Partitioning Edge-Coloured Complete Symmetric Digraphs into Monochromatic Complete Subgraphs
设$K_{\mathbb{N}}$是正整数上的完全对称有向图。我们利用DeBiasio和McKenney的一个问题，构造了$K_{\mathbb{N}}$的边的$2$ -着色，其中每条单色路径的密度为~ $0$ .然而，如果我们限制单色路径的长度在一种颜色，那么没有上面的例子可以存在：我们表明，每一个$(r+1)$ -边着色完全对称有向图（任意无限基数）不包含任何颜色$i\leq r$的边长度$\ell_i$的有向路径可以覆盖的颜色$r+1$的$\prod_{i\leq r} \ell_i$成对不相交的单色完全对称有向图。此外，我们提出了一个稳定版本的可数情况下的后一个结果：我们证明了边着色是唯一确定的一个大子图，只要上密度的单色路径的颜色$r+1$是有界的$\prod_{i\in [r]}\frac{1}{\ell_i}$。
2018-05-04 math.CO
A large number of $m$-coloured complete infinite subgraphs
给定一个图的边着色有一组$m$颜色，如果使用每一个$m$颜色，我们说这个图是$m$ - \textit{coloured}。对于$\mathbb{N}^{(2)}$的$m$ -着色$Δ$，$\mathbb{N}$上的完全图，我们用$\mathcal{F}_Δ$表示存在无限子集$X\subset \mathbb{N}$使得$X^{(2)}$是$γ$ -着色的所有值$γ$的集合. Erickson在$1994$中首先研究了这个集合的性质。在这里，我们感兴趣的是估计的最小尺寸的$\mathcal{F}_Δ$在所有$m$ -着色$Δ$的$\mathbb{N}^{(2)}$。事实上，我们将证明以下结果。存在一个绝对常数$α> 0$，使得对于任何正整数$m \neq \left\{ {n \choose 2}+1, {n \choose 2}+2: n\geq 2\right\}$，$|\mathcal{F}_Δ| \geq (1+α)\sqrt{2m}$，对于任何$m$ -着色$Δ$的$\mathbb{N}^{(2)}$，从而证明了Narayanan的一个猜想。这个结果紧到常数$α$的量级。
2019-09-30 math.CO
Monochromatic components in dense 2-edge-coloured balanced bipartite graphs
Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学与统计学院）；Centro de Modelamiento Matemático（数学建模中心）
该研究针对稠密二边染色平衡二分图，证明满足最小度条件的图可被至多3个单色分支覆盖，并构造实例说明该最小度条件是最优的。
2026-08-19 math.CO
Approximations to $m$-coloured complete infinite hypergraphs
给定一个图的边着色有一组$m$颜色，如果每种颜色都被使用，我们说这个图是（精确）$m$ -着色的. 1999年，Stacey和Weidl部分解决了Erickson在1994年提出的一个猜想，证明了对于一个固定的自然数$m>2$和所有足够大的$k$，存在一个$k$ -着色的完全图在$\mathbb{N}$上，使得没有完全无限子图是完全$m$ -着色的。根据这个结果，我们考虑的问题，我们可以找到一个确切的$m$ -着色完全无限子图。我们证明了对于自然数$m$和$\mathbb{N}$上完全图的边的任意有限着色，对于满足$|m-{\hat m}|\le \sqrt{m/2} + 1/2$的${\hat m}$，存在一个完全${\hat m}$着色的完全无限子图;这是最佳可能的，直到添加常数。在$r$ -一致超图的背景下，我们也得到了类似的结果.在此过程中，我们还证明了第二作者最近的一个猜想，并研究了这个猜想到$r$ -一致超图的推广。
2016-09-06 math.CO
Long directed rainbow cycles and rainbow spanning trees
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的发现问题可以追溯到欧拉关于拉丁方中横截的工作，并从那时起得到了广泛的研究。本文研究了完全边着色图和有向图的彩虹子图的两个相关问题。在第一部分中，我们证明了每一个正常边着色的完全有向图都包含一个长度为$n-O(n^{4/5})$的有向彩虹圈。这是由哈恩的一个老问题激发的，改进了Gyarfas和Sarkozy的一个结果。在第二部分中，我们表明，任何树$T$上的$n$顶点与最大程度的$Δ_T\leq βn/\log n$有一个彩虹嵌入到一个适当的边缘着色$K_n$，只要每一种颜色出现在最多的$αn$时间和$α, β$是足够小的常数。
2017-11-10 math.CO
Supereulerian 2-edge-coloured graphs
一个2-边着色图$G$是{ \bf超欧勒}，如果$G$包含一个边颜色交替的生成闭迹。2-边着色图的{ \bf欧拉因子}是一组顶点不交的诱导子图，它们覆盖了$G$的所有顶点，使得每个子图都是超欧拉的.我们给出了一个多项式算法，以测试如果一个2-边着色图有一个欧拉因子，并产生一个当它存在。如果一个2-边色图包含一对交替的$(u,v)$ -路径（$(u,v)$ -trails），其并是每对不同顶点$u,v$的交替闭行走，则该2-边色图是{ \bf（trail-）colour-connected}。一个2-边着色图是{ \bf M-闭}的，如果当某个顶点$u$通过相同颜色的边与$x$和$z$连接时，$xz$是$G$的边。在\cite{balbuenaDMTCS21}中引入的M-闭2-边着色图是2-边着色完全图的一个丰富的推广。证明了如果$G$是M-闭2-边着色完全图的扩张，则$G$是超欧拉的当且仅当$G$是尾色连通的且具有欧拉因子.我们还证明了对于一般的2-边着色图，判定其是否是超欧勒图是NP-完全的。最后，我们提出了一些开放的问题。
2020-04-04 math.CO
Non-monochromatic Triangles in a 2-Edge-Coloured Graph
设$G = (V,E)$是一个单图，$\{R,B\}$是$E$的一个划分.证明了只要$|E| + \min\{ |R|, |B| \} > { |V| \choose 2 }$，就存在一个同构于$K_3$的$G$的子图，该子图包含来自$R$和$B$的边.我们猜想一个自然的推广分区更多的块。
2018-09-26 math.CO
Defective colouring of graphs excluding a subgraph or minor
Archdeacon（1987）证明了可嵌入到固定曲面上的图可以是$3$ -着色的，使得每一个着色类都导出一个有界最大度的子图。Edwards，Kang，Kim，Oum and Seymour（2015）证明了没有$K_{t+1}$ -子图的图可以是$t$ -着色的，使得每个颜色类都导出一个有界最大度的子图。我们证明了一个共同的概括，这些定理与较弱的假设排除子图。这一结果导致了几类图的新的缺陷着色结果，包括具有线性交叉数的图，具有给定厚度的图（与地球-月球问题相关），具有给定栈数或栈数的图，无链接或knockless可嵌入图，具有给定Colin de Verdière参数的图，以及排除完全二部图作为拓扑子图的图。
2017-04-04 math.CO
Rainbow subgraphs of uniformly coloured randomly perturbed graphs
University College London（伦敦大学学院）
本文研究均匀着色随机扰动图中彩虹子图的存在性，提出基于 McDiarmird 耦合思想的通用工具，并证明在最优颜色数和边概率条件下，均匀着色的扰动图以高概率包含任意有界度树的彩虹副本。
2025-11-07 math.CO
An Analogue of Quasi-Transitivity for Edge-Coloured Graphs
本文将图的拟传递定向的概念推广到2-边着色图。通过将拟传递$2$ -边着色与图的边集上的等价关系联系起来，对允许拟传递$2$ -边着色的图进行了分类.与Ghouilá-Houri将准传递可定向图分类为可比较图的方法不同，我们发现准传递$2$ -边可比较图不允许有禁止子图的刻画.限制的问题，可比图，我们证明了家庭的唯一准传递可定向可比图正是家庭的可比图，不承认准传递$2$ -边染色。
2021-05-18 math.CO
Linearly many rainbow trees in properly edge-coloured complete graphs
边色完全图的一个子图称为彩虹图，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹分解的研究有着悠久的历史，可以追溯到欧拉对拉丁方的研究。本文讨论了将完全图分解为彩虹树的三个问题：Brualdi-Hollingsworth猜想、Constantine猜想和Kaneko-Kano-Suzuki猜想。证明了在$K_n$的每一个真边着色中，都存在$10^{-6}n$边不交的生成同构彩虹树.这同时改善了所有这些假设的最佳已知界限。使用我们的方法，我们还表明，每一个正确的$(n-1)$ -边着色的$K_n$有$n/9$边不相交的彩虹树，给Brualdi-Hollingsworth猜想的进一步改进。
2018-03-19 math.CO
Highly connected multicoloured subgraphs of multicoloured graphs
假设n个顶点上的完全图的边用r种颜色着色，我们保证找到多大的k连通子图，它最多只使用s种颜色？这个问题是由于Bollobas，和案件s = 1被认为是在preivous文件由同一作者。这里我们考虑s >= 2的情况，并提出一些开放的问题。
2007-02-13 math.CO
Almost all optimally coloured complete graphs contain a rainbow Hamilton path
一个边着色图的子图$H$称为彩虹图，如果$H$的所有边都有不同的颜色。在1989年，Andersen证明了$K_{n}$的每一个适当的边着色都允许一个长度为$n-2$的彩虹路径。我们发现，几乎所有的最佳边着色的$K_{n}$承认（i）彩虹汉密尔顿路径和（ii）彩虹周期使用所有的颜色。这一结果证明了Andersen猜想对$K_{n}$的几乎所有最优边着色都成立，并回答了Ferber，Jain和Sudakov最近提出的一个问题。我们的结果也适用于随机对称拉丁方中断面的存在性。
2022-04-21 math.CO
Partitioning a graph into monochromatic connected subgraphs
Haxell和Kohayakawa的一个著名结果表明，$r$着色的完全图的顶点可以划分为不同颜色的$r$单色连通子图;这是Erdens，Pyber和Gyárfás猜想的一个稍微弱的变体，该猜想指出存在一个划分为$r-1$单色连通子图的猜想。我们考虑这个问题的一个变种，其中的完全图被替换为一个图与大的最低程度，并证明两个代数Bal和DeBiasio，两个和三个颜色。
2017-08-20 math.CO
Existences of rainbow matchings and rainbow matching covers
设$G$是边着色图。$G$中的彩虹子图是边具有不同颜色的子图。$G$的最小颜色度$δ^c(G)$是与$G$的顶点关联的边上的不同颜色的最小数目。我们发现，每一个边着色图$G$ $n\geq 7k/2+2$顶点$δ^c(G) \geq k$包含彩虹匹配的大小至少$k$，这改善了以前的结果$k \ge 10$。令$Δ_{\text{mon}}(G)$为与$G$的顶点关联的相同颜色的边的最大数目。我们还证明了如果$t \ge 11$和$Δ_{\text{mon}}(G) \le t$，那么$G$最多可以分解为$\lfloor tn/2 \rfloor $彩虹匹配.这个结果是尖锐的，并改进了LeSaulnier和West的结果。
2015-06-10 math.CO
The generalised rainbow Turán problem for cycles
给定一个边着色图，如果一个子图的所有边都是不同的颜色，我们称它是彩虹图。令$\operatorname{ex}(n,H,$ rainbow- $F)$表示$n$顶点上的适当边着色图所能包含的$H$的最大拷贝数，如果它没有与$F$同构的rainbow子图.我们确定了所有含$s\not =3$的$s,t$的$\operatorname{ex}(n,C_s,$彩虹- $C_t)$的数量级.特别是，我们回答了一个问题的Gerbner，Mészáros，Methuku和帕尔默通过显示，$\operatorname{ex}(n,C_{2k},$彩虹- $C_{2k})$是$Θ(n^{k-1})$，如果$k\geq 3$和$Θ(n^2)$，如果$k=2$。我们还确定了所有$k,\ell\geq 2$的$\operatorname{ex}(n,P_\ell,$彩虹- $C_{2k})$的数量级，其中$P_\ell$表示具有$\ell$边缘的路径。
2020-05-16 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in random regular graphs
边着色图的彩虹子图的所有边都是不同的颜色。一个随机d-正则图，d为偶数，且其边随机着色为n种颜色中的每一种颜色的d/2，当n趋于无穷大时，若d至少为8，则该图有一个概率趋于1的彩虹Hamilton圈.
2005-08-08 math.CO math.PR
On graphs which have locally complete 2-edge-colourings and their relationship to proper circular-arc graphs
该研究聚焦具有局部完全2边着色的图，证明其可多项式时间识别，给出类似Gallai余可比图刻画的禁用子结构特征，并刻画了对应类别的正常区间图与正常圆弧图。
2024-10-07 math.CO
A note on unavoidable patterns in locally dense colourings
我们证明了存在一个常数$C$，使得对于每一个$\varepsilon>0$，任何$2$着色的$K_n$，其最小度至少为两种颜色的$n/4+\varepsilon n$，在$2t$顶点上包含一个完全子图，其中一个颜色类形成一个$K_{t,t}$，条件是$n\geq \varepsilon^{-Ct}$ .此外，我们证明，如果$K_n$是$2$着色的最小程度至少$\varepsilon n$在两种颜色，那么它必须包含一个完全图的两个自然着色。这两个结果是紧到值的$C$，他们回答了两个最近提出的问题Kamčev和Müyesser。
2022-11-03 math.CO
On the Multi-coloured Ramsey Numbers of Cycles
对于图$L$和整数$k\geq 2$，$R_k(L)$表示最小整数$N$，对于该最小整数$N$，对于完全图$K_N$的任何边由$k$颜色着色，存在颜色$i$，对于该颜色$i$，相应的颜色类包含$L$作为子图。Bondy和Erdans证明了对$n$顶点上的奇数圈$C_n$，有$$R_k(C_n) = 2^{k-1}(n-1)+1 \text{for $n>3$.}$$.他们证明了当$k=2$时的情形，并给出了一个上界$R_k(C_n)\leq (k+2)!n$ .最近，这一猜想已被验证$k=3$，如果$n$是大的。本文证明了对任意整数$k\geq 4$，$$R_k(C_n)\leq k2^kn+o(n), \text{as $n\to\infty$.}$$当$n$为偶数时，永祺，元生，冯秉喜给出了一个构造，证明了$R_k(C_n)\geq (k-1)n-2k+4.$。本文证明了若$n$为偶数，则$$R_k(C_n)\leq kn+o(n), \text{as $n\to\infty$.}$$
2010-08-24 math.CO
Every planar graph is $1$-defective $(9,2)$-paintable
假设$L$是图$G$的$k$ -列表分配。$G$的$d$ -缺陷$m$ -折叠$L$ -着色$ϕ$将$m$颜色的集合$ϕ(v)$分配给每个顶点$v$，使得对于每个顶点$v$的$ϕ(v) \subseteq L(v)$和对于每个颜色$i$，集合$\{v: i \in ϕ(v)\}$导出最大度为$d$的子图.本文考虑图的在线列表$d$ -亏损$m$ -折叠着色，其中列表赋值$L$是在线给出的，着色是在线构造的.准确地说，$d$ -有缺陷的$(k,m)$ -在图形$G$上绘画游戏由两个玩家玩：Lister和Painter。最初，每个顶点都有$k$令牌，并且没有颜色。在每一轮中，Lister选择一组顶点$M$，并从每个选定顶点中移除一个标记。Painter给$M$的一个子集$X$着色，它导致一个最大度至多为$d$的子图$G[X]$。如果$v$已经接收到$m$颜色，则顶点$v$是完全着色的。如果在某轮结束时，有一个顶点没有剩下更多的标记并且没有完全着色，则Lister获胜。否则，在某轮中，所有顶点都完全着色，Painter获胜。我们说$G$是$d$ -有缺陷的$(k,m)$ -如果画家在这个游戏中有一个获胜的策略，就可以绘制。本文证明了每一个可平面图都是$1$ -亏$(9,2)$ -可画的.
2016-05-14 math.CO
Rainbow matchings in properly-coloured multigraphs
Aharoni和Berger指出，在任何被$n$颜色正确边着色的二部多重图中，每种颜色至少有$n + 1$边，必须有一个匹配，它只使用每种颜色一次。在本文中，我们考虑同样的问题，没有二分性假设。我们证明了在任何边重$o(n)$是正确的边着色的$n$颜色与至少$n + o(n)$边缘的每种颜色，必须有一个匹配的大小$n-O(1)$，使用每种颜色最多一次。
2017-10-09 cs.DM math.CO
Decompositions into spanning rainbow structures
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的研究可以追溯到200多年前欧拉关于拉丁方的工作，并一直是广泛研究的焦点。欧拉提出了一个问题，相当于找到正确的$n$ -边着色完全二部图$K_{n,n}$，可以分解成彩虹完美匹配。虽然有适当的边着色的$K_{n,n}$，甚至没有一个单一的彩虹完美匹配，本文的主题是表明，与一些非常弱的额外的限制，可以找到许多不相交的彩虹完美匹配。特别是，我们证明，如果一些分数的颜色类有最多$(1-o(1)) n$边缘，然后可以近分解的边缘$K_{n,n}$到边缘不相交完美的彩虹匹配。作为这一点的应用，我们建立了一个非常强的形式的猜想Akbari和Alipour和渐近证明了一个猜想Barat和Nagy。这两个图都涉及具有二次多色的$K_{n,n}$的边着色中的彩虹完美匹配。使用我们的技术，我们也证明了一些结果的近分解图成其他彩虹结构，如哈密顿圈和生成树。最值得注意的是，我们证明了任何适当着色的完全图都可以近似分解成生成彩虹树。这渐近地证明了Brualdi-Hollingsworth和Kaneko-Kano-Suzuki定理，它们预测在相同的假设下应该存在完美的分解。
2018-12-10 math.CO
A rainbow blow-up lemma for almost optimally bounded edge-colourings
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。我们证明了彩虹版本的爆破引理的Komlós，Sárközy和Szemerédi，适用于几乎最优有界着色。这一点的一个推论是，存在一个彩虹副本的任何有界度生成子图$H$在准随机主机图$G$，假设边着色$G$满足有界性条件，是渐近最佳可能的。这有许多应用超出彩虹着色，例如图分解，正交双覆盖和图标号。
2019-07-23 math.CO
Polynomial bounds for monochromatic tight cycle partition in $r$-edge-coloured $K_n^{(k)}$
针对 $r$-边染色完全 $k$-图的单色紧环顶点划分，本文将已有结果中塔型的循环数量常数改进为关于 $r$ 的多项式界。
2025-02-17 math.CO
Calculating Ramsey numbers by partitioning coloured graphs
本文证明了关于分块着色完全图的一个新结果，并利用它精确地确定了某些Ramsey数。我们证明的划分定理是：当k至少为1时，在一个完全图的边着色为红色和蓝色的图中，有可能用k条不相交的红色路覆盖所有的顶点，并且有可能用一个不相交的蓝色平衡完全（k+1）-部图覆盖所有的顶点。当着色为红色连通时，我们证明了一个更强的结果--有可能用k条红色路覆盖所有顶点，并且有可能得到一个蓝色平衡的完全（k+2）-部图。利用这些结果，我们确定的Ramsey数的一条路上的n个顶点，与平衡的完全k-部图，在每一个部分有m个顶点，当m-1是可除的n-1。这推广了Erdos的一个结果，他证明了m=1的情况。我们还确定了Ramsey数的路径上的n个顶点与权力的路径上的n个顶点。这解决了Allen、Brightwell和Skokan的一个猜想。
2013-09-16 math.CO
Exactly Colored Complete Subgraphs of Infinite Graphs
Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts（塞尔维亚科学院艺术院数学研究所）
本文证明对于足够大的m，所有c>m的情况，猜想成立，从而将验证猜想的案例数减少到有限个。
2025-12-03 math.CO
Decompositions into isomorphic rainbow spanning trees
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。我们的主要结果意味着，给定一个足够大的完全图$K_{2n}$的任何最佳着色，存在一个分解的$K_{2n}$到同构的彩虹生成树。这解决了Brualdi-Hollingsworth（从1996年）和Constantine（从2002年）的大图的问题。
2020-03-06 math.CO
The $K^{\aleph_0}$ Game: Vertex Colouring
本文研究顶点着色的无限完全图上 Maker–Breaker 边占据游戏，刻画有限与无限颜色条件下 Maker 可保证的多彩无限完全子图类型。
2023-04-25 math.CO
Rainbow copies of spanning subgraphs
本文研究了 $n$ 顶点边着色随机图空间 $G_{n,p}^{[κ]}$ 中生成子图 $H$ 的彩虹拷贝存在阈值，提供了概率 $p$ 和颜色数 $κ$ 的下界，以高概率证明此类拷贝的存在性。
2025-08-12 cs.DM math.CO
On graphs that contain exactly k copies of a subgraph, and a related problem in search theory
我们研究了$\mathrm{exa}_k(n,F)$，在一个$n$ -顶点图$G$中的最大边数，它恰好包含给定子图$F$的$k$副本。$k=0$是图兰数$\mathrm{ex}(n,F)$，它是极值图论中研究最多的参数之一。我们表明，对于任何$F$和$k$，$\mathrm{exa}_k(n,F)=(1+o(1))\mathrm{ex}(n,F))$，并确定$n$足够大的$\mathrm{exa}_k(n,K_3)$和$\mathrm{exa}_1(n,K_r)$的精确值。我们还探讨了与以下搜索论中的著名问题的联系。我们给出了一个图的顺序$n$，它由一个未知的副本$F$和一些孤立的顶点。我们可以询问成对的顶点作为查询，答案告诉我们这些顶点之间是否有边。我们的目标是使用尽可能少的查询来描述图。Aigner和Triesch在1990年指出，所需的查询数至少为$\binom{n}{2}-\mathrm{exa}_1(n,F)$。在其他结果中，我们表明，回答NO的查询的数量至少是$\binom{n}{2}-\mathrm{exa}_1(n,F)$。
2022-10-10 math.CO
Blocking Coloured Point Sets
本文研究了平面上点之间的可见性问题。如果$x$在线段$\bar{vw}$的内部，则点$x$ \emph{blocks}为两点$v$和$w$。点集合$P$是\emph{$k$-blocked}，如果$P$中的每个点被分配$k$颜色之一，使得当且仅当$P$块$v$和$w$中的某个其他点时，不同的点$v,w\in P$被分配相同的颜色。本文的重点是猜想每个$k$ -阻塞集有界大小（作为$k$的函数）。文献中的结果表明，每个2-块集最多有3个点，每个3-块集最多有6个点。我们证明了每个4-阻塞集最多有12个点，并且这个界是紧的。事实上，我们对所有集合$\{n_1,n_2,n_3,n_4\}$进行排序，使得某个4块集合恰好在第$i$个颜色类中具有$n_i$点。在其他结果中，对于无穷多个$k$值，我们用$k^{1.79...}$点构造$k$ -阻塞集。
2010-02-01 math.CO
Minimum multiplicities of subgraphs and Hamiltonian systems
设G是有限单图，其自同构群为A（G）.则G的一个生成子图U是G的一个固定子图，如果G恰好包含与U同构的$| A(G)|/ | A(G) \cap A(U)| $子图：图G必须总是至少包含这个数。若除此之外有$A(U) \subseteq A(G)$，则U是强固定子图.固定子图在图论的许多领域都很重要。我们在哈密顿图的背景下考虑它们
2000-12-28 math.CO
Highly connected monochromatic subgraphs of multicoloured graphs
我们考虑以下问题的Bollobas：给定r-着色的边的完全图的n个顶点，多大的k-连通子图，我们可以找到只使用一种颜色？我们解决这个问题的渐近时，r-1是一个素数的权力，正是2-和3-着色。
2007-02-13 math.CO
Characterising and recognising game-perfect graphs
该研究刻画了$g_B$-完美图类，通过禁止诱导子图和结构描述给出两种刻画，并提出团模块分解以高效识别此类图。
2019-05-22 math.CO
Extremal subgraphs of the $d$-dimensional grid graph
对于每一个自然数$n$，我们确定，无论是渐近和准确的，最大的边数的诱导子图的顺序$n$的$d$ -维的网格图${\ints}^d$可以有。利用Bollobás和Bollasason定理得到了渐近界，并通过归纳法得到了精确界。这一方面推广了$d=2$情形和$n\leq 2^d$情形的一些早期结果。
2013-02-26 math.CO
Coloured and Dependent Planar Matchings of Random Bipartite Graphs
本文研究了随机二部图中与平面匹配有关的两个问题。首先，我们从${r}$颜色中均匀随机地对完全二部图$K_{n,n}$的每条边着色，并证明了如果${r}$与${n}$线性增长，则最大彩虹匹配是${r}$的高概率非平凡分数，即概率收敛到一，如${n \rightarrow \infty}$接下来，我们考虑平面匹配在一个依赖的设置，其中每个顶点被迫选择恰好一个邻居，从在所有可能的选择中。我们得到的最大尺寸的平面匹配的估计，并讨论了我们的结果的影响，最长的增加随机排列。
2023-01-12 math.CO math.PR
Counterexamples on matchings in hypergraphs and full rainbow matchings in graphs
如果存在一个匹配的$M$，它恰好包含每种颜色的一条边，则边被着色（不一定正确）的图$G$包含全彩虹匹配。我们驳斥了Aharoni和Berger等人关于超图中的匹配和图中的全彩虹匹配的几个论点。
2017-10-13 math.CO
On minimal triangle-free planar graphs with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在所有接受相同颜色的顶点的集合上导出的子图的最大度至多为k。k-亏色数$χ_k(G)$是使图G是（m，k）-列的最小正整数$m$.设f（m，k;tfp）是满足$χ_k(G)$ =m的无三角形可平面图的最小阶.本文证明了f（3，1;tfp）=11。
2015-01-19 math.CO
Counting Dominating Sets of Graphs
图$G$的控制集计数与图$G$的邻域复形密切相关。利用这一关系证明了图的控制集$d(G)$的个数取决于它的补图的完全二部子图的个数。更确切地说，我们声明如下。设$G$是阶为$n$的单图，使得它的补图恰好有与$K_{2p,2q}$同构的$a(G)$子图和与$K_{2p+1,2q+1}$同构的$b(G)$子图.然后是$d(G) = 2^n -1 + 2[a(G)-b(G)]$。我们还证明了图的控制多项式与邻域多项式之间的一些新的关系。
2017-01-12 math.CO
Regular subgraphs of uniform hypergraphs
本文证明了：对于任意整数$r\geq 2$，如果$k\geq r+1$和$n$足够大，则不含$r$ -正则子图的$n$ -顶点$k$ -均匀超图$H$至多有$(1+o(1)){{n-1}\choose{k-1}}$边.而且，如果$r\in\{3,4\}$，$r\mid k$和$k,n$都足够大，则不含$r$ -正则子图的$n$ -顶点$k$ -均匀超图的最大边数恰好是${{n-1} \choose {k-1}}$，只有当所有边都含有一个特定的顶点$v$时，才相等.我们也会问一些相关的问题。
2016-04-25 math.CO
Maximum sparse induced subgraphs of the binomial random graph with given number of edges
我们证明了a.a.s.二项随机图$G(n,p)$的导出子树的最大尺寸集中在2个连续点中。我们还证明了，给定一个非负整数值函数$t(k)<\varepsilon k^2$，在该函数的一定光滑性条件下，a.a.s.具有$G(n,p)$的$t(k)$边的诱导子图的最大尺寸$k$也集中在2个连续点上。
2019-10-20 math.CO
On Betti numbers of flag complexes with forbidden induced subgraphs
研究了不含固定禁止诱导子图H的n阶图的团复形的贝蒂数的渐近极值增长率。特别是，我们证明了一个定理的替代：对于任何H的增长率达到五个可能的指数之一，也就是说，独立的领域的系数，第n根的最大总贝蒂数在n-顶点图没有诱导副本的H有一个限制，因为n趋于无穷大，并在所有的H范围内，正好达到五个不同的限制。对于有趣的情况下，H是4-圈，上述限制是1，我们证明了一个略超多项式上界。
2018-04-13 math.CO
3-Symmetric Graphs
随机图的一个直观性质是它的子图也应该是随机分布的。我们考虑图的子图密度完全匹配他们的期望值。我们称具有这个性质的图为所有具有$k$顶点的子图是$k$ -对称的。我们讨论了这类图的一些性质和例子。我们构造了3-对称图，并给出了一些统计量。
2020-03-08 math.CO
How many colours to connect cliques?
该研究确定了边着色完全图中，保证保留的颜色构成的子图连通所需的最少颜色数的极值函数，明确了其渐近阶与确保无顶点孤立的颜色数相同，完整给出了连通性的生成阈值。
2026-08-10 math.CO
Largest 2-regular subgraphs in 3-regular graphs
对于图$G$，令$f_2(G)$表示$G$的$2$正则子图中的最大顶点数.我们确定了$3$ -正则$n$ -顶点简单图$G$上的$f_2(G)$的最小值.为此，我们证明了每一个$3$ -正则多重图的$c$切边恰好有一个$2$ -正则子图，它省略了最多$\max\{0,\lfloor (c-1)/2\rfloor\}$顶点。更一般地说，每一个具有最大度$3$和$m$边的$n$ -顶点多重图都有一个至多省略$\max\{0,\lfloor (3n-2m+c-1)/2\rfloor\}$顶点的$2$ -正则子图.这些界限是尖锐的，我们描述的极值多重图。
2019-03-21 math.CO
On the metric subgraphs of a graph
由连通图的中心、环和周边导出的三个子图称为连通图的度量子图。主要结果如下。(1)存在度量子图全是路的$n$阶图当且仅当$n\ge 13$且这样的$13$阶图的最小尺寸是$22;$（2）存在度量子图全是圈的$n$阶图当且仅当$n\ge 15,$且恰好有三个这样的$15;$阶图（3）对每一个整数$k\ge 3,$，我们确定了度量子图都是连通$k$ -正则图的图存在的可能阶;（4）存在$n$阶图，其度量子图连通且两两同构当且仅当$n\ge 24$和$n$可被$3.$整除。
2021-12-20 math.CO
Graphs with multi-$4$-cycles and the Barnette's conjecture
设${\cal H}$表示所有具有多个$4$ -圈的图族，并假设$G \in {\cal H}$ .然后，$G$是一个二部图，其顶点二划分为$\{V_α, V_β\}$。证明了对每个顶点$v \in V_β$和每个$2$ -着色$V_α \rightarrow \{1, 2\}$，存在一个$2$ -着色$V_β \rightarrow \{1, 2\}$，使得$G$中的每个循环不是单色的，并且$b(v) = 1$（$b(v) = 2$）.现在让$G$是一个简单的偶数平面三角剖分与顶点$3$ -分区$\{V_{1}, V_{2}, V_{3}\}$。用$B_{i}$，$i = 1, 2, 3$表示$V_i$中度至少为$6$的所有顶点的集合。设$G[B_{1}\cup B_{3}]$（$G[B_{2}\cup B_{3}]$）是集合$B_{1}\cup B_{3}$（分别为$B_{2}\cup B_{3}$）诱导的$G$的子图.设$G^{*}$是$G$的对偶图，其具有如下的$3$ -面着色：$G^{*}$的面$f$被$i$着色当且仅当顶点$v = f^{*} \in V_{i}$。我们证明，如果$H = G[B_{1}\cup B_{3}] \cup G[B_{2}\cup B_{3}] \in {\cal H}$，那么，对于任何边选择的面着色$3$和大小至少$6$在$G^{*}$，有…
2020-02-13 math.CO
Rainbow Turán number of even cycles, repeated patterns and blow-ups of cycles
图$H$的彩虹Turán数$\mathrm{ex}^*(n,H)$是一个没有彩虹子图同构于$H$的正确边着色的$n$ -顶点图的最大可能边数。证明了对任意整数$k\geq 2$，$\mathrm{ex}^*(n,C_{2k})=O(n^{1+1/k})$ .这是紧的，并建立了Keevash，Mubayi，Sudakov和Verstraëte的猜想。我们用同样的方法证明了不同主题中的其他几个命题。首先，我们证明了存在一个常数$c$，使得任何具有多于$cn(\log n)^4$条边的适当边着色的$n$ -顶点图包含一个彩虹圈。已知存在具有$Ω(n\log n)$边且不含彩虹圈的适当边着色$n$ -顶点图.其次，我们证明了在$K_n$的任意一个具有$o(n^{\frac{r}{r-1}\cdot \frac{k-1}{k}})$颜色的真边着色中，存在$C_{2k}$的$r$颜色同构的两两顶点不相交的拷贝。这强有力地证明了Conlon和Tyomkyn的一个猜想，以及Xu，Zhang，Jing和Ge提出的一个强有力的猜想.此外，我们还回答了Jiang和Newman提出的一个问题，证明了存在一个常数$c=c(r)$，使得任何具有多于$cn^{2-1/r}(\log n)^{7/r}$边的$n$ -顶点图都包含一个偶圈的$r$ -爆破.最后，证明了$C_{2k}$的$r$ -爆破具有Turán数…
2021-04-12 math.CO
List-edge-colouring planar graphs with precoloured edges
设$G$是一个最大度为$Δ$的简单平面图，$t$是一个正整数，$L$是$G$上的一个边列表赋值，对所有$e \in E(G)$都有$|L(e)| \geq Δ+t$.我们证明，如果$H$是一个子图的$G$已$L$边着色，那么边预着色可以扩展到$G$的$L$边着色，只要$H$有最大程度$d\leq t$和无论是$d \leq t-4$或$Δ$是足够大（$Δ\geq 16+d$足够）。如果是$d>t$，则存在无法进行扩展的任何$Δ$选择的示例。
2018-07-09 math.CO
Maximal Chordal Subgraphs
弦图是没有长度至少为$4$的诱导环的图。设$f(n,m)$是使得每个具有$n$顶点和$m$边的图都有一个至少有$f(n,m)$边的弦子图的最大整数。在1985年Erdens和Laskar提出的问题估计$f(n,m)$。在80年代后期，Erdés，Gyárfás，Ordman和Zalcstein确定了$f(n,n^2/4+1)$的值，并对$f(n,n^2/3+1)$的值进行了推测。在本文中，我们证明了这一猜想，并回答了Erdens和Laskar的问题，确定$f(n,m)$渐近所有$m$和确切的$m \leq n^2/3+1$。
2023-03-10 math.CO
Multiple vertex coverings by specified induced subgraphs
给定图H_1，...，H_k，我们研究了图G的最小阶，使得对每一个i，H_i在G中的诱导副本覆盖V（G）。本文证明了一个一般的上界，其中m_i比H_i的阶数小小于1。当k=2且一个图是一个大小为n的独立集时，我们在一个常数范围内确定最优解。当k=2且图是一个星和一个独立集时，我们精确地确定了答案。
1999-12-22 math.CO
On the expressive power of $2$-edge-colourings of graphs
本文研究2-边染色图集合对图遗传性质的表达能力，刻画了三顶点模式在至多两条边或由单色路径与染色三角形组成时的结构特征，并证明相应自由染色问题多项式可解，同时给出NP-完全情形。
2025-03-10 cs.DM math.CO
Characterizing [h,2,1] graphs by minimal forbidden induced subgraphs
一个无向图G称为VPT图，如果它是树中的一个路族的顶点交图。在最大度不超过h的宿主树中允许VPT表示的图类记为[h，2，1]。类[h，2，1]通过取诱导子图而封闭，因此每个类都可以用一族最小禁止诱导子图来刻画.本文将[h，2，1]的最小禁止诱导子图（VPT）与（色）h-临界图联系起来.我们描述了如何从临界图中得到最小禁止诱导子图，并证明了用我们的方法得到的图族就是[h，2，1]的VPT最小禁止诱导子图族.这个族的成员与VPT的最小禁止诱导子图一起，是[h，2，1]的最小禁止诱导子图，具有$h\geq 3$ .注意，通过取h=3，我们得到了VPT类$\cap$ EPT=EPT $\cap$ Chordal=[3，2，2]=[3，2，1]的最小禁止诱导子图的特征。
2013-07-08 math.CO
