On extremal values of some degree-based topological indices with a forbidden or a prescribed subgraph
本文将 Xu 关于第二 Zagreb 指标在给定团数下的极值结果推广到其他基于度的拓扑指标，并借助子图计数加权和的方法研究禁止或指定子图条件下的极值问题。
2024-02-20 math.CO
Note on extremal problems about connected subgraph sums
本文研究了图的连通子图和集合，以强形式证明了存在顶点赋值使得任意非同构图具有不同的连通子图和集合，并讨论了使所有连通子图和互异的顶点赋值。
2025-07-14 math.CO
Extremal numbers for cycles in a hypercube
设$ex(Q_n, H)$是超立方体$Q_n$的子图$G$中的最大边数，使得不存在$G$与$H$同构的子图.我们证明了对于任意整数$k\geq 3$，$$ex(Q_n, C_{4k+2})= O(n^{\frac{5}{6} + \frac{1}{3(2k-2)}} 2^n).$$
2022-11-28 math.CO
An extremal theorem in the hypercube
超立方体Q_n是顶点集为{0，1}^n的图，如果两个顶点的坐标相差一个，则它们相邻。对于立方体的任意子图H，设ex（Q_n，H）是Q_n中不包含H的副本的子图的最大边数.我们找到了一类广泛的子图H，包括所有已知的例子，其中ex（Q_n，H）= o（e（Q_n））.特别地，我们的方法给出了一个统一的方法来证明ex（Q_n，C_{2t}）= o（e（Q_n）），对于所有t >= 4而不是5.
2010-05-04 math.CO
Extremal results for graphs avoiding a rainbow subgraph
我们说$k$图$G_1,G_2,\dots,G_k$在大小为$n$的公共顶点集上包含图$H$的彩虹副本，如果它们的并集包含$H$的副本，并且每条边属于不同的$G_i$。我们提供了一个反例Frankl猜想的最大产品的大小的三个图避免彩虹三角形的边集。我们提出了另一种猜想，我们证明下的额外假设，工会的三个图是完整的。此外，我们确定了三个图或四个图的边集的大小的最大乘积，避免了长度为3的彩虹路。
2022-11-14 math.CO
Supersaturation for subgraph counts
本文研究了子图计数的过饱和问题，在 Turán 极值数和 Alon-Shikhelman 广义极值问题的基础上，确定了部分广义极值数并证明了相应的过饱和定理。
2022-01-24 math.CO
Extremal $G$-free induced subgraphs of Kneser graphs
Kneser图${\rm KG}_{n,k}$是一个图，其顶点集是$[n]$的所有$k$ -子集的族，并且如果两个顶点的对应子集不相交，则两个顶点相邻。经典的Erdens-Ko-Rado定理决定了${\rm KG}_{n,k}$中最大导出无$K_2$子图的基数和结构。作为Erdens-Ko-Rado定理的推广，Erdenses提出了一个关于${\rm KG}_{n,k}$的导出$K_{s+1}$ -free子图的最大阶的猜想.作为关于这个猜想的最著名的结果，Frankl [Journal of Combinatorial Theory，Series A，2013]，当$n\geq(2s+1)k-s$，给了这个猜想一个肯定的答案，也确定了这样一个子图的结构。本文推广了Erdens-Ko-Rado定理和Erd{ \H o}s匹配猜想，研究了当${\rm KG}_{n,k}[\mathcal{A}]$没有子图同构于给定图$G$时，极大族$\mathcal{A}$的结构问题.在这方面，我们确定这样一个家庭的大小和结构，提供$n$是足够大的$G$和$k$。此外，对于$G=K_{1,t}$的情况下，我们提出了一个Hilton-Milner型定理关于上述问题，专门改进了Gerbner等人的结果[SIAM Journal on Discrete Mathematics，2012]。
2018-03-17 math.CO
On the 12-representability of induced subgraphs of a grid graph
12-可表示图的概念是由Jones等人提出的。这个概念推广了置换图和余区间图的概念。已知任何12-可表示图都是可比较图，并且树是12-可表示的当且仅当它是双毛虫。此外，Jones et al. 1996年，他开始了对格图的诱导子图的12-可表示性的研究，并询问是否有可能刻画这样的图。中的这个问题是关于由正方形组成的格图的诱导子图的，我们称之为正方形格图。然而，网格图中的诱导子图不必包含整个正方形，我们称这样的图为线网格图。在本文中，我们回答了琼斯等人的问题。给出了$12$ -可表示方格图的禁止诱导子图的一个完整刻画.此外，我们猜想这样的一个特征的线网格图，并给出了一些结果对解决这个具有挑战性的猜想。我们的研究结果是一个重要的一步，在所有的12-可表示图的表征方向，因为除了我们的表征，我们还讨论了图的标号和12-可表示性之间的关系，在该地区的关键开放问题之一。
2019-11-01 math.CO
Generalized Turán densities in the hypercube
一个经典的极值问题，或Turán型问题要求确定${\rm ex}(G, H)$，即不包含与$H$同构的子图的图$G$的子图中的最大边数。Alon和Shikhelman引入了所谓的广义极值数${\rm ex}(G,T,H)$，定义为$G$中不含与$H$同构的子图的与$T$同构的子图的最大个数。在本文中，我们研究的情况下，当$G = Q_n$，超立方体的尺寸$n$，和$T$和$H$是更小的超立方体或循环。
2022-01-23 math.CO
Random algebraic construction of extremal graphs
本文给出了不含给定完全二部子图的大型图的一个有动机的构造。关键的见解是，代数结构产生非常不光滑的概率分布。
2015-07-23 math.CO
The spectral radius of $1$-planar graphs without complete subgraphs
本文研究了1-平面图的谱极值问题，确定了不含K3或K4的1-平面图的唯一谱极值图，并将不含K5的1-平面图的候选图限制在特定小家族中。
2025-12-15 math.CO
Extremal Subgraphs of Random Graphs: an Extended Version
证明了存在一个常数$c >0$，使得只要$p \ge n^{-c}$，当$n$趋于无穷大时概率趋于1，随机图$G_{n,p}$的每个最大无三角形子图都是二部图.这回答了Babai，Simonovits和Spencer（Journal of图论，1990）的一个问题。证明是基于一个工具的独立利益：例如，我们表明，几乎所有的图与$M$边缘，其中$M >> n$的最大切割，是“几乎唯一的”。更准确地说，给定$G_{n,M}$的最大割$C$，我们可以通过在$C$的部分之间移动至多$O(\sqrt{n^3/M})$顶点来获得所有最大割。
2009-08-26 math.CO math.PR
Extremal graphs with no subgraph admitting $k+1$ edge-disjoint spanning trees
College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University（新疆大学数学与系统科学学院）
本文研究 $\tau_k$-极大图，证明其边数不超过 $(k+1)(n-1)-1$，并构造达到该上界的图族，最后猜想所有 $\tau_k$-极大图均达到该上界并验证 $k=1$ 情形。
2026-06-29 math.CO
Large subgraphs without short cycles
研究了不含$\F$图族的子图的两个极值问题。i）在所有有$m$边的图中，最大无$\F$子图的最小尺寸$f(m,\F)$是多少？ii）在所有具有最小度$δ$和最大度$Δ$的图中，具有最大最小度的无生成$\F$子图的最小最小度$h(δ,Δ,\F)$是多少？对于不含任何二部图的图族，这些问题很容易回答。我们研究的情况下，$\F$是由所有甚至周期的长度在大多数$2r$，$r\geq 2$。在这种情况下，我们给出了$f(m,\F)$和$h(δ,Δ,\F)$的界限，这些界限基本上渐近紧到对数因子。特别是对于每一个图$G$，我们证明了存在的子图具有任意高的围长，并与许多边缘或大的最低程度。这些子图是使用图到极值图的概率嵌入来创建的。
2014-10-16 math.CO
Complete subgraphs in multipartite graphs
Turan定理指出，每一个具有一定边密度的图都包含一个完全图$K^k$，并描述了唯一的极图。我们对l-部图给出了一个类似的定理。对于大的l，我们找到了最小边密度$d^k_l$，使得每一个$\ell$ -部图，其部分的两两边密度大于$d^k_l$，都包含一个$K^k$ .事实证明，$d^k_l=(k-2)/(k-1)$对于足够大的l。我们还描述了极图的结构。对于三角形的情况下，我们表明，$d^3_{13}=1/2$，反证一个猜想邦迪，沉，Zeroasse和Zeroassen。
2009-10-08 math.CO
The signless Laplacian spectral radius of graphs with forbidding linear forests
Turán型极值问题是指在不含固定禁止子图的图上，如何最大化边数的问题。类似地，谱Turán型极值问题是如何在所有不包含固定子图的图上最大化（无符号拉普拉斯）谱半径。本文首先给出了$k\cdot P_3$的边数稳定性结果，然后分别在不包含至多两条奇路的固定线性森林或不包含$k\cdot P_3$作为子图的所有图上确定了最大化无符号Laplacian谱半径的所有极图.
2020-07-15 math.CO
4-cycle-free induced subgraphs of grid graphs
研究二维网格图中避免诱导4-循环的最大顶点集，并给出略小于最大值的诱导C4-无子图数量的上下界。
2026-10-14 math.CO
Unified approach to the generalized Turán problem and supersaturation
本文介绍了图论中广义Turán问题和过饱和结果的一种统一方法。过饱和极值函数$satex(n, F : m, G)$是一个$n$ -顶点图所能拥有的子图$G$的最少拷贝数，它至少包含$F$的$m$拷贝作为子图。我们提出了一个调查，讨论以前已知的结果，并获得几个新的主要集中在证明方法，极值结构和相变现象。最后指出了与超图极值问题的关系，特别是Berge-type结果。
2021-09-30 math.CO
Guessing Numbers and Extremal Graph Theory
对于给定的颜色数$s$，图的猜测数是图的顶点集的最大着色族的基数的（基$s$）对数，使得每个顶点的颜色可以从其邻域中的顶点的颜色确定。这个量与网络编码、电路复杂性和图熵中的问题有关。在经典极值问题的背景下，我们研究了图的猜测数作为一个图的性质，以及它与禁止子图性质的关系。对于固定的$a$，我们找到了关于具有猜测数$\leq a$的性质的极值数。此外，我们找到了一个上界的饱和数为这个属性，和一种方法来构建进一步的饱和图之间的这两个极端。我们表明，对于一个固定数量的颜色，绑定的猜测数相当于禁止一个有限集的子图。
2020-09-09 math.CO
Leaky Zero Forcing on Subgraphs of $d$-dimensional Grid Graphs with an Application to Diamond Rectangles
California State University, Northridge（北岭加州州立大学）；California State University East Bay（东湾加州州立大学）
本文研究了诱导子图上的零强迫和 $\ell$-漏斗零强迫，引入了霍皮矩形图的定义，并证明了其零强迫数等于最大零度数，同时完全刻画了 $\ell$-漏斗强迫数。
2026-10-27 math.CO
Extremal graphs for clique-paths
本文讨论了一个Turán型问题：给定一个正整数n和一个禁止图H，一个n阶图中没有子图H时，能有多少条边？如果一个图有这个极值边数，它会是什么样子？本文中的禁止图是团路径：长度为k的路径，其中每条边都扩展到r团，r >2。对于充分大的n，我们确定了极值数和极值图。
2011-11-30 math.CO
Spectral extremal graphs for even factors
Minnan Normal University（闽南师范大学）；Lanzhou University（兰州大学）
针对最小度条件，给出了连通图包含偶因子的邻接谱半径紧界，并刻画了所有极图；进一步研究了连通偶因子的谱条件，确定了唯一极图。
2026-06-16 math.CO
On Meyniel extremal families of graphs
本文给出了Meyniel极图的新构造，它是一类具有最大渐近cop数的图。利用生成子图，证明了存在指数个数的具有指定度的新Meyniel极值族。使用一个线性规划超图的问题，我们探讨度的家庭，不是Meyniel极值。本文给出了点传递图的顶点数的一个已知的上界。我们发现了新的正则图的Meyniel极图族，这些图具有大色数和大直径，并探讨了Meyniel极图与二部图之间的联系.
2022-01-21 math.CO
Rational exponents in extremal graph theory
给定一个图族$\mathcal{H}$，若存在一个具有$n$顶点和$m$边的图，且该图族$\mathcal{H}$中没有图作为子图，则极值数$\textrm{ex}(n, \mathcal{H})$是最大的$m$.证明了对于$1$和$2$之间的任意有理数$r$，存在一族图$\mathcal{H}_r$使得$\textrm{ex}(n, \mathcal{H}_r) = Θ(n^r)$ .这解决了极值图论领域中一个长期存在的问题。
2017-09-19 math.CO
Extremal graph for intersecting odd cycles
一个在$n$顶点上的图$H$的极图是一个在$n$顶点上具有最大边数且不包含$H$作为子图的图。设$T_{n,r}$是Turán图，它是在$n$顶点上的完全$r$ -部图，其部分大小相差至多1.著名的图兰定理指出，$T_{n,r}$是完全图$K_{r+1}$的唯一极值图。Erdös等人（1995）确定了相交三角形的极值图，Chen等人（2003）确定了相交团的极值图的最大边数。本文确定了相交奇圈的极图。
2015-10-28 math.CO
Largest 2-regular subgraphs in 3-regular graphs
对于图$G$，令$f_2(G)$表示$G$的$2$正则子图中的最大顶点数.我们确定了$3$ -正则$n$ -顶点简单图$G$上的$f_2(G)$的最小值.为此，我们证明了每一个$3$ -正则多重图的$c$切边恰好有一个$2$ -正则子图，它省略了最多$\max\{0,\lfloor (c-1)/2\rfloor\}$顶点。更一般地说，每一个具有最大度$3$和$m$边的$n$ -顶点多重图都有一个至多省略$\max\{0,\lfloor (3n-2m+c-1)/2\rfloor\}$顶点的$2$ -正则子图.这些界限是尖锐的，我们描述的极值多重图。
2019-03-21 math.CO
Induced subgraphs and tree decompositions IX. Grid theorem for perforated graphs
本文研究不含$c$个环不相交并导出子图的$c$-perforated图，证明其树宽较大当且仅当包含大完全图、完全二部图或full occultation，建立了首个包含非细分墙障碍的网格型定理。
2025-03-07 math.CO
Extremal C4-free/C5-free planar graphs
我们研究的主题“极值”可平面图，定义$\mathrm{ex_{_{\mathcal{P}}}}(n,H)$是最大数量的边缘可能在平面图上的$n$顶点，不包含一个给定的图$H$作为子图。特别是，我们研究的情况下，当$H$是一个小循环，获得$\mathrm{ex_{_{\mathcal{P}}}}(n,C_{4}) \leq \frac{15}{7}(n-2)$的所有$n \geq 4$和$\mathrm{ex_{_{\mathcal{P}}}}(n,C_{5}) \leq \frac{12n-33}{5}$的所有$n \geq 11$，并表明，这两个边界是紧的。
2015-12-14 math.CO
Extremal function for rooted $K_5$ minors
Charles University, Prague, Czech Republic（布拉格查理大学）
本文证明了5-连通图边数达到4n-10时，任意五个顶点可收缩得到K_5 minor，且该界最优。
2026-09-15 math.CO
Extremal results for odd cycles in sparse pseudorandom graphs
本文研究伪随机图的子图的极值问题。对于图$F$和$Γ$，广义Turán密度$π_F(Γ)$表示$Γ$的最大子图的密度，其中不包含~$F$的副本。推广了关于奇圈的经典Turán型结果，证明了当$F$是奇圈且$Γ$是充分伪随机图时，$π_{F}(Γ)=1/2$是一个完全伪随机图.特别地，对于$(n,d,λ)$-图$Γ$，即，$n$-顶点，$d$-正则图的所有非平凡的特征值在区间$[-λ,λ]$，我们的结果适用于奇数周期的长度$\ell$，提供\[ λ^{\ell-2}\ll \frac{d^{\ell-1}}n\log(n)^{-(\ell-2)(\ell-3)}\,. \]到polylog因子这验证了一个猜想Krivelevich，李和Sudakov。对于三角形来说，这个条件是最好的，并且之前已经被Sudakov，Szabó和Vu证明了，他们解决了$F$是完全图的情况。阿隆和Kahale（基于早期的三角形自由$(n,d,λ)$-图的阿隆建设）的建设表明，我们的假设$Γ$是最好的可能的polylog因子为每一个奇数$\ell\geq 5$。
2016-03-14 math.CO
Treewidth of grid subsets
设Q_n是n × n × n立方图，其组成单位立方体的对角线（包括面对角线）均不减。假设V（Q_n）的子集S将立方体的左侧与右侧分开。我们证明了S诱导出树宽至少为n/sqrt{18}-1的子图。本文推广了这一观点，证明了Q_n的顶点集不能划分为两部分，每一部分都导出一个有界树宽的子图。
2015-12-20 math.CO
On extremal numbers of the triangle plus the four-cycle
对于一个图族$\mathcal{F}$，设$ex(n,\mathcal{F})$表示不包含$\mathcal{F}$的任何成员作为子图的$n$ -顶点图中的最大边数.极值图论中一个长期存在的问题是确定函数$ex(n,\{C_3,C_4\})$。本文给出了围长至少为5且顶点数为任意的稠密图的一种新的构造方法，这是自1976年以来对$ex(n,\{C_3,C_4\})$下界的首次改进.作为推论，这对Chung-Graham [3]中的一个问题产生了否定的答案。
2022-12-05 math.CO
The extremal function for disconnected minors
对于图$H$，令$c(H)$表示在所有不包含$H$作为子图的非空图$G$上取的$|E(G)|/|V(G)|$的上确界。我们证明了当$H$是圈的并集时，$$c(H) \leq \frac{|V(H)|+\mathrm{comp}(H)}{2}-1,$$，验证了Reed和Wood以及Harvey和Wood的结构。我们从一个定理导出了上述结果，该定理允许我们在一个足够稠密的图中找到两个具有指定密度的顶点不相交子图，这可能是独立的兴趣。
2015-09-03 math.CO
Extremal planar graphs with no cycles of particular lengths
本文估计了某些图$H$的平面Turán数$\mathrm{ex}_\mathcal{P}(n,H)$，即，不包含$H$作为子图的$n$顶点的平面图$G$中的最大边数。本文给出了当$H=C_5$是偶圈时的一个新的简短证明，并研究了$G$是二部或无三角圈以及$H$是短偶圈的情形.这些证明大多是Ghosh，Gyamri，Martin，Paulos和Xiao在arXiv：2004.14094中介绍的“贡献方法”的新应用或变体。
2022-08-30 math.CO
Degree Sequence Optimization and Extremal Degree Enumerators
本文通过非线性变换将度序列优化转化为度枚举子多面体问题，刻画了完全图及部分完全二部图的极值顶点，并据此提出更简单快速的优化算法。
2024-04-03 cs.DM cs.DS math.CO
Induced subgraphs and tree decompositions XII. Grid theorem for pinched graphs
本文针对$c$-受限图提出了一个网格型定理，证明其具有大树宽当且仅当包含大完全图、大完全二部图、大墙细分、大墙细分的线图或Pohoata-Davies构造的大导出子图之一。
2025-01-26 math.CO
Extremal results on $G$-free colorings of graphs
设$H=(V(H),E(H))$是一个图。$H$的$k$ -染色是一个映射$π: V(H) \longrightarrow \{1,2,\ldots, k\}$，使得每个色类都导出一个无$K_2$的子图.对于阶至少为$2$的图$G$，$H$的无$G$的$k$ -着色是一个映射$π: V(H) \longrightarrow \{1,2,\ldots,k\}$，使得由$π$的每个色类导出的$H$的子图是无$G$的，即不包含$G$的拷贝. $H$的$G$ -自由色数是使$H$有一个$G$ -自由$k$ -染色的最小数，记为$χ_G(H)$ .一个图$H$是唯一的$k$ - $G$ -free着色，如果$χ_G(H)=k$和$H$的每个$k$ - $G$ -free着色产生相同的色类.一个图$H$是关于$G$ -free的最小的，或$G$ -free-minimal的，如果对于$E(H)$的每个边我们有$χ_G(H\setminus\{e\})= χ_G(H)-1$。本文给出了唯一$k$ - $G$ -free染色和唯一$k$ - $G$ -free极小的一些界和性质。
2022-01-20 math.CO
Turán-type extremal problems for unbalanced signed graphs
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）；Xi’an-Budapest Joint Research Center for Combinatorics, Northwestern Polytechnical University（西安-布达佩斯组合学联合研究中心）；School of Mathematical Sciences & Academy for Multidisciplinary Studies, Captial Normal University（首都师范大学数学科学学院与跨学科研究院）
本文推广Turán定理和Nikiforov谱Turán定理至符号图，并确定了无平衡完全符号子图的不平衡符号图的第二最大谱半径。
2026-09-17 math.CO
A proof of the stability of extremal graphs, Simonovits' stability from Szemerédi's regularity
证明了图兰定理的下列锐化。设$T_{n,p}$表示具有最大边数的$n$阶完全$p$-部图.若$G$是一个有$e(T_{n,p})-t$边的$n$ -顶点$K_{p+1}$ -自由图，则存在（至多）一个$p$ -色子图$H_0$使得$e(H_0)\geq e(G)-t$ .利用这个结果，我们提出了一个简洁的，当代的证明（即，一个应用Szemerédi的正则性引理）的经典稳定性结果的Simonovits。
2015-01-13 math.CO
Extremal graphs for disjoint union of stars and paths
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
本文针对足够大的n，刻画了F为路与星不交并时n阶边数最多的F-无图，推广了已有相关研究结果。
2026-08-18 math.CO
The index of unbalanced signed complete graphs whose negative-edge-induced subgraph is ${K}_{2,2}$-minor free
本文研究负边诱导子图不含 $K_{2,2}$ 子式的符号完全图，刻画了其指数取得最大值与第二大值时的极值图结构。
2025-05-14 math.CO
The maximum number of complete subgraphs of fixed size in a graph with given maximum degree
在本文中，我们取得了进展的一个问题有关的Galvin，最近引起了很大的关注。问题是在所有图中确定具有$n$顶点和$Δ(G)\leq r$的$G$，对于$t\geq 3$，$G$具有最完整的$t$大小的子图。所构造的极值图是$aK_{r+1}\cup K_b$，其中$n=a(r+1)+b$具有$0\leq b\leq r$。GAN，Loh和Sudakov在$a\leq 1$时证明了这个猜想，并且还将一般猜想还原为$t=3$的情形.证明了对$r\leq 6$的猜想，并建立了对所有$r$的猜想的一个较弱形式.
2014-05-06 math.CO
Subgraphs of weakly quasi-random oriented graphs
如果$D$不包含固定定向图$H$作为子图，那么可以获得关于定向图$D$的结构的什么样的信息，这是一个有趣的问题。在无向情况下的相关问题一直是一个活跃的研究领域，并且在拟随机图和极值组合学理论中得到了比较好的理解。在本文中，我们考虑这样一个一般问题的最简单的情况下，定向图，并提供一些结果的整体行为的定向$D$。对于$H$是有向四圈图的情形，证明了：在每个无$H$的定向图$D$中，存在一对$A,B\ssq V(D)$使得$e(A,B)\ge e(D)^{2}/32|D|^{2}$和$e(B,A)\le e(A,B)/2$ .我们给出了一个随机结构，这表明，这对$e(A,B)$的约束是最好的可能性（常数）。此外，我们还证明了当$H$是有向六圈时的一个类似结果，当$D$是稠密的而$H$是任意的时，我们得到了一个更精确的结果.我们还考虑了相关的极值问题，其中没有条件被放在定向图$D$，并提供了一个答案，这是最好的可能高达一个乘法常数。最后，我们提出了一些相关的问题和建议。
2010-11-19 math.CO
On an extremal problem involving a pair of forbidden posets
解决一个猜想Methuku和第一作者，我们确定的规模最大的家庭的子集的$n$ -元素集避免$Y_k$和$Y_k'$作为诱导subposets。这个结果是循环格偏序集上类似结果的一个推论。
2017-10-30 math.CO
An Extremal Problem On Potentially $K_{r+1}-(kP_2\bigcup tK_2)$-graphic Sequences
序列$S$是潜在的$K_{m}-H$ -图形的，如果它有一个实现包含一个$K_{m}-H$作为子图。令$σ(K_{m}-H, n)$表示最小度和使得每个具有$σ(S)\geq σ(K_{m}-H, n)$的$n$项图序列$S$是潜在$K_{m}-H$ -图的。在本文中，我们确定了$n\geq 4r+10, r+1 \geq 3k+2t, k+t \geq 2,k \geq 1, t \geq 0$的$σ(K_{r+1}-(kP_2\bigcup tK_2), n)$。
2009-11-17 math.CO
The bipartite Turan number and spectral extremum for linear forests
图$H$的二部图兰数，记为$ex(m,n; H)$，是任何二部图$G=(X,Y; E)$中不包含$H$作为子图的$|X|=m$和$|Y|=n$的最大边数。本文对任意$\ell$和适当大的$n$确定了$ex(m,n; F_{\ell})$，并与$m$和$\ell$进行了比较，其中$F_\ell$是由$\ell$顶点不相交路径组成的线性森林.此外，还对极图进行了刻画。此外，这些结果被用来获得不包含$F_{\ell}$作为子图的二部图的最大谱半径，并刻画了所有达到最大谱半径的极图。
2022-01-03 math.CO
Survey of generalized Turán problems -- counting subgraphs
本文综述了广义Turán数$\mathrm{ex}(n,H,F)$的研究，即在$n$顶点无$F$图中最大化子图$H$副本数的极值问题，系统梳理了自Alon和Shikhelman 2016年开创性工作以来的主要进展与成果。
2025-06-03 math.CO
Cut and pendant vertices and the number of connected induced subgraphs of a graph
在图$G$中，一个顶点的移除会增加图$G$的分支数，这个顶点被称为割点。对所有$n,c$，我们确定了一个连通图的最大连通诱导子图数，该连通图的阶为$n$，割点为$c$，并对达到上界的图进行了计数.此外，我们还证明了在所有无割点的连通图中，该圈具有最少的连通诱导子图。一般情况$c>0$仍然是一个开放的任务。给出了给定悬挂顶点数和阶数的极图结构，并建立了相应的连通诱导子图数计算公式。这种情况下的“最小”图是一棵树，这与Li和Wang [关于树的子树总数的进一步分析]给出的结构一致。\emph{Electron. J. Comb.} 19（4），#P48，2012]。
2019-10-08 math.CO
Triangle-free subgraphs of random graphs
最近，人们对极值图论中著名经典结果的随机图模拟研究产生了浓厚的兴趣。在这里，我们遵循这一趋势，并研究具有高最小度的$G(n,p)$的无三角形子图的结构。证明了对于某些$r=r(\varepsilon)$，$G(n,p)$的每个最小度至少为$\big(\frac{2}{5} + o(1)\big)pn$的无三角形生成子图都是$\mathcal O(p^{-1}n)$ -接近二部图，每个最小度至少为$(\frac{1}{3}+\varepsilon)pn$的无三角形生成子图都是$\mathcal O(p^{-1}n)$ -接近$r$ -部图.这些是Andrásfai、Erdés和Sós [Discrete Math.8（1974），205-218]的结果和Anjassen [Combinatorica 22（2002），591- 596]的结果的随机图模拟。我们还表明，我们的结果是最好的可能的常数因子。
2015-07-18 math.CO
Mantel's Theorem for Random Hypergraphs
极值图论中的一个经典结果是Mantel定理，它指出$K_n$的每个最大无三角形子图都是二部图。Mantel定理的一个稀疏版本是，对于足够大的$p$，$G(n,p)$的每个最大无三角形子图是w. h. p.二部图。最近，DeMarco和Kahn证明了对于$p > K \sqrt{\log n/n}$，对于某个常数$K$，这个界是最好的。本文研究了随机超图中这类极值问题。用$F_5$表示顶点集为{a，b，c，d，e}，边集为{abc，ade，bde}的3-一致超图，有时也称为广义三角形。极值超图理论中的第一个极值结果是由Frankl和Füredi证明的，当n>3000时，n个顶点上不包含$F_5$拷贝的最大3-一致超图是三部的。一个自然的问题是什么p是$G^3(n,p)$ w. h. p.三分图的每个最大$F_5$ -自由子超图。我们证明了这对$p>K\log n/n$对某个常数K成立，而对$p=0.1\sqrt{\log n}/n$不成立。
2015-05-28 math.CO
Triangle-free induced subgraphs of polarity graphs
给定一个有限射影平面$Π$和$Π$的一个极性$θ$，对应的极性图是其顶点是$Π$的点的图。如果$p$与$θ(p')$关联，则两个不同的顶点$p$和$p'$相邻。极性图已经被用于各种极值问题，也许最著名的是长度为4的循环的图兰数。研究了求一个极性图的导出无三角形子图的最大顶点数的问题。Mubayi和Williford证明了当$Π$是射影几何$PG(2,q)$，$θ$是正交极性时，导出的无三角形子图至多有$\frac{1}{2}q^2 + O(q^{3/2})$顶点.我们将这一结果推广到所有的极性图，并提供了一些有趣的计算结果，是相关的一个悬而未决的猜想Mubayi和Williford。
2017-04-05 math.CO
Elusive extremal graphs
研究了极值图论问题最优解的唯一性。Lovasz证明了每个有限可行子图密度约束集都可以被一个有限集密度约束集进一步扩展，使得得到的子图密度约束集满足一个渐近唯一图.这句话通常被称为“每一个极值图论问题都有一个强有力的最优解”。我们提出了一个反例的猜想。我们的技术还扩展到一个更一般的设置，涉及其他类型的约束。
2020-08-09 cs.DM math.CO
Extremal and monotone behaviour of the Sudoku number and related critical set parameters
数独数已经被定义为各种名称，表明它是一个自然的概念。这个参数有四种变体，它们可以与图着色问题中的临界集的最大和最小尺寸相关。对于这四个相关的参数，我们提出了一些简单的表征达到最大可能值的图形。作为一个主要的结果，我们回答了库珀和柯克帕特里克的一个问题，表明只有两个四个参数的颜色数的单调行为。我们也研究了子图序的单调性。对于拉丁方和数独，我们解决了超图着色的一些变体。
2022-07-28 math.CO
Regular Graphs with Forbidden Subgraphs of $K_n$ with $k$ Edges
在本文中，我们提出了一个变种的极值图论中的一个经典问题，这是由分数重复码的设计，在分布式存储系统中的一个模型的动机。对任意可行正整数$d\geq 3$，$n \geq 3$，$k$，其中$n-1 \leq k \leq \binom{n}{2}$，若一个$d$正则无向图的顶点数不超过$k$，则该图的最小顶点数是多少？本文的目标是给出问题的每个实例的确切顶点数，并提供$n$，$d$和$k$的一般值的一些界限。对于这个Turán型问题，给出了一些具有精确值的一般界。我们提出了一个几乎完整的解决方案，$3 \leq n \leq 5$。
2016-08-12 math.CO
