中平均涉及零阶的旋转和傅立叶乘子），并且它也服从取消条件$\langle \tilde B(u,u), u \rangle = 0$（因此它服从通常的能量恒等式）。通过分析一个与Katz和Pavlovic的并矢Navier-Stokes模型相关（但比其更复杂）的常微分方程组，构造了一个在有限时间内爆破的平均Navier-斯托克斯方程的光滑解的例子.这表明，任何试图积极解决三维Navier-Stokes全局正则性问题的尝试都必须在方程的非线性部分$B(u,u)$上使用比调和分析估计和能量恒等式更精细的结构。我们还提出了一个程序，以适应这些爆破的结果，真正的Navier-Stokes方程。
2015-04-01 math.AP
Boundary regularity for manifold constrained $p(x)$-harmonic maps
证明了流形约束$p(x)$ -调和映射的部分和完全边界正则性。
2020-01-25 math.AP
Partial regularity of harmonic maps from a Riemannian manifold into a Lorentzian manifold
本文研究从黎曼流形到洛伦兹流形的平稳调和映射的部分正则性定理。对于从光滑有界开域$Ω\subset\R^m$到具有Dirichlet边界条件的Lorentz流形的弱平稳调和映射$(u,v)$，证明了它在$(m-2)$维Hausdorff测度为零的闭集外是光滑的.此外，如果目标流形$N$不允许调和球面$S^l$，$l=2,...,m-1$存在，我们将证明$(u,v)$是光滑的.
2017-04-27 math.AP
Prescribing curvatures on three dimensional Riemannian manifolds with boundaries
设$(M,g)$是具有边界$\partial M$的完备三维黎曼流形.给定分别在$M$和$\partial M$上定义的光滑函数$K(x)>0$和$c(x)$，自然会问是否存在与$g$共形的度量，使得在这些新度量下，$K$是标量曲率，而$c$是边界平均曲率。所有这些度量都可以用一个带有边界条件的曲率方程来描述。通过对$K$、$c$和$(M,g)$的适当假设，证明了方程的所有解只能在$\bar M$的每个紧子集上的有限点处爆破，其中一些解可能出现在$\partial M$上.我们描述的渐近行为的爆破解决方案周围的每个爆破点，并得出一个能量估计的结果。
2008-10-28 math.AP math.DG
A note on time-harmonic Maxwell equations on Riemannian manifolds
本文考虑电磁学中的边值问题。证明了时谐麦克斯韦方程组在黎曼流形上的适定性结果。我们还考虑了具有零边界条件的齐次时谐Maxwell方程组的本征值问题。
2019-06-29 math.AP
The harmonic map heat flow on conic manifolds
本文研究了从具有锥奇点的流形到闭流形的调和映射热流。特别地，我们证明了具有非正截面曲率的流形的解的短时存在唯一性以及整体解的存在性。这些结果是借助于具有锥奇点的流形上的极大正则性理论建立的。
2017-08-30 math.AP
Existence and stability of shrinkers for the harmonic map heat flow in higher dimensions
本文研究了高维调和映射热流的奇异性形成，通过构造旋转对称目标流形，证明了稳定共旋自相似收缩解的存在性，揭示了 Cauchy 问题的稳定爆破机制。
2023-04-08 math.AP math.DG
Separable p-harmonic functions in a cone and related quasilinear equations on manifolds
考虑一类具非负里奇曲率的黎曼流形上的拟线性椭圆型方程，给出了Tolksdorf关于锥上可分$p$ -调和函数构造的结果的一个新证明.
2007-10-16 math.AP
Partial regularity for manifold constrained p(x)-harmonic maps
证明了流形约束的$p(x)$ -调和映射在零$n$ -维Lebesgue测度集外是$C^{1,β}$ -正则的，对于某些$β\in (0,1)$ .我们还从上面给出了奇异集的豪斯多夫维数的一个估计。
2019-01-24 math.AP
Smoothing effects and infinite time blowup for reaction-diffusion equations: an approach via Sobolev and Poincaré inequalities
考虑了黎曼流形上或欧几里德加权情形下的反应扩散方程，该方程具有幂型非线性和多孔介质的慢扩散.我们考虑问题（1.1）中特别微妙的情形$p<m$，即使初始数据是光滑的和紧支集的，这个情形在[21]中也大部分是未解决的。我们证明了全球存在的L $^m$数据，和平滑效果的演变，即解决方案对应于这样的数据是有界的，在所有的积极的时间与定量约束其L $^\infty$规范。由于这一事实和[21]的结果，可以得出这样的结论：在曲率夹在两个严格负常数之间的Cartan-Hadamard流形上，对应于足够大的L $^m$数据的解产生在无限时间内处处逐点爆破的解，这是一个没有欧几里德类似物的事实。光滑效应的证明方法是泛函分析性质的，因为它们仅依赖于Sobolev不等式的有效性和$M$上的$Δ$的L $^2$谱有界远离零的事实（即$M$上的庞加莱不等式的有效性）。因此，它们适用于不同的情况，其中，我们挑出的情况下（质量）加权反应扩散方程在欧几里德设置。在后一种情况下，[37]的方法的修改也允许处理全局可积权重的情况，具有更强的大时间结果。
2021-01-25 math.AP math.DG
Energy identity and no neck property for $\varepsilon$-harmonic and $α$-harmonic maps into homogeneous target manifolds
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；School of Mathematics University of Leeds（利兹大学数学学院）
本文研究了ε-和α-谐波映射到齐性目标流形的能量恒等式和无颈部性质，通过等价嵌入方法进行证明。
2026-02-11 math.AP math.DG
Removability of singularities of harmonic maps into pseudo-Riemannian manifolds
本文考虑到伪黎曼流形的调和映射。本文证明了连续映射的孤立奇点的可移性，即从R^m的开子集到伪黎曼流形的任何连续映射，只要该流形是二次连续可微的，且在孤立点外处处调和，则它实际上是处处光滑调和的.
2003-05-15 math.AP math.DG
Gradient estimate for harmonic functions on Kähler manifolds
证明了非紧Kähler流形上调和函数的一个尖锐的积分梯度估计.作为应用，我们得到了p-Laplacian谱底的一个精确估计，并证明了实现这一估计的流形的一个分裂定理。
2019-05-07 math.AP math.DG
Regularity for Dirac-harmonic maps into certain pseudo-Riemannian manifolds
证明了从闭自旋Riemann曲面到定常Lorentz流形的弱Dirac-调和映射的光滑性，并得到了一类无反对称结构的临界椭圆系统的正则性定理.
2020-03-28 math.AP math.DG
Local gradient estimate for harmonic functions on Finsler manifolds
在加权里奇曲率有下界的条件下，证明了完备非紧Finsler测度空间上调和函数的局部梯度估计.作为应用，我们得到了具有非负里奇曲率的Finsler流形上的Liouville型定理.
2013-12-17 math.AP math.DG
Linear \infty-Harmonic maps between Rienmannian manifolds
本文给出了欧氏空间与Heisenberg空间之间、Nil空间与Sol空间之间的线性$\infty$ -调和映射的完全分类。对Sol空间的所有$\infty$ -调和线性自同构进行了分类，并证明了在Sol空间的线性自同构群中存在$\infty$ -调和线性自同构的子群.
2007-11-05 math.AP math.DG
Heat flow for VT harmonic map from compact manifold
本文利用热流方法证明了从紧致黎曼流形到紧致流形的VT调和映射Dirichlet问题解的存在性，并在特定条件下获得了VT测地线的存在性。
2025-10-19 math.AP math.DG
On the existence of Hermitian-harmonic maps from complete Hermitian to complete Riemannian manifolds
在非Kähler流形上，为了与复结构复结构相容，将调和映射的概念修改为Hermitian调和映射的概念.所得到的半线性椭圆方程组是散度型的{ \it not}。考虑了非紧完备原像和目标流形的情形。我们给出了相应的抛物型方程组的Hermite调和映射和解的存在唯一性条件，这些条件满足方程组的非散度型。许多例子说明了理论结果和调和映射的根本区别。
2003-03-12 math.AP math.DG
Some classifications of \infty-Harmonic maps between Riemannian manifolds
$\infty$ -调和映射是$\infty$ -调和函数的推广。当p趋于无穷大时，它们可以被看作是p-调和映射的极限情形。本文给出了球面上的线性和二次$\infty$ -调和映射以及欧几里得空间之间的二次$\infty$ -调和映射的完全分类。本文描述了Nil空间与欧几里得空间之间，Sol空间与欧几里得空间之间的所有线性和二次$\infty$ -调和映射.我们还研究了复欧几里得空间之间的全纯$\infty$ -调和映射。
2007-10-30 math.AP math.DG
