Minimal immersions of Riemannian manifolds in products of space forms
Fernando Manfio, Feliciano Vitório
本文给出了T.高桥关于最小限度地浸入球体。更精确地说，我们处理欧氏等距浸入，其在R^N中的投影满足其拉普拉斯算子的谱条件。
In this note, we give natural extensions to cylinders and tori of a classical result due to T. Takahashi about minimal immersions into spheres. More precisely, we deal with Euclidean isometric immersions whose projections in R^N satisfy a spectral condition of their Laplacian.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Biharmonic isometric immersions into and biharmonic Riemannian submersions from Berger 3-spheres
本文研究了曲面到三维Berger球面的双调和等距浸入和三维Berger球面的双调和黎曼浸入。得到了具有常中曲率的曲面到Berger 3-球面的真双调和等距浸入的分类。我们还给出了Berger 3-球面中真双调和Hopf环面的一个完全分类。对于黎曼浸入，我们证明了从Berger 3-球面到曲面的黎曼浸入是双调和的当且仅当它是调和的。
Characterizations of umbilic points of isometric immersions in Riemannian and Lorentzian manifolds
给出了任意黎曼流形和洛伦兹流形中子流形脐点的几个刻画。作为结果，我们得到了欧几里得空间中球面和Lorentz-Minkowski空间中双曲空间的新刻画.我们还证明了一个经典结果的洛伦兹版本的嘉当。
On isometric immersions of sub-Riemannian manifolds
研究了次黎曼流形的曲率不变量（即，一个流形上的黎曼度量的非完整分布）有关的相互曲率的几个成对正交子空间的分布，并证明几何不等式的子黎曼子流形。作为应用，证明了具有相互正交分布的子流形中包含数量曲率和相互曲率的不等式。对于紧子流形，得到了由几乎积流形的已知积分公式支持的不等式。
Conformal immersion of Riemannian products in low codimension
证明了$M_0^{n_0}\times M_1^{n_1}$在欧几里得空间中作为超曲面的共形浸入必须是浸入的外积，并假设$n_0, n_1 \geq 2$和$M^{n_0}_0\times M^{n_1}_1$不是共形平坦的.对于任意数目的因子，我们也给出了一个类似的定理，更确切地说，如果其中一个因子允许一个曲率为零的平面，而其余因子不平坦，则共形浸入$f\colon M^{n_0}_0 \times \cdots \times M^{n_k}_k \rightarrow \mathbb{R}^{n+k}$必须是浸入的外积.
Biminimal immersions
本文研究了双极小浸入，即能量固定的正态变化的双能量的临界点。我们给出了与双极小浸入相关的欧拉-拉格朗日方程的几何描述：i）黎曼流形中的双极小曲线，特别是空间型中的曲线的情况ii）黎曼流形中余维为1的等距浸入，特别是对于三维流形的曲面。我们描述了两种方法来构建家庭的双极小曲面使用黎曼和水平位似淹没。
On isometric immersions of almost $k$-product manifolds
具有$k\ge2$互补两两正交分布的黎曼流形称为黎曼几乎$k$ -积流形。本文首次研究了等距浸入另一个黎曼流形中的几乎$k$ -积黎曼流形的内、外不变量之间的关系。对于这样的浸入，我们建立了一个最优不等式，其中包括混合的数量曲率和中曲率的平方。虽然黎曼曲率张量属于内禀几何，但黎曼几乎$k$ -积流形的混合曲率也与外禀几何有关.我们的不等式还包含与B有关的混合数量曲率型不变量。Y Chen的$δ$ -不变量。应用程序给出等距浸入的多重扭曲和翘曲的产品（我们改进了一些已知的最优不等式，通过更换截面曲率与我们的不变量）和问题的非浸入和不存在的紧叶的foliated子流形。
Isometric immersions of Riemannian manifolds in $k$-codimensional Euclidean space
对于给定的$n$和$k$，我们用一种新的方法给出了黎曼$n$ -流形$M$在$\mathbb{R}^{n+k}$中存在局部等距浸入的条件.这些等价于流形上标量场的$k$元组的（局部）存在，满足涉及$M$的黎曼曲率张量的某个非线性方程。设置$k=1$，我们继续恢复超曲面的基本定理。在流形的情况下，正截面曲率和$n\geq 3$，我们减少了高斯和Codazzi方程的可解性取消一组障碍，涉及对数的黎曼曲率算子。由此产生的定理有一个结构相似的Weyl-Schouten定理，建议共形平坦$n$ -流形和那些承认等距浸入$\mathbb{R}^{n+1}$之间的平行。
Curved Flats, Pluriharmonic Maps and Constant Curvature Immersions into Pseudo-Riemannian Space Forms
本文研究了空间型具有平坦法丛的等距浸入的环群表示的两个方面。第一个方面是检查沿着循环参数的不同范围的循环组映射。这导致了不同空间型和伪黎曼空间型之间的整体等距浸入问题之间的各种等价性。作为推论，我们得到了球面到某些伪黎曼球面和双曲空间的非浸入性定理。第二个方面是阐明空间型等距浸入的环群公式与对称空间的多重调和映射的环群公式之间的关系。我们表明，在第一类的对象，在真正的分析情况下，扩展到一定的对称空间，满足额外的现实条件沿全实子流形的多重调和映射。我们展示了如何构建这样的多重调和映射一般对称空间从弯曲的单位，使用广义DPW方法。
An existence theorem for G-structure preserving affine immersions
证明了仿射流形之间局部和全局G-结构保持仿射浸入的存在性。在黎曼和半黎曼几何的背景下讨论了几个例子，包括等距浸入李群赋予左不变度量的情况下，等距浸入空间型的产品的情况下。
Spinorial Characterizations of Surfaces into 3-dimensional pseudo-Riemannian Space Forms
本文给出了三维伪黎曼空间型中任意签名的等距浸入曲面的旋量特征。对于洛伦兹曲面，这将第一作者最近在$\mathbb{R}^{2,1}$中的工作推广到其他洛伦兹空间型。我们还刻画了黎曼曲面在这些空间中的浸入。由此我们可以推出洛伦兹曲面在相应签名的空间型中的类时浸入以及签名为（0，2）的曲面的类空浸入和类时浸入的类似结果，从而实现了这类伪黎曼浸入的完整旋量描述。
Riemannian geometry of the space of volume preserving immersions
给定一个紧致流形$M$和一个有界几何的黎曼流形$N$，我们考虑从$M$到$N$的浸入流形${\rm Imm} (M,N)$及其子集${\rm Imm}_μ(M,N)$，这些浸入的性质是拉回度量的体积形式等于$μ$ .我们首先证明了${\rm Imm}_μ(M,N) $的非极小元构成一个分裂子流形。在这个子流形上，我们考虑各种自然索博列夫度量的Levi-Civita连接，写下测地线方程并在许多情况下显示局部适定性。该问题是保体积自同态群的适定性问题的自然推广，这在流体力学中具有重要意义。
Normal curvature bounds for immersions into Riemannian domains
针对Gromov提出的浸入最小法曲率问题，通过定义单位梯度归一化下的最优n-迹凸性不变量，得到了闭子流形平均法曲率的下界，并将Petrunin关于欧氏球的下界推广到Cartan-Hadamard流形中的测地球及满足凸性条件的黎曼区域。
On the fundamental tone of immersions and submersions
本文给出了具有有界中曲率的完备子流形上Laplace-Beltrami算子谱的下界估计，该子流形的周围空间允许具有负截面曲率的黎曼流形上的李曼浸入。我们的主要定理推广了许多以前已知的估计，并适用于浸入和淹没。
A Wintgen type inequality for surfaces in 4D neutral pseudo-Riemannian space forms and its applications to minimal immersions
设$M$是一个浸入到四维伪黎曼空间形式$R^4_2(c)$中的类空曲面，其截面曲率为常数$c$，指数为2。本文第一部分证明了$M$的高斯曲率$K$、法曲率$K^D$和平均曲率向量$H$满足一般不等式：$K+K^D\geq H,H +c$。第二部分研究了$R^4_2(c)$中的类空极小曲面，它们一致地满足不等式的等式情形。在这方面的几个分类结果，然后获得。
Lectures on Immersions with Controlled Curvatures
探讨黎曼流形间具“小”曲率浸入的构造方法，并指出此类浸入存在的障碍。
Conformal Riemannian morphisms between Riemannian manifolds
本文引入共形黎曼态射，推广多种映射概念，并证明其与浸入、淹没及共形映射的关系。
Existence and uniqueness theorems for pointwise slant immersions in complex space forms
从$n$维黎曼流形$M^{n}$到复维数$m$的几乎厄米流形$\tilde M^{m}$的等距浸入$f: M^{n} \rightarrow \tilde M^{m}$称为逐点倾斜，如果它的Wirtinger角定义了定义在$M$上的函数.本文建立了黎曼流形$M^{n}$到具有常全纯截面曲率$c$的复空间形式$\tilde M^{n}(c)$的点态斜浸入的存在唯一性定理.
On doubly warped product immersions
本文研究了双翘曲积浸入的基本几何性质，它是翘曲积浸入的推广。此外，我们还研究了等距浸入任意黎曼流形中的双曲积的几何不等式。
Mean curvature, volume and properness of isometric immersions
研究了黎曼流形中$m$维等距浸入的体积、曲率和适定性之间的关系。证明了当中曲率向量的$L^p$ -范数对于某些$m \leq p\leq \infty$是有界的，且周围流形是几何有界的黎曼流形时，适当性等价于外部球体积的有限性.我们还将等距浸入黎曼流形的曲面的总绝对曲率与它的适当性联系起来。最后，利用对$M$中测地线的横Jacobi场焦点的研究，我们将具有非正高斯曲率和有限拓扑的完备非紧$2$ -黎曼流形$M$的曲率和拓扑联系起来.特别地，我们探讨了测地线的最小焦距与包含该测地线的一端的全曲率之间的关系。
Minimal isometric immersions into S^2 x R and H^2 x R
对于给定的单连通黎曼曲面Sigma，我们将求Sigma到S^2 x R或H^2 x R的最小等距浸入问题与Sigma上的两个偏微分方程的系统联系起来.证明了S^2 x R或H^2 x R中的常内曲率极小曲面是全测地曲面，或者是H^2 x R中某个极限悬链面的一部分。我们还证明了，如果一个非常曲率黎曼曲面允许一个连续的单参数极小等距浸入族进入S^2 x R或H^2 x R，则所有这些浸入是相伴的。
The $L^2$-norm of the second fundamental form of isometric immersions into a Riemannian manifold
本文研究了在背景黎曼流形中等距浸入的第二基本型的整体平方$L^2$ -范数的临界点和浸入变形下等距浸入的平均曲率向量.我们使用前功能的临界点来定义一个给定的整数同调类的背景流形的典型代表。我们研究纤维化${\mathbb S}^3 \hookrightarrow Sp(2)\stackrel {π_{\circ}}{\rightarrow} {\mathbb S}^7$从这个角度来看，表明纤维是典型的生成元的$3$ -整数同调$Sp(2)$时，这个李群被赋予一个合适的家庭的左不变度量。标准$\mb{P}^n(\mb{C})$中的复子簇是每个泛函的临界点，并且是它们的同调类的典型代表。我们使用这个结果提供了一个证明的Kronheimer-Wrowka定理的最小亏格代表的同源类的曲线度$d$在${\mathbb C}{\mathbb P}^2$，并分析还典型的可表示性的某些同源类的产品中的标准$2$ -领域。最后，我们提供了背景流形的例子承认同位素等价的临界点在余维1的差异提到的两个泛函，不同的临界值，这是黎曼类似物的替代方案，最近已提供的紧化理论。
A decomposition theorem for immersions of product manifolds
我们在乘积流形上引入极度量，其中乘积度量和翘曲乘积度量是特例。我们证明了一个de Rham型定理，刻画了黎曼流形可以局部分解为一个具有极度量的乘积流形。对于具有极度量的乘积流形，我们的主要结果给出了它所有等距浸入到一个空间型中的完整描述，该空间形式的第二基本型与它的乘积结构相适应，即每个因子的切空间由所有形状算子保持.这是一个意义深远的推广的基本分解定理等距浸入黎曼产品由于摩尔以及其扩展Nölker等距浸入翘曲产品。
The $1$-parametric $h$-principle for smooth conformal immersions of surfaces
本文通过h原理方法研究闭黎曼面的共形浸入问题，证明了相关映射在路径连通分量集上的双射性质。
Stable submanifolds in the product of projective spaces II
证明了两个复射影空间的乘积空间不存在奇维稳定的紧极小浸入。我们还证明了四元数射影空间与任何其他黎曼流形的乘积中唯一稳定的紧极小浸入是四元数射影子空间与第二流形的紧稳定极小浸入在黎曼乘积中的乘积。这些将第二位作者的低维或余维浸入的类似结果推广到任意维的浸入。此外，我们还证明了八元数射影平面与任何其它黎曼流形的乘积中唯一稳定的紧极小浸入是八元数射影子空间与第二流形的紧稳定极小浸入的乘积.
Rigidity of isometric immersions into the light cone
本文证明了维数为$n-1$的黎曼流形在$n\geq 3$的$n-1$维Minkowski、de Sitter和anti-de Sitter时空的光锥中的等距浸入的刚性.
Isometric immersions into manifolds with metallic structures
我们考虑子流形成为具有金属结构的黎曼流形。我们得到了这些空间中超曲面的一些新结果，并将子流形的基本定理用金属结构的形式表示到乘积空间中。此外，我们定义了一种新的结构，称为复杂的金属结构。我们表明，这些结构与复结构。然后，我们考虑了具有这种结构的子流形到黎曼流形，重点是不变子流形和超曲面。特别地，我们还用复金属结构来表示复空间型子流形的基本定理。
Classification of conformal minimal immersions from $S^2$ to $G(2,N;\mathbb{C})$ with parallel second fundamental form
本文确定了复Grassmann流形$G(2,N; \mathbb{C})$中具有平行第二基本型的2-球面的所有共形极小浸入。
A Convergence Result for the Gradient Flow of $\int |A|^2$ in Riemannian Manifolds
研究了二维曲面光滑浸入到紧致黎曼流形中的第二基本型的$L^2-$范数的梯度流.类比的Willmore流在黎曼流形的结果，我们证明了寿命估计的$L^2-$浓度的第二基本型的初始数据，我们显示存在爆破极限。在特定的初始条件和目标流形上，我们证明了流的长时间存在性和对临界浸入的次收敛性。
Associate and conjugate minimal immersions in MxR
我们考虑在MXR中的最小浸入。研究了给定极小曲面的伴随等距浸入和共轭等距浸入的存在唯一性。我们利用曲面间的单叶调和映射理论。然后研究了关联极小垂直图的几何性质。证明了凸区域上垂直图的结合面是图。在经典理论中，它是R.库斯特
Limit sets for complete minimal immersions
本文研究了R^3的正则区域G中完全真紧极小浸入极限集的性质。我们证明了G的边界曲面的第二基本型在这类浸入的极限集的每一点上都是非负定义的。
CMC hypersurfaces on riemannian and semi-riemannian manifolds
本文给出了常截面曲率的半黎曼流形中几类常平均曲率和非常主曲率浸入的显式例子。特别地，我们证明了[-1，-2 sqrt{n-1}/n）中的每个h都可以实现为（n+1）维de Sitter空间S_1^{n+1}中S_1 ^{n-1} x R的完全浸入的常曲率.我们给出了Minkowski空间中的3类cmc浸入、de Sitter空间中的5类cmc浸入和反de Sitter空间中的5类cmc浸入.在文章的最后，我们分析了家庭的例子，可以扩展到封闭的超曲面。
On the estimates of warping functions on isometric immersions
利用\cite{P1}的结果，通过改变目标流形为几种类型的黎曼流形：常空间型和Hermite对称空间，得到了等距浸入的翘曲函数的一些估计.我们处理平等的情况下，并获得其应用。最后，我们给出了一些开放的问题。
Virtual immersions, and a characterization of symmetric spaces
我们定义虚拟浸入，作为一个推广的等距浸入在伪黎曼向量空间。我们表明，虚拟沉浸具有第二基本型，这是在一般情况下不对称。证明了流形存在具有斜对称第二基本型的虚浸入当且仅当它是对称空间，并且在这种情况下虚浸入本质唯一.
Immersions of surfaces into SL(2,C) and into the space of geodesics of Hyperbolic space
本文主要讨论伪黎曼空间型中超曲面经典理论的两个发展。前者-一个联合工作与弗朗切斯科邦桑特-包括在研究浸入的光滑流形到全纯黎曼空间型的常曲率-1（包括SL（2，C）及其Killing形式的倍数）：这导致了Gauss-Codazzi定理，它提出了浸入到伪黎曼空间型的全纯转换的方法，一种将全纯映射构造到PSL（2，C）-特征标簇，并导致Bers定理的重述。后者-一个联合工作与安德烈塞皮-包括在研究浸入的n-流形内的空间测地线的双曲（n+1）-空间。我们给出了一个特征，在这个空间的测地线的仿Sasaki结构，黎曼浸入原来是高斯映射的等变浸入到双曲空间。
Non-compact families of complete, properly immersed minimal immersions with fixed topology via desingularization
对于固定的大亏格，我们构造了R3中具有四个端点和二面体对称的完全浸入极小曲面族。所有的大属都存在科，并在适当的尺度上退化到平面上。
$f$-Biharmonic submanifolds in space forms and $f$-biharmonic Riemannian submersions from 3-manifolds
本文研究了空间形式中的$f$-双和曲线与可展曲面等距浸入的分类，并利用可积性数据探讨了源自3-空间形式的黎曼浸没的$f$-双和性，给出了相关实例。
Global Weak Rigidity of the Gauss-Codazzi-Ricci Equations and Isometric Immersions of Riemannian Manifolds with Lower Regularity
研究了黎曼流形上Gauss-Codazzi-Ricci（GCR）方程的整体弱刚性以及相应的黎曼流形到欧几里得空间的等距浸入.我们发展了一个统一的内在方法来建立全局弱刚性的GCR方程和等距浸入的黎曼流形，独立于当地的坐标，并提供进一步的见解以前的本地结果和论点。并对临界情况进行了分析。为了实现这一点，我们首先在黎曼流形上重新表达了具有div-curl结构的GCR方程，并发展了一个整体的，内在版本的div-curl引理和其他非线性技术来解决流形上的整体弱刚性。特别地，在巴拿赫空间上建立了一个一般的泛函-解析补偿紧性定理，其中包含了黎曼流形上的内蕴div-curl引理作为特例.建立了低正则性黎曼流形上整体等距浸入、Cartan形式和GCR方程的等价性。我们还证明了一个新的弱刚性结果，属于Cartan形式主义，黎曼流形具有较低的正则性，并推广了弱刚性结果的黎曼流形与不固定的度量。
Compact complete proper minimal immersions in strictly convex bounded regular domains of R^3
考虑$\R^3$的一个严格凸有界正则域$C$.对于任意有限拓扑型，我们找到了一个紧的Riemann曲面$\mathcal{M}$，一个具有固定拓扑型的开域$M\subset \mathcal{M}$，以及一个共形完全的真极小浸入$X:M\to C$，它可以推广到一个连续映射$X:\overline{M}\to \overline{C}$ .
Rigidity of conformal minimal immersions of constant curvature from $S^2$ to $Q_4$
利用调和映射研究了浸入$G(2,6;\mathbb{R})$中的共形极小二球的几何性质。在$G(2,6;\mathbb{R})$中构造了一个非齐次常曲率极小二球面，给出了从$S^2$到$G(2,6;\mathbb{R})$的线性全共形常曲率极小浸入的分类定理，等价地，给出了一个复超二次曲面$Q_{4}$的分类定理，说明了$Q_{4}$中的常曲率极小二球面一般不全等.
Scalar Curvature, Injectivity Radius and Immersions with Small Second Fundamental Forms
本文在 spin 条件及 n≤8 限制下，研究正标量曲率流形的单射半径、光滑浸入的焦半径以及区域平均曲率的拓扑下界。
On the Morse index of harmonic maps and minimal immersions
本文研究了紧黎曼流形上的调和映射和极小浸入，以及齐次强调和流形上的调和映射和极小浸入。我们显示了一些结果的Morse指数通过改变这些地图沿适当的共形向量场。我们还得到，它们是目标流形上拉普拉斯算子的非零特征值所对应的特征空间的某些子空间上的全局极大值。
On a class of submanifolds in tangent bundle with g- natural metric
黎曼流形M到黎曼流形N的等距浸入以一种自然的方式产生了切丛TM到具有非退化g-自然度量G的切丛TN的浸入。
Minimal total absolute curvature for equiaffine immersions
本文研究等面积浸入的等号情况，证明n维等面积浸入的总绝对曲率为2当且仅当其像为嵌入在(n+1)维仿射子空间中的凸超曲面。
Low energy canonical immersions into hyperbolic manifolds and standard spheres
我们考虑紧黎曼流形到背景黎曼流形的等距浸入的泛函$Π$和$Ψ$的临界点，分别定义为第二基本型的整体$L^2$ -范数和平均曲率向量，作为浸入变形空间上的泛函。我们证明了这些泛函在双曲流形中的间隙定理，并证明了著名的最小浸入球面的间隙定理可以转化为关于这些常平均曲率泛函的临界点的定理，并且它的第二基本型相对于它是适当小的.在这种情况下，可以出现在第二基本型的范数的逐点上界处的各种类型的极小子流形由非负里奇曲率的流形实现，并且在这些子流形中，Einstein的那些与其他的不同之处在于它们是作为$Π$的临界点浸入到球上的那些。
Isometric immersions of higher codimension into the product ${\mathbf S^k \times H^{n+p-k}}$ of sphere and hyperboloid
本文给出了单连通黎曼流形$(M^n, g)$作为余维为$p\geq 1$的子流形等距浸入球面与双曲面的乘积$S^k\times H^{n+p-k}$的一个充必要条件.
Triharmonic isometric immersions into a manifold of non-positively constant curvature
三调和映射是两个黎曼流形之间的光滑映射空间中3-能量的临界点。研究了三调和等距浸入到非正常曲率的空间型中。我们证明，如果区域是完备的，并且张力场的4-能量和L^4-范数都是有限的，那么这样的浸入是最小的。
Homotopy Groups, Focal Points and Totally Geodesic Immersions
本文考虑完备黎曼流形$M$上的浸入全测地超曲面$\Si$与浸入子流形$N$共同存在的无焦点问题.不需要曲率条件。我们得到了几个有关的拓扑结构的$M$和$\Si$依赖于余维数的$N$的连通性结果。
Isometric immersions in codimension two of warped products into space forms
本文给出了黎曼流形到空间型的翘曲积的余维$k=1, 2$中等距浸入$f\colon L^p\times_ρM^n\to\Q_c^{p+n+k}$的局部分类，并假设$n\geq k+1$和$N^{p+n}=L^p\times_ρM^n$中没有与周围空间型具有相同截面曲率的点，即$c$.
On a class of submanifolds in tangent bundle with g - natural metric - normal lift
黎曼流形$M$到黎曼流形$N$的等距浸入以一种自然的方式产生到具有非退化$g-$自然度量$G$的切丛$TN$的各种浸入。本文引入并研究了由浸入$f:M\longrightarrow N$自身和法丛定义的浸入$TN$。
Compact complete minimal immersions in R^3
本文证明了对任意有限拓扑型，紧致Riemann曲面$\mathcal{M},$是具有固定拓扑型的开域$M\subset\mathcal{M}$，和一个共形完全极小浸入$X:M\to\R^3$，它可以推广到一个连续映射$X:\bar{M}\to\R^3,$，使得$X_{|\partial M}$是一个嵌入，并且$X(\partial M)$的豪斯多夫维数是$1.$。我们还证明了极小曲面空间中的完备极小曲面是稠密的在$\R^3$中，生成一组有限的封闭曲线，并赋予Hausdorff距离拓扑。
Constantly curved minimal immersions of the two-sphere in unitary groups
本文利用圈群方法研究二维球面到酉群的常曲率极小浸入，建立其与格拉斯曼流形中常曲率全纯浸入的对应，并分类了U(3)中单位子数为一和二的情形，证明后者酉等价于Veronese曲线高斯映射与Cartan嵌入的复合。
Minimal Kähler submanifolds in product of space forms
本文研究了Kähler流形到两个实空间型乘积的极小等距浸入.本文分析了Kähler流形在这些空间中的多重调和等距浸入存在的障碍条件，证明了在$\mathbb{S}^{m-1}\times\mathbb{R}$和$\mathbb{H}^{m-1}\times \mathbb{R}$中的多重调和等距浸入是黎曼曲面的极小等距浸入.此外，我们表明，存在一个最小的等距浸入的Kähler流形$M^{2n}$到$\mathbb{S}^{m-1}\times\mathbb{R}$和$\mathbb{S}^{m-k}\times \mathbb{H}^k$施加强限制的里奇和数量曲率的$M^{2n}$。在这个方向上，我们将某些情况下，无论是等距浸入平行第二基本型或反多谐等距浸入。
Biharmonic submanifolds in a Riemannian manifold with non-positive curvature
证明了对于完备黎曼流形到具有非正曲率的黎曼流形的等距浸入，中曲率向量场的范数是平方可积〔的〕，则它是极小的.这是B的部分肯定回答。Y. Chen的猜想。
Minimal isometric immersions of flat n-tori into spheres
该研究修正了Bryant关于平坦环面极小等距浸入的有理判据，证明n≥3时该判据仅为充分条件，推导了无理性度上界，构造了非齐次例子并建立了变形定理。
Virtual immersions and minimal hypersurfaces in compact symmetric spaces
证明了紧致对称空间中的闭、浸入、极小超曲面满足一个指数加零值的下界，该下界线性依赖于它们的第一个贝蒂数。此外，如果最小超曲面满足一定的一般性条件，或者如果周围空间是两个CROSS的乘积，我们将其改进为仅在索引上的下界，该索引在第一个贝蒂数中是仿射的。为了证明这一点，我们引入了欧几里得空间中等距浸入的一个推广。紧对称空间允许（事实上也是以）这样一种具有反对称第二基本型的结构。
Equivariant CR minimal immersions from $S^3$ into $\mathbb{C}P^n$
从圆形$3$ -球面$S^3$到复射影空间$\mathbb CP^n$的等变CR极小浸入已经被第三作者明确地分类（J London Math Soc 68：223-240，2003）。本文利用等变条件，即导出的度量是左不变的，并且赋予左不变度量的$S^3={\rm SU}(2)$的所有几何性质都可以用李代数$\mathfrak{su}(2)$的结构常数来表示，本文从$3$出发，建立了等变CR极小浸入的一个推广分类定理，在不假设截面曲率恒定的情况下，将球体$S^3$转化为$\mathbb CP^n$。
Reducible Conformal Minimal Immersion with Constant Curvature from S^2 to Q_6
本文用调和映射研究浸入G(2,6;R)的共形极小二维球面，确定从S^2到G(2,8;R)（即Q_6）的线性完全可约共形极小浸入，并给出等距下不全等但高斯曲率相同的例子。
Biharmonic maps into a Riemannian manifold of non-positive curvature
研究了有限能量和有限双能量的黎曼流形之间的双调和映射。我们证明了，如果区域是完全的，目标的非正曲率，那么这样的映射是调和的。然后，我们给等距浸入和水平共形浸入的应用程序。
Fat equator effect and Minimality in immersions and submersions of the Sphere
本文受球面赤道测度集中现象启发，刻画了闭等距极小浸入与极小黎曼浸没所满足的赤道测度集中性质。
Integral formulas for a Riemannian manifold with several orthogonal complementary distributions
本文证明了具有$k>2$正交互补分布的黎曼流形的积分公式，推广了著名的$k=2$公式，并将其应用于黎曼流形的分裂和等距浸入，特别是多重翘曲积，以及具有$k>2$不同的常重数主曲率的超曲面.
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