A bound for orderings of Reidemeister moves
Julian Gold
我们提供了一个上界的数量有序Reidemeister移动需要通过两个图之间的相同的链接。这个界限是根据所需的无序Reidemeister移动的数量。
We provide an upper bound on the number of ordered Reidemeister moves required to pass between two diagrams of the same link. This bound is in terms of the number of unordered Reidemeister moves required.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Ordering the Reidemeister moves of a classical knot
我们表明，任何两个图相同的结或链接连接的一个序列的Reidemeister移动按类型排序。
A short proof of the equivalence of any Reidemeister oriented move 3
在本注记中，我们给出了一个简短的证明，证明了类型2的4个定向的Reidemeister移动与类型3的8个定向的Reidemeister移动中的任何一个都足以隐含其他7个。
Reidemeister Moves in Gauss Diagrams
我们提供了一个简单的算法来识别和执行Reidemeister移动高斯图。
A lower bound for the number of Reidemeister moves of type III
我们研究了Reidemeister III型移动使用福克斯n-着色的结图的数量。
An upper bound on Reidemeister moves
我们提供了一个明确的上界Reidemeister移动的数量需要通过两个图之间的相同的链接。这导致了一个概念上简单的解决方案的等价性问题的链接。
On ordered sequences for link diagrams with respect to Reidemeister moves I and III
本文证明了存在无数对无法通过特定I和III序列变换的平凡纽结图，并提出I-广义有序序列可连通所有经有限次I和III变换的链环图。
Minimal generating sets of moves for diagrams of isotopic knots and spatial trivalent graphs
本文扩展Polyak关于纽结与链环图表定向Reidemeister移动极小生成集的研究，新增11个4元素极小生成集并证明共12个为全部可能，还确定空间三价图图表定向Reidemeister型移动的极小生成集含10个移动。
Up-down colorings of virtual-link diagrams and the necessity of Reidemeister moves of type II
我们介绍了一个上下着色的虚拟链接图。的着色性给出了一个下界的最小数量的Reidemeister移动的类型II之间需要两个2组件的虚拟链接图。利用Quandle上循环不变量的概念，我们确定了平凡虚结图对的Reidemeister移动的必要性。这意味着对于任何虚拟结图$D$，存在表示相同虚拟结的图$D'$，使得它们之间的任何广义Reidemeister移动序列包括至少一个类型II的Reidemeister移动。
Unknotting number and number of Reidemeister moves needed for unlinking
利用解结数，我们引入了一个Hass和Nowik型的链接图不变量，它在Reidemeister移动下最多改变2。作为一个应用程序，我们表明，一定的无穷序列图的平凡的两个组成部分的链接需要平方数的Reidemeister移动被unknotted关于交叉的数量。假设一个特定的猜想，解开一些特定系列的复合材料的环面结，我们表明，上述图需要平方数的Reidemeister移动被分裂。
Unknot diagrams requiring a quadratic number of Reidemeister moves to untangle
我们提出了一个序列的图的unknot的最小数量的Reidemeister移动所需的通过平凡的图是二次的交叉点的数量。这些界限适用于$S^2$和$\R^2$。
On the necessity of Reidemeister move 2 for simplifying immersed planar curves
在2001年，Oestlund证明Reidemeister的移动1和3足以描述一个同伦从任何一般的浸入到平面的圆的标准嵌入的圆。我们证明这个猜想是错误的。
Minimal generating sets of rotational Reidemeister moves
本文研究旋转缠绕图的Reidemeister移动生成集，证明无框架和框架情形最小生成集大小分别为8和9，并推论有向框架链环最小生成集含5个移动。
A polynomial upper bound on Reidemeister moves
我们证明了任何具有c个交叉点的解结图都可以用至多（236 c）^{11}个Reidemeister移动约化为平凡图。此外，这个序列中的每个图最多有（7个c）^2个交叉点。我们还证明了一个类似的定理分裂的链接，它提供了一个多项式上界Reidemeister移动的数量需要转换成一个断开图的链接图。
Minimal generating sets of Reidemeister moves
众所周知，任何两个表示同一个有向链的图都由里德迈斯特移动O1、O2和O3的有限序列相关联。根据移动中涉及的碎片的方向，可以区分O1和O2移动中的每一个的4个不同版本，以及O3移动的8个版本。我们引入了一个最小生成集的四个定向Reidemeister移动，其中包括两个O1移动，一个O2移动，和一个O3移动。然后，我们研究了其他几组多达5个方向的移动产生的所有动作，并表明，只有少数人这样做。一些通常被认为是集不产生。一个意想不到的不等价的不同的O3移动进行了讨论。
Every Reidemeister move is needed for each knot type
我们表明，每一个结类型承认一对图，不能不使用Reidemeister Ω_2-移动相同。我们还表明，我们的证明是兼容的其他移动类型的已知结果，在这个意义上说，每一个结类型承认一对图，不能不使用所有的移动类型相同。
The OU number and Reidemeister moves of type III for link diagrams
本文提出OU数和非自OU序列，用于确定链接图之间III型Reidemeister移动的下界。
Realizing Exterior Cromwell moves on rectangular diagrams by Reidemeister moves
如果一个矩形图表示平凡纽结，那么它可以通过一个有限序列的合并操作和交换操作变形为只有四条边的平凡矩形图，而不需要增加边的数目，如I. A.戴尼科夫利用这一点，亨利克和考夫曼给出了解开琐碎结的结图所需的里德迈斯特移动次数的上界。然而，交换或合并移动的顶部和底部对矩形图的边缘没有考虑在证明。本文证明了平凡纽结存在一个矩形图，它需要这样的交换移动才能解开，并研究了实现这样的交换或合并移动所需的Reidemeister移动数的上界.
Irregular smoothing and the number of Reidemeister moves
在前面的文章中，我们考虑了一个Hass和Nowik型的链接图不变量，使用正则平滑和unknotting数，估计Reidemeister移动所需的解开。在本文中，我们引入了一个新的链接图不变量使用不规则平滑，并给出了一个例子的纽结图的unknot新的不变量给出了一个更好的估计比旧的。
Minimal generating sets of directed oriented Reidemeister moves
Polyak证明了集合$\{\Omega1a,\Omega1b,\Omega2a,\Omega3a\}$是定向Reidemeister移动的极小生成集。人们可以区分向前和向后移动，获得$32$不同类型的移动，我们称之为定向Reidemeister移动。本文证明了$8$有向Polyak移动集$\{ Ω{1a}^\uparrow, Ω{1a}^\downarrow, Ω{1b}^\uparrow, Ω{1b}^\downarrow, Ω{2a}^\uparrow, Ω{2a}^\downarrow, Ω{3a}^\uparrow, Ω{3a}^\downarrow \}$是有向Reidemeister移动的极小生成集。我们还专门的问题，介绍了一个$L$的概念，生成一个链接$L$集。证明了对于任何至少含有$2$分量的链路$L$，同一集合都是最小的$L$生成集.最后，我们讨论结图不变量中产生的$K$的研究-生成集的任意结$K$，强调上升和下降之间的区别移动类型$\Omega3$。
A generating set of Reidemeister moves of oriented virtual knots
针对有向虚拟纽结Reidemeister移动生成集研究不足的问题，研究枚举得到17种去冗余的有向虚拟Reidemeister移动，证明4元素子集为其生成集，简化了有向虚拟纽结不变量的验证工作。
Invariants of knot diagrams and relations among Reidemeister moves
本文介绍了一种最精细的雷德迈斯特动作分类法。特别是，这种分类区分了一些$Ω_3$ -移动，它们的区别仅在于移动中涉及的三条链在结上的排序方式。为了将同位素结的结图相互转换，通常必须使用$Ω_3$ -至少两个不同类的移动。为了说明这一点，引入了仅在$Ω_3$ -移动下跳跃的结图不变量。同位素纽结的纽结图可以通过一系列里德迈斯特移动连接，在总共24个类别中只有6个类别。这一结果可应用于纽结理论中，简化数学纽结不变量不变性的证明。特别地，给出了高斯图上的函数定义纽结不变量的一个判据。
On link diagrams that are minimal with respect to Reidemeister moves I and II
本文定义了关于Reidemeister move I和II极小的链环图，证明了无平凡分离分支链环的极小图及其交叉点数唯一，并探讨了Reidemeister move III对极小图的作用。
Minimal unknotting sequences of Reidemeister moves containing unmatched RII moves
Arnold为一般平面曲线引入了不变量$J^+$、$J^-$和$St$。已知$J^+ /2 + St$和$J^- /2 + St$都是通用球面曲线的不变量。将这些不变量应用于纽结图的基础曲线，我们可以得到用于Uknotting的Reidemeister移动数目的下界。$J^- /2 + St$适用于不匹配的RII移动。然而，它只对RI移动起一半作用。令$w$表示纽结图的扭转。我们表明，$J^- /2 + St \pm w/2$也适用于RI移动，并证明它给出了一个精确的估计，为一定的结图的unknot与潜在的曲线$r = 2 + \cos (n θ/(n+1)),\ (0 \le θ\le 2(n+1)π$）。
On Type II Reidemeister moves of links
Östlund（2001）证明了一般平面曲线的所有平面同痕不变量在尖点移动和三重点移动下不变，以及有限次（在自切移动中）都是平凡的。这里的术语“有限度”是指Arnold-Vassiliev型。这意味着猜想，这通常被称为奥斯特隆德猜想：“类型I和III Reidemeister移动足以描述同伦从任何通用浸入到平原的圆的标准嵌入”。虽然反例是已知的今天，有没有（容易计算的）功能，检测之间的差异，反例和标准嵌入的平原。然而，我们引入了一个期望函数（高斯图公式）是发现两个组件的情况下。
Reidemeister Moves and Groups
最近，作者发现了一类有趣的类结物体，称为自由结。这些纯粹的组合对象是高斯图模Reidemeister移动的等价类（Turaev在语言中引入了相同的概念，他认为所有自由结都是平凡的）。事实证明，这些新对象是高度非平凡的，甚至允许非平凡的配边类。一个重要的问题是不变量的存在，其中一个图评估为自身，这使得这样的对象“类似”于自由群：一个元素有它的最小代表“生活在”任何代表等价于它。
Minimal Generating Sets of Singular Reidemeister Moves and Their Classification
通过引入不变量，完全解决了定向奇异Reidemeister移动的最小生成集问题，发现恰好有96个包含极小生成集，并确定了无向情况下的8个生成集。
A polynomial upper bound on Reidemeister moves for each link type
本文研究了每个结类型的Reidemeister移动的多项式上界，并展示了如何通过显式计算多项式来确定结的识别问题复杂性。
Automated Reidemeister Moves: A Numerical Approach to the Unknotting Problem
在数学中，一个结是一个单股的字符串交叉本身的任何次数，并连接在两端。Reidemeister移动已被证明是三个核心移动所需的充分解开一个结。有些结可以解开一个循环（解开），而其他人根本打结。我们定义了四个广义移动的基础上雷德迈斯特移动。这些动作有解开结的能力，这些结必须在简化之前变得更加复杂。通过这些移动，我们构建了一个计算机程序，该程序可以读取高斯码符号中的结的二维投影，并将其解开到尽可能少的交叉点。由于高斯码符号的属性，该程序运行效率与最小的计算时间相比，目前现有的解开程序。我们已经测试了所有可能的高斯码多达50个交叉点，该程序成功地确定了一个最简单的可能投影每个结。这个结果与我们关于这些动作如何解开一个结的预测是一致的。
The number of Reidemeister Moves Needed for Unknotting
存在正常数$c_1$，使得对于表示解结的任何图$D$，存在将其转换为平凡结图的至多$2^{c_1 n}$ Reidemeister移动的序列，$n$是$D$中的交叉数。类似的结果也适用于嵌入在紧的、可定向的、三角化的$PL$ 3-流形$M$内部的1-骨架中的多边形结$K$上的初等移动。存在正的常数$c_2$，使得对于每个$t \geq 1$，如果$M$由$t$四面体组成，并且$K$是不打结的，则在$M$中存在至多$2^{c_2 t}$基本移动的序列，其将$K$变换为包含在$M$的一个四面体内的三角形。我们得到明确的值为$c_1$和$c_2$。
Legendrian Reidemeister moves for the convex surface projection
本文证明了加厚凸曲面中Legendrian结的Legendrian Reidemeister定理，为凸曲面投影提供了完整的移动等价刻画。
Some chain maps on Khovanov complexes and Reidemeister moves
我们引入了Khovanov复形之间的链映射。每个链映射与一个链同伦映射和一个回缩映射可交换，从而得到了Khovanov同调的Reidemeister不变性。
Reidemeister and movie moves for involutive links
本文研究了 involution 链的等价性，通过建立等价的 movie 移动集合，证明了等价的 Reidemeister 定理，并利用嵌入的等价 Morse 理论分析了等价的 Reidemeister 移动的循环。
Minimal Generating sets of Reidemeister moves
研究确定了Reidemeister移动的最小生成集，分类了包含一致型II移动和辫型III移动的生成集，并发现16个候选集合中12个被证明是最小的，其余4个仍待验证。
Additivity of Crossing Number via Restricted Reidemeister Moves
本文通过限制的 Reidemeister 移动证明了交叉数的可加性，并探讨了其拓扑意义。
A Reidemeister type theorem for petal diagrams of knots
我们研究花瓣图的结，它提供了一种方法来描述结在对称群$S_{2n+1}$的置换。我们定义了两类移动这样的排列，称为平凡的花瓣添加和交叉交流，这不会改变的同伦类的基础结。我们证明，任何两个置换，代表同位素结可以相关的序列，这些举动和他们的逆。
On Reidemeister invariance of the Khovanov homology group of the Jones polynomial
正如奥列格·维罗在他的论文中所描述的，霍瓦诺夫同调群最基本的性质是它们在雷德迈斯特移动下的不变性。Viro构造了Khovanov复形和由带符号的Jordan曲线组成的同调群，并利用他对Khovanov同调群的定义给出了第一Reidemeister移动的唯一情形的证明.在本文中，同伦映射得到明确的其他Reidemeister移动，即第二和第三。
On elementary moves of singular Legendrian knots
我们有两个结果。首先，我们给出了96个生成集定向奇异Reidemeister移动;这是Bataineh，Khaled，Elhamdadi和Hajij的问题的答案，他们使用他们的计算给出了一个生成集定向奇异Reidemeister移动。第二，在V.I.阿诺德，我们选择哪些移动生存的勒让德奇异结和前线图解和明确。
On Free Knots and Links
经典结和虚结都是以形式高斯图模对应于Reidemeister移动的一些抽象移动而出现的。如果我们忘记上/下交叉结构，并将结的数量以相同的Reidemeister移动为模，我们会得到虚拟结的戏剧性简化，这会杀死所有经典的结。然而，许多虚拟结在这种简化之后仍然存在。我们构造了这些对象的不变量，并将其应用于虚结点的极小性问题以及与图链接相关的一些问题。人们可以很容易地将这些结果推广到可定向的情况，并将其应用于解决不可逆性问题。这些不变量背后的主要思想是一些几何结构，它将一般等价简化为仅模Reidemeister - 2移动的等价。
Generating sets of Reidemeister moves of oriented singular links and quandles
给出了有向奇异链环的广义Reidemeister移动的生成集。我们用它来介绍一个代数结构所产生的定向奇异结的研究。我们给出了一些例子，包括非阿贝尔群上这类结构的非同构族。我们证明了这种新结构的奇异纽结的着色集是定向奇异纽结的不变量，并利用它来区分某些奇异链环。
Strong and weak (1, 3) homotopies on knot Projections
强同伦和弱同伦（1，3）是纽结投影上的等价关系，由第一平坦的里德迈斯特移动和两种不同类型的第三平坦的里德迈斯特移动定义。本文引入了弦图中弦的最小二重点数--交叉弦数。交叉弦数诱导强（1，3）不变量。证明了Hanaki平凡数是弱（1，3）不变量.本文利用交叉弦数和二重点的正分解，给出了具有平凡化数2的纽结投影到第一平坦Reidemeister移动的完全分类。两个平凡化数为2的纽结投影都是弱（1，3）同伦等价和强（1，3）同伦等价的当且仅当它们只能由第一平坦Reidemeister移动联系起来。最后，我们确定了包含平凡纽结投影和其它纽结投影类的强（1，3）同伦等价类。
Drawings of Kn with the same rotation scheme are the same up to Reidemeister moves. Gioan's Theorem
$K_n$的{ \em good drawing\/}是一个完全图的绘图，其中$n$顶点在球体中，使得：没有两条具有公共端的边相交;没有两条边相交超过一次;没有三条边都相交于同一点。Gioan定理断言，任何两个好的$K_n$的绘图，在每个顶点上具有相同的入射边旋转是等价的，直到Reidemeister移动。在编写本报告时，从在工作组2005年会议记录中发言到我们对这一提议感兴趣，已经过去了10年。在我们完成预印本后不久，Gioan独立完成了预印本。
Cube diagrams and 3-dimensional Reidemeister-like moves for knots
在本文中，我们介绍了一种表示节点和链接称为立方体图。我们表明，一个属性的立方体图是一个链接不变的当且仅当该属性是不变的两种类型的立方体图操作。一个结的同源构造从立方体图和结弗洛尔同调是等价的。
(1, 2) and weak (1, 3) homotopies on knot projections
本文得到了两个纽结投影由第一和第二平坦Reidemeister移动的有限序列相关的充要条件（定理1）。我们还考虑了一个称为弱（1，3）同伦的等价关系。这种等价关系通过第一平Reidemeister移动和第三平Reidemeister移动之一来发生。我们介绍了一个映射发送弱（1，3）同伦类结合痕类（第二。3）。利用该映射，我们确定哪些纽结投影在弱（1，3）同伦下平凡化（推论3）。
Tangles, Generalized Reidemeister Moves, and Three-Dimensional Mirror Symmetry
通过紧化三维流形上的M5-膜构造了三维N=2超共形场论。在红外线中，膜重新组合，物理学被原始紫外线几何分支覆盖层上的单个M5膜捕获。分支轨迹是一个tangle，一个紫外几何的一维打结子流形。选择这个覆盖的支片产生理论的拉格朗日量，并且改变支片提供双重描述。无质量的物质产生于尺寸为零的M2-膜，并在分支线碰撞处表现为缠结的奇点。大规模的变形的场论对应的解决方案的奇异性，从而在不同的光滑流形连接的几何过渡。一个概括的Reidemeister移动奇异缠结捕获镜像对称的基本理论产生的几何框架，对偶性是显而易见的。
An Index-Type Invariant of Knot Diagrams Giving Bounds for Unknotting Framed Unknots
我们引入了一个新的纽结图不变量，称为自交叉指数（SCI）。使用SCI，我们提供了两个家庭的框架解开结的界限。对于其中一个家族，使用框架Reidemeister移动解开打结比使用常规Reidemeister移动解开打结要困难得多。我们还研究了SCI和Arnold曲线不变量St之间的关系，以及与Hass和Nowik不变量之间的关系，后者推广了cowrithe。特别是，在Ω3移动下SCI的变化仅取决于移动的向前/向后特征，类似于St或cowrithe的变化仅取决于移动的正/负质量。
Natural Moves for Knots and Links
我们提出了一些自然的概括Reidemeister移动，不增加生成的图中的交叉点的数量。实验结果使我们猜想这类单调移动对于计算标准形进而判定合痕是完备的。
Reidemeister/Roseman-type Moves to Embedded Foams in 4-dimensional Space
四面体的对偶由一个顶点组成，在这个顶点上有四条边和六个面。沿着每条边，三个面会聚。一个2-泡沫是一个紧凑的拓扑空间，使得每个点都有一个邻域同胚到该复形的一个邻域。四维空间中的纽结泡沫是纽结曲面，就像纽结三价图是经典纽结一样。打结泡沫的示意图由到4-空间的通用投影组成，其中交叉信息通过破碎表面指示。在本文中，提出了一个有限集的泡沫移动是类似的Reidemeister型移动的打结图。这些移动包括用于打结表面的Roseman移动。给定一对同位素打结泡沫的图，存在从该集合中取出的移动的有限序列，当该序列被顺序地应用于一个图时，产生另一个图。
Virtual Homotopy
两个焊接（分别为虚拟）链接图是同伦的，如果一个可以转化为其他的一系列的扩展Reidemeister移动，经典Reidemeister移动，和自交叉的变化。在本文中，我们扩展Milnor的亩和酒吧亩不变量焊接和虚拟链接。最后，我们总结了本文的几个例子，并计算μ不变量使用的Magnus扩展和Polyak的绞关系的μ不变量。
Strong and weak (1, 2, 3) homotopies on knot projections
结投影是从圆到二维球体的通用浸入的图像。我们可以通过三种类型的纽结投影的局部替换找到任意两个纽结投影之间的同伦，称为Reidemeister移动。本文定义了纽结投影的一个等价关系，称为弱（1，2，3）同伦，它由Reidemeister移动的类型1，弱类型2和弱类型3组成.本文定义了弱（1，2，3）同伦下的第一非平凡不变量。利用这个不变量证明了纽结投影存在无穷多个弱（1，2，3）同伦等价类。相比之下，由三元组类型的其他变体组成的纽结投影的所有等价类，即，Reidemeister移动（1，强类型2，强类型3），（1，弱类型2，强类型3）和（1，强类型2，弱类型3）是可收缩的。
Crossing indices, traits and the principle of indistinguishability
弱弦指数（英语：Weak chord index）是纽结图的交叉点的一个函数，使得：1）交叉点的指数在Reidemeister移动下不会改变; 2）可以由第二个Reidemeister移动配对的交叉点具有相同的指数。我们表明，可以省略第二个条件的情况下，普遍指数。由此，我们得到了经典纽结图的不可约性原理：经典纽结图中相同符号的交叉不能用任何固有性质来区分。
Quandle theory and the optimistic limits of the representations of link groups
当给出PSL（2，$\mathbb{C}$）的链群的边界抛物表示时，Inoue和Kabaya提出了一种利用八面体三角剖分和某些quandle的阴影着色来获得该表示的展开映射的组合方法. Quandle是一个与Reidemeister步数密切相关的代数系统，因此在Reidemeister步数下，Quandle的方法自然会发生变化。本文将他们的方法应用于确定最优极限的势函数，构造了势函数的一个鞍点。这种构造适用于任何边界抛物表示，并且它表明八面体三角剖分足以研究连杆群的所有可能的边界抛物表示。此外，在鞍点处的势函数的求值成为表示的复体积，并且该鞍点在Reidemeister移动下自然地改变，因为它是使用quandle构造的。
On Free Knots
我们证明，对于一些结一样的对象，可以很容易地识别非等价w.r.t.所有Reidemeister移动通过研究一些等价类模只有第二Reidemeister移动。有应用程序虚拟结，图形链接和循环图。
Ternary quasigroups in knot theory
我们表明，一些三元拟群自然出现的经典链接和链接的表面上的不变量。我们还注意到如何从他们获得的Yoshikawa移动的不变量。在我们的前一篇文章中，我们定义了满足两个公理的代数的同调论，这两个公理是由第三个Reidemeister移动导出的。本文给出了一个适合于满足这些公理的三元拟群的退化子复形，它对应于第一个Reidemeister移动。对于这样的三元拟群的一个额外的条件，即主要的操作等于第二个除法运算，我们还定义了另一个子复形，对应于第二个平坦的Reidemeister移动。基于归一化同调，我们定义了上循环不变量。
Unknotting virtual knots with Gauss diagram forbidden moves
禁止的移动可以与高斯图Reidemeister移动相结合，以获得移动序列，我们可以将任何高斯图（因此任何虚拟结）改变为任何其他，特别是包括未结图
Odd Khovanov Homology for Hyperplane Arrangements
我们定义了几个同调论的中心超平面安排，分类著名的多项式不变量，包括特征多项式，庞加莱多项式，Tutte多项式。我们考虑这种链复形的基本代数性质，包括与删除限制三元组和dg-代数结构相关的长正合序列。我们还考虑了符号超平面安排，并推广奇Khovanov同调Ozsvath-Rasmussen-Szabo从链接投影到有符号的安排。我们定义了超平面Reidemeister移动，推广了通常的Reidemeister移动从框架链接投影有符号的安排，并证明了链同伦类型相关联的一个有符号的安排是不变的超平面Reidemeister移动。
Knot-theoretic ternary groups
本文描述了满足纽结理论中第三个Reidemeister移动公理的三元群的各种性质，并给出了它们的几个刻画。使用特殊属性的三元组，如半交换性，我们构建了一个三元不变的曲线沉浸在紧凑的表面，被认为是平坦的Reidemeister移动。
Pure Virtual Braids Homotopic to the Identity Braid
两个虚拟链接图是同伦的，如果一个可以转化为另一个由一系列的虚拟Reidemeister移动，经典Reidemeister移动，和自我交叉的变化。我们回想一下纯虚辫群。然后，我们描述了一组纯虚拟辫子是同伦的身份辫子。
Homology of ternary algebras yielding invariants of knots and knotted surfaces
我们定义的同源性的三进制代数满足公理来自粒子散射，或等价地，从第三Reidemeister移动。我们表明，满足这些公理的三元拟群自然出现在Reidemeister，Yoshikawa和Roseman移动的不变量。我们的同调有一个退化的子复形。归一化的同源性产生的结和打结的表面的不变量。
Niebrzydowski Algebras and Trivalent Spatial Graphs
我们介绍了\textit{Niebrzydowski algebras}，代数结构与三元运算和部分定义的乘法，公理的动机Reidemeister移动$Y$面向三价空间图形和多体链接。作为这个定义的一部分，我们确定生成集的$Y$导向的Reidemeister移动。我们给出了一些例子来证明计数不变量可以区分一些面向$Y$的三价空间图和多体链。
Khovanov homology and star-like isotopies
3-空间中定向链环的星形合痕是一种合痕，当检查链顺时针（或逆时针）时，它只使用Reidemeister II以相反的方向移动，而Reidemeister III以交替的方向移动。我们定义了一个链接多项式来自琼斯多项式，在一般情况下，只有不变的下星状同位素，我们将其归类。
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