On the prime power factorization of n!
在本文中，我们证明了两个结果。第一个定理使用金\cite{K}的一份文件，以显示，对于固定素数$p_1,...,p_k$，并为固定整数$m_1,...,m_k$，与$p_i\not|m_i$，数字$(e_{p_1}(n),...,e_{p_k}(n))$是均匀分布模$(m_1,...,m_k)$，其中$e_p(n)$是阶的素数$p$的因式分解$n!$。这意味着桑德的猜想之一，从PDMATHAMV，对任何一组奇素数。Berend \cite{B}要求找到增长最快的函数$f(x)$，使得对于大的$x$和任何给定的有限序列$ε_i\in \{0,1\}, i\le f(x)$，存在$n<x$，使得同余$e_{p_i}(n)\equiv ε_i\pmod 2$对所有$i\le f(x)$成立。这里，$p_i$是$i$的第一个素数。在我们的第二个结果中，我们能够证明$f(x)$至少可以被认为是$c_1 (\log x/(\log\log x)^6)^{1/9}$，具有某个绝对常数$c_1$，只要只涉及第一个奇素数。
2003-04-19 math.NT
Genus theory and the factorization of class equations over $\mathbb{F}_p$
本文仅根据亏格理论，给出了Stankewicz定理的一个新证明，该定理刻画了素数$p$，对于该素数，虚二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{D})$的极大序模的类方程$H_D(X)$有一个线性因子（mod $p$）.这给出了素数$p$的一个素数分解律，其中$p \nmid D$在$K$的Hilbert类域的实子域中。
2019-02-05 math.NT
Integers With A Predetermined Prime Factorization
解析数论中的一个经典问题是找到$σ_{k}(x)$和$π_{k}(x)$的渐近性，整数$n\leq x$正好具有$k$素因子，其中$π_{k}(x)$具有所有因子都不同的附加约束。这个问题最初是由朗道在1900年解决，并随后做了大量的工作，其中$k$是允许变化。在本文中，我们看看一个类似的问题，整数与一个特定的素因子分解。给定$\boldsymbolα\in\mathbb{N}^{k}$，$\boldsymbolα=(α_{1},α_{2},...,α_{k})$令$σ_{\boldsymbolα}(x)$表示形式为$n=p_{1}^{α_{1}}... p_{k}^{α_{k}}$的整数的个数，其中$p_{i}$不一定是不同的，并令$π_{\boldsymbolα}(x)$表示添加了因子不同的条件的相同计数函数。我们的主要结果是这两个函数的渐近性。
2012-06-12 math.NT
Distinct exponents in the prime factorization
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；National Research University “Higher School of Economics”（国立研究大学高等经济学校）
本文研究正整数素数分解中不同指数个数的算术函数$h(n)$，证明其作用于欧拉函数时求和渐近等价于$x(\log\log x/\log\log\log x)^{1/2}$，关键使用Ford的泊松随机模型。
2026-09-23 math.NT
Factoring Hecke polynomials modulo a prime
设T^{N，chi}_{p，k}（x）是Hecke算子T_p作用在尖点形式空间S_k（N，chi）上的特征多项式.我们描述了T^{N，chi}_{p，k}（x）mod l随k变化的因式分解，并明确计算了N=1和小l时的因式分解。利用这些因子分解，可以从T^{1，1}_{2，k}（x）的不可约性导出T ^{1，1}_{q，k}（x）的不可约性。
1998-11-15 math.NT
Factorization of Hilbert class polynomials over prime fields
令$D$是与$0$或$1\bmod{4}$全等的负整数，并且$\mathcal{O}=\mathcal{O}_D$是$ K=\mathbb{Q}(\sqrt{D})$的对应阶。希尔伯特类多项式$H_D(x)$是$\mathcal{O}$在$K$上的$j$ -不变量$ j_D=j(\mathbb{C}/\mathcal{O})$的最小多项式.令$n_D=(\mathcal{O}_{\mathbb{Q}( j_D)}:\mathbb{Z}[ j_D])$表示$\mathbb{Z}[ j_D]$在$\mathbb{Q}(j_D)$的整数环中的指数。假设$p$是任意素数。如果$p\nmid n_D$或$p\nmid D$在$K$和$p$ -adic赋值$v_p(n_D)\leq 3$中是惰性的，则我们完全确定$H_D(x)$在$\mathbb{F}_p[x]$中的因式分解。作为一个应用，我们分析了Collivan和Kohel在2019年提出的定向超奇异同构Diffie-Hellman（OSIDH）协议的密钥空间，该密钥空间是$\mathbb{F}_{p^2}$中Hilbert类多项式的根集。
2021-08-04 math.NT
On (unitary) perfect polynomials over $\mathbb{F}_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
在$\mathbb{F}_2$上唯一的（酉）完全多项式是$x$，$x+1$和梅森素数的乘积，它们正好是9个（分别是）。九个“知”字。这是由关于$M^{2h+1} +1$的因式分解的一个新结果得出的，对于梅森素数$M$和正整数$h$。这样的因式分解的其他后果是关于奇完全多项式的新结果。
2019-07-31 math.NT
Primes Appearing in Prime Tower Factorization
我们引入并考虑涉及初等数论的某个概率问题以及固定素数出现在整数的某个递归定义的因式分解中的可能性。我们得到了几个收敛的无穷乘积的概率，我们无法简化，以获得封闭形式的解决方案。然而，我们能够实现这些公式在算法的发展，以获得任意密切的严格界限的概率问题。
2014-06-14 math.CO math.NT math.PR
Asymptotic distribution of integers with certain prime factorizations
设$p_{1}<p_2<... <p_ν<...$为素数序列，$m$为正整数。本文给出了具有$p_{m^{k_1}}p_{m^{k_{2}}...p_{m^{k_{n}}}$ with $k_{1}\le k_{2}\le...\le k_{n}$的素数分解的整数集合的分布的一个强渐近公式。这样的整数起源于各种组合计数问题;当$m=2$时，它们作为某些有根树的Matula数出现。
2013-11-09 math.CO math.NT
Higher Newton polygons in the computation of discriminants and prime ideal decomposition in number fields
给出了数域上判别式和素理想分解的一个算法。该算法是基于高阶牛顿多边形的p-adic因式分解方法的改进。该算法的运行时间和内存要求似乎是非常好的：对于一个给定的素数p，它计算的判别式的p-赋值和因式分解的p在一个数字领域的程度1000在几秒钟内，在个人计算机。
2008-11-03 math.NT
Recursive Prime Factorizations: Dyck Words as Numbers
本文提出了一种基于Dyck词的非位置数制系统，通过递归扩展素因数分解来唯一表示自然数和有理数，并探讨了Dyck完备语言的可能研究方向。
2026-02-17 cs.FL math.NT
Prime numbers and factorization of polynomials
Guru Nanak Dev University（古鲁纳克德夫大学）
本文研究整系数多项式不可约因子数量的上界，通过分析多项式在大整数点处的素因子分解及复平面上根的位置，推导出若干经典不可约性判别准则，并扩展至任意域上的双变量多项式。
2024-11-27 math.AG math.NT
Fermat-Wilson Supercongruences, arithmetic derivatives and strange factorizations
在[Tha 15]中，我们研究了有限域上多项式的费马和威尔逊的著名基本同余的两个（“乘法”和“Carlitz-Drinfeld加法”）类似物。当我们看它们模素数的高次幂时，即在“超同余”上，我们发现有趣的关系将它们联系在一起，以及将它们与算术导数和zeta值联系在一起。在目前的工作中，我们扩大了第一个模拟和算术导数的连接更系统，给出了更多的等价条件连接两者，现在使用“混合导数”也。我们还观察和证明显着的素因子分解，涉及衍生条件的一些基本量的函数域算术。
2022-11-02 math.NT
A characterization of prime $v$-palindromes
本文定义了 $v$-回文数，并证明素数 $v$-回文数恰好是特定形式孪生素数对中的较大者，从而在标准猜想下推出其仅有有限个。
2023-07-03 math.NT
Partial Factorizations of Products of Binomial Coefficients
设$G_n= \prod_{k=0}^n \binom{n}{k},$为帕斯卡三角形第$n$行元素的乘积。本文研究了$G_n$的部分因子分解，它由$G_n$的所有素因子$p$的乘积$G(n,x)$给出，且有$p \le x$，重数.对于为$0 \le α\le 1$定义的极限函数$f_{G}(α)$，它将$\log G(n, αn) \sim f_G(α)n^2$显示为$n \to \infty$。主要结果推导出从研究的功能$A(n, x), B(n,x),$，编码统计的基础$p$基数扩展的整数$n$（和更小的整数），其中基础$p$范围超过素数$p \le x$。利用带余项的素数定理或在黎曼假设的条件下导出了$A(n,x)$和$B(n,x)$的渐近性。
2020-10-05 math.NT
Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums
We generalize recent matrix-based factorization theorems for Lambert series generating functions generating the coefficients $(f \ast 1)(n)$ for some arithmetic function $f$ . Our new factorization theorems provide analogs to these established expansions generating sums of the form $\sum_{d: (d,n)=1} f(d)$ (type I) and the Anderson-Apostol sums $\sum_{d|(m,n)} f(d) g(n/d)$ (type II) for any arithmetic functions $f$ and $g$ . Our treatment of the type II sums includes a matrix-based factorization method relating the partition function $p(n)$ to arbitrary arithmetic functions $f$ . We also concl…
2019-09-20 math.NT
A fast algorithm for computing Bell polynomials based on index break-downs using prime factorization
提出一种基于素数分解的索引拆分快速算法，利用Bell多项式与有理卷积幂的联系，显著减少计算部分Bell多项式的算术运算量。
2023-11-14 cs.NA math.CA math.NA
A reduction of integer factorization to modular tetration
令$a,k\in\mathbb{N}$。对于指数函数$x\mapsto a^x$的$k-1$ -th分解，也称为四分之一，我们写\[ ^k a:=a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}. \]在本文中，我们展示了如何四分之一模自然数$N$的有效算法可用于计算$N$的素因子分解。特别是，我们证明了计算整数的无平方部分的问题是确定性的多项式时间约模四分之一。
2018-02-13 math.NT
Irreducible factorization of translates of reversed Dickson polynomials over finite fields
令$F$是$q$元素的域，其中$q$是奇素数的幂。修复$n = (q+1)/2$。对于每个$s \in F$，我们描述了多项式$g_s(y): = y^n + (1-y)^n -s$在$F$上的所有不可约因子，并给出了$g_s(y)$在$s$上不可约的充要条件.
2018-02-06 math.NT
On the tower factorization of integers
研究整数塔式分解的高度，给出高度为k的整数集合密度公式，估计平均层数，并证明存在任意长且高度任意大的连续整数序列。
2023-08-17 math.NT
Deterministic factorization of sums and differences of powers
设$a,b\in \mathbb{N}$是固定的且互质的，使得$a>b$，并且设$N$是形式为$a^n\pm b^n$、$n\in\mathbb{N}$的任意数。本文推广Bostan，Gaudry和Schost的一个结果，证明了可以在表示两个$k$ -位整数相乘的代价的\[ \mathcal{O}(\text{M}_{\text{int}}(N^{1/4}\sqrt{\log N})), \] $\text{M}_{\text{int}}(k)$中计算$N$的素因子分解.这一结果优于目前已知的确定性整数分解的运行时复杂度的一般界。
2015-12-20 math.NT
An Algebraic-Geometry Approach to Prime Factorization
优于现有算法或利用素因子的特定性质的素因子分解的新算法可以对依赖于因子分解复杂性的密码算法的当前实现具有实际影响。当前使用的密钥是基于当前算法知识选择的，因此可能会受到未来漏洞的影响。出于这个原因，值得研究具有计算优势的潜力的新方法。这个问题在量子计算中也有相关性，因为已经存在一个有效的量子算法来进行素因子分解。因此，更好的经典渐近复杂性可以更好地理解量子计算机提供的优势。在本文中，我们减少了因子分解问题的可参数化品种，特别是曲线，在有限域上的点的搜索。要求簇与基域上的某个超曲面有任意多个交点。对于次指数或多项式因子分解复杂度，参数的数量必须在空间维度n中次线性地缩放，并且给定参数的计算点的复杂度必须分别是次指数或多项式。我们概述了建立这些品种，这是说明了两个建设的程序。在一种情况下，我们表明，有品种的点可以有效地评估给定的参数不大于n/2。在另一种情况下，边界下降到n/3。顺便说一句，第一种结构类似于一种追溯因果模型。逆向因果关系被认为是量子奇异性的一种可能解释。
2022-09-23 cs.CC cs.CR math.AG
Polynomials with prescribed bad primes
我们将Z[t]中的多项式列成表格，具有给定的分解分区，完全在给定的素数集合内的坏约化，并且满足与0，1和无穷大相关联的辅助条件。我们解释了如何这些套多项式是特别感兴趣的，因为它们的作用，在任意大的程度和有界分歧的非可解数域的建设。最后，我们讨论了类似的，但技术上更复杂的制表问题相应的去除辅助条件。
2014-01-30 math.NT
Factoring Catalan numbers
本文描述了Catalan数的一种素因子分解。奇素因子按照勒让德公式分层分布。每一层的内容是一个区间网络，即切比雪夫分段。Segment的素数不进行计算，而是根据其边界进行选择。层包含非重复素数。当素数在不同的层之间重复时，就形成了重复因子。本文也从线段的边界出发，对Kummer的素因子选择定理作了一些修改。总之，读者提供了一个软件服务的因式分解的加泰罗尼亚数与索引高达$10^8$
2019-08-10 math.CO math.NT
Composed Products and Explicit Factors of Cyclotomic Polynomials over Finite Fields
设$q = p^s$是素数$p$的幂，$\mathbb{F}_q$是具有$q$元素的有限域。本文给出了$\mathbb{F}_q$上的分圆多项式$Φ_{2^nr}$（其中$r \geq 3$和$q$均为奇数）、$\gcd(q,r) = 1$和$n\in \mathbb{N}$的显式因式分解.以前，只有达到$r = 1,\ 3,\ 5$的特殊情况。为此，我们假设$Φ_r$在$\mathbb{F}_q$上的显式因式分解是已知的。令$n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}... p_s^{e_s}$是$n \in \mathbb{N}$到不同素数的幂的因式分解$p_i,\ 1\leq i \leq s$。在$q$模所有这些素数权力$p_i^{e_i}$的顺序是成对互质的情况下，我们展示了如何获得$Φ_{n}$的显式因子从每个$Φ_{p_i^{e_i}}$的因素。我们还演示了如何获得$Φ_{mn}$的因式分解$Φ_n$当$q$是一个原根模$m$和$\gcd(m,n) = \gcd(ϕ(m),\ord_n(q)) = 1$。这里$ϕ$是欧拉函数，$\ord_n(q)$表示$q$模$n$的乘法阶。此外，我们构造了一类新的$\mathbb{F}_q$上的不可约多项式，推广了Varshamov（1984）\cite{Varshamov}的一个结果.
2011-09-22 math.NT
Ternary arithmetic, factorization, and the class number one problem
通过考虑六边形格的离散体积，可以将自然数的普通二进制乘法以非平凡的方式推广到三进制运算。通过这种操作，定义了一个自然的“3-素数”概念--关于三进制乘法的素数，结果是3-素数很少。它们对应于虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$，$n>0$，具有奇判别式，其整数环允许唯一因子分解.我们还描述了如何确定数字作为三进制积的表示以及用于通常的素性测试和整数因式分解的相关算法。
2020-12-25 math.NT
A babystep-giantstep method for faster deterministic integer factorization
在1977年，Strassen提出了一个确定性的和严格的算法，用于解决计算自然数的素数分解问题$N$。他的方法是基于快速多项式算术技术和运行在时间$\widetilde{O}(N^{1/4})$，这已经是最先进的在过去的四十年。在本文中，我们将结合Strassen的方法与babystep-giantstep方法，以改善目前最知名的超多项式因子的限制。我们的算法的运行时复杂度的形式为\[ \widetilde{O}\left(N^{1/4}\exp(-C\log N/\log\log N)\right). \]
2017-07-06 math.NT
Faster deterministic integer factorization
最著名的计算整数N的素因子分解的无条件确定性复杂度界是O（M_int（N^（1/4）log N）），其中M_int（k）表示乘以k位整数的成本。这一结果是由于Bostan-Gaudry-Schost，遵循波拉德-斯特拉森方法。我们证明了这个界限可以提高（log log N）^（1/2）倍。
2012-01-10 cs.DS math.NT
Logarithmic Newton polygons and polytopes, and the factorization of Dirichlet polynomials
Simion Stoilow Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院西奥多·斯托伊洛瓦数学研究所）
本文通过引入对数牛顿多边形与对数牛顿多胞体等工具，绕过典范映射对整数素因子分解的依赖，建立了狄利克雷多项式的一系列不可约性、无平方因子性及绝对不可约性判据，推广了经典多项式因式分解理论。
2025-11-07 math.AC math.NT
On the abscissas of a Dirichlet series and its subseries supported on prime factorization
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）
研究狄利克雷级数\(f(s)\)的绝对收敛横坐标\(\sigma_a(f)\)与其特定子级数相关横坐标\(\delta_a(f)\)，证明\(\sigma_a(f)- \delta_a(f)\)可任意大，借此在一些情形下确定乘子代数，另一些情形中洞察其结构。
2026-07-16 math.FA math.NT
Arithmetic Progressions in a Unique Factorization Domain
皮莱表明，任何序列的连续整数与最多16项拥有一项是互素的所有其他。我们给出了一个新的证明，这个结果的轻微推广到整数的等差数列，并进一步将其推广到等差数列的特征零的唯一分解域。
2012-03-25 math.NT math.RA
Fiberwise Gromov-Witten theory, quantum spectra of flag bundles, and prime factorization of integers
本文研究旗丛的垂直量子上同调与量子谱，揭示其退化由素因子分解控制，并引入双序列族，其解析性质联系黎曼zeta函数与哥德巴赫猜想。
2025-10-07 math.AG math.DG math.NT
An integer factorization algorithm which uses diffusion as a computational engine
在这篇文章中，我们开发了一个算法，计算整数$N$的除数，这是假定既不是素数，也不是一个素数的幂。该算法在有限图上使用离散时间热扩散。如果$N$有$m$个不同的素因子，那么我们的算法成功运行的概率至少是$p(m) = 1-(m+1)/2^{m}$。我们计算算法的计算复杂度，在经典的，或数字的，步骤和扩散步骤，这是一个概念，我们在这里定义。正如我们将在下面讨论的那样，我们断言，对于在量子计算机上运行的算法，扩散步骤可以并且应该被认为是与量子步骤相当的。由此，我们证明了我们的分解算法最多使用$O((\log N)^{2})$确定性步骤和最多使用$O((\log N)^{2})$扩散步骤，其中隐含常数是有效的。相比之下，Shor的算法在量子计算机上最多使用$O((\log N)^{2}\log (\log N) \log (\log \log N))$量子步骤。作为我们的算法的一个例子，我们在台式计算机上模拟扩散计算机算法，并获得$N=33$和$N=1363$的因式分解。
2023-01-23 cs.CR math.NT quant-ph
Paley-type matrices and $1$-factorizations of complete graphs
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Institute for Basic Science（基础科学研究院）；Beijing Jiaotong University（北京交通大学）
本文研究了完全图K_{p+1}中是否存在满足特定算术限制的1-因子，解决了Paley型矩阵与1-因子分解相关的问题。
2026-09-02 math.CO math.NT
Some factorization results on polynomials having integer coefficients
Guru Nanak Dev University（古鲁纳克德夫大学）
本文研究了几类具有整数系数多项式的因子分解性质，通过系数条件和根位置信息，确定了几类不可约多项式。
2023-11-27 math.AC math.AG math.NT
On Hensel's roots and a factorization formula in Z[[x]]
给定一个奇素数$p$，我们给出了多项式根模$p$的Hensel提升公式，并给出了一类常数项为$p^w$且具有$w>1$形式的可约多项式在整数系数形式幂级数环上的显式因式分解.我们所有的公式都是以部分贝尔多项式的形式给出的，并依赖于拉格朗日的反演公式。
2013-08-13 math.AC math.CO math.NT
Integer Factorization by Quantum Measurements
本文提出一种基于量子测量的整数分解算法，分解步骤数等于整数素因子个数k，达到一般整数分解操作数的下界，且与整数位数无关。
2023-09-19 cond-mat.other hep-th math.NT
