Reconstructing 4-manifolds from Morse 2-functions
David T. Gay, Robion Kirby
给定Morse 2-函数$f: X^4 \to S^2$，给出了折叠曲线和纤维的极小条件，使得$X^4$和$f$可以从附在$S^2$上的某个组合图重构.在其他方面也作了补充说明。
Given a Morse 2-function $f: X^4 \to S^2$, we give minimal conditions on the fold curves and fibers so that $X^4$ and $f$ can be reconstructed from a certain combinatorial diagram attached to $S^2$. Additional remarks are made in other dimensions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On reconstructing Morse functions with prescribed level sets on $3$-dimensional manifolds and a necessary and sufficient condition for the reconstruction
本文研究了在三维流形上具有规定水平集的Morse函数的必要且充分重建条件，并改进了先前结果。
On reconstructing Morse-Bott functions with prescribed preimages on $3$-dimensional manifolds and conditions for the reconstruction
本文提出了在$3$维流形上重构具有指定原像的Morse-Bott函数的条件，加强了作者先前关于Morse函数情形的结果，并给出了相关示例，推进了对$3$维情形下光滑函数重构的研究。
Conjugation of Morse Function on 3-Manifolds
研究了闭流形上两个Morse函数共轭的问题。利用流形的柄分解，给出了共轭条件。对于3-流形上的每一个Morse函数，建立了有序广义Heegaard图.根据这类图的等价性给出了Morse函数共轭的判别准则。
Morse theory on manifolds with boundary I. Strong Morse function, cellular structures and algebraic simplification of cellular differential
本文主要研究紧致带边流形上的（强）Morse函数。本文构造了一个胞腔结构，并讨论了它的代数性质。在给定的边界条件下，得到了Morse函数关于Arnold问题的若干临界点的估计.
Families of Morse functions for manifolds with boundary
本文研究带边流形上莫尔斯函数的单参数族，完整分类并列出一般族中可能出现的所有退化类型。
A Morse complex on manifolds with boundary
给定一个具有非空边界的紧致光滑流形$M$和一个Morse函数，一个适应于该边界的伪梯度Morse-Smale向量场允许我们构造一个Morse复形，其同调同构于具有整数系数的$M$的（绝对或相对于边界）同调.我们的方法简化了在更具体的几何设置中讨论的其他方法。
Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves on 3-manifolds
证明了在拓扑共轭下，三维流形上不含异宿曲线的Morse-Smale同态的等价类完全由二维稳定和不稳定异宿层嵌入特征空间所定义.
Counting maximally broken Morse trajectories on aspherical manifolds
本文证明了闭非球面流形上Morse-Smale函数的负梯度流在积分（挠）同调意义下的最大断裂轨线个数的一个下界.
Morse Cells
随着游览到流形的角落，决议塔的托姆和惠特尼分层，我表明，对于一个通用的gradientlike向量场的Morse函数的流形上，稳定的流形给CW分解的流形。以前也有人这么做过。
Concordance of Morse functions on manifolds
该研究定义流形上 Morse 函数的和谐关系，给出两函数和谐的充要条件，并与已有配边判据相比较。
On Moduli Spaces and CW Structures Arising from Morse Theory On Hilbert Manifolds
本文研究希尔伯特流形上莫尔斯函数的负梯度动力学，证明了流线紧性、紧化模空间结构等相关结果。
Morse area and Scharlemann-Thompson width for hyperbolic 3-manifolds
Scharlemann和Thompson使用流形的句柄分解定义了3-流形的数值复杂度。我们表明，紧凑的双曲3-流形，这是线性相关的度量复杂性的定义方面的领域的水平集的莫尔斯函数。
Fiber connected, indefinite Morse 2-functions on connected n-manifolds
我们讨论了从光滑流形到光滑曲面的一般光滑映射，我们称之为“Morse 2-函数”，以及这些映射之间的同伦。两个中心问题是保持纤维连接，在这种情况下，莫尔斯2-函数是“纤维连接”，并避免局部极值超过1维子流形的范围，在这种情况下，莫尔斯2-函数是“不确定的”。这是基础性工作的长期目标，定义光滑不变的莫尔斯2-功能使用类似于经典莫尔斯同源性和瑟夫理论的工具。
The Morse Complex for a Morse Function on a Manifold with Corners
一个Morse函数f的流形上的角M允许的Morse指数的表征的临界点的Morse数据。事实上，一个修改的梯度流允许证明莫尔斯定理的方式类似于经典的莫尔斯理论。由此可知，M同伦等价于一个CW-复形，对于每个指标λ的本质临界点，该复形具有一个λ维胞腔。本文的目的是确定这个CW-复形的边界映射，当M是紧的和可定向的。首先，边界映射定义在修改后的梯度流。然后在每个临界点的邻域内施加横截性条件，保证附着映射是非退化的。这个地图的程度，然后解释为一个总和的轨迹连接两个临界点，每一个计数的重数确定的选择方向上的切空间的非稳定流形在每个临界点。
Dynamically ordered energy function for Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds
本文讨论了3维空间中的任意Morse-Smale同态，推广了\cite{GrLaPo}，\cite{GrLaPo1}的思想，其中考虑了类梯度情形.我们引入了一种称为动态序的Morse-Lyapunov函数，它很好地拟合了非线性同态的动力学。本文致力于寻找这样一个能量函数存在的条件，即一个函数的临界点的集合与所考虑的非共形的非徘徊集重合。我们证明了动力序能量函数存在的充要条件归结为给定Morse-Smale同构在闭3-流形上的一维吸引子和排斥子的嵌入类型.
Morse functions to graphs and topological complexity for hyperbolic 3-manifolds
Scharlemann和Thompson定义了一个3-流形M的宽度，作为一个基于M拓扑的复杂性概念。他们原来的定义的财产，邻接关系的处理给予了线性秩序的处理，但在这里，我们认为一个更一般的定义，由于齐藤，Scharlemann和Schultens，其中邻接关系的处理可能会给一个任意的图形。我们表明，对于紧凑的双曲3-流形，这是线性相关的度量复杂性的概念，基于莫尔斯函数的水平集的图形，我们称之为格罗莫夫面积的领域。
Reconstruction of Manifolds from Their Morse Functions
本文描述了如何从$M$上的一个好Morse函数$f$恢复闭流形$M$的拓扑.科恩、琼斯和西格尔提出了基本方法。他们构造了一个拓扑范畴$C_{f}$，并声称分类空间$BC_{f}$同胚于$M$ .我们从不同的角度证明了这一点，他们使用的胞腔剖分的$M$相关的$f$。分解后的胞腔复形$M_{f}$诱导出一个拓扑范畴$C(M_{f})$，其分类空间$BC(M_{f})$同胚于$M$ .我们证明了$C(M_{f})$同构于作为拓扑范畴的$C_{f}$.
Realization of a graph as the Reeb graph of a Morse function on a manifold
研究了一个给定图的Reeb图$\mathcal{R}(f)$的实现问题，其中光滑函数$f\colon M\rightarrow \mathbb{R}$具有多个临界点，其中$M$是一个闭流形.本文证明了对于任何$n\geq2$和任何允许所谓的好定向的图$Γ$，存在一个$n$流形$M$和一个Morse函数$f\colon M\rightarrow \mathbb{R} $，使得它的Reeb图$\mathcal{R}(f)$同构于$Γ$，推广了Sharko和Masumoto-Saeki以前的结果.我们证明了简单Morse函数的Reeb图最大化循环数。此外，我们提供了一个完整的表征的图形，可以出现的Reeb图的表面。
Foliations with Morse singularities
我们研究了封闭褶皱上具有莫尔斯型奇异性的余维一光滑叶理。当中心数大于鞍点数时，我们得到了流形的一个描述。这一结果依赖于并扩展了以前的结果里布（叶理只有中心）和埃尔斯-柯伊伯（流形承认莫尔斯函数与三个奇点）。
Existence and deformability of topological Morse functions
本文研究拓扑Morse函数的存在性和可变形性，提出了一种简单构造连续拓扑Morse函数族的方法。
Embedded Morse theory and relative splitting of cobordisms of manifolds
证明了当嵌入的余维数至少为2时，带边界流形间的嵌入配边可分解为右积配边和左积配边序列。这是第一作者A。Nemethi和A.拉尼基在余维一的情况下，我们提供了一个稍微弱一点的陈述。我们还证明了带边界的嵌入子流形的柄的重排定理和消去定理。
Morse-Novikov numbers, tunnel numbers, and handle numbers of sutured manifolds
发展从几何参数的界限Morse-Novikov数的链接，其隧道数，我们得到的手柄数的Heegaard分裂缝合流形$(M,γ)$的手柄数的上限和下界的分解沿一个表面表示一个给定的第二同调类。固定的缝合结构$(M,γ)$，这导致我们开发的手柄数函数$h \colon H_2(M,\partial M;\mathbb{R}) \to \mathbb{N}$，这是有界的，恒定的射线从原点，和局部最大。进一步地，对于整类$ξ$，$h(ξ)=0$当且仅当$(M,γ)$沿表示$ξ$的某个曲面的分解是积流形.
Perfect Morse functions and exotic S^2 x S^2's
本文的主要定理证明了一个与S^2 × S^2同胚且具有非零Ozsvath-Szabo不变量的光滑流形不存在完美Morse函数.我撤回这篇论文，因为我不清楚这样一个流形是否存在。
The Burnside Ring-Valued Morse Formula for Vector Fields on Manifolds with Boundary
设G是紧李群，A（G）是它的Burnside环.对于紧致光滑n维G-流形X，我们证明了Morse公式Ind^G（v）= \sum_{k = 0}^{n}（-1）^k χ^G（\d_k^+ X）的一个等变类似，它的值取在A（G）中.这里，Ind^G（v）表示域v的等变指数，{ \d_k^+ X\}表示边界\d X的v诱导Morse分层（参见[M]），而χ^G（\d_k^+ X）表示$A(G)$中的（n-k）-流形\d_k^+ X的类。我们研究了这个公式在紧致域X \subset \R^n中的等变实代数域v上的一些应用。接下来，我们将上述公式与某些高斯映射的等变度联系起来。这个链接是Gottlieb公式的等变推广。
Morse boundaries of 3-manifold groups
本文分类了所有3-流形群的Morse边界的同胚类型，共得到9种可能类型，并揭示了Morse边界与几何分解之间的依赖关系。
Morse flows with fixed points on the boundary of 3-manifold
本文研究了三维流形边界上具有不动点的Morse流的拓扑性质、结构和分类。我们构造了Morse流的一个完全拓扑不变量Pr-图，它类似于闭三维流形的Heegaard图.
Gradient like Morse-Smale dynamical systems on 4-manifolds
构造了闭四维流形上类梯度Morse-Smale动力系统（向量场和类梯度同态）的完全不变量.它与极向量场无指数为3的不动点时的Kirby图相同。
Morse-Novikov cohomology on foliated manifolds
流形的Lichnerowicz或Morse-Novikov上同调群的概念已被许多研究者用来研究流形的重要性质和不变量。Morse-Novikov上同调是使用微分$d_ω=d+ω\wedge$定义的，其中$ω$是闭合的$1$ -形式。本文研究了流形上相对于叶理的Morse-Novikov上同调及其同伦不变性，并将其推广到更一般的黎曼叶理形式。研究了约化叶Morse-Novikov复形上相应的微分算子的Laplacian和Hodge分解.在黎曼叶理的情形下，证明了约化的叶Morse-Novikov上同调群满足Hodge定理和Poincar{é}对偶.由此产生的同构产生一个霍奇钻石结构的叶Morse-Novikov上同调。
Morse theory for manifolds with boundary
我们发展了带边界流形的莫尔斯理论。除了标准的和预期的事实，如手柄取消定理和Morse引理的流形与边界，我们证明了，在拓扑假设下，一个临界点在内部的Morse函数可以移动到边界，在那里它分裂成一对边界临界点。作为应用，我们证明了具有边界分裂的流形的每一个配边都是左积配边和右积配边的并。
Minimal spheres of arbitrarily high Morse index
本文在任意三维流形上构造了一个光滑的黎曼度量，并证明了存在亏格为零的嵌入任意高Morse指数的极小曲面.
Characterizing $3$-dimensional manifolds represented as connected sums of Lens spaces, $S^2 \times S^1$, and torus bundles over the circle by certain Morse-Bott functions
本文用特定 Morse-Bott 函数刻画表示为 Lens 空间、$S^2 \ imes S^1$ 和环面在圆上的丛的连通和的 $3$ 维流形，强化并明确了 Saeki 2006 年的相关结果。
Morse diagrams, Murasugi sums, and the mapping class group
本文研究Morse结构在开书连接下的行为，特别是负稳定化情况，提出检测Overtwisted接触结构的图示准则，并对单孔 торus 页面的开书分解进行分类。
On the number of periodic orbits of Morse-Smale flows on graph manifolds
对于闭的定向三维$Y$，我们定义$n(Y)$为最小非负数，使得在$Y$的非奇异向量场的每个同伦类中，存在具有小于或等于$n(Y)$周期轨道的Morse-Smale向量场.本文将文[2]中给出的Morse-Smale流的构造过程与紧致可定向曲面的柄分解相结合，给出了定向Seifert流形和与$\stwo\times\sone$互素的定向图流形的个数$n(Y)$的一个上界.
Morse complexity of homology classes
研究流形、配边和同调类的莫尔斯复杂度，通过手术理论证上界、指标理论证下界，得出允许离散序列表示的李群的局部对称空间莫尔斯复杂度随体积线性增长，且不允许开书分解的结论。
Self-indexing energy function for Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds
本文研究了3-流形上Morse-Smale同态的自指标能量函数存在的条件。这些条件涉及到鞍点的稳定流形和非稳定流形如何嵌入周围流形。我们还表明，存在一个自索引的能量函数是等价的存在一个特殊类型的Heegaard分裂的考虑的非同态。
Higher order generalization of Fukaya's Morse homotopy invariant of 3-manifolds II. Invariants of 3-manifolds with $b_1=1$
本文利用Chern-Simons扰动理论的Morse同伦理论方法，对$M$的自由交换覆盖上的有理函数在$M$上的局部系统，构造了具有$b_1(M)=1$的3-流形$M$的拓扑不变量.我们的不变量采取值Garoufalter-Rozansky的Jacobi图的边缘着色的有理函数的空间。我们期望我们的不变量能给出很多三维流形的非平凡有限型不变量。
Perfect circle-valued Morse functions on hyperbolic 6-manifolds
本文首次构造了具有完美圆值Morse函数的双曲6流形，并由此得到双曲群中一个类型为F2而非F3的子群新例子。
On a classification of Morse functions on $3$-dimensional manifolds represented as connected sums of manifolds of Heegaard genus one
本文针对表示为Heegaard亏格1流形连通和的3维流形，给出其上特定Morse函数（单点原像为球面与环面不交并）的分类，拓展了Morse函数分类在高维的研究。
Morse Theory for C*-Algebras: A Geometric Interpretation of Some Noncommutative Manifolds
我们提出的方法是一个修改的莫尔斯理论的单位C*-代数。我们提供了工具的非交换CW复杂的几何解释。[2]、[7]和[14]中介绍并研究了这些对象。给出了一些实例来说明这些几何信息在实际中的应用。利用非交换CW复形和其上的修正Morse函数对有单位元的C*-代数进行了分类。
Cusp cobordism group of Morse functions
紧致带边流形上的Morse函数是指在边界附近没有临界点的实值函数，使得它的临界点以及它对边界的约束的临界点都是非退化的.对于这类Morse函数，Saeki和Yamamoto已经定义了尖点配边的概念，并计算了曲面上Morse函数的无向尖点配边群.本文利用Levine的尖点消去技巧以及沿折线生成尖点对的互补过程，计算了任意维流形上Morse函数的无定向和定向尖点配边群.我们证明了这两个群在偶数维中是二阶循环群，在奇数维中是无限阶循环群。Morse函数的表面上，我们的结果产生了明确的描述佐伯山本的协边不变量，他们建造的通用复杂的奇异纤维的上同调。
Morse inequalities for noncompact manifolds
本文在离散群余紧真不连续作用于非紧流形的条件下，利用 $L^2$-贝蒂数及描述临界点粗略构型的群上函数，建立了莫尔斯函数不要求群不变时的莫尔斯不等式。
Morse-Novikov theory, Heegaard splittings and closed orbits of gradient flows
Donaldson和Mark的工作使三维流形的Seiberg-Witten不变量的结构变得清晰。它对应于三维流形上圆值Morse映射的梯度流的某些挠型不变量计数流线和闭轨道。我们利用Morse-Novikov理论和缝合流形的Heegaard分裂研究了这些不变量，并对纽结补进行了详细的计算。
Extending a Morse function to a non-orientable $3-$manifold
考虑一个三维固体克莱因瓶及其边界的一个环，我们能否将定义在环上的一般$C^\infty$非奇异函数推广到没有临界点的全固体克莱因瓶？我们给出了一个条件的Reeb图的给定函数是必要的和充分的存在这样的非奇异扩张。
Higher order generalization of Fukaya's Morse homotopy invariant of 3-manifolds I. Invariants of homology 3-spheres
本文将2-圈陈-西蒙斯扰动理论的Morse同伦理论推广到任意圈数至少为2的3-度图。通过对满足一定条件的整同调3-球面上的图进行计数，构造了值在3-叶图（Jacobi图或Feynman图）空间中的整同调3-球面的一系列不变量，这些条件由一组常微分方程描述.
Morse structures on partial open books with extendable monodromy
第一作者在最近的工作与D。盖伊在一本打开的书上发展了莫尔斯结构的概念，作为研究闭接触三维流形的工具。为了研究具有凸边界的切触三维流形，我们将Morse结构的概念推广到可扩部分开书。
Combinatorial realization of the Thom-Smale complex via discrete Morse theory
在光滑流形的情形下，我们利用Forman的离散莫尔斯理论，将光滑Morse函数的任意一个E-Smale复形组合地实现为一对三角剖分-离散Morse函数.作为应用，我们证明了光滑定向闭3-流形上的任何Euler结构都有一个特殊的实现，即流形的三角剖分在Hasse图上的完全匹配。
Hyperbolic 4-manifolds with perfect circle-valued Morse functions
本文构造了具有完美圆值Morse函数的有限体积双曲4-流形，证明了存在无限多个此类流形，其具有有界数量的1-和3-把手分解及有界的Betti数。
Reeb graph invariants of Morse functions and $3$-manifold groups
本文研究闭流形上具有非平凡 Reeb 图的 Morse 函数，针对 $3$-流形给出最少临界点刻画，并引入流形群新不变量，借助 Heegaard 分裂与 Freiheitssatz 判定无序 Morse 函数。
Smooth functions which are Morse on preimages of values not being local extrema and constructing natural functions of the class on connected sums of manifolds admitting these functions
本文研究在非局部极值原像上为 Morse 的光滑函数（I-Morse）及关于 Reeb 图整洁的 N-Reeb 函数，并在给定流形的连通和上构造尊重两个此类函数的 IN-Morse-Reeb 函数。
Using simplicial volume to count maximally broken Morse trajectories
给定一个维数为$n$的闭黎曼流形和一个Morse-Smale函数，负梯度流有100多个$n$ -部分断裂轨线.我们证明了如果流形允许双曲度量，那么$n$ -部分断裂轨线的数目总是至少为双曲体积。证明结合了已知的定理在莫尔斯理论与引理的格罗莫夫关于单纯体积的分层空间。
Morse's index formula in VMO for compact manifolds with boundary
本文研究了具有边界的紧致带边流形上的零平均振动向量场。受Brezis和Niremberg工作的启发，我们构造了这类场的一个拓扑不变量--指数，并建立了Morse公式的类似公式.因此，我们的特点，可以扩展到无处消失VMO向量场的边界数据集。最后，我们简要地展示了如何将这些想法可以应用到（无取向）线场VMO规则性，从而提供了一个合理的框架，用于建模的表面涂有一层薄膜的液晶。
On the stratification of a compact 3-manifold by the trajectory spaces of a Morse-Smale flow
本文考虑紧致连通定向3-流形$M$上的Morse函数$f$和Morse-Smale类梯度向量场$X$，使得$f$只有一个指数为3的临界点.基于Laudenbach的思想，我们将证明$X$的流可以被同位素化为一个流，以便新流的轨迹空间为$M$提供分层。我们将构造“自然”的管状邻域的每个给定的轨迹空间的新的流，使这些社区分层的开放子集的轨迹空间，共同界定给定的。在这方面，我们引进了流形的{ \it圆锥分层}的概念，并指出这是轨迹空间对$M$分层应满足的适当条件。
Smoothing discrete Morse theory
在回顾了七十年代PL拓扑的经典概念之后，我们阐明了莫尔斯理论与Forman离散化理论之间的关系。我们证明了PL柄理论和离散莫尔斯理论是等价的，在这个意义上，每个离散Morse向量在一些PL三角剖分也是一个PL柄向量，反之，每个PL柄向量也是一个离散Morse向量在一些PL三角剖分.由此可见，在7维以内，在某个PL三角剖分上的每个离散Morse向量也是光滑Morse向量;反之亦然，在所有维上都是如此。这修正和改进了Gallais的一个结果。进一步的结果是：（1）对于$d \ne 4$，每个单连通光滑d-流形都存在局部可构造三角剖分.相比之下，Mazur 4-流形没有局部可构造的三角剖分。(This解决了Zivaljevic的问题，完成了作者和Ziegler的工作。(2)3-流形的Heegaard亏格可以刻画为最小整数g，使得流形的某些三角剖分具有离散Morse向量（1，g，g，1）。(This允许几何学约束任何3-流形的Heegaard亏格）。(3)一些非PL 5-球面允许离散Morse函数只有2个临界面。(This结果与Adiprasito一起完成了Forman的球面定理。
Tight complexes in 3-space admit perfect discrete Morse functions
1967年，Chillingworth证明了所有的凸单纯3-球都是可塌缩的。使用经典的概念的紧密性，我们推广到任意流形：我们表明，所有紧单纯3-流形承认一些完美的离散莫尔斯函数。我们还通过证明所有的凸单纯3-球都是非回避的来加强Chillingworth定理。相比之下，我们表明，许多非回避3球不是凸的。
Classes d'homotopie de champs de vecteurs Morse-Smale sans singularité sur les fibrés de Seifert
本文的第一部分研究了从一个紧的可定向的无边界三维流形到二维球面的光滑映射。根据两个映射相等或对映的点集，给出了判定两个映射是否同伦的几何判据。我们将这一准则推广到三维流形上的非奇异向量场（和共定向平面场）。在第二部分中，我们利用这个判据研究了Seifert流形上的非奇异Morse-Smale向量场，给出了Yano的一个结果的简单证明。
Morse theory and Lescop's equivariant propagator for 3-manifolds with $b_1=1$ fibered over $S^1$
对于$b_1(M)=1$纤维化在$S^1$上的3-流形$M$和纤维化Morse函数在$M$上的纤维化梯度$ξ$，我们在$M$上引入了类半田路（AL-路）的概念. AL-路径是$M$上的一条分段光滑路径，它由$ξ$的一个临界轨迹或$-ξ$的一条流线组成.计数带符号的闭AL-路给出了$M$的Lefschetz zeta函数。$M$上AL-路的“模空间“明确给出了Lescop等变传播子，它可以用来定义$M$的$\mathbb{Z}$ -等变形式的Chern-Simons扰动理论.
Morse theory with homotopy coherent diagrams
研究了非紧流形上的莫尔斯理论，定义了由流形和相关几何/同伦数据组成的流形对的Morse同调.我们构建了一个集合的莫尔斯数据参数化的立方体的任意尺寸。从这个集合中，我们得到了一个家庭的线性映射的一些一致性条件，可以包装成一个同伦相干图。我们引入了一个链复形，这是一个共极限的图，并表明，它计算Morse同调。
Computable, obstructed Morse homology for clean intersections
针对干净但非横截的 Morse 稳定/不稳定流形相交，本文构造轨迹模空间的最小半全局 Kuranishi 结构，以推广并保持障碍丛粘合的可计算性，证明迭代粘合与同时粘合等价。
An invariant of fiberwise Morse functions on surface bundle over $S^1$ by counting graphs
我们应用Lescop的构造$\mathbb{Z}$ -等变扰动不变量的节点和3-流形的显式等变传播的“AL-路径”在arXiv：1403.8030。我们得到了在$S^1$上纤维化的3-流形上纤维化Morse函数的某些等价类的不变量$\hat{Z}_n$，它可以被认为是Lefschetz zeta函数的一个高圈模拟，它的构造将应用于这种3-流形中纽结的有限型不变量.对于$S^1$上纤维化有$H_1=\mathbb{Z}$的3-流形，给出了Lescop等变不变$\mathscr{Q}$的组合公式.此外，还给出了交错和的$\hat{Z}_n$和$\mathscr{Q}$的运算公式.这对特殊类型的三维流形和外科手术给出了Lescop关于$\mathscr{Q}$的外科手术公式的又一证明，该公式是简单的，因为它可以通过对三维流形中的某些图进行计数而得到.
Morse functions with regular level sets consisting of $2$-dimensional spheres, $2$-dimensional tori, or Klein Bottles
研究3维闭 manifold 上由球面、环面或克莱因瓶构成的正则水平集的莫尔斯函数，扩展了Saeki 2006年的可定向情况，并分类了具有给定正则水平集的莫尔斯函数。
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