Coninvolutions on Upper Triangular Matrix Group over the Ring of Gaussian Integers and Quaternions integers modulo $p$
本文给出了上三角矩阵群上的所有卷积的个数的计算公式，这些上三角矩阵群的元素分别是高斯整数环模$p$和四元数整数环模$p$，其中$p$是奇素数.
2020-08-02 math.RA
Cramer's rules for the solution to the two-sided restricted quaternion matrix equation
作者最近导出了四元数矩阵的加权奇异值分解（WSVD）及其加权Moore-Penrose逆的行列式表示。本文利用这些行列式表示，在列-行行列式理论的框架下，得到了约束四元数矩阵方程${\bf A}{\bf X}{\bf B}={\bf D}$解的显式行列式表示公式，进而得到了约束四元数矩阵方程${\bf A}{\bf X}={\bf D}$和${\bf X}{\bf B}={\bf D}$的显式行列式表示公式.我们考虑所有可能的情况下，取决于加权矩阵。
2017-08-02 math.RA
Determinantal representations of the Drazin inverse for Hermitian matrix over the quaternion skew field with applications
在列行列式和行行列式理论的框架内，我们得到了四元数除环上埃尔米特矩阵Drazin逆的行列式表示。利用所得到的Drazin逆的行列式表示，我们得到了四元数矩阵方程$ {\bf A}{\bf X} = {\bf D}$，$ {\bf X}{\bf B} = {\bf D} $和${\bf A} {\bf X} {\bf B} = {\bf D} $的Drazin逆解的显式表示公式（类似于克拉姆法则），其中$ {\bf A}$，${\bf B}$是Hermitian的.
2016-01-14 math.RA
A Note on Quaternion Skew-Symmetric Matrices
复反对称矩阵与其共轭转置的乘积是一个具有非负特征值的半正定埃尔米特矩阵，且每个不同的正特征值具有偶数重。这一性质为Loo-Keng Hua教授建立复反对称矩阵的酉等价定理起到了关键作用。我们表明，这一性质不再是真正的四元数反对称矩阵。这给在酉等价下求四元数反对称矩阵的标准形带来了困难，而这对于对偶四元数矩阵的谱理论可能是至关重要的。我们证明了四元数反对称矩阵的逆矩阵不一定是反对称的，但非奇异复反对称矩阵的逆矩阵一定是反对称的。我们还提出了基本四元数反对称矩阵的概念。
2021-10-18 math.RA
The generalized hand-eye calibration matrix equation $AX-YB=C$ over dual quaternions
本文研究双四元数矩阵方程 $AX-YB=C$，给出其可解性条件与通解，并将其用于彩色图像加解密，实验验证了方案的高可行性。
2025-01-07 math.RA
The general solutions to some systems of Sylvester-type quaternion matrix equations with an application
Sylvester型矩阵方程在包括控制理论、神经网络和图像处理的领域中具有应用。本文建立了Sylvester型四元数矩阵方程组相容的充要条件，并导出了它的通解（当它可解时）的表达式.作为应用，我们研究了四元数矩阵方程相容的充要条件，并导出了涉及$η$ -Hermicity的四元数矩阵方程通解的公式.作为一种特殊情况，我们给出了双边Sylvester型四元数矩阵方程组有解的充要条件，并导出了它的通解公式（当它可解时）.最后，我们给出了一个算法和一个例子来说明本文的主要结果。
2022-12-05 math.RA
Explicit determinantal formulas for solutions to the generalized Sylvester quaternion matrix equation and its special cases
在四元数列行行列式理论的框架下，利用作者以前得到的Moore-Penrose逆的行列式表示，得到了四元数双边广义Sylvester矩阵方程$ {\bf A}_{1}{\bf X}_{1}{\bf B}_{1}+ {\bf A}_{2}{\bf X}_{2}{\bf B}_{2}={\bf C}$及其首项或两项都是单侧的所有特殊情况的解（类似于克拉姆法则）的行列式表示公式.最后，我们推导出两个类李雅普诺夫方程的行列式表示。
2018-09-21 math.RA
Quasi-determinant and right eigenvalues of dual quaternion matrices
本文研究对偶四元数矩阵的拟行列式与右特征值，证明特征值必为拟特征多项式的根，并给出Hermitian矩阵拟行列式与特征值模平方乘积的等价关系。
2024-04-30 math.RA
A simultaneous decomposition of five real quaternion matrices with applications
本文构造了五个四元数实矩阵的同时分解，其中三个矩阵的列数相同，同时三个矩阵的行数相同。利用矩阵的同时分解，我们得到了一些实四元数矩阵的最大秩和最小秩的表达式。我们还展示了如何选择可变的实四元数矩阵，使实四元数矩阵表达式实现其最大和最小秩。作为应用，我们给出了实四元数矩阵方程$BXD+CYE=A$的可解性条件和通解。此外，我们给出了七个实四元数矩阵的同时分解。
2013-06-21 math.RA
Systems of four coupled one sided Sylvester-type real quaternion matrix equations and their applications
本文利用矩阵的秩和广义逆给出了某些单侧耦合Sylvester型实四元数矩阵方程组可解的充要条件.当这些方程组可解时，我们也给出了其通解的表达式。此外，我们提供了一些数值例子来说明我们的结果。本文的结果推广了文献中的一些已知结果。
2017-02-02 math.RA
Confluent Vandermonde matrices, divided differences, and Lagrange-Hermite interpolation over quaternions
本文引入了四元数合流范德蒙矩阵的概念，并讨论了它与四元数上拉格朗日-厄米特插值的关系。进一步的结果包括合流Vandermonde矩阵的秩的公式，四元数多项式的均差的表示公式及其对形式幂级数设置的推广。
2015-05-13 math.RA
Explicit representation formulas for the minimum norm least squares solutions of some quaternion matrix equations
在列行列式和行行列式理论的框架内，我们得到了四元数矩阵方程${\bf A} {\bf X} = {\bf B}$，$ {\bf X} {\bf A} = {\bf B}$和${\bf A} {\bf X} {\bf B} = {\bf D} $的最小范数最小二乘解的显式表示公式（类似于克拉姆法则）.
2012-04-09 math.RA
On the Sylvester matrix equation over quaternions
在四元数矩阵的设置中考虑Sylvester方程$AX-XB=C$。存在唯一解的充分必要条件是众所周知的。我们研究的补充情况下，方程要么有无穷多个解决方案或根本没有解决方案。特别注意其中$A$和$B$分别是下三角和上三角双对角矩阵的情况（特别地，如果$A$和$B$是Jordan块）。
2015-05-13 math.RA
A system of $k$ Sylvester-type quaternion matrix equations with $3k+1$ variables
本文给出了一类含$3k+1$变量$A_{i}X_{i}+Y_{i}B_{i}+C_{i}Z_{i}D_{i}+F_{i}Z_{i+1}G_{i}=E_{i},~i=\overline{1,k}$的$k$ Sylvester型四元数矩阵方程组通解存在的秩可解性条件.作为该系统的应用，我们给出了秩等式作为某些四元数矩阵方程组$A_{i}X_{i}+(A_{i}X_{i})_ϕ+C_{i}Z_{i}(C_{i})_ϕ+F_{i}Z_{i+1}(F_{i})_ϕ=E_{i},~i=\overline{1,k}$通解存在的充要条件。
2020-07-30 math.RA
Determinantal representations of W-weighted Drazin inverse solutions of some quaternion matrix equations
利用作者在列-行行列式理论框架下得到的W-加权Drazin逆的行列式表示，得到了四元数矩阵方程$ {\bf W}{\bf A}{\bf W}{\bf X}={\bf D}$，$ {\bf X}{\bf W}{\bf A}{\bf W}={\bf D} $，${\bf W}_{1}{\bf A}{\bf W}_{1}{\bf X}{\bf W}_{2}{\bf B}{\bf W}_{2}={\bf D} $的W-加权Drazin逆解（类似于克拉姆法则）的行列式表示的显式表达式.
2016-02-22 math.RA
A simultaneous decomposition of four real quaternion matrices encompassing $η$-Hermicity and its applications
设$\mathbb{H}$是实四元数代数，$\mathbb{H}^{m\times n}$表示$\mathbb{H}$上所有$m\times n$矩阵的集合.设$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$为虚四元数单位。对于$η\in\{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}$，如果$A^{η*}=A$，其中$A^{η*}=-ηA^{\ast}η$和$A^{\ast}$代表$A$的共轭转置，则称平方实四元数矩阵$A$是$η$ -厄米特矩阵。本文构造了四个具有相同行数的实四元数矩阵$(A,B,C,D),$的同时分解，其中$A=A^{η*}\in \mathbb{H}^{m\times m}, B\in \mathbb{H}^{m\times p_{1}},C\in \mathbb{H}^{m\times p_{2}},D\in \mathbb{H}^{m\times p_{3}}$ .作为这种同时矩阵分解的应用，我们得到了一些涉及$η$ -Hermicity的实四元数矩阵方程的系数矩阵秩的充要条件.我们还给出了这些实四元数矩阵方程的一般解。此外，我们提供了一些数值例子来说明我们的结果。
2017-02-02 math.RA
Consimilarity and quaternion matrix equations $AX-\hat{X}B=C$, $X-A\hat{X}B=C$
L.Huang [ Linear Algebra Appl.331（2001）21-30]给出了四元数矩阵$A$关于相合变换$\tilde{S}^{-1}AS$的标准形，其中$S$是非奇异四元数矩阵，并且对于每个四元数$h=a+bi+cj+dk$有$\tilde{h}:=a-bi+cj-dk$。给出了四元数矩阵关于相合变换$\hat{S}^{-1}AS$的一个类似标准形，其中$h\mapsto\hat{h}$是四元数体的任意对合自同构.我们将得到的标准形应用于四元数矩阵方程$AX-\hat{X}B=C$和$X-A\hat{X}B=C$。
2014-12-08 math.RA math.RT
On the Matrix Form of the Quaternion Fourier Transform and Quaternion Convolution
University of West Attica（西阿提卡大学）；National Technological University of Athens（雅典国家技术大学）
本研究探讨四元数傅里叶变换与卷积的矩阵形式，阐明其与复数域的关系，并利用理论结果提出限制四元数卷积神经网络Lipschitz常数的方法。
2024-07-22 cs.CV math.RA
Comments on the Matrix Representations of Quaternions
对作为四元数代数基的矩阵作了一些评论。我们证明了这些矩阵与从左到右的虚数单位的四元数作用有关。
2003-10-20 math.GR math.RA
The determinant of the Laplacian matrix of a quaternion unit gain graph
该研究针对四元数单位增益图的Laplacian矩阵行列式问题，利用新提出的行列非交换行列式给出了其组合描述，并通过数值例子验证了结果。
2023-12-15 math.CO math.RA
Biquaternion (complexified quaternion) roots of -1
研究了双四元数（含复分量的四元数，或含四元数实部和虚部的复数）集合中-1的根，证明了存在无穷多个非平凡复化四元数根（以及复虚算子和单位纯实四元数集合的两个退化解）.证明了非平凡根由纯四元数实部和虚部垂直的复数组成。两个正交的纯四元数的模可以通过双曲三角恒等式用单个参数表示。
2005-06-10 math.RA
A topological approach to left eigenvalues of quaternionic matrices
已知一个$2\times 2$四元数矩阵有一个、两个或无穷多个左特征值，但现有的代数证明很难推广到高阶。本文从另一个角度出发，通过计算与矩阵相关联的特征映射的拓扑度，讨论微分的秩。同样的技术扩展到$3\times 3$矩阵，这仍然缺乏一个完整的分类。
2012-10-10 math.RA
Complex Roots of Quaternion Polynomials
四元数系数多项式有两种根：孤立根和球面根。球面根生成一类只包含一个复数$z$及其共轭$\bar{z}$的根，该类根可由$z$确定.本文研究了四元数多项式的复根。更精确地说，利用Bézout矩阵，我们给出了四元数多项式有复根、球面根和复孤立根的充要条件.此外，我们计算的四元数多项式的根的大小的界限。
2015-01-13 math.RA
$\boldsymbol{i}$-conjugate for quaternionic matrices and related properties
Changchun University of Chinese Medicine（长春中医药大学）；Jilin University（吉林大学）
本文受复矩阵酉等价于实矩阵的启发，将其推广至四元数，提出$\boldsymbol{i}$-共轭概念，给出四元数矩阵酉等价于复矩阵的充要条件，并研究相关性质及新型极分解。
2026-09-30 math.RA
Block diagonalization of block circulant quaternion matrices and the fast calculation for T-product of quaternion tensors
随着基于T-积的实张量方法在彩色图像和灰度视频处理中的巨大成功，彩色视频处理中基于T-积的四元数张量方法的建立遇到了一个挑战，即块循环四元数矩阵的块对角化。本文证明了离散傅立叶矩阵$\mathbf{F_p}$不能对角化$p\times p$循环四元数矩阵，酉四元数矩阵$\mathbf{F_p}\mathbf{j}$和$\mathbf{F_p}(1+\mathbf{j})/\sqrt{2}$也不能对角化，其中$\mathbf{j}$是四元数代数的虚单位.进一步给出了酉四元数矩阵是循环四元数矩阵对角化矩阵的充要条件，说明了在四元数域上实现循环四元数矩阵对角化是非常困难的.我们转向八元数域实现对角化的循环四元数矩阵。我们证明了酉八元数矩阵$\mathbf{F_p}\mathbf{p}$与$\mathbf{p}=\mathbf{l},\mathbf{il}$或$(\mathbf{l}+\mathbf{il})/\sqrt{2}$可以对角化大小为$p\times p$的循环四元数矩阵，通过快速傅立叶变换（FFT）的$O(p\log p)$的成本;和酉矩阵$\mathbf{F_p}\mathbf{p}\otimes \mathbf{I_m}$和$\mathbf{F_p}\mathbf{p}\otimes \mathbf{I_n}$可以块对角化大小为$mp\times np$的块循环四元数矩阵，…
2022-12-29 math.AC math.RA
A simultaneous decomposition of seven matrices over real quaternion algebra and its applications
设$\mathbb{H}$是实四元数代数，$\mathbb{H}^{n\times m}$表示$\mathbb{H}$上所有$n\times m$矩阵的集合.本文构造了七个大小相容的一般实四元数矩阵的同时分解：$A\in \mathbb{H}^{m\times n}, B\in \mathbb{H}^{m\times p_{1}},C\in \mathbb{H}^{m\times p_{2}},D\in \mathbb{H}^{m\times p_{3}},E\in \mathbb{H}^{q_{1}\times n},F\in \mathbb{H}^{q_{2}\times n},G\in \mathbb{H}^{q_{3}\times n}$。作为同时矩阵分解的应用，我们给出了以下两个实四元数矩阵方程$BXE+CYF+DZG=A$和$BX+WE+CYF+DZG=A,$的可解性条件、通解以及通解的秩的范围，其中$A,B,C,D,E,F,$和$G$是给定的实四元数矩阵.
2014-09-04 math.RA
Cramer rule over quaternion skew field
本文给出了四元数除环上行列式泛函的新定义。四元数除环上的逆矩阵由经典伴随矩阵的类似物表示。得到了右、左四元数线性方程组的克拉默法则。
2007-02-15 math.RA math.RT
Determinantal representations of the Moore-Penrose inverse over the quaternion skew field and corresponding Cramer's rules
在列行列式和行行列式理论的框架内，得到了四元数除环上Moore-Penrose逆的行列式表示.利用所得到的伴随矩阵的类似物，我们得到了左、右四元数线性方程组的最小二乘解的克拉默法则。
2010-05-05 math.RA
The $ϕ$-conjugation of quaternionic matrices and generalized Autonne-Takagi factorization
Changchun University of Chinese Medicine（长春中医药大学）；Jilin University（吉林大学）；Heilongjiang University（黑龙江大学）
本文针对模为1的四元数$\phi$，研究四元数矩阵的$\phi$-共轭相关性质，并将Autonne-Takagi分解推广至所有单位四元数，肯定回答了Horn与Zhang提出的问题。
2026-10-16 math.RA
Roth's solvability criteria for the matrix equations ${AX-\widehat XB=C}$ and ${X-A\widehat{X}B=C}$ over the skew field of quaternions with an involutive automorphism $q\mapsto \hat q$
矩阵方程$AX-XB=C$有解当且仅当矩阵[A &C\\0&B]和[A &0\\0 & B]相似。W.E. Roth（1952）和黄立平（1996）在四元数的除环上的推广. H.K. Wimmer（1988）得到了域上矩阵方程$X-AXB=C$的类似判据。我们将这些准则推广到具有固定对合自同构$q\mapsto \hat q$的四元数的除环上的矩阵方程$AX-\widehat XB=C$和$X-A\widehat XB=C$。
2016-11-11 math.RA math.RT
Dual Complex Adjoint Matrix: Applications in Dual Quaternion Research
本文提出双复伴随矩阵概念，用于研究对偶四元数矩阵的特征值，并直接求解手眼标定问题，同时改进瑞利商迭代法，数值实验验证了其有效性。
2024-07-17 cs.NA math.NA math.RA
Quaternion polar representation with a complex modulus and complex argument inspired by the Cayley-Dickson form
受Cayley-Dickson表示的启发，我们提出了一种新的四元数极坐标表示。在这种新的极坐标表示中，四元数由一对复数表示，如Cayley-Dickson形式，但这里这两个复数是复数“模”和复数“幅角”。与Cayley-Dickson形式一样，这两个复数在同一个复平面上（使用相同的复根-1），但复相位乘以指数函数中不同的复根-1。我们展示了如何计算的振幅和相位从任意四元数在笛卡尔形式。
2008-02-22 math.RA
A system of dual quaternion matrix equations with its applications
该研究利用四元数矩阵的M-P逆与秩，推导对偶四元数矩阵方程组$(AX, XC) = (B, D)$可解的充要条件及通解，拓展研究相关方程含$η$-埃尔米特解的情况，并通过数值算例验证结论。
2023-11-13 cs.NA math.NA math.RA
Determinantal representations of the quaternion weighted Moore-Penrose inverse and corresponding Cramer's rule
给出了四元数矩阵的加权奇异值分解及其加权Moore-Penrose逆的一种表示。利用这种表示，在非交换列-行行列式理论的框架内，得到了四元数矩阵加权Moore-Penrose逆的极限表示和行列式表示.利用所得到的伴随矩阵的类比，得到了左、右四元数线性方程组加权Moore-Penrose解的克拉默法则.
2016-04-01 math.RA math.RT
Localization theorems for matrices and bounds for the zeros of polynomials over a quaternion division algebra
Indian Institute of Technology Indore（印度技术学院印多尔分校）
本文推导了四元数矩阵左、右特征值的Ostrowski和Brauer型定理，讨论了四元数矩阵左、右特征值的Gerschgorin型定理推广，并给出了四元数矩阵稳定性条件的充分条件，最后给出了四元数多项式零点界的特征化。
2016-09-19 cs.NA math.NA math.RA
Sylvester-type quaternion matrix equations with arbitrary equations and arbitrary unknowns
在本文中，我们证明了最近的一篇论文[线性代数应用2016; 496：549--593]中提出的一个猜想。本文给出了具有任意方程和任意未知量的耦合双边Sylvester型四元数矩阵方程组解存在的一些实用充要条件$A_{i}X_{i}B_{i}+C_{i}X_{i+1}D_{i}=E_{i},~i=\overline{1,k}$ .作为应用，我们给出了四元数矩阵方程组$A_{i}X_{i}A^{η*}_{i}+C_{i}X_{i+1}C^{η*}_{i}=E_{i}$按秩存在$η$ -Hermitian解的一些实用充要条件，即$~i=\overline{1,k}$ .
2020-05-30 cs.NA math.NA math.RA
Commutative Quaternion Matrices
在本研究中，我们引进交换四元数与交换四元数矩阵的概念。首先，我们给出了交换四元数及其Hamilton矩阵的一些性质。然后利用复矩阵的性质研究交换四元数矩阵。然后定义了可换四元数矩阵的复伴随矩阵，并给出了它们的一些性质。
2013-06-25 math.AG math.RA
von Neumann type trace inequality for dual quaternion matrices
该研究针对对偶四元数矩阵，提出其谱范数概念，建立冯·诺依曼型迹不等式与Hoffman-Wielandt型不等式，并给出基于Hermitian矩阵特征值的不等式变体，为相关理论与应用研究提供支撑。
2023-04-12 math.OC math.RA
The eigenvector-eigenvalue identity for the quaternion matrix with its algorithm and computer program
Peter Denton，Stephen Parke，Terence Tao和Xining Zhang [arxiv 2019]提出了线性交换代数中的一个基本而重要的恒等式，即所谓的{ \bf the eigenvector-eigenvalue identity}（在[BAMS，2021]中正式命名），这是一个方便而强大的工具，可以从特征值简洁地确定特征向量。该恒等式将本征向量分量与$A$和次$M_j$的本征值联系起来，以一种简洁的形式表示为\[ \lvert v_{i,j} \rvert^2\prod_{k=1;k\ne i}^{n-1}({λ_i}(A)-{λ_k}(A))=\prod_{k=1}^{n-1}({λ_i}(A)-{λ_k}(M_j)). \,\,\,%\mbox{(\cite{tao-eig,D-P-T-Z})} \].事实上，它已广泛应用于数值线性代数、随机矩阵理论、本征值问题、图论、中微子物理等领域.本文将本征向量-本征值恒等式推广到四元数除环，这是不可交换的。建立了四元数矩阵的特征向量-特征值恒等式。进一步给出了由四元数埃尔米特矩阵的右特征值计算特征向量的一种新方法和算法。设计了计算特征向量的程序。一个开放的问题结束了论文。算例表明，该算法和程序具有良好的性能。
2022-07-08 cs.NA math.CA math.NA
Some remarks regarding Quaternions and Octonions
本文介绍了四元数和八元数的一些应用。本文给出了复八元数的实矩阵表示及其一些性质，这些性质可用于涉及这些元素的计算中。此外，我们还给出了分裂四元数代数和分裂八元数代数的可逆元集。
2017-12-25 cs.IT math.IT math.RA
