Cramer's rule for some quaternion matrix equations
Ivan Kyrchei
在列行列式和行行列式理论的框架下，得到了一些左、右和双边四元数矩阵方程的克拉姆法则.
Cramer's rules for some left, right and two-sided quaternion matrix equations are obtained within the framework of the theory of the column and row determinants.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Determinantal representations of the Moore-Penrose inverse over the quaternion skew field and corresponding Cramer's rules
在列行列式和行行列式理论的框架内，得到了四元数除环上Moore-Penrose逆的行列式表示.利用所得到的伴随矩阵的类似物，我们得到了左、右四元数线性方程组的最小二乘解的克拉默法则。
Cramer's rules for the solution to the two-sided restricted quaternion matrix equation
作者最近导出了四元数矩阵的加权奇异值分解（WSVD）及其加权Moore-Penrose逆的行列式表示。本文利用这些行列式表示，在列-行行列式理论的框架下，得到了约束四元数矩阵方程${\bf A}{\bf X}{\bf B}={\bf D}$解的显式行列式表示公式，进而得到了约束四元数矩阵方程${\bf A}{\bf X}={\bf D}$和${\bf X}{\bf B}={\bf D}$的显式行列式表示公式.我们考虑所有可能的情况下，取决于加权矩阵。
Cramer rule over quaternion skew field
本文给出了四元数除环上行列式泛函的新定义。四元数除环上的逆矩阵由经典伴随矩阵的类似物表示。得到了右、左四元数线性方程组的克拉默法则。
Determinantal representations of the quaternion weighted Moore-Penrose inverse and corresponding Cramer's rule
给出了四元数矩阵的加权奇异值分解及其加权Moore-Penrose逆的一种表示。利用这种表示，在非交换列-行行列式理论的框架内，得到了四元数矩阵加权Moore-Penrose逆的极限表示和行列式表示.利用所得到的伴随矩阵的类比，得到了左、右四元数线性方程组加权Moore-Penrose解的克拉默法则.
Explicit representation formulas for the minimum norm least squares solutions of some quaternion matrix equations
在列行列式和行行列式理论的框架内，我们得到了四元数矩阵方程${\bf A} {\bf X} = {\bf B}$，$ {\bf X} {\bf A} = {\bf B}$和${\bf A} {\bf X} {\bf B} = {\bf D} $的最小范数最小二乘解的显式表示公式（类似于克拉姆法则）.
Explicit determinantal formulas for solutions to the generalized Sylvester quaternion matrix equation and its special cases
在四元数列行行列式理论的框架下，利用作者以前得到的Moore-Penrose逆的行列式表示，得到了四元数双边广义Sylvester矩阵方程$ {\bf A}_{1}{\bf X}_{1}{\bf B}_{1}+ {\bf A}_{2}{\bf X}_{2}{\bf B}_{2}={\bf C}$及其首项或两项都是单侧的所有特殊情况的解（类似于克拉姆法则）的行列式表示公式.最后，我们推导出两个类李雅普诺夫方程的行列式表示。
Determinantal representations of the Drazin inverse for Hermitian matrix over the quaternion skew field with applications
在列行列式和行行列式理论的框架内，我们得到了四元数除环上埃尔米特矩阵Drazin逆的行列式表示。利用所得到的Drazin逆的行列式表示，我们得到了四元数矩阵方程$ {\bf A}{\bf X} = {\bf D}$，$ {\bf X}{\bf B} = {\bf D} $和${\bf A} {\bf X} {\bf B} = {\bf D} $的Drazin逆解的显式表示公式（类似于克拉姆法则），其中$ {\bf A}$，${\bf B}$是Hermitian的.
Cramer's rules for Hermitian systems of coquaternionic equations
本文研究了埃尔米特矩阵的行列式的性质，给出了余四元数埃尔米特矩阵的逆矩阵的行列式表示。利用它们，得到了系数为Hermite余四元数矩阵的左、右线性方程组的克拉姆法则.同时给出了双边余四元数矩阵方程${\bf AXB}={\bf D}$（含Hermitian ${\bf A}$，${\bf B}$）克拉姆法则.
Determinantal representations of W-weighted Drazin inverse solutions of some quaternion matrix equations
利用作者在列-行行列式理论框架下得到的W-加权Drazin逆的行列式表示，得到了四元数矩阵方程$ {\bf W}{\bf A}{\bf W}{\bf X}={\bf D}$，$ {\bf X}{\bf W}{\bf A}{\bf W}={\bf D} $，${\bf W}_{1}{\bf A}{\bf W}_{1}{\bf X}{\bf W}_{2}{\bf B}{\bf W}_{2}={\bf D} $的W-加权Drazin逆解（类似于克拉姆法则）的行列式表示的显式表达式.
Analogs of Cramer's rule for the least squares solutions of some matrix equations
本文考虑矩阵方程${\rm {\bf A}}{\rm {\bf X}} = {\rm {\bf B}}$、${\rm {\bf X}}{\rm {\bf A}} = {\rm {\bf B}}$和${\rm {\bf A}}{\rm {\bf X}}{\rm {\bf B}} ={\rm {\bf D}} $的具有最小范数的最小二乘解。我们利用作者早先得到的Moore - Penrose逆的行列式表示，得到了这些矩阵方程的最小二乘解的克拉默法则的类似物。
Analogues of the adjoint matrix for generalized inverses and corresponding Cramer rules
在这篇文章中，我们介绍了基于经典伴随矩阵的类似物的Moore - Penrose逆和Drazin逆的行列式表示。利用所得到的伴随矩阵的类似物，我们得到了奇异线性系统的最小二乘解和Drazin逆解的克拉默法则.最后给出了${\rm {\bf A}}^{+} {\rm {\bf A}}$、${\rm {\bf A}} {\rm {\bf A}}^{+}$和${\rm {\bf A}}^{D} {\rm {\bf A}}$的行列式表达式。
Cramer's Rule for Generalized Inverse Solutions of Some Matrices Equations
对于给定矩阵的广义逆，我们指的是一个矩阵，它存在于比非奇异矩阵更大的一类矩阵中，它具有通常逆的一些性质，并且当给定矩阵碰巧是非奇异矩阵时，它与逆一致。在理论上，存在许多不同的广义逆。我们将考虑Moore-Penrose、加权Moore-Penrose、Drazin和加权Drazin逆。本文在这些广义逆的极限表示的基础上，给出了它们的新的行列式表示。应用这种新方法可以得到类似于经典伴随矩阵的结果.利用所得到的伴随矩阵的类似物，我们得到了奇异线性系统的最小范数最小二乘解和Drazin逆解的Cramer法则.本文还得到了矩阵方程${\rm {\bf A}}{\rm {\bf X}} = {\rm {\bf D}}$，${\rm {\bf X}}{\rm {\bf B}} = {\rm {\bf D}}$和${\rm {\bf A}}{\rm {\bf X}}{\rm {\bf B}} ={\rm {\bf D}} $的最小范数最小二乘解和Drazin逆解的Cramer法则，其中${\rm {\bf A}}$，${\rm {\bf B}}$可以是适当大小的奇异矩阵.最后，我们推导了微分矩阵方程，${\bf X}'+ {\bf A}{\bf X}={\bf B}$和${\bf X}'+{\bf X}{\bf A}={\bf B}$的解的行列式表示，其中矩阵${\bf A}$是奇异的。
A Mnemonic Matrix Rule for (Split) Octonionic Multiplication and its Extension to the Cayley--Dickson Tower
本文提出了一种基于记忆矩阵的八元数乘法规则，并将其扩展到凯莱-迪科森塔中的所有代数，为非结合代数提供了高效的计算方法。
The core inverse and constrained matrix approximation problem
本文利用核逆\begin{align}\nonumber \left\|{Mx - b} \right\|_F=\min\ \ {\rm subject\ to} \ \ {x\in\mathcal{R}(M)} ,\end{align}研究了约束矩阵在Frobenius范数下的逼近问题，其中$M\in\mathbb{C}^{\texttt{CM}}_n$ .得到了问题的唯一解，给出了唯一解的两个克拉姆法则，并建立了核逆的两个新表达式.
Explicit formulas for determinantal representations of the Drazin inverse solutions of some matrix and differential matrix equations
本文考虑矩阵方程${\rm {\bf A}}{\rm {\bf X}} = {\rm {\bf B}}$、${\rm {\bf X}}{\rm {\bf A}} = {\rm {\bf B}}$和${\rm {\bf A}}{\rm {\bf X}}{\rm {\bf B}} ={\rm {\bf D}} $的Drazin逆解.我们使用的Drazin逆的行列式表示较早获得的作者和文件。我们得到了这些矩阵方程Drazin逆解的克拉默法则的类似物，并将其用于某些微分矩阵方程${\bf X}'+ {\bf A}{\bf X}={\bf B}$和${\bf X}'+{\bf X}{\bf A}={\bf B}$解的行列式表示，其中矩阵${\bf A}$是奇异的。
A Not-so-Characteristic Equation: the Art of Linear Algebra
向量积能推广吗？为什么迹和行列式在矩阵理论中如此重要？特征多项式的所有系数代表什么？本文介绍了一种技术“涂鸦”方程从线性代数，提供优雅的解决方案，所有这些问题。涂鸦，被称为迹图，是由矩阵标记的图形，这些矩阵与多线性函数相对应。这种对应关系使得线性代数中的计算可以用图来完成。其结果是一个优雅的理论，从标准建设的线性代数，如行列式，跟踪，共轭矩阵，克拉姆法则，和特征多项式自然产生。利用这些图，很容易看出这些不同的结果是多么少的结构，因为它们都可以“追溯”到行列式和内积的定义。
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