On uniquely k-list colorable planar graphs, graphs on surfaces, and regular graphs
一个图$G$称为唯一k-列表可着色（UPDMATHABMN LC），如果在它的顶点上存在一个颜色列表，比如说$L=\lbrace S_v \mid v \in V(G) \rbrace $，每个颜色的大小为$k$，使得从这个颜色列表中存在唯一的真列表着色$G$.一个图$G$被称为具有性质$M(k)$，如果它不是唯一的$k$ -列表可着色的. Mahmoodian和Mahdian刻画了所有具有性质$M(2)$的图.对于$k\geq 3$性质$M(k)$，仅对多部图进行了研究。在这里，我们发现$M(k)$上的边界嵌入在表面上的图，并获得新的结果可平面图。我们开始对$M(k)$上的正则图以及具有不同列表大小的图的界限进行一般性研究。
2017-05-21 math.CO
$d$-Regular graphs of acyclic chromatic index at least $d+2$
图的$acyclic$边染色是指不存在双色圈的正常边染色。图的\emph{acyclic chromatic index}是使得存在使用k种颜色的非循环边染色的最小数k，并且用$a'(G)$表示。Alon，Sudakov和Zaks（以及更早的Fiamcik）提出了$a'(G)\le Δ+2$，其中$Δ=Δ(G)$表示图的最大度。Alon et.al还提出了一个问题，偶数阶的完全图是否是唯一要求$Δ+2$颜色是非循环边着色的正则图。在本文中，使用一个简单的计数参数，我们不仅观察到这是不正确的，但事实上，所有的d-正则图与$2n$顶点和$d > n$，需要至少$d+2$颜色。我们还表明，$a'(K_{n,n}) \ge n+2$，当$n$是奇数使用一个更非平凡的参数（这里$K_{n,n}$表示完全二部图与$n$顶点的每一边）。这个下限$K_{n,n}$可以被证明是紧的一些家庭的完全二分图和小值的$n$。我们还推断，对于每一个$d,n$使得$d \ge 5$，$n \ge 2d + 3$和$dn$偶数，存在$d$ -正则图，它至少要求$d+2$ -色是非循环边着色的.
2008-04-29 math.CO
Improper coloring of toroidal graphs
本文研究环面图在缺陷值不全相等条件下的不当染色问题，证明了环面图满足若干新的缺陷染色结果，并将 $(0,0,0,14)$-可染改进为 $(0,0,0,4)$-可染，同时刻画了 $6$-正则环面图及可嵌入 $N_1$ 的图的可染性。
2025-09-19 cs.DM math.CO
On restricted colorings of $(d,s)$-edge colorable graphs
如果一个循环的边被两种不同的颜色正确着色，则该循环是$2$着色的。一个$(d,s)$ -边可着色图$G$是一个$d$ -正则图，它允许一个适当的$d$ -边着色，其中$G$的每条边至少在$s-1$ $2$ -着色$4$ -圈中.给定一个$(d,s)$ -边可着色图$G$和满足一定稀疏性条件的$G$的边的禁色列表分配$L$，证明了$G$存在一个避免$L$的$d$ -边适当着色，即$G$的适当边着色$φ$，使得对$G$的每条边$e$都有$φ(e) \notin L(e)$.
2019-05-25 math.CO
Classes of 3-regular graphs that are (7, 2)-edge-choosable
一个图是（7，2）-边可选择的，如果对于每个边的大小为7的列表的分配，可以从它的列表中为每个边选择两种颜色，使得没有颜色被选择为两个入射边。我们证明了所有3-边可着色图都是（7，2）-边可选的，并且证明了许多非3-边可着色的3-正则图都是（7，2）-边可选的.
2008-06-08 math.CO
On the chromatic number of random regular graphs
设G（n，d）是n阶随机d-正则图.对于任何超过某个常数k_0的整数k，我们确定一个数d_{k-col}，使得G（n，d）是k-可着色的，如果d < d_{k-col} and non-k-colorable w.h.p. if d>d_{k-col}。
2013-08-20 math.CO math.PR
Regular colorings and factors of regular graphs
$r$ -正则图$G$的$(r-1,1)$ -染色是一种边染色，使得每个顶点与一种颜色的$r-1$边和另一种颜色的$1$边关联.本文完全刻画了所有不具有$(3,1)$ -着色的$4$ -正则伪图（可能包含平行边和环的图）。一个$r$ -正则图的$\{r-1,1\}$ -因子是一个生成子图，其中每个顶点的度是$r-1$或$1$ .我们证明了各种条件，必须持有任何顶点最小$5$ -正则伪图没有$(4,1)$ -着色或没有$\{4,1\}$ -因素。最后，对于每个$r\geq 6$，我们构造的图是不$(r-1,1)$ -可着色的，更一般地，是不$(r-t,t)$ -可着色的小$t$。
2016-03-30 math.CO
Note on $4$-coloring $6$-regular triangulations on the torus
在1973年，Altshirt的特点是$6$ -定期三角形的环面，正是那些从定期三角形的$r \times s$环形网格，其中顶点在第一和最后一列连接的移位$t$顶点。这样的图表示为$T(r, s, t)$。1999年，Collins和Hutchinson用$T(r, s, t)$-可着色图进行了分类.在本文中，我们指出了他们的分类差距，并显示如何可以固定。结合Yeh和Zhu在2003年对$4$ -可着色图$T(1, s, t)$的分类，完成了环面上所有$6$ -正则三角剖分的可着色性刻画.
2022-10-09 math.CO
Three Colorability of an Arrangement Graph of Great Circles
2000年，Stan Wagon提出了以下问题。作为平面地图来看，每个带面体的面都是3-着色的吗？一个等价的问题，在不同的伪装下，是下面的：是安排图的大圆圈的领域总是顶点3-着色？(The布置图具有用于每个交点的顶点和用于直接连接两个交点的每个弧的边。假设没有三个圆相交于一点，所以这个排列图是4-正则的。在本文中，我们证明了所有如上定义的排列图都是3-可着色的。
2004-08-26 math.CO
Interval edge-colorings of composition of graphs
一个图$G$的边染色称为\emph{interval $t$-coloring}，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.用$\mathfrak{N}$表示所有区间可着色图的集合。在2004年，Giaro和Kubale证明了，如果$G,H\in \mathfrak{N}$，那么这些图的笛卡尔积属于$\mathfrak{N}$。在同一年，他们制定了一个类似的问题组成的图形作为一个开放的问题。后来，在2009年，第一作者证明了如果$G,H\in \mathfrak{N}$和$H$是正则图，则$G[H]\in \mathfrak{N}$。本文证明了：如果$G\in \mathfrak{N}$和$H$具有一种特殊类型的区间染色，则$G[H]\in \mathfrak{N}$ .此外，我们还证明了所有的正则图、完全二部图和树都有这样一个特殊的区间着色。特别地，这意味着如果$G\in \mathfrak{N}$和$T$是树，则$G[T]\in \mathfrak{N}$。
2015-08-01 cs.DM math.CO
Every 4-regular 4-uniform hypergraph has a 2-coloring with a free vertex
本文继续研究超图的$2$ -染色。一个超图是$2$ -可着色的，如果它的顶点是$2$ -可着色的，且没有单色的超边.已知（见J.Amer.Math.Soc.5（1992），217- 229）每个$4$ -均匀$4$ -正则超图是$2$ -可着色的.本文的主要结果是加强了这一结果。为此，我们定义一个超图$H$中的顶点是$H$中的自由顶点，如果我们可以$2$ -color $V(H) \setminus \{v\}$，使得$H$中的每个超边都包含两种颜色的顶点（其中$v$没有颜色）。证明了每一个$4$ -一致$4$ -正则超图都有一个自由顶点.这证明了一个已知的猜想。我们的证明使用一个新的结果不全相等的$3$ -SAT这也证明了本文中，是在其本身的权利感兴趣。
2016-11-27 math.CO
Incidence coloring of Regular graphs and Complement graphs
利用控制数与关联色数的关系，得到了$r$ -正则图是$(r+1)$ -关联可着色的充要条件.同时，我们确定了关联色数的最优Nordhaus-Gaddum不等式.
2012-04-30 math.CO
Edge-coloring 4- and 5-regular projective planar graphs with no Petersen-minor
本文证明了无彼得森子图的4-和5-正则投影平面图可以被r-边着色。
2025-12-16 math.CO
Regular behaviour of the maximal hypergraph chromatic number
设$m(n,r)$表示$n$ -一致超图中不可$r$ -着色的最小边数.我们证明了对于任何固定的$n$序列$a_r := m(n,r)/r^n$都有一个极限，这是Alon证明的。我们还证明了这个声明的列表着色类似。
2019-08-17 math.CO
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs I
一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果$G$对某个正整数$t$有区间$t$ -着色。设$\mathfrak{N}$是所有区间可着色图的集合。对于图$G\in \mathfrak{N}$，$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最小值和最大值分别用$w(G)$和$W(G)$表示。本文首先证明了：如果$G$是$r$ -正则图且$G\in \mathfrak{N}$，则有$W(G\square P_{m})\geq W(G)+W(P_{m})+(m-1)r$（$m\in \mathbb{N}$）和$W(G\square C_{2n})\geq W(G)+W(C_{2n})+nr$（$n\geq 2$）.接下来，我们研究网格，圆柱和环面的区间边着色。特别地，我们证明了，如果$G\square H$是平面的，两个因素至少有3个顶点，那么$G\square H\in \mathfrak{N}$和$w(G\square H)\leq 6$。最后，我们证实了第一作者关于$n$维立方体$Q_{n}$的猜想，并证明了$Q_{n}$有区间$t$ -染色当且仅当$n\leq t\leq \frac{n(n+1)}{2}$ .
2012-01-31 cs.DM math.CO
A note on $\bar{X}$-coloring and $\hat{A}$-coloring 4-regular graphs
本文研究了4-正则图的$\bar{X}$-染色与$\hat{A}$-染色问题，通过两种独立算法验证反例图，否定了Malnegro和Ozeki提出的两个问题及相关猜想。
2024-01-10 math.CO
Connected equitably $Δ$-colorable realizations with $k$-factors
本文通过三个定理证明对于所有k，任意具有k-因子的连通图G的非递增度序列均存在具有k-因子的连通均衡Δ(G)-可着色实现，从而支持了Chen-Lih-Wu猜想。
2025-02-28 math.CO
Coloring circle arrangements: New $4$-chromatic planar graphs
Felsner，Hurtado，Noy和Streinu（2000）证明了简单大圆排列图的色数至多为$3$。基于这一猜想，我们研究了不同类别的（伪）圈排列图的可着色性。本文对$\triangle$ -饱和伪圆排列证明了这个猜想，即，对于其中面的2-着色的一个色类仅由三角形组成的布置，以及对于（伪）圆布置的其它类。这些结果是补充建设映射$\triangle$饱和安排与五边形面安排4-色4-定期安排图。这种“冠状”结构与Koester（1985）提出的冠状结构相似。基于详尽的实验与小的安排，我们提出了三个加强原来的猜想。我们还研究了分数着色。证明了两两相交伪圆的每一种排列$\mathcal{A}$的排列图都“接近”于$3$ -可着色.更准确地说，排列图的分数色数$χ_f(\mathcal{A})$由$χ_f(\mathcal{A}) \le 3+O(\frac{1}{n})$从上界定，其中$n$是$\mathcal{A}$的伪圈的数目。进一步，我们构造了一类分数$3$ -可着色的$4$ -边临界$4$ -正则可平面图.这证明了Gimbel，Kündgen，Li和Jumassen（2019）的一个猜想是错误的。
2022-05-17 cs.CG cs.DM math.CO
On the complexity of deciding whether the regular number is at most two
图G的正则数记为reg（G），它是图G的边集所能划分的最小子集数，使得每个子集所导出的子图都是正则的。在这项工作中，我们回答的问题作为一个开放的问题在A。Ganesan et al.（2012）[3]关于确定图的正则数的复杂性。证明了连通二部图的正则数的计算是NP-困难的。此外，我们还证明了，对于给定的连通3-可着色图G，判定reg（G）= 2是NP-完全的.此外，我们证明了一个新的变种的单调不全相等的3-Sat问题是NP-完全的。
2014-03-05 cs.CC math.CO
On the additive chromatic number of several families of graphs
加性着色问题是着色问题的一个变种，其中将$\{1,\ldots,k\}$的标签分配给图$G$的顶点，使得每个顶点的邻域上的标签之和是$G$的真着色。$G$允许这种标记的最小值$k$被称为$G$的\emph{additive chromatic number}。这个问题最早由Czerwienski，Grytczuk和Oedelazny提出，他们还提出了一个猜想，即对于每个图$G$，其加色数永远不会超过经典色数。迄今为止，该猜想已被证明是完全图、树、围长至少为13的非3-可着色平面图和围长至少为26的非二部平面图。在这项工作中，我们表明，猜想持有分裂图。我们还提出了精确的公式计算的一些子类的分裂图（完全分裂，无头蜘蛛和完全太阳），定期二部，完全多部，风扇，风车，电路，车轮，循环太阳和车轮太阳的加色数。
2020-02-12 cs.DM math.CO
Graceful coloring is computationally hard
该论文证明优雅着色问题在计算上是困难的，给出了优雅色数与平方图色数及OEIS序列A065825的关系，并证明对平面二分图、正则图和2-退化图NP困难，其中对最大度$k-2$的平面二分图判定优雅$k$-着色（$k\geq 5$）是NP完全的。
2024-07-22 cs.DM math.CO
Strong edge colorings of graphs and the covers of Kneser graphs
一个图的正常边染色是强的，如果它不产生长度为3的双色路。众所周知，对于$k$ -正则图的强边染色，至少需要$2k-1$色.证明了$k$ -正则图允许$2k-1$色的强边染色当且仅当它覆盖Kneser图$K(2k-1,k-1)$ .特别地，当一个三次图覆盖Petersen图时，它是强$5$ -边可着色的。这个结果的一个意义是Faudree等人[Ars Combin. 29 B（1990），205- 211]是假的。
2021-01-12 math.CO
Advances on the Packing Coloring Conjectures of Subcubic Graphs
本文研究次立方图的填充染色猜想，证明连通非正则次立方图是$(1,1,2,2)$-填充可染的，为几类立方图建立相同结果，并加强了现有结果，严格改进了界。
2025-09-24 math.CO
Hitting Maximum Independent Sets in Dense and Highly Connected Graphs
本文针对Bollobás–Erdős–Tuza猜想，通过约化原理和尖锐估计，证明了稠密高连通图中击中最大独立集的小界，并给出临界族说明方法局限。
2026-09-09 math.CO
Asymptotic multipartite version of the Alon-Yuster theorem
在本文中，我们证明了Alon-Yuster定理的渐近多部版本，它是Hajnal-Szemerédi定理的推广：如果$k\geq 3$是一个整数，$H$是一个$k$可着色图，并且$γ>0$是固定的，那么，对于每个足够大的$n$，其中$|V(H)|$整除$n$，并且对于每个$kn$顶点上的平衡$k$ -部图$G$，其对应的每个$\binom{k}{2}$二部子图的最小度至少为$(k-1)n/k+γn$，$G$具有由$H$的$kn/|V(H)|$顶点不相交副本组成的子图。证明使用正则性方法和线性规划。
2017-05-22 math.CO
Universal completability, least eigenvalue frameworks, and vector colorings
图$G$的顶点的嵌入$i \mapsto p_i\in \mathbb{R}^d$称为泛可完全的，如果下列条件成立：对于任何其它的嵌入$i\mapsto q_i~\in \mathbb{R}^{k}$，对于$i = j$和与$j$相邻的$i$，满足$q_i^T q_j = p_i^T p_j$，对于所有的$ i\in V(G)$，存在从$q_i$到$p_i$的等距映射.泛可完备性的概念是最近引入的，由于它与半正定矩阵完备化问题有关。在这项工作中，我们专注于使用$G$的邻接矩阵的最小特征值的特征向量构造的图嵌入，我们称之为最小特征值框架。我们确定了两个必要和充分的条件，这样的框架是普遍可完成的。我们的条件也使我们能够给出算法，用于确定是否最小特征值框架是普遍可完成的。此外，我们对$\mathbb{Z}_2^n \ (n \le 5)$上的Cayley图的计算表明，几乎所有这些图都有普遍可完成的最小特征值框架。在本文的第二部分中，我们研究了唯一向量可着色（UVC）图，即，图，其中对应于（互补图的）Lovász theta数的半定规划允许唯一的最优解。我们基于相关框架的普遍可完成性确定了表明图是UVC的充分条件。这使我们能够证明Kneser和$q$ -Kneser图是UVC图。最后，我们证明了1-行走正则图的最小特征值框架总是提供最优向量着色，并且我们能够刻画这类图的所有最优向量着色。特…
2015-12-15 math.CO
Spectral Turán-type problems for the $α$-spectral radius of hypergraphs with degree stability
Jiangxi Normal University（江西师范大学）
研究超图的 $\alpha$-谱半径的极值问题，通过分析技术证明了在 $P$-可着色超图族中达到最大 $\alpha$-谱半径的超图是渐近正则的，并进一步将谱 Turán 型问题约化为谱极值问题，确定了 $F^{(r)}$-自由超图的最大 $\alpha$-谱半径。
2026-05-31 math.CO
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs II
本文研究了图笛卡尔积的区间边着色，给出了W(G□H)的精确下界及连通图的新上界，并改进了多维环面和Hamming图的已知界限，同时探讨了Fibonacci立方体的区间着色。
2024-09-26 math.CO
Color-blind index in graphs of very low degree
设$c:E(G)\to [k]$是图$G$的一个边染色，不一定是真边染色.对于每个顶点$v$，设$\bar{c}(v)=(a_1,\ldots,a_k)$，其中$a_i$是与$v$关联的具有颜色$i$的边的数量。对$G$中的每个$v$以非递增顺序重新排序$\bar{c}(v)$，以获得$c^*(v)$，即$v$的色盲分区。当$c^*$对$G$中的每条边$uv$都诱导出一个适当的顶点着色，即$c^*(u)\neq c^*(v)$时，我们称$c$是色盲可区分的.存在色盲可区分边着色$c:E(G)\to [k]$的最小$k$是$G$的色盲指数，记为$\operatorname{dal}(G)$。我们证明，确定色盲指数比以前认为的更微妙。具体地，确定$\operatorname{dal}(G) \leq 2$是否是NP完全的。我们还将正则二部图的色盲指数与2-可着色正则超图联系起来，并刻画了一类3-正则图的$\operatorname{dal}(G)$有限性。
2015-06-28 math.CO
New reducible configurations for graph multicoloring with application to the experimental resolution of McDiarmid-Reed's Conjecture (extended version)
本文提出图 $(a,b)$-着色的通用可约构型，并通过对数百万个三角格无三角形诱导子图的计算验证，为 McDiarmid-Reed 的 $(9,4)$-着色猜想提供证据。
2023-10-05 cs.DM math.CO
Graph k-Coloring in Average Sublinear Time
Harvard University（哈佛大学）；MIT（麻省理工学院）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
该研究打破了图k着色平均复杂度的二次壁垒，证明其平均复杂度为Θ(nk)且最优，还得到了探针复杂度为poly(k)的局部计算算法。
2026-07-30 cs.CC cs.DS math.CO
Hoffman colorings of graphs
本文研究非正则图的Hoffman界紧性，提出分解定理与组合定理以刻画Hoffman着色结构，完全分类锥图和线图的Hoffman可着色性，并导出计算连通Hoffman可着色图的算法。
2025-01-30 math.CO
Exponentially Many Circuit Double Covers
Faculty of Information Technology, Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学信息技术学院）；Computer Science Institute of Charles University, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（查理大学数学物理学院计算机科学研究所）
研究立方图回路双覆盖的计数版本，通过线性方程组系统，证明2边连通3边可着色立方图至少有2^{n/2 - 1}个回路双覆盖，给出围长至少16的3边连通立方图的较弱指数下界，还刻画了立方图平面性及给出5回路双覆盖的流条件。
2026-07-28 math.CO
On some k-fold generalizations of Lovász theta and their sandwich theorems
University of São Paulo（圣保罗大学）；Federal University of Minas Gerais（米纳斯吉拉斯联邦大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文研究 Lovász theta 的 k 重推广，提出新参数 φ_k 并证明 φ_k ≤ ϑ_k，推广了已有定理，给出色数下界并探讨加权版本与 k 重 theta 体。
2026-09-09 math.CO math.OC
Some conjectures on $r$-graphs and equivalences
Center for Combinatorics and LPMC, Nankai University（南开大学组合数学与LPMC中心）；Department of Mathematics, Paderborn University（帕德博恩大学数学系）；School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
本文研究Seymour关于平面$r$-图边可着色性和完美匹配覆盖的猜想，并证明在$t,r\geq1$时，平面$r$-图、无$K_5$ minors的$r$-图、无$K_{3,3}$ minors的$r$-图以及交叉数至多为1的$r$-图具有$(t,r)$-完美匹配这四种陈述等价。
2026-05-28 math.CO
Bounding signed bipartite partial t-trees and application to edge-coloring
Xiamen University of Technology（厦门理工学院）；Université de Paris, IRIF, CNRS（巴黎大学，IRIF，法国国家科学研究中心）；Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
本文研究了有向二分图的边界问题，并将其应用于边着色，证明了某些平面图的边着色性质。
2026-01-05 math.CO
On generalized list $\G$-free colorings of graphs
对于给定的图$H$和图的图形性质$P$，$H$的条件色数$χ(H,P)$是最小的数$k$，使得$V(H)$可以分解为集合$V_1,V_2,\ldots, V_k$，其中对于每个$1\leq i\leq k$，$H[V_i]$满足性质$P$.当属性$P$是每个颜色类不包含$G$的副本时，我们写$χ_{G}(H)$而不是$χ(G,P)$，这被称为$G$ -free色数。由于这一点，如果存在映射$c : V(H) \longrightarrow \{1,\ldots,k\}$，我们说$H$具有$k$ - $G$ -free着色，因此$c$的每个颜色类都是$G$ -free的。假设对于图$H$的每个顶点$v$，分配有一个颜色集合$L(V)$，称为颜色列表。Set $g(L) = \{g(v): v\in V(H)\}$，即为$g$下$H$的顶点选择的颜色集。一个$L$ -着色的$g$称为$G$ -free，因此：\begin{itemize} \item $g(v)\in L(v)$, for any $v\in V(H)$. \item $ H[V_i]$ is $G$-free for each $i=1,2,\ldots, L$. \end{itemize}如果存在$H$的$L$ -着色，则$H$称为$L$-$G$-free-colorable.一个图$H$称为$k$-$G$-fre…
2022-01-16 math.CO
