A precolouring extension of Vizing's theorem
固定$Δ+1$颜色的调色板$\mathcal K$、具有最大度$Δ$的图以及边缘之间的最小距离至少为$9$的边缘集的子集$M$。如果$M$的边是从$\mathcal K$任意预着色的，则保证存在仅使用来自$\mathcal K$的颜色的适当的边着色，其将$M$上的预着色扩展到整个图。这个结果是Vizing定理的第一个一般预着色推广形式，并且在稍强的距离要求下证明了Albertson和Moore的一个猜想。当图中不含长度为$5$的圈时，距离的条件可降为$5$ .
2018-12-27 math.CO
Generalized list colouring of graphs
本文证明了Wang，Wu，Yan和Xie的一个猜想，并否定了Dvorak，Pekarek和Sereni的一个问题。作为回报，我们提出了五个开放的问题。
2020-02-19 math.CO
The List Total Colouring Conjecture is False
University of Victoria（维多利亚大学）
本文构造了一个三次图，其全色数为四但列表全色数为五，从而否证了列表全染色猜想，该反例由ChatGPT 6 Astra Ultra在极少人工输入下发现。
2026-10-14 math.CO
A note on total and list edge-colouring of graphs of tree-width 3
证明了Halin图是$Δ$ -边可选图，树宽为3的图是$(Δ+1)$ -边可选图和$(Δ+2)$ -全列可选图.
2015-07-29 math.CO
List $4$-colouring of planar graphs
本文证明了如下结果：若$G$是可平面图，$L$是$G$的$4$ -列表赋值，使得对每条边$xy$都有$|L(x) \cap L(y)| \le 2$，则$G$是$L$ -列.这回答了Kratochvíl，Tuza和Voigt在[Journal of图论，27（1）：43- 49，1998]中提出的一个问题。
2022-05-24 math.CO
Acyclic List Colouring Locally Planar Graphs
该研究聚焦局部平面图的无环列表着色问题，证明局部平面图是无环9-列表可着色的，填补了此前该类图无环列表着色无固定色数上界的研究空白。
2024-12-12 math.CO
The polynomial method for 3-path extendability of list colourings of planar graphs
本文用图多项式重述Thomassen的3-可扩展性定理，导出其Alon-Tarsi等价形式，扩展了平面5-可选性定理。
2023-11-22 math.CO
On Galvin orientations of line graphs and list-edge-colouring
引入了线图Galvin定向的概念，推广了Galvin在证明二部图的列表边着色猜想中的思想.如果L（G）关于k有一个恰当的Galvin定向，则它直接意味着G是k-列表-边列，但反之则不成立。更强的性质是研究图的形式“二分加边”，彼得森图，团，和单图没有奇数周期的长度为5或更长。
2015-08-07 math.CO
The Partial List Colouring Conjecture is False
University of Victoria（维多利亚大学）
本文构造了一个14顶点、列表色数为3的图，其存在2-列表分配使最多9个顶点可正确着色，从而否证了部分列表染色猜想，反例由ChatGPT 6 Astra Ultra发现并验证。
2026-09-22 math.CO
Edge-colouring graphs with local list sizes
本研究针对图的边着色问题，将Kahn关于列表着色猜想渐近成立的定理推广至局部情形，同时给出线性$k$-均匀超图、对应着色等相关推广的局部版本，并通过加权结论统一推导所有结果。
2023-11-08 math.CO
List Colouring Squares of Planar Graphs
1977年，Wegner证明了可平面图$G$的最大度$Δ\ge8$的平方的色数至多为$\bigl\lfloor\frac32Δ\bigr\rfloor+1$ .我们表明，它是最多$\frac32 Δ(1+o(1))$（其中$o(1)$是$Δ\to+\infty$），事实上，这是真实的列表色数和更一般的类图。
2017-05-15 math.CO
Partial list colouring of certain graphs
设$G$是$n$顶点上的图，并且设$\mathcal{L}_k$是任意函数，该函数为$G$中的每个顶点分配$k$颜色的列表。则$G$是$\mathcal{L}_k$ -列表列，如果存在$G$的顶点的适当着色，使得每个顶点用来自其自身列表的颜色着色。如果对于每个这样的函数$\mathcal{L}_k$，$G$都是$\mathcal{L}_k$列表列，则我们说$G$是$k$可选择的.使得$G$是$k$可选择的最小$k$被称为$G$的列表色数并且由$χ_L(G)$表示。设$χ_L(G) = s$和$t$为小于$s$的正整数。由Albertson等人在\cite{albertson2000partial}中提出的部分列表着色猜想指出，对于每个将$G$的顶点映射到$t$大小的列表的$\mathcal{L}_t$，总是存在大小至少为$\frac{tn}{s}$的$G$的导出子图，即$\mathcal{L}_t$ -列表列。在本文中，我们证明了部分列表着色猜想适用于某些类别的图，如无爪图，图与大色数，chordless图，和系列平行图。在本文的第二部分中，我们提出了一个问题，它是部分列表着色猜想的一个变种：$G$是否总是包含一个大小至少为$\frac{tn}{s}$的导出子图是$t$ -可选的？我们表明，这个问题的答案并不总是“是”明确构建一个无限家庭的$3$ -choosable图的最大诱导$…
2014-03-11 math.CO
List colouring of graphs with at most $\big(2-o(1)\big)χ$ vertices
Ohba证明了\cite{ohb}：如果图$G$有$2χ(G)+1$或更少的顶点，则$G$的列表色数和色数相等.本文证明了这个猜想是渐近正确的。更精确地说，我们得到了对任何$0<ε<1$，存在一个$n_0=n_0(ε)$使得$G$的列表色数等于它的色数，条件是$$n_0 \leq |V(G) | \le (2-ε)χ(G).$$
2003-04-28 math.CO
List colouring triangle free planar graphs
研究证明，无三角形平面图在独立集顶点给3种列表颜色、其余顶点给4种列表颜色时，总可进行列表着色。
2024-03-03 math.CO
Hyperbolicity Theorems for Correspondence Colouring
我们将列表着色结果的框架推广到对应着色。对应着色是列表着色的推广，其中我们将每个顶点可用的颜色的含义本地化。正如Dvotelák和Postle所指出的，关于围长至少为5的可平面图的5-可选择性和可平面图的3-可选择性的两个定理都可以推广到对应着色设置上。在本文中，我们表明，家庭的图是关键的5-对应着色以及家庭的图围长至少为5，是关键的3-对应着色形成双曲族。列表着色的类似结果分别由波斯特尔和托马斯以及德沃夏克和川原林展示。使用结果的双曲族由于波斯特尔和托马斯，我们进一步表明，这意味着局部可平面图是5-对应colloidum;和，使用结果的Dvotelák和Kawarabayashi，存在线性时间算法的可判定性的5-对应着色嵌入图。对于围长至少为5的3-对应着色图，我们给出了类似的结果。
2023-03-29 math.CO
On list extensions of the majority edge colourings
本文研究广义多数边着色的列表扩展，证明最小度满足相应二次或渐近界的图可从给定列表获得多数着色，并推广到颜色相关容差及非列表情形。
2025-02-18 math.CO
On the choosability with separation of planar graphs and its correspondence colouring analogue
图$G$的列表分配$L$是$(\ell,k)$ -列表分配，如果$|L(v)|\geq \ell$用于每个$v \in V(G)$并且$|L(u) \cap L(v)| \leq k$用于每个$uv \in E(G)$。我们说$G$是$(\ell,k)$ -可选的，如果它允许对每个$(\ell, k)$ -列表分配$L$进行$L$ -着色.我们证明了如果$G$是一个平面图，$(4,2)$ -列表分配$L$和每个三角形$T \subseteq G$，我们有$|\bigcap_{v \in V(T)} L(v)| \neq 2$，那么$G$是$L$ -列。事实上，我们证明了一个稍微强一点的结果：如果$G$包含一个团$H$，使得对于每个三角形$T \subseteq G$，$V(H) \cap V(T) \neq \emptyset$与$|\bigcap_{v \in V(T)} L(v)| = 2$，则$G$是$L$ -列。此外，我们还给出了可平面图的$(4,2)$ -可选性的对应着色模拟的一个反例。
2022-03-28 math.CO
Perfect colourings of regular graphs
一个图的顶点着色称为完美的，如果每个色$i$的顶点恰好有色$j$的$a_{ij}$邻居.完美对颜色关联矩阵$(a_{ij})$施加了几个限制。我们列出了几个（旧的和新的）必要条件的矩阵是一个完美的着色的颜色关联矩阵。此外，我们还证明了这些条件的某种组合也是充分的。利用这一点，我们确定了一个列表的所有颜色的关联矩阵对应的完美着色的3-正则，4-正则和5-正则图的两个，三个和四个颜色，分别。作为应用，我们分别确定了具有两种、三种和四种颜色的柏拉图立体的边图的所有完美染色。
2019-06-14 math.CO
Packing colourings in complete bipartite graphs and the inverse problem for correspondence packing
本文研究非对称完全二部图的对应装填数与列表装填数，利用拉丁方刻画其取值，并证明除3外任意正整数均可作为对应装填数，同时反驳相关猜想。
2024-12-04 math.CO
Multiple list colouring of $3$-choice critical graphs
一个图$G$称为$3$ -选择临界图，如果$G$不是$2$ -可选择的，但任何真子图都是$2$ -可选择的. Voigt在[On list Colourings and Choosability of Graphs，Habilitationsschrift，Tu Ilmenau（1998）]中给出了PDMATHAMN-choice临界图的一个刻画. Voigt证明了如果$G$是二部$3$ -选择临界图，则$G$对每个整数$m$都是$(4m, 2m)$ -可选择的.这个猜想被Meng，Puleo和Zhu在[On（4，2）-Choosable Graphs，Journal of Graph Theory 85（2）：412-428（2017）]中反驳。他们表明，如果$G=Θ_{r,s,t}$（其中$r,s,t$与$\min\{r,s,t\} \ge 3$具有相同的奇偶性），或$G=Θ_{2,2,2,2p}$与$p \ge 2$，则$G$是二分$3$ -选择关键，但不是$(4,2)$ -选择关键。另一方面，所有其他的二部3-选择临界图都是$(4,2)$ -可选择的。本文加强了Meng，Puleo和Zhu的结果，证明了所有其它的二部$3$ -选择临界图对任何整数$m$都是$(4m,2m)$ -可选的.
2020-06-28 math.CO
Countable graphs are majority 3-choosable
不友好划分猜想假定每一个可数图都有一个2-着色，其中每一个顶点至少有与单色边一样多的包含该顶点的双色边。这是不知道一般，但它是已知的，一个3着色与此性质总是存在的。Anholcer，Bosek和Grytczuk最近给出了这个猜想的列表着色版本，并证明了大小为4的列表存在这样的着色。我们改进了他们的结果，大小为3的列表，证明延伸到有向无圈图。我们还讨论了一些概括。
2020-11-05 math.CO
List distinguishing index of graphs
该研究探讨图的列表区分指数问题，证明除少数例外，当边的颜色列表大小至少为最大度Δ减1时，存在区分性边着色，该界对Δ≥3最优且适用于有限与无限图。
2023-06-10 math.CO
Equitable $d$-degenerate choosability of graphs
设${\mathcal D}_d$是$d$ -退化图类，$L$是图$G$的列表赋值. $G$的一个着色使得每个顶点从它的列表中接收一种颜色，并且由一种颜色着色的顶点所诱导的子图是$d$ -退化图，称为$G$的$(L,{\mathcal D}_d)$ -着色.对于一个$k$ -统一列表分配$L$和$d\in\mathbb{N}_0$，如果存在$G$的$(L,{\mathcal D}_d)$ -着色使得任何颜色类的大小不超过$\left\lceil|V(G)|/k\right\rceil$，则图$G$是公平$(L,{\mathcal D}_d)$ -可着色的.公平$(L,{\mathcal D}_d)$着色是公平列表着色的推广，由Kostochka等人引入，和张氏提出的一个公平的树型列表。这样的模型在网络分解中可以是有用的，其中一些结构性质被施加在网络上。在本文中，我们给出了一个多项式时间算法，对于一个给定的$(k,d)$ -分区的$G$与$t$ -统一列表分配$L$和$t\geq k$，返回其公平的$(L,\mathcal{D}_{d-1})$ -着色。此外，我们表明，3维网格是公平的$(L,\mathcal{D}_1)$着色的任何$t$ -均匀列表分配$L$其中$t\geq 3$。
2020-03-21 math.CO
List colouring with a bounded palette
Král' and Sgall（2005）引入了列表着色的改进，其中每个颜色列表必须被子集到一个预定的颜色调色板。当调色板的大小最大为$\ell$，而列表的大小必须至少为$k$时，我们称之为$(k,\ell)$ -可选择性。他们证明了，对于任何整数$k\ge 2$，有一个整数$C=C(k,2k-1)$，满足$C = O(16^{k}\ln k)$作为$k\to \infty$，这样，如果一个图是$(k,2k-1)$ -choosable，那么它是$C$ -choosable，并询问是否$C$需要在$k$中是指数的。我们证明它必须满足$C = Ω(4^k/\sqrt{k})$。对于一个整数$\ell \ge 2k-1$，如果$C(k,\ell)$是最小的整数，使得一个图是$C(k,\ell)$-choosable，如果它是$(k,\ell)$ -choosable，那么我们更一般地提供了一个下界$C(k,\ell)$，一个是超多项式在$k$，如果$\ell = o(k^2/\ln k)$，通过一个极值集理论的性质。通过使用容器，我们还给出了$C(k,\ell)$的上界，如果$\ell \ge 2.75 k$，则改进了以前的界。
2015-11-27 math.CO
Colouring of plane graphs with unique maximal colours on faces
四色定理认为每个平面图的顶点都可以用四种颜色适当着色。Fabrici和Göring证明了以下更强的陈述也成立：每个平面图的顶点都可以用数字1，.适当着色，4以这样一种方式，每个面都包含一个唯一的顶点，该顶点的颜色是该面上出现的最大颜色。他们证明了每一个平面图都有这样一个着色数1，.，6.我们证明了每个平面图都有这样一个着色，5，我们还证明了列表变量的声明的大小为7。
2015-06-21 math.CO
The polynomial method for list-colouring extendability of outerplanar graphs
我们重申哈钦森的定理列表着色可扩展的外平面图的非零单项式的图多项式，这产生了一个Alon-Tarsi等价的她的工作。这允许简化她的证明以及获得更一般的结果。
2020-08-07 cs.DM math.CO
List colourings of multipartite hypergraphs
用$χ_l(G)$表示$r$ -均匀超图~ $G$的列表色数. Saxton和第二作者推广了Alon关于图的一个结果，用容器的方法证明了：如果$G$是简单的，$d$是正则的，则$χ_l(G)\ge (1/(r-1)+o(1))\log_r d$是正则的.为了了解这个不等式有多接近最好的可能性，我们研究了当$G$是一个随机$r$ -部超图且$n$顶点在每个类中时的$χ_l(G)$。当$r=2$由Alon和Krivelevich确定时，在这里我们证明了$χ_l(G)= (g(r,α)+o(1))\log_r d$几乎肯定，其中$d$是~ $G$和$α=\log_nd$的期望平均度。函数$g(r,α)$是根据“优先顺序”定义的，并且可以相当明确地确定。这足以表明，容器方法给出了$r=2$和$r=3$的$χ_l(G)$的最佳下界，但也许令人惊讶的是，显然不是$r\ge4$。
2019-03-18 math.CO
Improper choosability and Property B
图的列表顶点着色和性质B（也称为超图2-着色性）之间的基本联系已经被Erdens，Rubin和Taylor所知。在本文中，我们为不正确的列表着色绘制了类似的连接。这扩展了Kostochka，阿隆，和Král'和Sgall的结果，分别为多部图，图的最小程度大，并列出分配有界列表联盟。
2012-05-19 math.CO
A note on two conjectures that strengthen the four colour theorem
关于可平面图着色的两个定理是四色定理的加强。一个是关于符号图着色的，由Máčajová、Raspaud和Škoviera提出。它断言每个带符号可平面图都是$4$ -列图。另一个问题是列表着色，由Kündgen和Ramamurthi提出，它断言如果$L$是可平面图$G$的$2$ -列表分配，则存在$G$的$L$ -着色，使得每个颜色类诱导二部图。本文证明了第一个猜想蕴涵第二个猜想。
2017-11-08 math.CO
Asymptotically optimal bound on the adjacent vertex distinguishing edge choice number
无孤立边图$G$的邻点可区别边染色是它的正常边染色，使得在$G$中没有一对邻顶点满足相同的颜色集.我们表明，这样的着色可以选择从任何一组列表相关联的$G$的边缘，只要每个列表的大小至少是$Δ+CΔ^{\frac{1}{2}}(\logΔ)^4$，其中$Δ$是最大程度的$G$和$C$是一个常数。证据是概率性的。在全色的环境中也是如此。
2017-05-03 math.CO
Colouring triangle-free graphs with local list sizes
我们证明了Molloy最近关于无三角形图的色数的一个突破性结果（以及Bernshteyn的后续工作）的两个不同的和自然的改进.在我们的两个结果中，我们允许提供给较低度数的顶点的颜色量相应地较低。一个结果涉及列表着色和对应着色，而另一个涉及分数着色。我们的第二个证明说明了使用的硬核模型来证明一个约翰森型的结果，这可能是独立的利益。
2020-04-16 cs.DM math.CO
Distinguishing regular graphs from lists
该研究针对图的可区分边着色问题，证明了阶数≥7的至多可数连通正则图可由长度为2的任意列表集合实现可区分边着色，且该结论对阶为阿列夫分层不动点的连通正则图也成立。
2025-02-24 math.CO
The Thue choice number versus the Thue chromatic number of graphs
我们说图$G$的顶点着色$φ$是非重复的，如果不存在正整数$n$和$2n$上的一条路，使得$G$中的$v_{1}\ldots v_{2n}$的相关颜色序列$φ(v_{1})\ldotsφ(v_{2n})$对所有$i=1,2,\dots,n$都满足$φ(v_{i})=φ(v_{i+n})$。$G$的非重复顶点着色中的最小颜色数是图厄色数$π(G)$。对于顶点列表着色的情况，$G$的Thue选择数$π_{l}(G)$表示最小整数$k$，使得对于最小列表长度至少为$k$的每个列表分配$L:V(G)\rightarrow 2^{\mathbb{N}}$，存在来自分配列表的$G$的非重复顶点着色。最近证明了同一图的Thue色数和Thue选择数在某些图类中可以有任意大的差别。在这里，我们给出了一个概述的已知结果，我们比较这两个参数的几个家庭的图，我们也给出了一个列表上的开放问题。
2015-08-11 math.CO
Perfect colourings of simplices and hypercubes in dimension four and five with few colours
本文研究图的完美着色，完整确定四维与五维超立方体边图的两色、三色完美着色，并列出对应维数单纯形边图的所有完美着色以供比较。
2024-02-28 math.CO
Colouring complete bipartite graphs from random lists
设$K_{n,n}$是每边都有$n$顶点的完全二部图。对于每个顶点，从大小为$s=s(n)$的基集$S$中随机均匀地绘制大小为$k$的列表。本文对$k$和增长$n$的所有固定值，估计了随机表中真着色存在的渐近概率.我们发现，这个属性表现出一个尖锐的阈值$k\geq 2$和阈值的位置正是$k=2$ $s(n)=2n$，约$s(n)=\frac{n}{2^{k-1}\ln 2}$为$k\geq 3$。
2005-12-01 math.CO math.PR
Colouring powers of cycles from random lists
令$C_n^k$是$n$顶点上的循环的$k$次幂（即，$C_n^k$的顶点是$n$循环的顶点，并且如果两个顶点沿循环的距离至多为$k$，则两个顶点通过边连接）。对于每个顶点，从大小为$s=s(n)$的基集$S$中随机均匀地绘制大小为$c$的子集。在本文中，我们解决的问题，确定的渐近概率存在一个适当的着色从列表中的所有固定值的$c,k$，并增长$n$。
2005-12-01 math.CO math.PR
The optimal edge-colouring threshold
考虑任何稠密r-正则拟随机二部图H，其部分的大小为n，并固定一组r色.设L是一个随机列表分配，每个颜色是可用的每个边缘H的概率p。我们表明，阈值概率H有一个适当的L-边缘着色是p的顺序（log n）/n。这回答了Kang、Kelly、Kühn、Methuku和Osthus的一个问题。因此，我们得到了斯坦纳三元系和拉丁方的相同阈值;后者回答了约翰森在2006年提出的一个问题。
2022-12-08 math.CO
A complexity trichotomy for approximately counting list H-colourings
本文研究了图的H-着色列表的近似计数的计算复杂性。我们发现了一个基于图H的结构的自然的图论可割性。如果H是非自反二部图或自反完全图，则列表H-着色的计数是在多项式时间内平凡的.另外，若H是非自反二部置换图或自反真区间图，则列表H-着色的近似计数等价于二部图中独立集的近似计数问题#BIS。这是一个研究得很好的问题，被认为是中等复杂性-据信，它没有一个FPRAS，但它并不像近似最困难的计数问题在#P.对于每一个其他图H，近似计数列表H-着色是完整的#P关于近似保持减少（所以没有FPRAS，除非NP=RP）。该图的两个令人满意的特征是：（i）它在遗传图类方面有一个自然的公式，（ii）证明在很大程度上是自包含的，不需要任何泛代数（不像加权情况下的类似二分法）。我们能够将硬度结果扩展到有界度设置，表明所有硬度结果都适用于最大度至多为6的输入图。
2017-01-05 cs.CC math.CO
On the facial Thue choice index via entropy compression
如果一个序列不包含相同的连续序列，则它是非重复的。一条路径的边着色是不重复的，如果它的连续边的颜色序列是不重复的。通过著名的图厄构造，可以仅使用三种颜色为任意长的路径生成非重复的边缘着色。这个概念最近的推广意味着，我们可以获得这样的着色，即使我们被迫选择边缘颜色从任何序列的大小为4的列表（而足够的大小为3的列表仍然是一个悬而未决的问题）。作为这些基本思想的延伸，Havet、Jendrol '、Soták和Škrabul'áková证明了对于每个平面图，8种颜色足以提供边着色，使得每个面路径都是非重复着色的。在本文中，我们证明，同样是可能的列表，只要这些有大小至少为12。因此，我们改进了先前的291的界（通过Lovász局部引理证明）。我们的方法是基于Moser-Tardos熵压缩方法及其最近由Grytczuk，Kozik和Micek，以及Dujmović，Joet，Kozik和Wood扩展的。
2012-07-04 math.CO
List colouring of graphs and generalized Dyck paths
卡塔兰数出现在组合数学中的各种计数问题中。本文揭示了图的Catalan数与列表着色之间的联系。假设$G$是一个图，$f:V(G) \to N$是一个映射。对于一个非负整数$m$，令$f^{(m)}$是$f$到图$ G \diamondplus \overline{K_m}$的扩张，其中对于$\overline{K_m}$的每个顶点$v$，有$f^{(m)}(v)=|V(G)|$。令$m_c(G,f)$为最小$m$，使得$ G \diamondplus \overline{K_m}$不是$f^{(m)}$可选择的，并且$m_p(G,f)$为最小$m$，使得$ G \diamondplus \overline{K_m}$不是$f^{(m)}$可绘制的。研究了任意映射$f$的参数$m_c(K_n, f)$和$m_p(K_n,f)$。对于$\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，在$(a, b)$处结束的$\vec{x}$支配路径是$a \times b$网格的从$(0,0)$到$(a,b)$的单调路径$P$，使得$P$上的每个顶点$(i,j)$满足$i \le x_{j+1}$。令$ψ(\vec{x})$为以$(x_n,n)$结束的$\vec{x}$支配路径的数目。根据这个定义，加泰罗尼亚数$C_n$等于$ ψ((0,1, \ldots, n-1)) $。本文证明了若…
2017-11-08 math.CO
On-line list colouring of random graphs
本文研究了二项随机图G（n，p）的在线列表着色问题。证明了G（n，p）的在线选择数渐近几乎必然渐近于G（n，p）的色数，条件是平均度d=p（n-1）趋于无穷快于（log log n）^1/3（log n）^2n^（2/3）.对于稀疏图，我们稍微不那么成功;我们证明了，如果d>（log n）^（2+ n），对于某些n>0，那么在线选择数最多比色数大C的一个乘法因子，其中C在[2，4]中，取决于d的范围。而且，对于d=O（1），在线选择数至多是大于色数的乘法常数因子。
2015-05-12 cs.DM math.CO
Packing list-colourings
本文发起了对列表着色自然强化版本 list-packing 的研究，利用组合与概率方法为保证其存在的最小 k 设定了基于顶点数、退化度、最大度或列表色数的基本上界，并深入探讨了二部图情形及问题推广。
2023-03-03 cs.DM math.CO
Every planar graph is $1$-defective $(9,2)$-paintable
假设$L$是图$G$的$k$ -列表分配。$G$的$d$ -缺陷$m$ -折叠$L$ -着色$ϕ$将$m$颜色的集合$ϕ(v)$分配给每个顶点$v$，使得对于每个顶点$v$的$ϕ(v) \subseteq L(v)$和对于每个颜色$i$，集合$\{v: i \in ϕ(v)\}$导出最大度为$d$的子图.本文考虑图的在线列表$d$ -亏损$m$ -折叠着色，其中列表赋值$L$是在线给出的，着色是在线构造的.准确地说，$d$ -有缺陷的$(k,m)$ -在图形$G$上绘画游戏由两个玩家玩：Lister和Painter。最初，每个顶点都有$k$令牌，并且没有颜色。在每一轮中，Lister选择一组顶点$M$，并从每个选定顶点中移除一个标记。Painter给$M$的一个子集$X$着色，它导致一个最大度至多为$d$的子图$G[X]$。如果$v$已经接收到$m$颜色，则顶点$v$是完全着色的。如果在某轮结束时，有一个顶点没有剩下更多的标记并且没有完全着色，则Lister获胜。否则，在某轮中，所有顶点都完全着色，Painter获胜。我们说$G$是$d$ -有缺陷的$(k,m)$ -如果画家在这个游戏中有一个获胜的策略，就可以绘制。本文证明了每一个可平面图都是$1$ -亏$(9,2)$ -可画的.
2016-05-14 math.CO
Maximum number of colourings. I. 4-chromatic graphs
证明了$n$顶点上具有$χ(G) \geq 4$的连通图$G$对每个$k \geq 4$至多有$k(k-1)^{n-3}(k-2)(k-3)$ $k$ -染色.当且仅当图是由$K_4$通过重复添加叶子而形成时，对某些（然后对每个）$k$成立相等。这证实了Tomescu [Le nombre des graphes connexes $4$ -chromiques minimaux sommets etiquetes，C. R. Acad. Sci. Paris 273（1971），1124-1126].证明方法可能是独立的利益。特别是，我们的一个辅助结果列表-色多项式解决了最近的猜想布朗，Erey和李。
2017-08-05 math.CO
Filling the Complexity Gaps for Colouring Planar and Bounded Degree Graphs
图$G=(V,E)$的着色是函数$c: V\rightarrow\{1,2,\ldots \}$，使得对于每个$uv\in E$，$c(u)\neq c(v)$。$k$-$G$的常规列表分配是具有域$V$的函数$L$，使得对于每个$u\in V$，$L(u)$是大小为$k$的$\{1, 2, \dots\}$的子集。如果对于每个$u\in V$都有$c(u)\in L(u)$，则$G$的着色$c$遵守$G$的$k$ -常规列表分配$L$。一个图$G$是$k$ -可选的，如果对于$G$的每个$k$ -正则列表分配$L$，存在一个尊重$L$的$G$着色。我们也可以问，对于给定的图$G$的给定的$k$ -正则列表分配$L$，是否存在尊重$L$的$G$的着色。这产生了$k$ -常规列表着色问题。对于$k\in \{3,4\}$，我们确定一个家庭的类${\cal G}$的平面图，这样，无论是$k$ -定期列表着色是NP-完全的实例$(G,L)$与$G\in {\cal G}$，或每一个$G\in {\cal G}$是$k$ -choosable。通过使用已知的非$3$ -可选和非$4$ -可选图的例子，这使得我们能够将$k$ -正则列表着色的复杂性限制到平面图、平面二部图、平面无三角形图以及没有$4$ -圈和没有$5$ -圈的平面图。我们还分类的复杂性$k$ -定期列表着色和一些相关的着色问…
2019-02-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Narrowing the Complexity Gap for Colouring ($C_s$,$P_t$)-Free Graphs
对于正整数$k$和图$G=(V,E)$，$G$的$k$ -着色是一个映射$c: V\rightarrow\{1,2,\ldots,k\}$，使得无论何时$uv\in E$都是$c(u)\neq c(v)$. $k$ -着色问题是对于给定的$G$，决定是否存在$G$的$k$ -着色。$k$ -预着色扩展问题是针对给定的$G=(V,E)$，决定$V$的子集的着色是否可以扩展为$G$的$k$ -着色。图的$k$ -列表分配是将列表-$\{1,\ldots,k\}$的子集-分配给每个顶点，并且列表$k$ -着色问题是决定对于给定的$G$，$G$是否具有$k$ -着色，其中每个顶点用其列表中的颜色着色。我们继续研究这三个决策问题的计算复杂性时，限制到图，既不包含一个循环的$s$顶点，也不包含一个路径的$t$顶点作为诱导子图（固定的正整数$s$和~ $t$）。
2014-07-06 cs.CC cs.DM math.CO
Colouring graphs from random lists
本文研究随机列表着色，证明最大度为 $\Delta$ 的图在 $m$ 满足相应条件时渐近几乎必然 $(k,m)$-可着色，并分析 $H$-free 图的阈值，证实并改进 Casselgren 的相关结论。
2024-04-09 math.CO
Reconfiguration of List Colourings
本文研究图的列表着色重构，证明在每点列表大小至少为度数加一且最大度不小于3时，任意两个可重着色着色可在平方步内转换，并揭示列表减小导致的尖锐相变。
2025-05-12 cs.DM cs.DS math.CO
A Unified Approach to Distance-Two Colouring of Graphs on Surfaces
在本文中，我们介绍的概念$Σ$ -着色图$G$：对于给定的子集$Σ(v)$的邻居的$v$，对于每一个$v\in V(G)$，这是一个适当的着色的顶点$G$这样，此外，顶点一起出现在一些$Σ(v)$接收不同的颜色。这个概念概括了图形的平方着色和嵌入在曲面中的图形的循环着色的概念。我们证明了一个一般的结果，图嵌入在一个固定的表面，这意味着渐近版本的Wegner的和Borodin的猜想上的这两个着色的平面版本。使用Havet等人最近的方法，我们把问题归结为多重图的边着色问题，然后利用Kahn的结果，即列表色指数与分数色指数接近。我们的结果是基于一个强的结构引理，图嵌入在一个固定的表面，这也意味着一个团的大小在平方的最大程度$Δ$嵌入在一些固定的表面是至多$\frac32\,Δ$加上一个常数。
2012-05-06 math.CO
Local girth choosability of planar graphs
在1994年，Rumassen著名地证明了每个平面图都是5-choosable的，解决了最初由Vizing提出的一个猜想，以及Erd \H{os}，Rubin和Taylor在20世纪70年代提出的一个猜想。后来，Rumassen证明了每个围长至少为5的平面图是3-可选的。在本文中，我们介绍了一个\emph{local girth list assignment}的概念：一个列表分配，其中一个顶点的列表大小不依赖于图的围长，而是在最短的周期，其中包含顶点的长度。我们给出了一个局部列表着色定理，它统一了上述两个定理。特别是，我们表明，如果$G$是一个平面图和$L$是一个列表分配$G$，使$|L(v)| \geq 3$的所有$v \in V(G)$ ; $|L(v)| \geq 4$的每个顶点$v$包含在一个4-循环;和$|L(v)| \geq 5$的每个$v$包含在一个三角形，那么$G$承认$L$ -着色。
2022-12-08 math.CO
An Improved Bound for the Linear Arboricity Conjecture
1980年，Akiyama，Exoo和Harary提出了线性荫度猜想，即任何最大度为$Δ$的图$G$最多可以分解为$\left\lceil \fracΔ{2}\right\rceil$线性森林。（如果森林的所有组成部分都是路径，则该森林是线性的。）1988年，阿隆证明了这个猜想的渐近成立性。目前的最佳界限是由Ferber、Fox和Jain在2020年提出的，他们证明了$\fracΔ{2}+ O(Δ^{.661})$足以满足足够大的$Δ$。在这里，我们表明，$G$承认分解到最多$\fracΔ{2}+ 3\sqrtΔ \log^4 Δ$线性森林提供$Δ$是足够大的。此外，我们的结果也适用于更一般的列表设置，其中边缘具有（可能不同的）允许的线性森林集合。因此，我们的界限也适用于列表线性荫度猜想，这是最近才证明，持有渐近金和第二作者。事实上，我们的证明方法将线性荫度猜想和著名的列表着色猜想联系在一起;因此，我们的线性荫度猜想的误差项与Molloy和Reed在2000年提出的列表着色猜想的最著名的误差项相匹配。这是因为我们对每种颜色做了两个副本，然后寻找一个合适的边缘着色，避免了颜色和副本之间的双色循环;我们通过巧妙地修改nibble方法来实现这一点。
2023-01-17 math.CO
List rainbow connection number of graphs
本文引入图的列表彩虹连通数与列表强彩虹连通数，确定若干特定图的相应参数，刻画参数对可实现的正整数值，并提出列表彩虹连通数是否总等于彩虹连通数的公开问题。
2025-03-12 math.CO
Indicated list colouring game on graphs
该研究围绕图的指示列表染色博弈展开，刻画了非指示度可选图的结构为扩展Gallai树，给出对应线性判定算法，还分类刻画了IC-Brooks图并提出有界最大度图的线性判定算法。
2025-02-22 math.CO
List $k$-Colouring $P_t$-Free Graphs: a Mim-width Perspective
图$G=(V,E)$的着色是一个映射$c\colon V\to \{1,2,\ldots\}$，使得对于$G$的每两个相邻顶点$u$和$v$，$c(u)\neq c(v)$。{ \sc List $k$ -Colouring}问题是决定具有用于每个$u\in V$的列表$L(u)\subseteq \{1,\ldots,k\}$的图$G=(V,E)$是否具有着色$c$，使得用于每个$u\in V$的$c(u)\in L(u)$。最近，Chudnovsky，Spirkl and Zhong（DM 2020）证明了对于每个$t\geq 1$和$K_{1,s}^1$，List $3$ -Colouring对于$(K_{1,s}^1,P_t)$ -free图是多项式时间可解的.我们将他们的结果推广到对每个$k\geq 1$列表$k$ -着色。我们的结果还推广了已知的结果，即对于每个$k\geq 1$和$s\geq 0$，列表$k$ -着色对于$(sP_1+P_5)$ -free图是多项式时间可解的，这是由Hoàng，Kamienski，Lozin，Sawada和Shu（Mimica 2010）证明的$s=0$，以及由Couturier，Golovach，Kratsch和Paulusma（Mimica 2015）证明的。我们证明了我们的结果，证明了一个潜在的宽度参数的有界性。也就是说，我们表…
2021-01-19 cs.CC cs.DM cs.DS
