On the Exponent of a Verbal Subgroup in a Finite Group
Pavel Shumyatsky
设w是多线性换位子字。证明了：如果e是正整数，G是有限群，且任意由w-值生成的幂零子群的指数都能除e，则对应的动词子群w（G）的指数仅关于e和w有界.
Let w be a multilinear commutator word. We prove that if e is a positive integer and G is a finite group in which any nilpotent subgroup generated by w-values has exponent dividing e then the exponent of the corresponding verbal subgroup w(G) is bounded in terms of e and w only.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On verbally closed subgroups of free solvable groups
研究自由可解群的口头闭子群。证明了若干结果，给出了一个充分条件，在此条件下，一个口头闭子群成为完全群的收缩群，从而代数闭.
Verbally closed subgroups of free groups
本文证明了有限秩自由群$F$的每个言闭子群是$F.$的收缩核
Two-generated verbally closed subgroups of a free solvable group G are retracts of G
本文证明了有限秩自由可解群G的每一个口头闭的二元生成子群都是G的收缩核。
On free decompositions of verbally closed subgroups of free products of finite groups
对于有限群的自由积的子群，我们得到了它的Kurosh分解是语言闭的必要条件。
On verbal subgroups of the group of automorphisms of regular rooted trees
本文重新审视了 $d>2$ 且为奇数时正则根树自同构群的所有言语子群的描述。
Verbally closed virtually free subgroups
Myasnikov和Roman'kov的一个定理说，任何一个可生成的自由群的口头闭子群是一个收缩群。我们证明了所有的自由（和许多几乎自由）口头闭子群是任何有限生成群中的回缩。
Virtually free finite-normal-subgroup-free groups are strongly verbally closed
任何不包含非平凡有限正规子群的虚自由群$H$（例如，无限二面体群）是包含$H$作为口头闭子群的任何有限生成群的收缩。
On verbal subgroups in finite and profinite groups
令$w$是多线性换位子字。在本文中，我们描述了最近的结果表明，如果$G$是一个投射有限群，其中所有的$w$ -值包含在一个联盟的100（或在某些情况下可数）许多子群具有规定的属性，那么动词子群$w(G)$也有相同的属性。特别是，我们证明了这一点的情况下，子群是定期或有限秩。
Finite normal subgroups of strongly verbally closed groups
本文将有限强 verbally closed 群的中心为其直因子的结论推广至任意强 verbally closed 群的有限正规子群，并由此证明具有非阿贝尔挠子群的有限生成幂零群不是强 verbally closed 的。
On the rank of a verbal subgroup of a finite group
证明了如果$w$是一个多线性换位子词，$G$是一个有限群，其中由$w$ -值生成的亚幂零子群的秩至多为$r$，则动词子群$w(G)$的秩仅根据$r$和$w$有界.在$G$是可解的情况下，我们得到了一个更好的结果--如果$G$是一个有限的可解群，其中每个由$w$ -值生成的幂零子群的秩至多为$r$，则$w(G)$的秩至多为$r+1$。
On finiteness of verbal subgroups
给定组字$w$和组$G$，$G$中的$w$ -值的集合由$G_w$表示，并且动词子组$w(G)$是由$G_w$生成的子组。$w$这个词是简洁的，如果$w(G)$对于所有其中$G_w$是有限的群$G$是有限的。我们得到了几个结果支持的猜想，词$[u_1,\dots,u_s]$是简洁的，只要字$u_1,\dots,u_s$是非换向器。
Bounding the Exponent of a Verbal Subgroup
我们处理下面的猜想。如果w是群字，G是有限群，其中任意由w-值生成的幂零子群的指数都能除e，则动词子群w（G）的指数仅关于e和w有界.我们证明了在w是第n个恩格尔词或[x ^n，y_1，y_2，.，y_k]（定理A）。进一步，我们证明了对任意正整数e，存在一个数k=k（e），使得如果w是一个字，G是一个有限群，其中由字w的k个值的乘积生成的任意幂零子群都有指数整除e，则动词子群w（G）的指数仅关于e和w有界（定理B）.
Verbal subgroups of hyperbolic groups have infinite width
设$G$是一个非初等双曲群.令$w$为群字，使得其在$G$中的所有值的集合$w[G]$不与$G$或1重合。我们证明了动词子群$w(G)=<w[G]>$的宽度是无限的。也就是说，不存在这样的$l\in\mathbb Z$，即任何$g\in w(G)$都可以表示为$w$的$\le l$值与它们的逆的乘积。
On finiteness of some verbal subgroups in profinite groups
给定一个组词$w$和一个组词$G$，$G$中的$w$ -值的集合由$G_w$表示，而动词子群$w(G)$是由$G_w$生成的子群。本文考虑了允许一个字$w$的投射有限群，使得$G_w$的基数小于$2^{\aleph_0}$，且$w(G)$是由多个$w$ -值生成的.对于几个家庭的话$w$，我们表明，在这些假设$w(G)$必须是有限的。我们的研究结果与组词的简洁性概念有关。
Equations in acylindrically hyperbolic groups and verbal closedness
本文描述了方程$x^ny^m=a^nb^m$在非圆柱双曲群（AH-群）中的解，其中$a,b$是不可分解的特殊斜驶元，$n,m$是具有足够大公约数的整数.利用这一描述和AH-群中的测试词，我们研究了群体中AH-子群的动词封闭性。一个群$G$的一个子群$H$被称为口头封闭的，如果对于变量$x_1,\dots,x_n$和任何元素$h\in H$中的任何词$w(x_1,\dots, x_n)$，方程$w(x_1,\dots, x_n)=h$在$G$中有解当且仅当它在$H$中有解。主要定理：设$G$是一个非平凡群，$H$是$G$的一个非平凡生成的非圆柱双曲子群，使得$H$不存在非平凡有限正规子群.则当且仅当$H$是$G$的收缩时，在$G$中口头关闭$H$。$G$在$H$上逆生成且$H$是方程Noetherian的条件可以代替$G$逆存在且$H$逆生成的条件.作为推论，我们解决问题5.2从文件arXiv：1201.0497v2的Miasnikov和Roman'kov：口头封闭子群的挠自由双曲群是回缩。
On the Width of Verbal Subgroups of the Groups of Triangular Matrices over a Field of Arbitrary Characteristic
由组词$W$的集合定义的组$G$的动词子组$v(G,W)$的宽度$\wid(G,W)$是$\mathbb N \cup {+\infty}$中的最小数$m$，使得$v(G,W)$的每个元素可以被表示为在组$G$上评估的$W$中的至多$m$词与它们的逆的乘积。回想一下，任意域$K$上的三角形矩阵群$T_{n} (K)$的每个动词子群都可以由一个字来定义：外换位子字或幂字。我们证明了对于每个外换位子字$w$，等式$\wid(T_{n} (K),w)=1$在群$T_{n} (K)$上成立，并且如果$w=x^{s}$则$\wid(T_{n}(K),w)=1$，除了两种情况：（1）域$K$是有限的，并且$s$可被$K$的特征$p$整除，但不可被$|K|-1$整除;（2）域$K$是有限的，并且对于具有$n\ge p^{t} +3$的$r,t,u\in \mathbb N$，$s=p^{t} (|K|-1)^{u} r$，而$r$不可被$p$整除。在这些情况下，宽度等于2。对于有限三角群，情况也是类似的，但在第二种情况下，限制$n\ge p^{t} +3$是多余的。
A nilpotency criterion for some verbal subgroups
本文定义了单换位字，并证明了有限群中对应言子群的幂零性等价于互素阶w-值满足阶乘性条件，同时将该结论推广至w-值集合有限的剩余有限群。
$p$-nilpotency criteria for some verbal subgroups
本文针对有限群提出了基于群字 $w$-值乘积阶整除性质的 $P(w,p)$ 条件，并证明了该条件是下中心列和导列对应项具有 $p$-幂零性的充要准则。
Finite symmetric groups are strongly verbally closed
回答了A. V. Vasil'ev的问题，证明了每个有限对称群或交错群作为语言闭子群时，都是包含它的任意群的收缩。
On profinite groups with commutators covered by countably many cosets
设w为一组词。设投射有限群G中所有w-值的集合包含在可数个子群陪集的并中。我们关心的问题是动词子群w（G）的结构在多大程度上取决于子群的性质。我们证明了下面的定理。设C是一类在取子群，子群，且使得在任何群中，n个正规C-子群的乘积又是C-子群下闭的群。若w是多线性交换子，G是投射有限群，使得所有w-值的集合包含在可数陪集g_iG_i的并中，其中每个G_i都在C中，则动词子群w（G）是虚-C.这加强了几个已知的结果。
On countable coverings of word values in profinite groups
我们证明了以下结果。设w是多线性换位子字。如果G是一个投射有限群，其中所有的w-值包含在可数个周期子群的并中，则动词子群w（G）是局部有限的.如果G是一个投射有限群，其中所有的w-值都包含在可数个有限秩子群的并中，则动词子群w（G）也有有限秩.作为本文技巧的一个副产品，我们还证明了：如果G是一个虚可解的投射有限群，其中所有的w-值都有有穷级，那么w（G）是局部有限的，并且有有限指数.
On groups with large verbal quotients
本文研究$w$-极大群的相关性质，给出了这类群的新结果，还探讨了对应不等式非严格的更弱条件，并将结论应用于有限群，证明含大小为$n$的可解/幂零截面的有限群必存在大小不小于$n$的可解/幂零子群。
Words and pronilpotent subgroups in profinite groups
设$w$是一个多线性换位子字，即在$n$不同的群变量中具有权值$n$的换位子。证明了如果$G$是一个投射有限群，且其中所有由$w$ -值生成的幂零子群都是周期的，则其动词子群$w(G)$是局部有限的.
The word problem in verbal products of groups
本文研究群的言语乘积的字问题，证明幂零与亚交换乘积保持可判定性，并构造可解乘积不可判定的反例，同时给出导出子群成员问题不可判定的双曲群。
Finite and nilpotent strongly verbally closed groups
本文研究强字闭的有限群与幂零群，证明若有限群 H 在任一含其为字闭子群的有限群中均为收缩核，则 H 的中心必为其直因子。
On finite groups in which commutators are covered by Engel subgroups
设$m,n$为正整数，$w$为多线性换位子字.假设$G$是一个有限群，它有子群$G_1,\ldots,G_m$，子群的并集包含$G$中的所有$w$ -值。进一步假设子组$G_1,\ldots,G_m$的所有元素是$G$中的$n$ -Engel。证明了对于某些$\{m,n,w\}$ -有界数$s$，动词子群$w(G)$是$s$ -Engel.
On groups admitting a word whose values are Engel
设m，n是正整数，v是多线性换位子字，w = v^m.证明了：如果G是剩余有限群，且其中所有w-值都是n-Engel，则动词子群w（G）是局部幂零的.我们还研究的问题，这是否是真的情况下，G是局部分级，而不是剩余有限的。在m = 1的情况下，我们肯定地回答这个问题。进一步证明了如果u是非换位子字，G是局部分次群且u-值都是n-Engel，则动词子群u（G）是局部幂零的.
A generalization of concise words
言语子群研究是获取群体结构信息的有效工具。因此，允许在自由群中对词进行分类的条件至关重要。研究最多的问题之一是确定哪些词是简洁的，其中一个词$w$被称为简洁的，如果动词子组$w(G)$在每个组$G$中是有限的，其中$w$只取有限数量的值。本文的目的是提出一些结果，其中的词之间的层次结构的介绍，推广的概念，简洁的词。
The Baer Invariant of Semidirect and Verbal Wreath Products of Groups
W. Haebich（1977，Journal of Algebra { \bf 44}，420-433）给出了两个群的半直积和动词圈积的Schur乘子的一些公式。作者（1997年，Indag。数学，（N.S.），{ \bf 8}（{ \bf 4}），529-535）推广了W. Haebich证明了两个群的半直积关于至多为$c\geq 1,\ {\cal N}_c$类的幂零群簇的Baer不变量。本文首先证明了${\cal V}M(B)$和${\cal V}M(A)$是${\cal V}M(G)$的直因子，其中$G=B\rhd<A$是正规子群$A$和子群$B$的半直积，$\cal V$是任意簇.其次，证明了${\cal N}_cM(B\rhd<A)$具有Haebich型同态象.当$B$和$A$是循环群时，给出了${\cal N}_cM(B\rhd<A)$的Haebich型公式.第三，我们将提出一个公式的Baer不变量的$\cal V$ -verbal圈积的两个群体关于各种各样的幂零群的类至多$c\geq 1$，其中$\cal V$是一个任意的品种。此外，当$G=A{\it Wr_V}B$和$B$为环状时，尝试改进该公式。最后，给出了自由环积关于${\cal N}_c$的Baer不变量的结构，特别是自由环积$A{\it Wr_*}B$，其中$B$是循环群.
On groups where the twisted conjugacy class of the unit element is a subgroup
研究群$G$，其中单位元的$φ$ -共轭类$[e]_φ=\{g^{-1}φ(g)~|~g\in G\}$是$G$的子群，对$G$的每个自同构$φ$.如果$G$有$n$生成元，则证明了下中心序列的第$k$个成员有一个有限的以$n,k$为界的动词宽度.证明了如果这类群$G$对正规子群满足降链条件，则$G$是幂零群.最后，如果$G$是有限循环交换群，我们构造了$G$的幂零类的一个好的上界.
Positive laws on generators in powerful pro-p groups
若G是满足某个律v=1的幂p群，且G可由满足某个正律的有限宽正规子集T生成，则证明了G是幂零的.此外，G的幂零类可以根据素数p、G的生成元个数、律v=1、T的宽度和正律的次数有界。这个结果的主要兴趣是应用于动词子群：如果G是p-adic解析pro-p群，其中一个词w的所有值都满足正律，并且如果动词子群w（G）是幂的，则w（G）是幂零的。
Multilinear commutators in residually finite groups
设w是多线性交换子，n是正整数.设G是一个剩余有限群，其中每个至多896个w-值的乘积都有除n的阶.则动词子群w（G）是局部有限的。
Coverings of commutators in profinite groups
设$w$为组字。投射有限群$G$中所有$w$ -值的集合包含在可数子群的并中.人们自然会问，动词子群$w(G)$的结构是如何依赖于覆盖子群的性质的。本文综述了与此问题有关的最新研究成果。特别是，我们调查结果有限和可数覆盖的字值（主要是recruitors）的procyclic，阿贝尔，幂零，可溶性子群，以及子群的有限性条件。本文的最后一部分是专门的关系所描述的结果与霍尔的问题的简洁性的组字。
On w-maximal groups
令$w = w(x_1,..., x_n)$是一个字，即$n$生成器$x_1,..., x_n$上自由群$F =<x_1,...,x_n>$的一个元素。组$G$的言语子群$w(G)$是由$G$中所有$w$ -值的集合$\{w (g_1,...,g_n)^{\pm 1} | g_i \in G, 1\leq i\leq n \}$生成的子群。我们说一个（有限）群$G$是$w$ -极大的，如果对于$G$的所有真子群$H$，$|G:w(G)|> |H:w(H)|$是$w$ -极大的，并且如果$G$的每个子群都是$w$ -极大的，那么$G$是遗传的$w$ -极大的。本文研究了$w$ -极大群和遗传$w$ -极大（有限）群.
Powers in finite groups
本文证明了：若$G$是一个可生成的投射有限群，则其动词子群$G^{q}$是开的.等价地，在一个$d$生成元有限群中，每个$q$的次幂积都是$f(d,q)$的$q$次幂积.
BFC-theorems for higher commutator subgroups
BFC-群是一个群，其中所有共轭类都是有限的，具有有界大小。1954年B. H.诺依曼发现，如果G是一个BFC-群，那么导出群G'是有限的。设w=w（x_1，\dots，x_n）是多线性交换子.我们研究了包含w-值的共轭类是有界阶有限的群。设G是一个群，w（G）是G的由所有w-值生成的动词子群.我们证明了：如果对每个w-值x，x^G的大小至多为m，则w（G）的导子群是有限的，其阶由m和n的函数有界.若x^{w（G）}对每个w-值x的大小至多为m，则[w（w（G）），w（G）]是由m和n的函数有界的阶有限的.
Critical exponents of boomerang subgroups in the free group
本文研究了自由群中回旋子群的临界指数构造，展示其可无限接近有限生成子群的临界指数。
On locally graded groups with a word whose values are Engel
设m，n是正整数，v是多线性换位子字，w = v^m.证明了：若G是局部分次群，且其中所有w-值都是n-Engel，则动词子群w（G）是局部幂零的.
On subgroups of free Burnside groups of large odd exponent
证明了奇指数$n \gg 1$的自由生成元Burnside群$B(m,n)$的每个非循环子群都包含一个子群$H$同构于指数为$n$的自由Burnside群$B(\infty,n)$，且秩为可数无限，使得对于$H$的每个正规子群$K$，$K$在$B(m,n)$中的正规闭包$<K >^{B(m,n)}$满足$H$在$K$中.这意味着$B(m,n)$的每个非循环子群在指数为$n$的群类中是SQ-泛群。
On conciseness of words in profinite groups
设w为组词。证明了如果w在投射有限群G中只有可数个值，则动词子群w（G）是有限的.本文在w是多线性换位子字或字x^2或字[x^2，y]的情况下证实了这个猜想。
A family of permutation groups with exponentially many non-conjugated regular elementary abelian subgroups
给定一个素数$p$，我们构造了一个置换群，它至少包含$p^{p-2}$非共轭的$p^3$阶初等交换子群.这给出了具有指数地多个非共轭正则子群的置换群的第一个例子。
An Engel condition for orderable groups
设m，n是正整数，v是多线性换位子字，w=v^m.证明了：如果G是一个可序群，且其中所有w-值都是n-Engel，则动词子群v（G）是局部幂零的.我们还证明了在v=x的特殊情况下，群G是幂零的（而不仅仅是局部幂零的）。
On varieties of groups satisfying an Engel type identity
设m，n是正整数，v是多线性换位子字，w = v^m.用v（G）和w（G）表示群G中分别对应于v和w的动词子群。本文证明了群G的w-值为n-Engel且w（G）局部幂零的类是一个簇（定理A）。进一步，我们证明了在m是素数幂的情形下，所有群G的w-值是n-Engel且v（G）有升正规列且其幂元是局部可解的或局部有限的类是一个簇（定理B）.我们研究的问题是否后者的结果仍然有效，允许m是一个任意的正整数。在这个方向上，我们证明了：如果m，n是正整数，u是多线性换位子字，v是896个u-字的乘积，则群G中v^m-值是n-Engel且动词子群u（G）有一个升正规列且其列元是局部可解的或局部有限的类是一个簇（定理C）.
Exponent Preserving Subgroups of the Finite Simple Groups
给定一个群G，用exp（G）表示它的指数，它是它的元素的阶的最小公倍数。本文解决了寻找具有相同指数的真子群的有限单群的问题。对于每个具有此性质的G，我们将给出H<G且exp（G）=exp（H）的显式例子。
Lower central words in finite $p$-groups
众所周知，组$G$中的较低中心字的值的集合不需要是子组。对于一个固定的较低的中心字$γ_r$和$p\ge 5$，Guralnick表明，如果$G$是一个有限的$p$ -组，使动词子群$γ_r(G)$是阿贝尔和2-生成元，那么$γ_r(G)$只包括$γ_r$ -值。在本文中，我们扩展了这一结果，表明假设$γ_r(G)$是阿贝尔可以放弃。此外，我们表明，即使$p=3$。最后，我们证明了对于pro- $p$群的类似结果是成立的.
Exponential and weakly exponential subgroups of finite groups
本文研究有限群的指数子群与弱指数子群，分类了exp-单群，证明所有可解群是wexp-可解的，并完全分类了wexp-可解的PSL(2,q)群，给出素数密度极限为1/4。
The relative exponential growth rate of subgroups of acylindrically hyperbolic groups
引入了有限生成群的一个新的不变量--模糊函数，证明了每个有限生成非圆柱双曲群都有一个线性有界的模糊函数.利用这一结果证明了：如果$H$包含$G$的斜驶元，则非圆柱双曲群$G$的子群$H$关于$G$的每个有限生成集$X$存在相对指数增长性率$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\vert B^{X}_H(n) \vert}$.进一步证明了直角Artin群$A_Γ$的每一个非线性生成子群$H$关于$A_Γ$的每一个有限生成集的相对指数增长性.
A finitely generated branch group of exponential growth without free subgroups
我们将给出一个具有指数增长性但不包含任何非阿贝尔自由子群的分支群$G$的例子。这肯定地回答了来自\cite{Bartholdi}的问题16。证明演示了如何为任何$a,b \in G$构造非平凡字$w_{a,b}(x,y)$，使得$w_{a,b}(a,b) = 1$。群$G$不只是-无限的。证明了$G$的每个正规子群都是抽象群的逆生成子群，每个真商都是可解的.此外，$G$具有无限大的虚拟第一贝蒂数，但不是很大。
On finitely generated profinite groups I: strong completeness and uniform bounds
我们证明了在每一个有限生成的投射有限群中，每一个有限指标的子群是开的，这意味着这类群的拓扑结构是由代数结构决定的。这是从关于有限群的主要结果推导出来的：设$w$是一个“局部有限”群字，而$d\in\mathbb{N}$ .则存在$f=f(w,d)$使得在每个$d$生成元有限群$G$中，动词子群$w(G)$的每个元素都等于$f$ $w$ -值的乘积.一个类似的定理被证明为代数;这意味着在每一个代数生成的投射有限群，每个项的下中心序列是封闭的。证明依赖于有限单群的一些性质，将在第二部分中建立。
Stable W-length
本文研究了群的稳定W-长度，特别是当W等于n重交换子gamma_n：=[x_1，[x_2，. . . [ x_{n-1}，x_n]]。. . ].证明了在任何完满群中，对任意n ≥ 2和任意元素g，g的稳定换位子长度至少是g的稳定gamma_n-长度的2^{2-n}倍.我们还建立了字gamma_n和beta_2：=[[x，y]，[z，w]]的Bavard对偶的类似物。我们的证明利用了关于双不变度量的动词子群的渐近锥面的几何性质。特别是，我们表明，适当的W，这些渐近锥面包含一定的子群，赋范向量空间。
Strong conciseness in profinite groups
在投射有限群的类$\mathcal{C}$中，一个群词$w$被称为强简洁的，如果对于$\mathcal{C}$中的每个群$G$，使得$w$在$G$中取小于$2^{\aleph_0}$的值，动词子群$w(G)$是有限的。Detomi，Morigi和Shumyatsky建立了多线性换位子词--以及特定的词$x^2$和$[x^2,y]$ --具有这样的性质，即当词在$G$中取至多可数个值时，相应的动词子群在profinite群$G$中是有限的。他们强调，事实上，这对每个单词都应该是正确的。特别是，他们的猜想包括作为开放的情况下，权力的话和恩格尔的话。在本文中，我们采取了一种新的方法，通过参数化的话，导致更强的结果。首先证明了多线性交换子字在所有投射有限群类中是强简洁的。证明了在幂零投射有限群类中，每个群字都是强简洁的。由此我们可以推出，例如，如果$w$是组词$x^2$、$x^3$、$x^6$、$[x^3,y]$或$[x,y,y]$之一，则$w$在所有投射有限群的类中是强简洁的。事实上，对于无限族$[x^m,z_1,\ldots,z_r]$和$[x,y,y,z_1,\ldots,z_r]$的所有字都可以得到相同的结论，其中$m \in \{2,3\}$和$r \ge 1$。
On pro-p Cappitt groups with finite exponent
本文研究 pro-p Cappitt 群，证明了挠子群闭的非交换情形具有有限指数，其子群换位子为 procyclic 中心子群，且指数 4 的 pro-2 情形为 pro-2 Dedekind 群，推广了 Cappitt 的广义 Dedekind 群结果。
On exponentiation and infinitesimal one-parameter subgroups of reductive groups
设$G$是特征为$p>0$的代数闭域$k$上的约化代数群，并假定$p$对$G$是好的.设$P$是一个抛物子群，其根$U$是幂单的.对于$r \ge 1$，用$\mathbb{G}_{a(r)}$表示$\mathbb{G}_a$的第$r$个Frobenius核。证明了如果$U$的零阶类小于$p$，则$\mathbb{G}_{a(r)}$在$U$中的任意嵌入都位于$U$的一个单参数子群内，并且存在一个选择这样一个子群的规范方法.应用这个结果，我们证明了：如果$p$至少与$G$的Coxeter数一样大，则$G_{(r)}$的上同调簇同胚于$\mathcal{N}_1(\mathfrak{g})$中交换元的$r$ -元组簇，即$Lie(G)$的$[p]$ -幂零锥.
Profinite groups with restricted centralizers of commutators
群G有限制中心化子，如果对G中的每个g，中心化子CG（g）在G中是有限的或有有限的指数. Shalev的一个定理指出，具有限制中心化子的投射有限群是有限阿贝尔群。本文讨论了具有字值限制中心化子的投射有限群。证明了如果w是多线性换位子字，G是具有w-值的限制中心化子的投射有限群，则动词子群w（G）是abelian-by-finite的.
Some definition of the Artin exponent of finite groups
由有限群的循环子群诱导的Artin指数是T.Y. Lam. Lam关于$p$ -群的结果的Burnside环理论版本是作者在早期的一篇论文中给出的。本文利用A.裙子
Outer commutator words are uniformly concise
我们证明了外换位子字是一致简洁的，即如果一个外换位子字w在群G中取m个不同的值，则动词子群w（G）的阶由一个只依赖于m而不依赖于w或G的函数有界.这是作为子群w（G）的结构定理的结果而得到的，如果G是可解的，并且不假设w在G中取N个值，则该定理是有效的。更确切地说，存在w（G）的阿贝尔级数，使得级数的每个部分都可以由w的值生成，其幂也是该部分中w的值。为了证明后一个结果，我们引入了一个新的表示外换向器字的二叉树，我们使用的树的结构，以建立一个适当的归纳。
Super-exponential distortion of subgroups of CAT(-1) groups
我们构造了二维CAT（-1）群，其中包含具有任意迭代指数畸变的自由子群，并且畸变大于任何迭代指数畸变。
Control of Fusion by Abelian Subgroups of the Hyperfocal Subgroup
证明了当p为奇数时，同一有限p群上的饱和融合系统在超焦点子群的初等交换子群上同构;当p = 2时，在指数至多为4的超焦点子群的交换子群上同构.对于奇p，这对mod p群上同调有影响。
Torsion Subgroups of Groups with Cubic Dehn Function
我们构造了第一个由三次Dehn函数表示的群的例子，这些群包含一个由三次Dehn函数生成的无穷挠子群。此外，我们还证明了任何具有足够大奇指数的无限自由Burnside群都可以嵌入为具有三次Dehn函数的群的一个子群。
On profinite groups in which commutators are covered by finitely many subgroups
对于一族群字$w$，我们证明了：如果$G$是一个profinite群，其中所有的$w$ -值都包含在一个具有规定性质的多个子群的并集中，则$w(G)$也具有相同的性质.特别是，我们证明了这一点的情况下，子群是定期或有限秩。若$G$包含有限指数$e$的2/3子群$G_1,G_2,...,G_s$，且其并集包含$G$中的所有$γ_k$ -值，则证明了$γ_k(G)$具有有限的$(e,k,s)$ -有界指数.若$G$包含有限秩$r$的2/3子群$G_1,G_2,...,G_s$，且其并集包含所有$γ_k$ -值，则证明了$γ_k(G)$有有限$(k,r,s)$ -有界秩.
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