Invariant and ergodic measures for G-diffusion processes
本文在G-期望框架下研究了不变测度和遍历测度问题。特别地，由G-布朗运动驱动的随机微分方程具有唯一的不变测度和遍历测度。此外，G-SDES的不变测度和遍历测度也是次线性期望。然而，与经典情形不同的是，不变测度与遍历测度可能不一致。
2014-09-11 math.PR
On invariant probability measures of regime-switching diffusion processes with singular drifts
对于具有奇异漂移的状态切换扩散过程，引入了包含一个好的参考概率测度和跳变部分的$Q$ -矩阵的可积性条件，研究了不变概率测度的存在性.因此，状态转换扩散过程的生成元在$L^1$ -空间中关于不变概率测度的扩张成为$C_0$ -半群的生成元.此外，我们证明了扩张的唯一性。还考虑了关于好的参考概率测度的不变概率密度的正则性和唯一性。
2018-11-28 math.PR
Small Noise Asymptotics for Invariant Densities for a Class of Diffusions: A Control Theoretic View (with Erratum)
定理5证明中的唯一性论证，第483页，“一类扩散的不变密度的小噪声渐近：控制理论观点，J. Math. Anal.（2009）“有缺陷。我们在这里给出一个修正的证明。
2011-07-12 math.PR
An integral inequality for the invariant measure of a stochastic reaction--diffusion equation
考虑一个受噪声（不一定是白噪声）扰动的反应扩散方程.证明了一类随机反应扩散方程的不变测度$ν$的一个积分不等式.然后我们讨论了推广到Malliavin演算的一个基本恒等式$ν$的分部积分法公式的一些结果。最后证明了$H$的球和半空间的曲面测度的存在性。
2015-11-23 math.PR
Existence of the Fomin derivative of the invariant measure of a stochastic reaction--diffusion equation
本文考虑一个受噪声（不一定是白噪声）扰动的反应扩散方程.证明了相应的迁移半群$P_t$的Fomin导数的存在性.主要工具是$\|φ\|_{L^2(H,ν)}$的新估计，其中$ν$是$P_t$的不变测度。
2015-02-26 math.PR
Boundary traces of shift-invariant diffusions in half-plane
我们研究平移不变扩散的边界迹线：在水平平移下不变的上半平面$\mathbb{R} \times [0, \infty)$（或在$\mathbb{R} \times [0, R)$）中的二维扩散。我们证明了相应的迹过程是具有完全单调跳的Lévy过程，反之，每个具有完全单调跳的Lévy过程是某个平移不变扩散的边界迹.直到空间和时间的某些自然变换，这种对应是双射的。我们还重新制定了这一结果的语言添加剂泛函的布朗运动在$[0, \infty)$（或在$[0, R)$），布朗游览。我们的主要工具是最近扩展克莱因的弦谱理论，由于埃克哈特和Kostenko。
2019-11-29 math.PR
On asymptotic relations between singular and constrained control problems of one-dimensional diffusions
本文研究了具有折扣目标和遍历目标的一维奇异和约束控制问题之间的渐近关系。通过约束控制问题，我们的意思是控制只允许在独立的泊松到达时间。我们表明，当潜在的扩散是经常性的，折扣问题的解决方案收敛于阿贝尔意义下的遍历对应。此外，我们还证明了当Poisson率趋于无穷大时，约束问题的解收敛到奇异问题的解。我们用漂移的布朗运动和Ornstein-Uhlenbeck过程来说明结果。
2020-11-01 math.OC math.PR
On convergence of 1D Markov diffusions to heavy-tailed invariant density
研究了具有非粘性反射的半射线上的扩散过程到一个重尾一维不变分布的收敛速率，其中半射线上的密度在无穷远处呈多项式衰减.从一个标准的接收，保证一定的多项式收敛，它是如何构建一个新的非退化扩散过程的射线收敛到相同的不变测度指数快速一致的初始数据。
2018-11-05 math.PR
Constrained Eigenvalues Density of Invariant Random Matrices Ensembles
我们计算了属于不变随机矩阵系综（RMT）正交、酉和辛系综的随机矩阵的统计密度的精确渐近，其中所有特征值都位于区间$[σ, +\infty[$或$]-\infty,τ]$或$[σ,τ]$内.结果发现，本征值的密度一般表现出一个反平方根奇异的位置的障碍。这些结果推广了Dean-Majumdar研究的高斯随机矩阵系综的情形。
2015-09-22 math.PR
Approximation of Invariant Measures for Regime-Switching Diffusions
在本文中，我们关注的Euler-Maruyama格式的长时间行为与一系列的政权切换扩散过程。本文的主要贡献在于：（i）对于有限状态空间的状态切换扩散过程，当“平均条件”成立时，利用Perron-Frobenius定理证明了数值不变测度的存在唯一性;对于可逆马尔可夫链，当主特征值为正时，利用主特征值方法证明了数值不变测度的存在唯一性;（ii）利用有限划分方法和M矩阵理论，研究了具有可数状态空间的状态转换扩散过程.我们还发现，数值不变测度收敛于Wasserstein度量的基础。通过几个例子来证明我们的理论。
2014-09-23 math.PR
Invariant distributions and scaling limits for some diffusions in time-varying random environments
本文考虑一类动力学Wiener介质中的一维扩散问题，它是Ornstein-Uhlenbeck扩散过程的随机扰动。我们证明淬火和退火收敛分布和加权全变差规范。我们发现两种平稳概率测度，它们是标准正态分布或准不变测度，取决于环境，并且自然地连接到随机动力系统。我们将这些结果应用于时间非均匀Brox扩散模型的研究，该模型推广了Brox（1986）和Gradinaru和Offret（2011）研究的扩散。我们指出了两个不同的扩散行为，我们给出的收敛速度在淬火的情况下。
2012-12-13 math.PR
Inhomogeneous functionals and approximations of invariant distributions of ergodic diffusions: Error analysis through central limit theorem and moderate deviation asymptotics
本文考虑了一种基于欧拉离散的数值方法来逼近遍历扩散的不变分布泛函。通过对误差项的中心极限定理和中偏差原理的证明，对数值格式进行了深入的误差分析。本文是第一步，在理解效率的离散化为基础的数值方案估计不变的分布，这是比较少的研究比用于生成近似轨迹的扩散在有限的时间间隔的计划。这些结果还可推广到其他领域，包括数学物理、遍历扩散的参数推断和多尺度平均动力系统的分析。
2018-05-29 math.PR
An approximation to the invariant measure of the limiting diffusion of G/Ph/n+GI queues in the Halfin-Whitt regime and related asymptotics
在本文中，我们开发了一个随机算法的基础上的Euler-Maruyama计划近似的不变测度的极限多维扩散的$G/Ph/n+GI$队列在Halfin-Whitt制度。具体来说，我们证明了一个非渐近误差界之间的不变测度的近似模型的算法和限制扩散。为了建立误差界，我们采用最近开发的Stein多维扩散方法，其中Gurvich（2014，2022）开发的Stein方程的正则性起着至关重要的作用。我们进一步证明了$G/Ph/n+GI$排队及其Euler-Maruyama方案的极限扩散占用测度的中心极限定理和中偏差原理。特别是，在CLT和MDP与限制扩散的方差是由Stein方程和Malliavin演算，其中软化扩散和相关的加权占用时间的属性起着至关重要的作用。
2022-09-15 math.PR
Stein method for invariant measures of diffusions via Malliavin calculus
给定一个随机变量$F$在Malliavin演算意义下足够正则，我们能够测量它的定律与实数线上几乎任何连续概率定律之间的距离。给出了$F$的Malliavin导数的界。我们的方法是基于伊藤扩散理论和随机变分法。几个例子被认为是为了说明我们的一般结果。
2012-03-01 math.PR
Non-Asymptotic Gaussian Estimates for the Recursive Approximation of the Invariant Measure of a Diffusion
我们得到了非渐近高斯浓度界的差异之间的不变测度$ν$的遍历布朗扩散过程和经验分布的近似计划与减少时间步长沿一个合适的类（足够光滑）的检验函数f，使f - $ν$（f）是一个共边界的无穷小生成。我们表明，这些边界仍然可以改善时，（平方）Fr{<$}benius范数的扩散系数位于这个类。我们应用这些界限来设计可计算的非渐近置信区间的近似方案。作为理论应用，我们最后给出了几乎几乎必然中心极限定理的非渐近偏差界。
2018-05-25 math.PR
Characterization of the convergence in total variation and extension of the Fourth Moment Theorem to invariant measures of diffusions
本文给出了任意随机变量序列依分布收敛于扩散过程不变测度的概率分布的充要条件。这类目标分布包括最知名的连续概率分布。准确地说，我们的特点是收敛在全变差的目标分布，这不是高斯或伽玛分布，在Malliavin演算和相关的扩散过程的系数。我们还证明了，在相关的平方扩散系数是一个多项式的二次（与一些限制其系数）的分布，唯一可能的限制序列的多重积分是高斯和伽玛法律。
2015-11-12 math.PR
Limiting Behavior of Randomly Perturbed Diffusions with Invariant Repelling Surfaces
University of Maryland（马里兰大学）
研究随机扰动扩散过程在存在不变排斥面时的极限行为，揭示了不同时间尺度下亚稳分布与遍历不变测度的关系。
2026-02-11 math.PR
Invariant measures and Euler-Maruyama's approximations of state-dependent regime-switching diffusions
状态切换过程包含连续和离散两部分，可以用来描述随机环境中的连续动力系统。这类过程具有许多不同于一般扩散过程的性质，而且由于连续组分和离散组分之间的强烈相互作用，需要克服的困难要多得多。通过构造一个新的马尔可夫链来控制状态依赖的状态转换扩散过程的演化，给出了状态依赖的状态转换扩散过程的不变测度存在唯一的条件.我们还建立了Euler-Maruyama逼近在$L^1$ -范数下的强收敛性，并估计了误差阶。一个精细的应用Skorokhod的表示跳跃过程中起着重要的作用，这项工作。
2017-10-25 math.PR
Invariant distribution of duplicated diffusions and application to Richardson-Romberg extrapolation
鉴于数值应用，我们解决以下问题：给定一个遍历布朗扩散与一个独特的不变分布，什么是不变分布的重复系统组成的两个轨迹？我们主要研究了两条轨道由同一条布朗路径驱动的有趣情形，在此假设下，首先证明了在一维情形下，复制系统的不变分布（弱汇合）的唯一性基本上总是成立的.在多维的情况下，我们首先展示明确的反例。然后，我们给出了一系列弱汇流准则（积分型）和a.s.路径汇流，取决于漂移和扩散系数通过非无穷小李雅普诺夫指数。作为例子，我们将我们的标准，一些非平凡的合流设置，如类的梯度系统与非凸势或扩散的汇合所产生的扩散组件。最后，我们建立了弱汇流属性与最优输运问题。作为一个主要的应用，我们应用我们的结果的Richardson-Romberg外推的初始遍历布朗扩散的不变测度的数值逼近的优化。
2014-07-08 math.PR
Transportation-cost inequalities for invariant measures of stochastic reaction-diffusion equations driven by space-time white noise
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；University of Manchester（曼彻斯特大学）
研究由乘性时空白噪声驱动的随机反应扩散方程不变测度的运输成本不等式，通过获取随机卷积矩估计，建立随机控制方程解的利普希茨连续性，最终证明了不同度量下的运输成本不等式。
2026-07-21 math.PR
Localization for constrained martingale problems and optimal conditions for uniqueness of reflecting diffusions in 2-dimensional domains
本文在几何易验证的最优条件下证明了二维分段光滑区域中半鞅反射扩散的存在性与唯一性，并基于约束鞅问题的新局部化结果，将适用范围扩展至含尖角及跳跃边界条件的扩散过程。
2023-04-16 math.OC math.PR
Corrigendum to `Convergence of invariant measures for singular stochastic diffusion equations'
修正了[奇异随机扩散方程不变测度的收敛性，随机过程]中的一些错误. Appl.122（2012），no. 4，1998- 2017] by I. Ciotir和J.M.托尔
2012-11-19 math.AP math.PR
Convergence of Reflected Langevin Diffusion for Constrained Sampling
本文研究了反射拉格朗日扩散在约束采样中的收敛性，通过惩罚随机微分方程和时间离散化方案，证明了其在Wasserstein-2距离下的收敛性及多项式速率。
2026-01-21 math.PR math.ST stat.TH
Constrained Dikin-Langevin diffusion for polyhedra
The University of Edinburgh（爱丁堡大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文提出一种无需反射的兰格vin框架，用于在紧致多面体上进行采样和优化，通过逆对数障碍Hessian定义Dikin-兰格-利文扩散，适应局部内点几何，保持约束域可行性。
2026-03-15 math.OC math.PR stat.CO
Quasi-invariant measures on the path space of a diffusion
作者之前在取闭紧流形中的值的椭圆扩散过程$x$的道路空间上构造了一类可允许的向量场。本文证明了这类向量场的流的存在性，并证明了$x$定律在这类流下是拟不变的。
2006-06-15 math.DG math.PR
Regularity and Stability of Invariant Measures for Diffusion Processes under Synthetic Lower Ricci Curvature Bounds
在具有综合里奇曲率下界的非光滑度量测度空间上证明了扩散过程的不变测度的Sobolev正则性.作为应用，刻画了半群的对称性，并证明了在漂移扰动和基空间扰动下，不变测度在Gromov测度收敛意义下的稳定性.
2019-10-30 math.AP math.PR
Noncooperative models of kinetically constrained lattice gases
我们研究了一类具有简并速率的保守相互作用粒子系统，称为非合作动力学约束晶格气体。我们证明了在这个家庭中的所有模型的扩散缩放的弛豫时间，扩散系数的积极性，和积极的自扩散系数。
2023-01-31 math-ph math.MP math.PR
Improved moment estimates for invariant measures of semilinear diffusions in Hilbert spaces and applications
研究了可分希尔伯特空间中半线性扩散的不变测度的正则性。基于潜在的随机卷积的路径估计，我们证明了这样的不变测度的先验估计。作为应用，我们结合这样的估计与一个新的技术来证明的$L^1$ -唯一性的诱导Kolmogorov算子，定义在空间上的柱面函数。最后，随机Burgers方程和薄膜生长模型的例子来说明我们的抽象结果。
2010-03-11 math.FA math.PR
Non-reversible Metastable Diffusions with Gibbs Invariant Measure II: Markov Chain Convergence
本文考虑一类亚稳态不可逆扩散过程，其不变测度是与Morse势相关联的Gibbs测度.在另一篇文章[32]中，我们证明了相应的亚稳扩散过程的Eyring-Kramers公式。在这篇文章中，我们进一步发展这一结果，证明了一个适当的时间尺度的亚稳扩散过程收敛到最深的亚稳谷上的马尔可夫链。本文也是文献[45]的推广，文献[45]考虑了亚稳态可逆扩散过程的相同问题。我们的证明是基于最近开发的亚稳态的预解式方法。
2022-07-19 math.AP math.PR
Bulk diffusion in a kinetically constrained lattice gas
在流体动力学制度中，随机格子气的对称跳跃规则的演化是由一个扩散方程与密度依赖的扩散系数封装的所有微观细节的动力学。该扩散系数原则上由Green-Kubo公式确定。实际上，即使当格子气的平衡性质在分析上已知时，也不能计算扩散系数，除非格子气另外满足梯度条件。我们开发了一个程序，系统地获得解析近似的非梯度晶格气体的扩散系数与已知的平衡。该方法依赖于变分公式发现Varadhan和Spohn这是一个版本的格林-久保公式特别适用于扩散晶格气体。将变分公式限制在有限维子空间允许执行最小化，并给出扩散系数的上界。我们将这种方法应用到一个动力学约束的非梯度格子气，即Kob-Andersen模型的正方形格子。
2018-02-22 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Invariant manifolds with boundary for jump-diffusions
对于由Wiener过程和Poisson随机测度驱动的随机偏微分方程，给出了希尔伯特空间中有限维带边界子流形随机不变性的充要条件.
2014-06-20 math.FA math.PR
Large Deviation Principles of Invariant Measures of Stochastic Reaction-Diffusion Lattice Systems
本文研究乘性噪声驱动的随机反应扩散格点系统，证明不变测度序列的极限为确定性系统不变测度，并利用一致大偏差、尾端估计与加权空间论证建立不变测度的大偏差原理。
2024-05-04 math.DS math.PR
Diffusion scale tightness of invariant distributions of a large-scale flexible service system
考虑了一个具有多个客户类别和多个服务器池的大规模服务系统，其平均服务时间同时依赖于客户类别和服务器池。允许的活动（路由选择）形成一棵树（在图中，顶点既是客户类又是服务器池）。我们研究了系统在[17]中引入的{ \em叶活动优先级}（Leaf Activity Priority）策略下的行为。渐近制度被认为是，在每个池中的客户和服务器的数量的到达率趋于无穷大的比例缩放参数$r$，而整个系统的负载仍然严格的亚临界。我们证明了紧密的扩散缩放（集中在平衡点和缩小$r^{-1/2}$）不变的分布。由此得到一个极限互换结果：扩散标度不变分布的极限等于极限扩散过程的不变分布.
2014-03-27 math.OC math.PR
Constrained Zero-Sum Stochastic Linear-Quadratic Differential Game for Jump-Diffusion Systems with Random Coefficients
Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）；Southern University of Science and Technology（南方科技大学）
本文研究了具有随机系数和 regime switching 的跳扩散系统中带锥约束的零和线性二次微分博弈，通过FBSDEs建立了开环解的存在性并推导了闭式解表达式。
2026-07-27 math.OC math.PR
Spectral analysis of a family of symmetric, scale-invariant diffusions with singular coefficients and associated limit theorems
本文讨论一类具有奇异系数的时间可逆、尺度不变扩散。与标准高斯理论类似，相应的广义特征函数族提供了一个有用的工具，用于证明导致非高斯、标度不变扩散的极限定理。我们应用广义特征函数结合鞅构造证明了一个简单的不变原理从空间非齐次最近邻随机游动。
2016-03-07 math-ph math.MP math.PR
Explicit approximation of the invariant measure for SDDEs with the nonlinear diffusion term
现有的测度逼近论要求随机时滞微分方程的扩散项是全局Lipschitz连续的。我们的工作是发展一种新的显式数值方法来求解含非线性扩散项的SDDE方程，并建立测度逼近论。构造了一个函数值显式截断Euler-Maruyama分段过程（TEMSP），并证明了它存在唯一的遍历数值不变测度.我们还证明了数值不变测度收敛到SDDE的基础之一，在Fortet-Mundle距离。最后，我们给出了一个例子和数值模拟来支持我们的理论。
2023-03-10 cs.NA math.NA math.PR
Invariant measures, periodic measures and pullback measure attractors of McKean-Vlasov stochastic reaction-diffusion equations on unbounded domains
本文研究了R^n上非自治McKean-Vlasov随机反应扩散方程的长期动力学，证明了拉回测度吸引子、不变测度与周期测度的存在唯一性，并建立了系统收敛时的上半连续性与测度收敛性。
2024-09-26 math.AP math.PR
Ergodic branching diffusions with immigration: properties of invariant occupation measure, identification of particles under high-frequency observation, and estimation of the diffusion coefficient at nonparametric rates
在带移民的分支扩散（BDI）中，粒子在$\mathbb{R}^d$中的独立扩散路径上行进，以位置相关的速率分支，并根据位置相关的定律留下后代-随机分散在父母的死亡位置周围。我们指定了一组条件，授予遍历性，使不变的占领措施是有限的总质量，并承认一个连续的勒贝格密度。在离散时间观测下，仅在离散时间$iΔ$记录BDI组态，$i\in\mathbb{N}_0$，我们丢失了关于连续观测时间之间粒子身份的信息。我们提出了一种重建算法，在高频率设置（渐近$Δ\downarrow 0$）允许正确地重建足够大的比例的粒子身份，从而允许恢复$Δ$ -增量的未观察到的扩散路径上的粒子旅行。挑选一些精心挑选的意见，我们填写回归计划，立方体$A$不变的占领密度是严格的积极的，允许估计扩散系数的一个粒子运动在非参数率。
2019-05-07 math.PR math.ST stat.TH
Kinetically constrained lattice gases: tagged particle diffusion
动力学约束格子气体（KCLG）是整数格点$\mathbb Z^d$上的相互作用粒子系统，具有硬核排斥和Kawasaki型动力学。他们的特点是，跳跃是允许的，只有当配置满足一个约束，要求在一定的局部邻域足够的空站点。KCLG作为玻璃态动力学模型在物理学文献中得到了广泛的介绍和研究。我们专注于KCLG，Kob Andersen（KA）模型的研究最多的类。我们分析示踪剂（即标记粒子）在平衡状态下的行为。我们证明了对于所有维度的$d\geq 2$和任何平衡粒子密度，在扩散重标度的示踪剂的运动收敛到一个$d$维布朗运动与非退化扩散矩阵。因此，我们反驳了物理学文献中所描述的扩散/非扩散相变的发生。我们的技术是足够灵活的，可以扩展到分析其他选择的约束的跟踪器的行为。
2017-01-26 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Stability estimates for invariant measures of diffusion processes, with applications to stability of moment measures and Stein kernels
在对数时间假设下，研究了扩散过程的不变测度关于系数上的$L^p$距离的稳定性.该方法是一个变种的技术介绍了克里帕和德Lellis研究输运方程。作为应用，我们证明了Ledoux，Nourdin和Peccati不等式的部分扩展，该不等式通过构造Stein核的矩映射将传输距离和Stein差异关联到非高斯设置.
2020-10-27 math.AP math.FA math.PR
Efficiency of a class of unbiased estimators for the invariant distribution function of a diffusion process
本文研究了漂移系数未知时遍历扩散过程不变分布函数的估计问题。经验分布函数是一种自然的估计量，它在不同的度量下是无偏的、一致相合的和有效的。在这里，我们研究最近提出的另一种估计的最优性的性质。我们考虑一类无偏估计，我们表明，他们也是有效的意义上说，他们的渐近风险，定义为综合均方误差，达到一个渐近极小极大下界。
2006-09-21 math.PR math.ST stat.TH
Hypoelliptic multiscale Langevin diffusions: Large deviations, invariant measures and small mass asymptotics
考虑了一类非梯度次椭圆Langevin扩散，并研究了两个相关问题。第一个是亚椭圆多尺度扩散的大偏差。第二类是亚椭圆Langevin算子及其相关的亚椭圆泊松方程的不变测度的小质量渐近性。由于多尺度效应，对应于亚椭圆问题的不变测度和适当的亚椭圆Poisson方程进入大偏差率函数。基于小质量渐近性，我们得到多尺度亚椭圆扩散的大偏差行为与其过阻尼对应物的大偏差行为是一致的。此外，我们还严格地得到了关于质量参数的不变测度的相关密度和亚椭圆泊松方程的解的渐近展开，刻画了收敛阶.不变测度的收敛性的证明是独立的兴趣，因为它涉及到动力学福克-普朗克方程的hypovervity结果的改进。我们不限制注意梯度漂移和我们的证明提供了明确的信息，在质量参数方面的利益的界限的依赖。
2017-02-23 math.AP math.DS math.PR
Invariant cones for jump-diffusions in infinite dimensions
Albert Ludwig University of Freiburg（弗赖堡阿尔伯特·路德维希大学）
本文研究了跳跃扩散在无限维中的不变锥条件，并探讨了其在自然科学和经济学中的应用。
2023-11-22 math.FA math.PR q-fin.MF
Mixing of metastable diffusion processes with Gibbs invariant distribution
本文研究了具有Gibbs不变分布的亚稳态扩散过程的混合性质，基于亚稳态理论计算了全变差距离并推导出混合时间的精确渐近性。
2025-04-28 math-ph math.MP math.PR
Tracer diffusion at low temperature in kinetically constrained models
我们描述的运动的示踪剂在一个环境中的动力学约束自旋模型（KCSM）在平衡。我们检查其轨迹的收敛性适当重新缩放到布朗运动和积极性的扩散系数$D$，只要环境的光谱间隙是积极的（这符合遍历区域在一般条件下）。然后研究了当环境的密度$1-q$趋于$1$时，两类KCSM中$D$的渐近行为.对于非合作模型，扩散系数$D$的尺度类似于$q$的幂，其指数是我们显式计算的。在Fredrickson-Andersen单自旋促进模型的情况下，这证明了Jung，Garrahan和Chandler [Phys.Rev.E69（2004）061205]中的预测。对于东模型，相反，我们证明了扩散系数是可比的频谱间隙，这比任何功率的$q$更快地为零。这一结果与物理学家（Jung、Garrahan和Chandler [Phys. Rev. E 69（2004）061205; J. Chem. Phys. 123（2005）084509]）基于数值模拟的预测相矛盾，该预测建议使用$ξ<1$进行$D\sim \operatorname {gap}^ξ$。
2015-05-15 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
