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带最优常数和余项的非局部Hardy型不等式

Nonlocal Hardy type inequalities with optimal constants and remainder terms

Vitaly Moroz, Jean Van Schaftingen

备注：
9 pages
发表信息：
Ann. Univ. Buchar. Math. Ser. 3 (LXI) (2012), no. 2, 187-200
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摘要：

利用基态变换，本文给出了Herbst [ \int_{\R^N} \int_{\R^N} \frac{φ(x)}{\abs{x}^\fracα{2}} I_α（x-y）\frac{φ(y)}{\abs{y}^\fracα{2}} \dif x \dif y \le \mathcal{C}_{N,α, 0} PDMATH]的最优Stein-Weiss不等式的一个新的证明ABMM \abs φ^2，]及其与Beckner的Hardy不等式[ \int_{\R^N} \int_{\R^N} \frac{φ(x)}{\abs{x}^\frac{α+ s}{2}} I_α（x-y）\frac{φ(y)}{\abs{y}^\frac{α+ s}{2}} \dif x \dif y \le \mathcal{C}_{N, α, 1} \int_{\R^N} \abs{\nabla φ}^2，[ \int_{\R^N} \int_{\R^N} \frac{φ(x)}{\abs{x}^\frac{α+ s}{2}} I_α（x-y）\frac{φ(y)}{\abs{y}^\frac{α+ s}{2}} \dif x \dif y \le \mathcal{C}_{N, α, s} \mathcal{D}_{N, s} \int_{\R^N} \frac{\bigabs{φ(x) - φ(y)}^2}{\abs{x-y}^{N+s}} \frac{\bigabs{φ(x) - φ(y)}^2}{\abs{x-y}^{N+s}} \dif x \dif y]其中（I_α）是Riesz势，（0 < α< N）且（0 < s < \min（N，2））.我们还证明了常数的最优性。该方法是灵活的，并产生一个尖锐的表达式，这些不等式的余项。

英文摘要：

Using a groundstate transformation, we give a new proof of the optimal Stein-Weiss inequality of Herbst [\int_{\R^N} \int_{\R^N} \frac{φ(x)}{\abs{x}^\fracα{2}} I_α(x - y) \frac{φ(y)}{\abs{y}^\fracα{2}}\dif x \dif y \le \mathcal{C}_{N,α, 0}\int_{\R^N} \absφ^2,] and of its combinations with the Hardy inequality by Beckner [\int_{\R^N} \int_{\R^N} \frac{φ(x)}{\abs{x}^\frac{α+ s}{2}} I_α(x - y) \frac{φ(y)}{\abs{y}^\frac{α+ s}{2}}\dif x \dif y \le \mathcal{C}_{N, α, 1} \int_{\R^N} \abs{\nabla φ}^2,] and with the fractional Hardy inequality [\int_{\R^N} \int_{\R^N} \frac{φ(x)}{\abs{x}^\frac{α+ s}{2}} I_α(x - y) \frac{φ(y)}{\abs{y}^\frac{α+ s}{2}}\dif x \dif y \le \mathcal{C}_{N, α, s} \mathcal{D}_{N, s} \int_{\R^N} \int_{\R^N} \frac{\bigabs{φ(x) - φ(y)}^2}{\abs{x-y}^{N+s}}\dif x \dif y] where (I_α) is the Riesz potential, (0 < α< N) and (0 < s < \min(N, 2)). We also prove the optimality of the constants. The method is flexible and yields a sharp expression for the remainder terms in these inequalities.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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