On conciseness of words in profinite groups
Eloisa Detomi, Marta Morigi, Pavel Shumyatsky
设w为组词。证明了如果w在投射有限群G中只有可数个值，则动词子群w（G）是有限的.本文在w是多线性换位子字或字x^2或字[x^2，y]的情况下证实了这个猜想。
Let w be a group word. It is conjectured that if w has only countably many values in a profinite group G, then the verbal subgroup w(G) is finite. In the present paper we confirm the conjecture in the cases where w is a multilinear commutator word, or the word x^2, or the word [x^2,y].
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Strong conciseness of Engel words in profinite groups
在投射有限群的类$\mathscr C$中，一个群词$w$被称为强简洁的，如果对于$\mathscr C$中的任何群$G$，或者$w$至少取$G$中的连续统值，或者动词子群$w(G)$是有限的。证明了在所有的投射有限群类中所有的字都是强简洁的。早些时候，Detomi，Klopsch和Shumyatsky证明了这个猜想的多线性换向器的话，以及其他一些特殊的话。证明了在幂零投射有限群类中，每个群字都是强简洁的。本文证明了对任何$n$，$n$-Engel字$[...[x,y],y],\dots y]$（其中$y$重复$n$次）在可生成的投射有限群类中是强简洁的.
Strong conciseness in profinite metabelian groups
该研究证明每个群字在 profinite 亚阿贝尔群类中具有强简洁性，并借助新方法给出了 profinite 幂零群类中对应结论的另一种证明。
Commutators, centralizers, and strong conciseness in profinite groups
如果对于每个$g \in G$，中心化器$C_G(g)$是有限的或者在$G$中具有有限的索引，则称群$G$具有受限中心化器。Shalev证明了具有限制中心化子的profinite群实际上是阿贝尔群。我们感兴趣的投射有限群的限制中心化子的一致的扩张，即，元素的形式$[x_1,\dots,x_k]$，其中$π(x_1)=π(x_2)=\dots=π(x_k)$。这里$π(x)$表示$x\in G$阶的素因子集合。证明了这样的群必然有一个开幂零子群。我们利用这个结果推导出$γ_k(G)$是有限的当且仅当$G$中的一致$k$ -步算子集的基数小于$2^{\aleph_0}$
Strong conciseness of coprime and anti-coprime commutators
在投射有限群$G$中的互质交换子是$[x,y]$形式的元素，其中$x$和$y$具有互质阶，反互质交换子是交换子$[x,y]$，使得$x$和$y$的阶可被相同的素数整除。本文证明了一个投射有限群$G$是有限的，如果$G$中互质算子集的基数小于$2^{\aleph_0}$ .此外，若$G$中的反互质交换子集合的基数小于$2^{\aleph_0}$，则一个投射有限群$G$有有限换位子群$G'$.
Strong conciseness in profinite groups
在投射有限群的类$\mathcal{C}$中，一个群词$w$被称为强简洁的，如果对于$\mathcal{C}$中的每个群$G$，使得$w$在$G$中取小于$2^{\aleph_0}$的值，动词子群$w(G)$是有限的。Detomi，Morigi和Shumyatsky建立了多线性换位子词--以及特定的词$x^2$和$[x^2,y]$ --具有这样的性质，即当词在$G$中取至多可数个值时，相应的动词子群在profinite群$G$中是有限的。他们强调，事实上，这对每个单词都应该是正确的。特别是，他们的猜想包括作为开放的情况下，权力的话和恩格尔的话。在本文中，我们采取了一种新的方法，通过参数化的话，导致更强的结果。首先证明了多线性交换子字在所有投射有限群类中是强简洁的。证明了在幂零投射有限群类中，每个群字都是强简洁的。由此我们可以推出，例如，如果$w$是组词$x^2$、$x^3$、$x^6$、$[x^3,y]$或$[x,y,y]$之一，则$w$在所有投射有限群的类中是强简洁的。事实上，对于无限族$[x^m,z_1,\ldots,z_r]$和$[x,y,y,z_1,\ldots,z_r]$的所有字都可以得到相同的结论，其中$m \in \{2,3\}$和$r \ge 1$。
Strong conciseness and equationally Noetherian groups
本文研究了群中字的简洁性、强简洁性与方程诺特群的关系，证明了特定完备群中|w{G}|<2^ℵ₀时w{G}有限，得出多个群类中每个字均强简洁的结论，扩展了已知简洁性性质。
Strong conciseness of coprime commutators in profinite groups
本文定义了profinite群中的互素换位子$γ_j^*$和$δ_j^*$，并证明其值的集合基数小于$2^{\aleph_0}$当且仅当群具有特定的有限扩张结构。
On conciseness of the word in Olshanskii's example
本文研究Olshanskii示例中的非简明字$w_o$，证明其在剩余有限群中是简明的，并在profinite群中满足强简明性。
On finiteness of some verbal subgroups in profinite groups
给定一个组词$w$和一个组词$G$，$G$中的$w$ -值的集合由$G_w$表示，而动词子群$w(G)$是由$G_w$生成的子群。本文考虑了允许一个字$w$的投射有限群，使得$G_w$的基数小于$2^{\aleph_0}$，且$w(G)$是由多个$w$ -值生成的.对于几个家庭的话$w$，我们表明，在这些假设$w(G)$必须是有限的。我们的研究结果与组词的简洁性概念有关。
Coverings of commutators in profinite groups
设$w$为组字。投射有限群$G$中所有$w$ -值的集合包含在可数子群的并中.人们自然会问，动词子群$w(G)$的结构是如何依赖于覆盖子群的性质的。本文综述了与此问题有关的最新研究成果。特别是，我们调查结果有限和可数覆盖的字值（主要是recruitors）的procyclic，阿贝尔，幂零，可溶性子群，以及子群的有限性条件。本文的最后一部分是专门的关系所描述的结果与霍尔的问题的简洁性的组字。
Words and pronilpotent subgroups in profinite groups
设$w$是一个多线性换位子字，即在$n$不同的群变量中具有权值$n$的换位子。证明了如果$G$是一个投射有限群，且其中所有由$w$ -值生成的幂零子群都是周期的，则其动词子群$w(G)$是局部有限的.
On generalisations of conciseness
本文基于简洁性与半简洁性概念，证明 Ol'shanskii 提出的一个词半简洁但不简洁，从而说明两性质不等价，并进一步证明每个 1/m-简洁词都是半简洁的。
Conciseness of compact $R$-analytic groups
本文证明了每个字在紧致$R$-解析群类中均具有强简明性。
On profinite groups admitting a word with only few values
本文研究投射有限群中字取值数量与字子群有限性的关系，证明若字w在投射有限群G中取少于2^ℵ0个值，则w(w(G))有限，为强简明性猜想提供部分证据。
On countable coverings of word values in profinite groups
我们证明了以下结果。设w是多线性换位子字。如果G是一个投射有限群，其中所有的w-值包含在可数个周期子群的并中，则动词子群w（G）是局部有限的.如果G是一个投射有限群，其中所有的w-值都包含在可数个有限秩子群的并中，则动词子群w（G）也有有限秩.作为本文技巧的一个副产品，我们还证明了：如果G是一个虚可解的投射有限群，其中所有的w-值都有有穷级，那么w（G）是局部有限的，并且有有限指数.
Varieties of groups and the problem on conciseness of words
本文证明字 $w$ 在剩余有限群中的简洁性等价于在 virtually pro-$p$ 群中，并由此将 $w^q$ 和 $[w^q,_{n} y]$ 的简洁性推广至正整数 $q$。
Conciseness on normal subgroups and new concise words from outer commutator words
本文通过研究外交换子词在正规子群上的取值，证明了当各变量集互不相交的非交换子词代入外交换子词时所得词是简洁的，并推广到幂次形式，同时建立了正规子群上取值集有限则生成子群有限的结果。
Conciseness on normal subgroups and new concise words from lower central and derived words
本文通过研究字在正规子群上的取值，证明了下中心字和导出字在特定条件下是简明的，从而推广了Azevedo和Shumyatsky的猜想。
Profinite groups with restricted centralizers of commutators
群G有限制中心化子，如果对G中的每个g，中心化子CG（g）在G中是有限的或有有限的指数. Shalev的一个定理指出，具有限制中心化子的投射有限群是有限阿贝尔群。本文讨论了具有字值限制中心化子的投射有限群。证明了如果w是多线性换位子字，G是具有w-值的限制中心化子的投射有限群，则动词子群w（G）是abelian-by-finite的.
Conciseness of coprime commutators in finite groups
设$G$是一个有限群.我们证明了互质$γ_k$ -生成子（分别为$δ_k$ -生成子）生成的子群的阶是有界的，其大小取决于互质$γ_k$ -生成子（分别为$δ_k$ -生成子）的集合的大小.这与特纳-史密斯的经典定理并行，即$γ_k$和$δ_k$是简洁的。
An uncountable family of 3-generated groups with isomorphic profinite completions
构造了一类具有同构profinite完备化的不可数3-生成剩余有限恰好无限群.我们还表明，字的增长率是不是一个profinite属性。
A note on words having the same image on finite groups
本文研究了有限生成自由群中词的弱 profinite 刚性，证明了原始词的幂及表面词的弱 profinitely 刚性。
On the profinite rigidity of surface groups and surface words
曲面群在极限群中由它们的profinite完备化决定。作为推论，自由群中的表面词集合在profinite拓扑中是闭的。
Positively finitely related profinite groups
我们定义并研究了正有限相关（PFR）投射有限群类。正有限相关性是投射有限群的一个概率性质，它为定义投射有限群的更高有限性提供了第一步，推广了Avinoam Mann引入的正有限生成群.我们证明了PFR群的许多渐近性质，例如我们证明了：一个完全表示的投射有限群是PFR当且仅当它在有限域上一致地至多有指数表示增长（换句话说：完备的群代数有多项式极大理想增长）。从这些刻画中，我们推出了PFR投射有限群的几个结构结果。
Words, Hausdorff dimension and randomly free groups
我们研究了有限群、前有限群和剩余有限群中词映射的纤维。我们的主要结果是，对任意d生成元上的自由群中的字w，存在$ε> 0$使得如果G是具有无穷多个非同构非交换上合成因子的剩余有限群，则字映射$w\colon G^d \to G$的所有纤维至多有豪斯多夫维数$d-ε$ .我们的结论是群G的profinite完备化不满足概率恒等式。因此它是随机自由的;也就是说，对于任何d > 0，d个随机选择的元素自由生成G的自由子群的概率是1。这解决了Dixon、Pyber、Seress和Shalev的一个公开问题。还建立了其他应用程序和相关结果。例如，将我们的结果与Bors最近的结果相结合，我们得到了一个投射有限群存在一个开的可投射子群，其中有限奇阶元的集合具有正测度.这可以被视为费特-汤普森定理的概率版本。
Profinite detection of free products and free factors
研究了有限生成虚拟自由群的fundamental群的cohomologically good性质，证明了LERF群的自由积分解与profinite完成的分解等价，并能检测自由因子。
Free subgroups of finitely generated free profinite groups
给出了自由投射有限群的子群的自由性的新的和改进的结果：有限字的正规闭包包含在基元中的子群是自由的;无限生成的非交换自由投射有限群的每个无穷指数子群包含在无限生成的自由投射有限子群中.这些结果相结合的扭曲的圈积的方法哈兰，观察紧群的行动，和一个秩计数参数，以证明一个猜想的Bary-Soroker，Fehm和Wiese，从而提供了一个相当普遍的充分条件的子群是自由profinite。由于我们的工作，我们能够解决的猜想Jarden的希尔伯特域所产生的扭点的阿贝尔簇。
On verbal subgroups in finite and profinite groups
令$w$是多线性换位子字。在本文中，我们描述了最近的结果表明，如果$G$是一个投射有限群，其中所有的$w$ -值包含在一个联盟的100（或在某些情况下可数）许多子群具有规定的属性，那么动词子群$w(G)$也有相同的属性。特别是，我们证明了这一点的情况下，子群是定期或有限秩。
Conciseness of first-order formulae
本文将字在群类中的简明性概念推广至群语言的一阶公式，证明了所有公式在abelian群类中及存在公式在无挠局部class-2 nilpotent群类中均简明，并构造弱有理字新例子以生成在residually finite群类中简明的公式。
The $p$-Zassenhaus Filtration of a Free Profinite Group and Shuffle Relations
对于素数$p$和自由投射有限群$S$，设$S_{(n,p)}$，$n=1,2,\ldots,$是$S$的$p$ -Zassenhaus滤子.对于$p>n$，利用$X$上的shuffle代数给出了上同调群$H^2(S/S_{(n,p)},\mathbb{Z}/p)$的字组合刻画.我们给出了这个上同调群的一个自然的线性基，它是通过由Lyndon词产生的单三角表示构造的。
On finitely generated profinite groups I: strong completeness and uniform bounds
我们证明了在每一个有限生成的投射有限群中，每一个有限指标的子群是开的，这意味着这类群的拓扑结构是由代数结构决定的。这是从关于有限群的主要结果推导出来的：设$w$是一个“局部有限”群字，而$d\in\mathbb{N}$ .则存在$f=f(w,d)$使得在每个$d$生成元有限群$G$中，动词子群$w(G)$的每个元素都等于$f$ $w$ -值的乘积.一个类似的定理被证明为代数;这意味着在每一个代数生成的投射有限群，每个项的下中心序列是封闭的。证明依赖于有限单群的一些性质，将在第二部分中建立。
On profinite groups with commutators covered by countably many cosets
设w为一组词。设投射有限群G中所有w-值的集合包含在可数个子群陪集的并中。我们关心的问题是动词子群w（G）的结构在多大程度上取决于子群的性质。我们证明了下面的定理。设C是一类在取子群，子群，且使得在任何群中，n个正规C-子群的乘积又是C-子群下闭的群。若w是多线性交换子，G是投射有限群，使得所有w-值的集合包含在可数陪集g_iG_i的并中，其中每个G_i都在C中，则动词子群w（G）是虚-C.这加强了几个已知的结果。
On profinite groups in which commutators are covered by finitely many subgroups
对于一族群字$w$，我们证明了：如果$G$是一个profinite群，其中所有的$w$ -值都包含在一个具有规定性质的多个子群的并集中，则$w(G)$也具有相同的性质.特别是，我们证明了这一点的情况下，子群是定期或有限秩。若$G$包含有限指数$e$的2/3子群$G_1,G_2,...,G_s$，且其并集包含$G$中的所有$γ_k$ -值，则证明了$γ_k(G)$具有有限的$(e,k,s)$ -有界指数.若$G$包含有限秩$r$的2/3子群$G_1,G_2,...,G_s$，且其并集包含所有$γ_k$ -值，则证明了$γ_k(G)$有有限$(k,r,s)$ -有界秩.
Subgroup measures and profinite rigidity in free groups
本文研究了由自由群子群和元组诱导的度量，证明了子群的 profinite 刚性与元组的刚性等价，并推广了相关结果。
On the measure of definable sets in profinite groups
本文研究profinite群中言语集合的Haar测度，通过联系词宽找到正测度非一集合，给出有限秩自由情形下测度为零的充分条件，并计算无挠有限生成阿贝尔群中可定义集合的测度。
Profinite almost rigidity in 3-manifolds
该研究证明带空或环面边界的紧致可定向3-流形具投射有限几乎刚性，结合外围结构可唯一确定混合3-流形Seifert部分同胚类型，否则无法唯一确定，证明基于JSJ分解。
Virtually compact special hyperbolic groups are conjugacy separable
我们证明了，任何字双曲群，这是几乎紧特殊（在意义上的Haglund和Wise）是共轭可分的。由此我们推出了所有的双曲Coxeter群和许多经典的小消去群都是共轭可分的。为了得到主要结果，我们建立了一个新的素数阶元素共轭可区别的判据。这个标准是独立的利益，它的证明是基于离散和profinite（co）同调论的组合。
Separable Subsets of GFERF Negatively Curved Groups
一个字双曲群$G$称为GFERF，如果每个拟凸子群与包含它的有限指数子群的交重合.我们证明了在任何这样的群中，n个拟凸子群的乘积在$G$上的profinite拓扑中是封闭的.
The Cohomology of canonical quotients of free groups and Lyndon words
对素数$p$和投射有限群$S$，设$S^{(n,p)}$为其下$p$ -中心滤子的第$n$项，$S^{[n,p]}$为相应的商.使用的工具，从组合的话，我们构建了一个典型的基础上上同调群$H^2(S^{[n,p]},\mathbb{Z}/p)$，我们称之为林登基础，并使用它来获得结构的结果在这个组。我们证明了$S^{(n,p)}/S^{(n+1,p)}$的Lyndon基和正则生成元之间的对偶性。我们证明了上同调群满足shuffle关系，这对于小值的$n$充分描述它。
Engel probability in wreath products of $p$-groups
研究群\(W_k=(C_p\wr C_{p^k})^2\)中方程\(e_n(x,y)=g\)解的数量上下界，得出推论，证明了关于\(W_k\)中 Engel 字的更强猜想，表明其在特定有限群中不是概率恒等式，并构造相关闭子集。
Engel-like Identities Characterizing Finite Solvable Groups
本文用二元恒等式刻划了有限可解群类，其刻划方法类似于用Engel恒等式刻划有限幂零群.更确切地说，如果组$G$中的$u_k\equiv 1$对于所有$m>k$都意味着组$G$中的$u_m\equiv 1$，则单词序列$u_1,...,u_n,... $被称为正确的。我们正在寻找一个明确的正确序列的话$u_1(x,y),...,u_n(x,y),...$，使一个组$G$是可解的，当且仅当某些$n$的字$u_n$是一个身份在$G$。设$u_1=x^{-2}y\min x$和$u_{n+1} = [xu_nx\min,yu_ny\min]$。主要结果表明：有限群$G$是可解的当且仅当对某些$n$，恒等式$u_n(x,y)\equiv 1$在$G$中成立.在profinite群的语言，这一结果意味着prosolvable群的provariety是由一个单一的显式proidentity在两个变量。主要定理的证明依赖于J.Thompson的最小不可解单群列表的简化，依赖于算术几何的广泛使用（Lang - Weil边界，Deligne机器，Betti数的估计等）。以及计算机代数和几何（奇异、MAGMA）。
Measure Preserving Words are Primitive
基于自由群中的本原元和自由因子在有限群上诱导的分布，建立了它们的新刻画。对于每个有限群$G$，在$k$生成元上的自由群中的字$w$导出从$G^k$到$G$的字映射。如果给定在$G^k$上的均匀分布，则这个词映射的图像在$G$上均匀分布，我们说$w$关于$G$是保测度的。很容易看出，原始词（属于自由群的某个基的词）是保持w.r.t.测度的。所有的有限群，并且几个作者已经证明这两个性质实际上是等价的。我们在这里证明这个猜想。证明的主要成分包括Stallings图的随机覆盖、自由群的代数扩张和莫比乌斯反演。我们的方法产生更强的结果，$F_k$的子群是测度保持的当且仅当它是一个自由因子。作为该结果的一个有趣的推论，我们解决了关于自由群的profinite拓扑的问题，并表明$F_k$的本原元形成了该拓扑中的闭集。
Primitive Words, Free Factors and Measure Preservation
设F_k是k个生成元上的自由群。如果一个字w \in F_k属于F_k的某个基，则称它为本原。本文研究了F_k的两个连续性准则，并更一般地考虑了F_k的自由因子子群。第一个标准是图论和使用Stallings核心图：给定子群的有限秩H \le J \le F_k，我们提出了一个简单的程序，以确定是否H是一个自由因子J。再次令w \in F_k，并考虑单词映射w：G x G x. x G \to G（从G的k个拷贝到G的直积），其中G是任意有限群。我们称之为w测度保持，如果给定G x G x上的一致测度. x G，w诱导G上的一致测度（对每个有限G）.这是我们研究的第二个标准：不难看出，非线性意味着测度保持，并且证明了这两个性质是等价的。我们的组合方法，使我们能够在这个问题上取得进展，特别是证明猜想k=2。有人问F_k的本原元在自由群的profinite拓扑中是否形成闭集。我们的结果对F_2给出了肯定的回答。
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