The distribution of $\mathbb{F}_q$-points on cyclic $\ell$-covers of genus $g$
研究了当$q \equiv 1 \mod \ell$固定且亏格趋于无穷大时，有限域$\mathbb{F}_q$上射影线的$\ell$ -循环覆盖点数的涨落。分布以$q+1$ i.i.d.的总和给出。随机变量。这是解决了超椭圆曲线的Kurlberg和Rudnick，而统计得到的某些组成部分的模空间的$\ell$ -循环覆盖的Bucur，大卫，Feigon和Lalín。本文得到了亏格$g$的$\ell$ -循环覆盖的满模空间上覆盖变化时点数分布的统计量。这是通过将$\ell$ -覆盖与循环函数域扩展相关联，并在有限数量的素数处使用规定的分歧和分裂条件来计数这种扩展来实现的。
2015-05-26 math.NT
The proportion of genus one curves over $\mathbb{Q}$ defined by a binary quartic that everywhere locally have a point
我们考虑亏格1曲线在$z^2=f(x,y)$形式的$\mathbb{Q}$上的比例，其中$f(x,y)\in\mathbb{Z}[x,y]$是二元四次形式（或更一般地，$z^2+h(x,y)z=f(x,y)$形式，其中$h(x,y)\in\mathbb{Z}[x,y]$也是二元二次型），其局部处处具有点。我们发现，这些曲线的比例是局部可溶性的，计算为当地的密度的产品，约为75.96%。我们证明了在一个素数$p$的局部密度是由一个固定的程度- $9$有理函数的$p$为所有奇数$p$（和广义方程，相同的有理函数给出的局部密度在每个素数）。进行了额外的分析，以严格估计在真实位置的局部密度。
2020-07-31 math.NT
The genus fields of Artin-Schreier extensions
设$q$是素数的幂$p$。设$k=\mathbb{F}_{q}(t)$是具有常数域$\mathbb{F}_{q}$的有理函数域。令$K=k(α)$是$k$的Artin-Schreier扩张。本文明确地描述了$K$的模糊理想类和亏格域。利用这些结果研究了$K$中$\mathbb{F}_{q}[t]$的积分闭包的理想类群的$p$部分.并给出了R $\acute{e}$ dei-Reichardt公式对$K$的类比.
2009-12-27 math.NT
Triangular modular curves of low genus
三角形模曲线是由上半平面的同余子群与双曲三角形群的同余子群所产生的模曲线的推广。这些曲线也自然地作为具有单值$\text{PGL}_2(\mathbb{F}_q)$或$\text{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$的Belyi映射的源而出现。提出了一种计算Borel型三角模曲线的方法，并对素数水平和小亏格的Borel型三角模线进行了计数。
2022-09-30 math.NT
Ternary and Quaternary Curves of Small Fixed Genus and Gonality with Many Rational Points
我们从我们以前的论文arXiv：2005.07054扩展计算，以确定最大数量的有理点的曲线上的$\mathbb{F}_3$和$\mathbb{F}_4$固定的角和小的亏格。例如，我们发现在有限域上不存在亏格为5且角度为6的曲线。根据我们的数据，我们提出了两种解决方案。首先，亏格$g$的最优曲线具有至多$\lfloor \frac{g+3}{2} \rfloor$的共性。第二，$γ$和$\mathbb{F}_q$上的大亏格的共性曲线具有$γ(q+1)$有理点。
2022-04-30 math.NT
Special L-values and Selmer groups of Siegel modular forms of genus 2
设$p$是奇素数，$N$是与$p$互素的无平方奇正整数，$π$是$\mathrm{GSp}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$在主水平$N$和在$p$的Iwahori水平上的$p$ -普通上同调不可约尖点自守表示.使用Rallis内积公式的$p$ -积分版本以及$\mathrm{GSp}_{4/\mathbb{Q}}$和$\mathrm{U}_{4/\mathbb{Q}}$的模块性定理，我们在$p$ --$5$ $L$的度$1$处的临界值的一部分--由与扩张$\mathbb{Q}(\sqrt{-N})/\mathbb{Q}$相关联的非平凡二次Dirichlet特征符$ξ$扭曲的$π$的函数和$p$之间建立恒等式，在一定条件下，与由$ξ$扭曲的$π$相关联的度$5$伽罗瓦表示的Selmer群的一部分，在剩余伽罗瓦表示上。
2018-11-05 math.NT
Structure of relative genus fields of cubic Kummer extensions
本文研究了分圆域上三次 Kummer 扩张的相对亏格域结构，确定了使亏格群为初等双循环群的所有正整数根 $D$ 与导子 $f$。
2023-10-13 math.NT
On Hilbert genus fields of imaginary cyclic quartic fields
设$p$是素数，使得$p=2$或$p\equiv 1\pmod 4$。令$\varepsilon_p$表示$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$的基本单位，并且令$a$是正的无平方整数。本文的主要目的是明确地确定形式为$\mathbb{Q}(\sqrt{-a\varepsilon_p\sqrt{p}})$的虚循环四次域的Hilbert亏格域。
2021-05-18 math.NT
The construction of the Hilbert genus fields of real cyclic quartic fields
设$p$是素数，使得$p=2$或$p\equiv 1\pmod 4$。令$\varepsilon_p$表示$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$的基本单位，并且令$a$是正的无平方整数。本文构造了实循环四次域$\mathbb{Q}(\sqrt{a\varepsilon_p\sqrt{p}})$的Hilbert亏格域.
2021-05-24 math.NT
Gauss Genus Theory in Characteristic 2
将Gauss复合与种理论推广至特征2多项式环，引入新不变量与直接复合，证明类群为有限阿贝尔群且同构于Picard群，并刻画广义Gauss映射的核。
2026-09-14 math.NT
Section Rings of $\mathbb{Q}$-Divisors on Genus $1$ Curves
本文研究椭圆曲线上有理除子的截面环，推广已有亏格零及堆叠曲线相关结果，给出两点支集有效除子的生成元与关系首项，并界定任意有限点支集情形的生成元次数。
2024-03-01 math.NT
Factorization of composed polynomials and applications
设$\mathbb{F}_q$是具有$q$元素的有限域，其中$q$是素数幂，$n$是正整数.本文研究了$\mathbb{F}_q$上的$f(x^{n})$的因式分解，其中$f(x)$是$\mathbb F_q$上的不可约多项式.我们的主要结果提供了最近的工作的二项式$x^n-1$的因式分解的推广。作为应用，我们给出了在$f$和$n$的某些一般条件下，$f(x^n)$的不可约因子个数的显式表达式.
2019-01-09 math.NT
Factorization of a class of composed polynomials
本文给出了$\mathbb F_q$上的复合多项式$f(L(x))$的不可约因子的度分布，其中$f(x)\in \mathbb F_q[x]$是不可约的，$L(x)\in \mathbb F_q[x]$是线性化的多项式.进一步给出了主要结果的一些应用，包括$f(L(x))$不可约因子个数的下界，高次不可约多项式的构造以及在一定条件下$f(x)$上$f(x^q-x)$的显式因式分解.
2018-09-05 math.NT
Factorization of Hilbert class polynomials over prime fields
令$D$是与$0$或$1\bmod{4}$全等的负整数，并且$\mathcal{O}=\mathcal{O}_D$是$ K=\mathbb{Q}(\sqrt{D})$的对应阶。希尔伯特类多项式$H_D(x)$是$\mathcal{O}$在$K$上的$j$ -不变量$ j_D=j(\mathbb{C}/\mathcal{O})$的最小多项式.令$n_D=(\mathcal{O}_{\mathbb{Q}( j_D)}:\mathbb{Z}[ j_D])$表示$\mathbb{Z}[ j_D]$在$\mathbb{Q}(j_D)$的整数环中的指数。假设$p$是任意素数。如果$p\nmid n_D$或$p\nmid D$在$K$和$p$ -adic赋值$v_p(n_D)\leq 3$中是惰性的，则我们完全确定$H_D(x)$在$\mathbb{F}_p[x]$中的因式分解。作为一个应用，我们分析了Collivan和Kohel在2019年提出的定向超奇异同构Diffie-Hellman（OSIDH）协议的密钥空间，该密钥空间是$\mathbb{F}_{p^2}$中Hilbert类多项式的根集。
2021-08-04 math.NT
A Classification of Genus 0 Modular Curves with Rational Points
本文通过 Galois 表示与开子群关联的模曲线，给出了所有具有有理点的亏格0模曲线的完整分类，以有限多个族呈现且均可显式计算。
2023-07-31 math.NT
On superspecial hyperelliptic curves of genus 5 whose automorphism groups contain $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$
Graduate School of Information Science and Technology, The University of Tokyo（东京大学信息理工学研究科）；Fukuoka Institute of Technology（福冈工业大学）
本文提出一种算法，用于枚举 genus 5 超特殊双曲曲线，其自同构群包含$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$，并在特征 11 < p < 1000 的情况下成功实现。
2026-03-23 math.AG math.NT
Computing binary curves of genus five
亏格5曲线可以是超椭圆曲线、三角曲线或非超椭圆非三角曲线，其模型是$\mathbb{P}^4$中三个二次曲面的完全相交。我们提出并解释算法，我们用来确定，直到同构在$\mathbb{F}_2$，所有属5曲线定义在$\mathbb{F}_2$，我们这样做分别为每一个提到的三种类型。我们考虑这些曲线在$\mathbb{F}_2$上的Jacobian或Newton多边形的等距类，并且对于这三种类型中的每一种，我们计算$\mathbb{F}_2$上的曲线的数量，这些曲线由它们的$\mathbb{F}_2$ -自同构群的大小加权。
2022-02-16 math.AG math.NT
Genus-five hyperelliptic or trigonal curves with many rational points in characteristic three
数$N_9(5)$，即$5$亏格的$\mathbb{F}_9$上曲线上的$\mathbb{F}_9$ -有理点的最大数是未知的，但已知$32 \le N_9(5)\le 35$。本文列举了$\mathbb{F}_3$上具有多个$\mathbb{F}_9$ -有理点（和$\mathbb{F}_3$ -有理点）的超椭圆曲线和三角曲线，特别是这些曲线的$\mathbb{F}_9$ -有理点的最大数目为$30$ .工藤原下研究了非超椭圆和非三角的情况，他们发现了一个新的例子，曲线（超过$\mathbb{F}_3$）的亏格5，达到$32$，并证明了没有例子达到超过$32$，在六次平面曲线与温和的奇异性。我们从本文的主要结果得出结论，我们需要搜索六次模型（即，非超椭圆和非三角形），以便找到具有至少$33$ $\mathbb{F}_9$ -有理点的$\mathbb{F}_3$上的亏格五曲线。
2022-04-14 math.AG math.NT
Genus growth in $\mathbb{Z}_p$-towers of function fields
设$K$是特征为$p$的有限域$k$上的函数域，$K_{\infty}/K$是Galois群$\mathbb{Z}_p$的几何扩张.设$K_n$是伽罗瓦群$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$和亏格$g_n$的相应子扩张.本文利用$\mathbb{Z}_p$ -塔的显式Witt向量构造给出了一个简单的显式公式$g_n$。该公式导致$g_n$上的紧下界，其在$p^n$中是二次的。此外，我们确定了所有的$\mathbb{Z}_p$ -塔的属序列是稳定的，在这个意义上说，有$a,b,c \in \mathbb{Q}$，使$g_n=a p^{2n}+b p^n +c$的$n$足够大。这类亏格稳定塔的zeta函数具有很强的稳定算术性质。这项工作的一个关键技术贡献是一个新的简化公式的施密特-维特符号来自本地类场论。
2017-03-15 math.AG math.NT
A census of genus 6 curves over $\mathbb{F}_2$
本研究借助Mukai给出的模空间$\u2139_6$的Brill–Noether分层各层典范曲线显式描述，编制出$\u211d_2$上亏格6曲线同构类代表元完整列表，验证了计算结果与莱夫谢茨迹公式结果的一致性。
2024-02-01 math.AG math.NT
Polynomial factorization statistics and point configurations in $\mathbb{R}^3$
我们使用生成函数的多项式因式分解统计的期望值在$\mathbb{F}_q$的有序配置的上同调$\mathbb{R}^3$作为对称群的表示。我们的方法导致一个新的证明扭曲Grothendieck-Lefschetz公式squarefree多项式分解统计的教堂，Ellenberg和Farb。
2018-01-30 math.CO math.NT math.RT
Uniform Manin-Mumford for a family of genus 2 curves
我们介绍了一个通用的策略，证明了数量和一致的界限上的高度为零的高度对$\mathbb{P}^1(\overline{\mathbb{Q}}).$上的一对不等价的功能的公共点的数量。我们应用此策略证明了一个猜想的Bogomolov，傅，和Tschinkel断言的情况下，两个勒让德曲线在$\mathbb{C}$上的椭圆曲线的公共扭点的数量的一致的界限。由此，我们得到了亏格为2的二维曲线族的两个一致界：$\mathbb{C}$上的一致Manin-Mumford界和$\overline{\mathbb{Q}}.$上的一致Bogomolov界
2019-12-03 math.DS math.NT
A maximal function field of genus $17$ over $\mathbb{F}_{11^2}$
Technical University of Denmark（丹麦技术大学）
本文通过人工智能发现了一个新的在$\mathbb{F}_{11^2}$上的亏格17的极大函数域$G$，证明其不能作为Hermitian函数域的子域，并计算了其自同构群。
2026-09-11 math.AG math.NT
Breaking `128-bit Secure' Supersingular Binary Curves (or how to solve discrete logarithms in ${\mathbb F}_{2^{4 \cdot 1223}}$ and ${\mathbb F}_{2^{12 \cdot 367}}$)
在2012年底和2013年初，小特征有限域中的离散对数问题（DLP）经历了一系列戏剧性的突破，最终在一个启发式的准多项式时间算法中达到顶峰，这是由于Barbulescu，Gaudry，Joux和Joué。利用这些发展，Adj、Menezes、Oliveira和Rodríguez-Henríquez分析了DLP的具体安全性，因为它来自文献中各种亏格1和2超奇异曲线（的雅可比行列式）的配对，这些曲线最初被认为是$128$位安全的。特别地，他们建议新算法对${\mathbb F}_{2^{1223}}$上的亏格1曲线的安全性没有影响，并且将${\mathbb F}_{2^{367}}$上的亏格2曲线的安全性降低到$94.6$比特。在本文中，我们提出了一个新的领域表示和有效的一般下降原则，共同使新技术更加实用。实际上，在“128位安全级别”，我们的分析表明，上述属一曲线具有大约$59$位的安全性，并且我们报告了属二曲线的完全断裂。
2014-06-12 cs.CR math.NT
On rational functions whose normalization has genus zero or one
我们给出了一个完整的有理函数$A$的列表，使得$\mathbb C(z)/\mathbb C(A)$的Galois闭包的亏格$g$等于零。我们还提供了$A$的几何描述，其中$g=1.$
2017-08-28 math.AG math.CV math.NT
Canonical Heights on Genus Two Jacobians
设$K$为数域，$C/K$为亏格为2的曲线，其雅可比簇为$J$ .本文研究正则高度$\hat{h} \colon J(K) \to \mathbb R$ .更具体地说，我们考虑以下两个问题，这是重要的应用：（1）对于一个给定的$P \in J(K)$，计算$\hat{h}(P)$有效;（2）对于一个给定的绑定$B > 0$，找到所有的$P \in J(K)$与$\hat{h}(P) \le B$。我们开发了一个在多项式时间内运行的算法（实际上是快速的）来处理第一个问题。关于第二个问题，我们展示了如何调整通常用于获得差异$h - \hat{h}$的显著改进的界限的天真高度$h$，这允许更快地枚举所需的点集。我们的方法是使用$h(P) - \hat{h}(P)$的标准分解作为局部“高度校正函数”的总和。我们仔细研究这些功能，从而导致有效的方法来计算它们和基本上最优的界限。为了得到我们的多项式时间算法，我们必须避免寻找校正可能为非零的有限位置集所需的因式分解步骤。在这一点上，主要的创新是将因式分解成素数替换为因式分解成互素。我们的大多数结果是有效的更一般的领域与一组的绝对值满足的产品公式。在我们最近的论文arXiv：1509.08748中，使用了类似于上述椭圆曲线的方法。
2016-08-02 math.AG math.NT
Efficient search for superspecial hyperelliptic curves of genus four with automorphism group containing $\mathbb{Z}_6$
在算术和代数几何中，superspecial（s.sp.）曲线是密码学和编码理论中最重要的研究对象之一。如果是$g \geq 4$，则甚至不知道在一般特征$p > 0$中是否存在这样一条属$g$的曲线，而在$g=4$的情况下，已经提出了几种搜索这些曲线的计算方法。在亏格- $4$超椭圆的情况下，Kudo-Harashita提出了一个通用算法来枚举所有的s.sp.。曲线，最近Ohashi-Kudo-Harashita提出了一个算法，具体的情况下，自同构群包含克莱因4-群。本文提出了一个理论上复杂度为$\tilde{O}(p^4)$，实际上复杂度为$\tilde{O}(p^3)$的算法来计数s.sp.亏格为4的超椭圆曲线，其自同构群包含$6$阶循环群。通过在Magma上执行该算法，我们列举了$p$到$1000$的那些曲线。我们还成功地找到了一种S.sp.。在每个具有$p \equiv 2 \pmod{3}$的$p$中亏格$4$的超椭圆曲线。作为理论结果，在附录中我们用自同构群对亏格$4$的超椭圆曲线进行了分类。
2022-10-26 math.AG math.NT
Intersection numbers of modular correspondences for genus zero modular curves
本文在同余子群$Γ_0(M)$上引入模多项式，当$ X_0(M) $亏格为零时，该多项式由$ X_0(M) $的Hauptmodul定义.证明了由两个模多项式定义的两条曲线的相交数可以表示为$\mathbb{Z}$上正定二元二次型的$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ -等价类的个数之和.我们还表明，相交数也可以组合写的Siegel Eisenstein系列的傅傅里叶系数的度为2，重量为2的$\mathrm{Sp}_2(\mathbb{Z})$。
2018-07-22 math.AG math.NT
Determining the rational points on a curve of genus 2 and Mordell-Weil rank 1
Universität Bayreuth（拜罗伊特大学）
本文给出在 Mordell–Weil 秩为 1 时，利用 Jacobi 簇上有限指数生成点高效计算亏格 2 曲线全部有理点的方法。
2025-09-29 math.AG math.NT
Square-root cancellation for sums of factorization functions over squarefree progressions in $\mathbb F_q[t]$
我们证明了估计的莫比乌斯函数，冯Mangoldt函数，和除数函数在平方无级数的多项式环在有限域的分布水平。当$q$变为$\infty$时，每个分布级别收敛到$1$，并且当$q$变为$\infty$时，功率节省收敛到平方根消除。这些结果实际上适用于更一般的一类函数，即因子分解函数，它包括这三个。除数估计可应用于$L$-函数的矩，而von Mangoldt估计可应用于单能级密度。
2022-07-11 math.AG math.NT
On the fields of definition of genus-one covers of $\mathbb{P}^1$
本文研究 Belyi 对的定义域相对于模场的扩张次数，证明该次数可任意大，并由此给出 Belyi 对局部-整体原理的反例。
2023-04-19 math.AG math.NT
Computing rational points on rank 0 genus 3 hyperelliptic curves
计算$\mathbb{Q}$上亏格$3$奇次超椭圆曲线$C$上的有理点，这些曲线的Jacobian为Mordell-Weil秩$0$ .该计算应用Chabauty-Coleman方法来找到$p$ -adic积分的某个系统的零点集，该系统已知是有限的并且包括有理点$C(\mathbb{Q})$的集合。我们在Sage中实现了一种算法，以在$5870$曲线数据库上执行Chabauty-Coleman方法。
2020-09-23 math.AG math.NT
Explicit factorization of $x^n-1\in \mathbb F_q[x]$
设$\mathbb F_q$是有限域，$n$是正整数.本文证明了在$q$和$n$上的一定条件下，多项式$x^n-1$可分解为不可约二项式$x^t-a$，并给出了分解为不可约因子的显式因式分解.最后，通过削弱我们的假设，我们得到了$x^{2t}-ax^t+b$形式的因子，并给出了$x^n-1$分解为不可约因子的显式分解.
2014-05-18 cs.IT math.IT math.NT
On algebraic curves A(x)-B(y)=0 of genus zero
使用涉及黎曼曲面orbifolds的几何方法，我们提供了一个不可约代数曲线的形式$E_{A,B}:\, A(x)-B(y)=0$，其中$A, B\in\mathbb C(z)$的亏格的下界。我们还研究了亏格为零的曲线$E_{A,B}$的“系列”，这里的系列是指具有“相同”$A$的一个系列。我们证明了对于一个给定的有理函数$A$的有理函数序列$B_i$，使${\rm deg}\, B_i \rightarrow \infty$和所有的曲线$A(x)-B_i(y)=0$是不可约的，并有亏格零，存在当且仅当域扩张$\mathbb C(z)/\mathbb C(A)$的伽罗瓦闭包有亏格零或一。
2017-06-02 math.AG math.CV math.DS
Counting points on genus-3 hyperelliptic curves with explicit real multiplication
我们提出了一个Las Vegas概率算法来计算定义在有限域$\mathbb F_q$上的亏格-3超椭圆曲线的zeta函数，并在全实三次域中用一阶$\mathbb Z[η]$进行显式实数乘法。我们的主要结果表明，该算法需要一个预期数量的$\widetilde O((\log q)^6)$位操作，在$\widetilde O()$中的常数取决于环$\mathbb Z[η]$和多项式的次数表示的自同态$η$。作为概念验证，我们计算在64位素域上定义的曲线的zeta函数，并通过$\mathbb Z[2\cos(2π/7)]$进行显式实数乘法。
2018-09-20 cs.SC math.AG math.NT
