Upper bounds for the eigenvalues of Hessian equations
Francesco Della Pietra, Nunzia Gavitone
证明了一类完全非线性椭圆型方程，即Hessian方程的Dirichlet特征值的若干上界
We prove some upper bounds for the Dirichlet eigenvalues of a class of fully nonlinear elliptic equations, namely the Hessian equations
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A Brunn--Minkowski inequality for the Hessian eigenvalue in convex domain
通过形变方法证明有界凸域上一类Hessian方程解的严格对数凹性，进而得到Hessian特征值的Brunn-Minkowski不等式并刻画等号成立条件。
Weighted Eigenvalue Problem for a Class of Singular/Degenerate $k$-Hessian Equations
本文针对一类奇异/退化k-Hessian方程的加权特征值问题，通过建立带权Hessian方程解的先验估计，证明了解的存在唯一性及特征函数的极小值性质。
Brunn--Minkowski Inequality for the First Complex $σ_{2}$-Hessian Eigenvalue
证明复σ₂-Hessian算子的第一特征函数满足严格实对数凹性，进而得到该算子第一特征值的Brunn-Minkowski不等式。
Large dimension behavior of the Hessian eigenvalues of the unit balls
本文研究高维空间中单位球Hessian特征值的渐近行为，证明当n/k有界时k-Hessian特征值有界，并给出其增长阶下界；在k=n时证明Monge-Ampère特征值趋于4。
Games for eigenvalues of the Hessian and concave/convex envelopes
我们研究PDE $λ_j(D^2 u) = 0$，在$Ω$中，用$u=g$，在$\partial Ω$上。这里$λ_1(D^2 u) \leq ... \leq λ_N (D^2 u)$是Hessian $D^2 u$的有序特征值。首先，我们展示了几何解释的粘性解决方案的问题，在凸/凹信封在仿射空间的尺寸$j$。在我们的一个主要结果中，我们给出了在定义域上使得问题对每个连续数据$g$都有连续解的充要条件。接下来，我们引入一个两人零和博弈，其值近似解这个偏微分方程问题。此外，我们还证明了该偏微分方程解的渐近均值特征。
Principal eigenvalues for k-Hessian operators by maximum principle methods
对于${\mathbb R}^N$中的有界严格$(k-1)$ -凸区域$Ω$上的完全非线性$k$ -Hessian算子，给出了与$k$ -凸负主特征函数相关的主特征值的一个特征，作为允许粘性上解服从最小值原理的谱参数值的上确界.容许性条件是用对称N × N矩阵空间中的自然闭凸锥$Σ_k$来表述的，该自然闭凸锥是Krylov [trans. AMS，1995]意义下的椭圆集，并且对应于在粘性下解和上解的公式化中使用$k$ -凸函数作为容许性约束。此外，相关的主要特征函数构造的迭代黏性解的技术，利用了一个紧凑性的财产，从建立一个全球的Hölder估计的唯一$k$ -凸解的近似方程。
A Brunn--Minkowski inequality and Convexity for the 2-Hessian eigenvalue in convex domains
本文证明了凸域上2-Hessian特征函数的严格对数凹性与扭转问题解的1/2-凸性，由此建立Brunn--Minkowski不等式，并构造反例说明该性质对3-Hessian方程失效。
A spectral characterization and an approximation scheme for the Hessian eigenvalue
我们重新审视了$\mathbb R^n$中光滑、有界、$k$-凸区域上的$k$ -Hessian本征值问题。首先，我们得到了系数属于相应Garding锥对偶的线性二阶椭圆算子的第一特征值的下确界为$k$ -Hessian特征值的谱刻画.其次，我们引入了一个非退化的逆迭代格式来求解$k$ -Hessian算子的本征值问题。我们表明，该计划收敛，速率，所有$k$的$k$ -海森特征值。当采用$2\leq k\leq n$时，我们还证明了该格式解的Hessian的局部$L^1$收敛性.双曲多项式在我们的分析中起着重要的作用。
Nonsmooth viscosity solutions of elementary symmetric functions of the complex Hessian
本文证明了复Hessian特征值的初等对称函数的狄利克雷问题的非光滑黏性解的存在性。
Game-theoretic approach to Hölder regularity for PDEs involving eigenvalues of the Hessian
本文利用博弈论中的新耦合思想，证明了涉及Hessian特征值的动态规划原理解的局部Hölder正则性，并推广至相应PDE的粘性解。
Asymptotics for the $k$-Hessian Eigenvalue on the Unit Ball
该研究针对单位球上的k-Hessian算子，在k→∞且n/k固定的条件下，计算其特征值极限，n<2ke时还确定对应特征函数极限，推导了单调性结果。
The Eigenvalue Problem for the Complex Hessian Operator on $m$-Pseudoconvex Manifolds
本文研究强$m$-伪凸流形上复Hessian算子的特征值问题，证明了第一特征函数的$C^{1,1}$正则性与唯一性，并给出第一特征值的变分公式，进而推导出分岔型定理和几何界。
A variational approach to the eigenvalue problem for complex Hessian operators
该研究采用变分方法，证明了m阶扭曲复Hessian算子第一特征值及有限能量m-次调和特征函数的存在性，在额外假设下得到特征函数的Hölder连续性，并将结果应用于右端依赖未知函数的退化复Hessian方程可解性问题。
The exterior Dirichlet problems of Hessian quotient equations
本文研究了外区域上Hessian商方程的狄利克雷问题。通过估计解的特征值，得到了径向解存在的充要条件。利用常微分方程的解，构造了粘性上下解，并利用Perron方法证明了外问题的黏性解的存在性.
The Dirichlet eigenvalue problems for some concave elliptic Hessian operators
本文研究一类广泛凹椭圆Hessian算子的Dirichlet特征值问题，在温和约束下证明了首个非零特征值及特征函数的存在性与正则性，并推广至Gårding-Dirichlet算子，建立了分岔理论。
An Upper Bound for Hessian Matrices of Positive Solutions of Heat Equations
证明了黎曼流形上热方程对数正解的Hessian的整体和局部上界。度量要么是固定的，要么是在里奇流下演化的。这些上界补充了众所周知的全球下界。
Stability results for some fully nonlinear eigenvalue estimates
本文给出了Faber-Krahn不等式相对于Hessian算子特征值的稳定性估计
The evolution problem associated with eigenvalues of the Hessian
本文研究了演化问题\[ \left\lbrace\begin{array}{ll} u_t (x,t)- λ_j(D^2 u(x,t)) = 0, & \text{in } Ω\times (0,+\infty), \\ u(x,t) = g(x,t), & \text{on } \partial Ω\times (0,+\infty), \\ u(x,0) = u_0(x), & \text{in } Ω, \end{array}\right. \]，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$中的有界区域（证明了其边界上的适当几何条件），$λ_j(D^2 u)$表示Hessian矩阵$D^2u$的$j-$第一特征值.我们假设$u_0 $和$g$是具有相容条件$u_0(x) = g(x,0)$，$x\in \partial Ω$的连续函数。我们表明，这个问题的（唯一）解决方案存在于粘性的意义上，可以近似的两个玩家的零和游戏的值函数的参数测量的步骤，我们在每一轮的游戏走向零。此外，当边界数据是独立的时间，$g(x,t) =g(x)$，我们表明，粘性解决方案，这个发展问题的稳定和指数收敛到唯一的固定解决方案作为$t\to \infty$。对于$j=1$，极限轮廓只是边界基准$g$的$Ω$内的凸包络，而对于$j=N$，极限轮廓是凹包络。我们用两种不同的技术得到这个结果：PDE工具和博弈论参…
On a continuity method for Dirichlet problem of Hessian equations
本文发展了一种用于黎曼流形上Hessian方程Dirichlet问题的连续性方法，结合Morse理论与对(f,Γ)对的刻画，在类型2情形下构造了允许函数并求解了Dirichlet问题。
Necessary and Sufficient Conditions to Bernstein Theorem of a Hessian Equation
研究了黑塞矩阵D^2u的特征值的k阶对称初等函数S_k（D^2u）的Hessian商方程. Bao-Cheng-Guan-Ji（[1]，American J. Math.，2003，125，301-316），分别确保了Hessian商方程或k-Hessian方程的Bernstein性质。本文抛弃了文[1]中的点式二次增长条件，分别利用一个逆等周型不等式、体积增长或Lp-可积证明了（0.1）和（0.2）的Bernstein性质的三个充要条件，我们的体积增长或Lp-可积条件大大改进了文[1，6，7，13，18]等中已知的各种点式条件.
On the solutions to weakly coupled system of $\boldsymbol{k_i}$-Hessian equations
利用不动点定理研究了单位球上一般耦合$k_i$ -Hessian方程组非平凡径向凸解的存在性和多解性.特别地，我们得到了单位球上由$k_i$ -Hessian方程耦合的幂型系统的非平凡径向凸解的唯一性和非平凡径向$\boldsymbol{k}$ -可采纳解的不存在性.此外，利用推广的Krein-Rutman定理，还得到了一般严格$(k-1)$ -凸区域上本征值问题的$\boldsymbol{k}$ -可采纳解的存在性.
A fully nonlinear Sobolev trace inequality
$k$ -海森算子$σ_k$是海森算子的特征值的第$k$个初等对称函数.已知$k$ -Hessian方程$σ_k(D^2u)=f$与Dirichlet边界条件$u=0$是变分的;事实上，这个问题可以通过$k$ -Hessian能量$-\int uσ_k(D^2u)$来研究.我们构造了一个自然的边界泛函，当添加到$k$ -Hessian能量，收益率作为其临界点解决方案的$k$ -Hessian方程一般非零边界数据。作为结果，我们证明了$k$ -容许函数$u$的一个尖锐的Sobolev迹不等式，它根据$u$的边值估计了$k$ -Hessian能量.
Weak Harnack inequalities for eigenvalues and constant rank theorems
考虑满足边关结构条件的非线性椭圆方程的凸解。我们证明了一个弱Harnack不等式的特征值的Hessian这些解决方案。这可以被看作是常数秩定理的定量版本。
Asymptotics of the principal eigenvalue of an elliptic operator on closed and orientable Riemannian manifolds: small diffusion
本文研究闭定向黎曼流形上椭圆算子主特征值在小扩散极限下的渐近性，在Morse函数假设下，确定其极限值由函数临界点及对应黎曼Hessian的相关参数完全刻画。
On the exterior Dirichlet problem for a class of fully nonlinear elliptic equations
本文主要建立了一类完全非线性二阶椭圆型方程的外狄利克雷问题解的存在唯一性定理，该方程的特征值在无穷远处具有给定的广义对称渐近行为.此外，我们还对已有的Hessian方程、Hessian商方程和特殊的Lagrange方程给出了一些新的结果。
On Polynomial Complex Hessian Equations I: Non-Linear Non-Spectral Elliptic Hessian Equations on Riemannian Manifolds
本文研究紧致黎曼流形上的一般完全非线性椭圆Hessian方程，通过弱化标准对称性假设，在推导先验估计后利用连续性方法求解。
Kroger's upper bound types for the Dirichlet eigenvalues of the fractional Laplacian
建立了分数阶拉普拉斯算子的狄利克雷问题的特征值和的一个上界.我们的结果是通过一个微妙的计算特定功能的瑞利商。
Hessian estimates for the conjugate heat equation coupled with the Ricci flow
本文研究耦合 Ricci 流的共轭热方程，给出其正解 Hessian 的局部及全局上界估计。
Upper bound on the multiplicity of eigenvalues of the Schödinger-Dirichlet operator in dimension two
该研究针对二维Schrödinger-Dirichlet算子，建立了其特征值重数的上界，并利用Cheng的广义Morse引理完成证明。
Upper bounds of nodal sets for eigenfunctions of eigenvalue problems
本文的目的是提供一种简单而统一的方法来获得实解析区域上不同类型的本征值问题的本征函数节点集的精确上界。算例包括双调和Steklov本征值问题、屈曲本征值问题和倒角板本征值问题。从特征函数的倍化不等式和增长估计出发，导出了节点集的几何测度。它是通过Morrey-Nirenberg估计和Carleman估计的分析估计完成的。
Variational competition between full Hessian and its determinant for convex functions
该研究针对二维单位球扇形区域上满足特定边界条件的凸函数，证明了含全Hessian矩阵与其行列式的变分泛函的上下界，该设定受非线性弹性启发，还得到了Föppl-von-Kármán能量相关变分问题的推论。
Upper and lower bounds for the first Robin eigenvalue of nonlinear elliptic operators
本文研究了非线性椭圆算子第一Robin特征值的估计问题，证明了涉及$p$-laplacian算子第一Robin特征值的不等式，特别是利用第一Dirichlet特征值给出了该特征值的上界。
On the sharp Hessian integrability conjecture in the plane
我们证明了如果$u\in C^0(B_1)$满足$F(x,D^2u) \le 0$在$B_1\subset \mathbb{R}^2$中，在粘性意义下，对于一些完全非线性的$(λ, Λ)$ -椭圆算子，然后$u \in W^{2,\varepsilon}(B_{1/2})$，适当的估计，对于一个尖锐的指数$ \varepsilon = \varepsilon(λ, Λ)$验证$$ \frac{1.629}{\fracΛλ + 1} < \varepsilon(λ, Λ) \le \frac{2}{\fracΛλ + 1}, $$一致作为$\fracλΛ \to 0$。这与Armstrong-Silvestre-Smart猜想密切相关，该猜想在[Comm. Pure Appl. Math.65（2012），no. 8，1169- 1184]中提出，其中假定上界是最优的。
Discreteness of Transmission Eigenvalues via Upper Triangular Compact Operators
我们证明了内部传输特征值是离散的，通过证明内部传输算子具有上三角紧预解式，并且这些算子的谱共享具有紧预解式的算子的许多性质。特别地，谱是离散的，并且广义本征空间是有限维的。我们的主要假设是一个非线性条件的对比度，必须保持只有在附近的边界。
Admissible solutions to augmented nonsymmetric $k-$Hessian type equations I. The $d-$concavity of the $k-$Hessian type functions
本文对$2 \le k \le n-1$建立了函数$f_k(λ)=\log(σ_k(λ))$在正锥$Γ_n=\{λ=(λ_{1}, λ_{2}, \cdots,λ_{n})\in \mathbb{R}^n; λ_j>0,j=1,\cdots, n\}$的一个子集上的严格可积性，其中$σ_{k}(λ)$是基本对称多项式$k,$ $2 \leq k \leq n.$。然后我们应用这个结果研究了$k-$ Hessian型函数$F_{k}(R)=\log \left(S_{k}(R)\right),$的所谓$d-$可积性，其中$S_{k}(R)=σ_{k}(λ(R)), λ(R)= \left(λ_{1}, λ_{2}, \cdots, λ_{n}\right) \in \mathbb{C}^{n}$是特征值。$R \in \mathbb{R}^{n \times n},$型方程的Dirichlet问题的可容许解的存在性将在我们的下一篇论文中使用PDMATHABM-Hessian型方程的可容许解来研究。
On polyharmonic regularizations of $k-$Hessian equations: Variational methods
本文研究了一类具有Hessian矩阵特征值的边值问题\begin{eqnarray}\nonumber (-1)^αΔ^αu = (-1)^k S_k[u] + λf, \qquad x &\in& Ω\subset \mathbb{R}^N, \\ \nonumber u = \partial_n u = \partial_n^2 u = \cdots = \partial_n^{α-1} u = 0, \qquad x &\in& \partial Ω, \end{eqnarray}，其中$k-$ Hessian $S_k[u]$是Hessian矩阵特征值的$k^{\mathrm{th}}$初等对称多项式，数据$f$服从适当的可和性.我们证明了存在至少两个解决方案，其中至少有一个是孤立的，严格通过变分方法。我们寻找最佳值的$α\in \mathbb{N}$，允许建设这样的存在和多重性理论，并探讨如何一个较弱的定义的非线性允许改善这些结果。
Overdetermined problems for sum Hessian equations in the space forms
本文研究空间形式中规范化Hessian和方程及其商方程的过定问题，证明在星形或Dirichlet值上界条件下区域为测地球，并推广至无星形假设情形，方法为辅助函数与Rellich–Pohožaev恒等式。
Hessian estimates for Dirichlet and Neumann eigenfunctions of Laplacian
本文借助 Riemannian 流形上的随机分析，建立带边界紧流形中 Laplacian 的 Dirichlet 特征函数 Hessian 上下界及尖锐增长估计，并推广至 Neumann 情形。
Existence of radial solutions to biharmonic $k-$Hessian equations
本文建立了椭圆型方程\begin{equation}\nonumber Δ^2 u = (-1)^k S_k[u] + λf(x), \qquad x \in B_1(0) \subset \mathbb{R}^N, \end{equation}在Dirichlet边界条件\begin{eqnarray}\nonumber u = \partial_n u = 0, \qquad x \in \partial B_1(0), \end{eqnarray}或Navier边界条件\begin{equation}\nonumber u = Δu = 0, \qquad x \in \partial B_1(0), \end{equation}下径向解的存在性理论，其中$k-$ Hessian $S_k[u]$是Hessian矩阵和数据$f \in L^1(B_1(0))$的特征值的$k^{\mathrm{th}}$初等对称多项式，而$λ\in \mathbb{R}$ .我们证明了这些边值问题的Carathéodory解的存在性，该解在原点的某个邻域内是唯一的，只要$|λ|$足够小。证明了$λ$的可解集是有限的，并给出了极值的显式界。
An Obata type result for the first eigenvalue of the sub-Laplacian on a CR manifold with a divergence free torsion
我们证明了CR Obata型的结果，如果第一个正的特征值的次拉普拉斯算子的紧严格pseudoconvular pseudohermitian流形与发散自由pseudohermitian挠采取最小可能的值，然后，到一个homothety的pseudohermitian结构，流形是标准的Sasakian单位球。我们还给出了一个版本的这个定理使用的存在性的一个功能与无迹水平海森一个完整的，相对于韦伯斯特的度量，pseudohermitian流形。
Upper bound for the counting function of interior transmission eigenvalues
对于复的内传输本征值（ITE），我们研究了小$θ> 0$的计数函数$$N(θ, r) = #\{λ\in \C:\: λ\: {\rm is} \: {\rm (ITE)},\: |λ| \leq r, \: 0 \leq \arg λ\leq θ\}.$$，得到了固定$θ> 0$的上界$N(θ, r) \leq C r^{n/2}, \: r \geq r(θ).$
Upper bounds for the Steklov eigenvalues of the $p$-Laplacian
本文给出了在$\mathbb R^n$，$n\geq 2$上Steklov $p$ -Laplacian变分特征值的上界.我们发现，$1<p\leq n$的变分特征值$σ_{p,k}$上有界的$k,p,n$和$|\partialΩ|$。在$p>n$上界依赖于几何常数$D(Ω)$的情况下，$Ω$的$(n-1)$ -失真量化边界测量的浓度。我们证明了这个常数的存在是必要的$p>n$的上估计和相应的不等式是尖锐的，提供的例子域的边界测量一致有界远离零和无穷大和任意大的变分特征值。
Polyharmonic $k-$Hessian equations in $\mathbb{R}^N$
本文主要研究非线性椭圆型高阶方程\begin{equation}\nonumber \left( -Δ\right)^m u = S_k[-u] + λf, \qquad x \in \mathbb{R}^N, \end{equation}，其中$k-$ Hessian $S_k[u]$是解的Hessian矩阵的特征值的$k^{\mathrm{th}}$初等对称多项式，数据$f$属于适当的函数空间.这个问题提出了在$\mathbb{R}^N$和我们证明存在至少一个解决方案的拓扑不动点方法的适当值的$m \in \mathbb{N}$。还讨论了这些结果的非局部设置的解决方案和扩展的规律性相关的问题。在构造这些证明的过程中，引入了一些技术性结果，如不动点定理和临界Sobolev嵌入的改进，这些结果可能是独立的。
Upper bounds for the Steklov eigenvalues on trees
本文利用几何量研究了树的离散Steklov特征值的上界。对于有限树，我们证明了第一个非零Steklov特征值的清晰的上界的大小和直径的倒数分别。我们也证明了类似的估计高阶Steklov特征值。
On representation and regularity of viscosity solutions to degenerate Isaacs equations and certain nonconvex Hessian equations
在扩散系数、漂移系数和折扣系数均与空间变量无关的条件下，研究了区域上时间齐次（可能退化）扩散过程框架下随机微分对策的上、低值函数的光滑性.在适当的条件下（见假设2.1和2.2），我们得到了价值函数的最优局部Lipschitz连续性，只要运行和终结支付是全局Lipschitz。作为应用，我们得到了一类退化椭圆型非凸Hessian方程的狄利克雷问题的唯一黏性解的随机表示和最优内$C^{0,1}$正则性.
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