发表机构
University of Illinois at Urbana-Champaign; National Research University “Higher School of Economics”（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校; 国立研究大学高等经济学校）
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本文研究正整数素数分解中不同指数个数的算术函数$h(n)$，证明其作用于欧拉函数时求和渐近等价于$x(\log\log x/\log\log\log x)^{1/2}$，关键使用Ford的泊松随机模型。
AI 中文摘要
继Erdős（1982）和Sanna（2019）之后，我们研究算术函数$h(n)$，该函数定义为正整数$n$的素数分解中不同指数的个数。除其他结果外，我们证明$$\n\sum_{n\leq x}h(\phi(n)) \asymp x\left(\frac{\log\log x}{\log\log\log x}\right)^{1/2},$$其中$\phi$是欧拉函数。关键要素是$\omega(n,T)$的泊松随机模型，其中$\omega(n,T)$表示$n$在给定素数子集$T$中的素数因子的个数，该模型在Ford最近的工作中引入。
英文摘要
Following Erdős (1982) and Sanna (2019), we study the arithmetic function $h(n)$, which is defined to be the number of distinct exponents in the prime factorization of a positive integer $n$. Among other things, we show that $$ \sum_{n\leq x}h(ϕ(n)) \asymp x\left(\frac{\log\log x}{\log\log\log x}\right)^{1/2}, $$ where $ϕ$ is the Euler totient function. The key ingredient is the Poisson random model for $ω(n,T)$, the number of the prime divisors of $n$ in a given subset of primes $T$, which was introduced in a recent work of Ford.
