拉普拉斯算子 Dirichlet 与 Neumann 特征函数的 Hessian 估计
Hessian estimates for Dirichlet and Neumann eigenfunctions of Laplacian
AI总结：
本文借助 Riemannian 流形上的随机分析，建立带边界紧流形中 Laplacian 的 Dirichlet 特征函数 Hessian 上下界及尖锐增长估计，并推广至 Neumann 情形。
摘要：
利用 Riemannian 流形上的随机分析方法，我们发展了两种途径，为带边界的 n 维紧流形 D 确定显式常数 c(D)，使得对于 -Δ 的任意具有特征值 λ 的 Dirichlet 特征函数 ϕ，都有 λ/n·‖ϕ‖∞ ≤ ‖Hess ϕ‖∞ ≤ c(D)λ‖ϕ‖∞。我们的结果给出了尖锐 Hessian 估计 ‖Hess ϕ‖∞ ≲ λ^{(n+3)/4}。论文第二部分推导了 Neumann 特征函数的相应 Hessian 估计。
英文摘要：
By methods of stochastic analysis on Riemannian manifolds, we develop two approaches to determine an explicit constant $c(D)$ for an $n$-dimensional compact manifold $D$ with boundary such that $\fracλ{n}\,\|ϕ\|_{\infty} \leq \|{\rm Hess}\ ϕ\|_{\infty}\leq c(D)λ\,\|ϕ\|_{\infty}$ holds for any Dirichlet eigenfunction $ϕ$ of $-Δ$ with eigenvalue $λ$. Our results provide the sharp Hessian estimate $\|{\rm Hess}\ ϕ\|_{\infty}\lesssim λ^{\frac{n+3}{4}}$. Corresponding Hessian estimates for Neumann eigenfunctions are derived in the second part of the paper.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
