发表机构
University of São Paulo; Federal University of Minas Gerais; Georgia Institute of Technology; University of Waterloo（圣保罗大学; 米纳斯吉拉斯联邦大学; 佐治亚理工学院; 滑铁卢大学）
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本文研究 Lovász theta 的 k 重推广，提出新参数 φ_k 并证明 φ_k ≤ ϑ_k，推广了已有定理，给出色数下界并探讨加权版本与 k 重 theta 体。
AI 中文摘要
我们研究了与最大 k 色导出子图问题相关的 Lovász theta 函数的若干 k 重推广。第一个是 Narasimhan--Manber 参数 ϑ_k。我们证明，对于邻接矩阵属于齐次部分相干代数的图，该参数可通过该图与 k 个顶点的完全图的笛卡尔积的 theta 数恢复。这一类别包括距离正则图和 1-游走正则图，因此我们的结果推广了 Sinjorgo 和 Sotirov（2022）关于顶点传递和边传递图的定理。我们引入了一个由图的正交表示得到的新参数 φ_k，并证明了不等式 φ_k ≤ ϑ_k。对于这两个参数，我们研究了使参数等于顶点数的最小 k；这些饱和参数给出了色数的下界。我们确定了这些参数的哪些顶点加权版本是规范（gauge）函数，并讨论了图的 k 重 theta 体的自然定义。最后，我们提出了比较 ϑ_k、φ_k、ϑ(G□K_k) 及相关凸化的开放问题。
英文摘要
We study several $k$-fold generalizations of the Lovász theta function associated with the maximum $k$-colorable induced subgraph problem. The first is the Narasimhan--Manber parameter $\vartheta_k$. We prove that, for graphs whose adjacency matrix belongs to a homogeneous partially coherent algebra, this parameter is recovered by the theta number of the Cartesian product with the complete graph on $k$ vertices. This class includes distance-regular and $1$-walk-regular graphs, and thus our result generalizes a theorem by Sinjorgo and Sotirov (2022) for graphs that are vertex- and edge-transitive. We introduce a new parameter $φ_k$ obtained from orthonormal representations of graphs and show the inequality $φ_k \leq \vartheta_k$. For both parameters, we study the smallest $k$ for which the parameter is equal to the number of vertices; these saturation parameters yield lower bounds on the chromatic number. We determine which vertex-weighted versions of these parameters are gauges, and discuss a natural definition for the $k$-fold theta body of a graph. We conclude with open questions comparing $\vartheta_k$, $φ_k$, $\vartheta(G\square K_k)$, and related convexifications.
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