Ordering the Reidemeister moves of a classical knot
Alexander Coward
我们表明，任何两个图相同的结或链接连接的一个序列的Reidemeister移动按类型排序。
We show that any two diagrams of the same knot or link are connected by a sequence of Reidemeister moves which are sorted by type.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Reidemeister torsion and Dehn surgery on twist knots
我们计算了$S^3$中扭结的补的Reidemeister挠率和对扭结进行Dehn手术得到的3-流形的Reidemeister挠率。
Non abelian twisted Reidemeister torsion for fibered knots
本文根据单值性给出了纤维纽结外部的非交换扭定号Reidemeister挠率的显式计算公式。作为应用，我们给出了环面纽结和8字形纽结的非交换Reidemeister挠率的显式公式。
Adjoint Reidemeister torsions of two-bridge knots
本文给出二桥纽结的伴随 Reidemeister 挠率的显式公式，并证明其满足特定消失恒等式。
Mutation and SL(2,C)-Reidemeister torsion for hyperbolic knots
给出了一个双曲纽结，证明了完整性到SL（2，C）的任何提升的Reidemeister挠率在沿Conway球面的突变下是不变的.
The twisted Reidemeister torsion of an iterated torus knot
我们计算了一个迭代环面纽结的补集的扭转Reidemeister挠率，该纽结与其基本群到二阶复特殊线性群的表示有关。我们还表明，扭曲的Reidemeister扭转与各种表示出现在渐近展开的有色琼斯多项式。
A relationship between the non-acyclic Reidemeister torsion and a zero of the acyclic Reidemeister torsion
本文给出了纽结群的正则SU（2）或SL（2，C）-表示的非循环Reidemeister挠率与非循环Reidemeister挠率的零点之间的关系.在此基础上，给出了纽结外点的非循环Reidemeister挠率的计算方法。我们计算了一个新的例子，并研究了与2-桥纽结及其纽结群的SU（2）-表示相关的非循环Reidemeister挠率的行为。
The Reidemeister graph is a complete knot invariant
我们描述了两个局部有限图自然地与每个节点类型K，称为Reidemeister图。我们确定了这些图的几个局部和全局性质，并证明了在一种情况下，图同构类型是一个完整的结不变量镜像。最后，我们介绍了另一个对象，有关的Reidemeister和Gordian图，并确定它的一些性质。
Non-abelian Reidemeister torsion for twist knots
本文给出了[Dub 06]中定义的SL_2（C）-非交换Reidemeister挠率在扭结情况下的显式表达式。对于双曲扭结，我们还证明了在holonomy表示的非阿贝尔Reidemeister扭转可以表示为一个有理函数评估的尖点形状的结。
Some numerical computations on Reidemeister torsion for homology 3-spheres obtained by Dehn surgeries along the figure-eight knot
我们给出了SL（2; C）中的基本群的表示和沿8字形纽结通过Dehn手术得到的同调3-球面的Reidemeister挠率的一些计算.这是第二个版本。我们更正了第一版中的几处错误。
The colored Jones polynomial, the Chern--Simons invariant, and the Reidemeister torsion of the figure-eight knot
我们表明，从8字形结的有色琼斯多项式的评估的渐近行为，我们可以提取陈-西蒙斯不变量和扭曲的Reidemeister扭转与表示的基本群的结补充二维复杂的特殊线性群。
Limit values of the non-acyclic Reidemeister torsion for knots
本文研究了纽结群的SL（2，C）-表示的Reidemeister挠率.纽结群的SL（2，C）-特征标簇中的歧点是由交换SL（2，C）-表示和非交换SL（2，C）-表示给出的特征标。本文证明了非循环Reidemeister挠率在歧点存在极限，并利用纽结的Alexander多项式的推导给出了极限的表达式。
Invariants of knot diagrams and relations among Reidemeister moves
本文介绍了一种最精细的雷德迈斯特动作分类法。特别是，这种分类区分了一些$Ω_3$ -移动，它们的区别仅在于移动中涉及的三条链在结上的排序方式。为了将同位素结的结图相互转换，通常必须使用$Ω_3$ -至少两个不同类的移动。为了说明这一点，引入了仅在$Ω_3$ -移动下跳跃的结图不变量。同位素纽结的纽结图可以通过一系列里德迈斯特移动连接，在总共24个类别中只有6个类别。这一结果可应用于纽结理论中，简化数学纽结不变量不变性的证明。特别地，给出了高斯图上的函数定义纽结不变量的一个判据。
Every Reidemeister move is needed for each knot type
我们表明，每一个结类型承认一对图，不能不使用Reidemeister Ω_2-移动相同。我们还表明，我们的证明是兼容的其他移动类型的已知结果，在这个意义上说，每一个结类型承认一对图，不能不使用所有的移动类型相同。
Seifert surgery on knots via Reidemeister torsion and Casson-Walker-Lescop invariant II
对于在同源$3$球体中具有$Δ_K(t)\doteq t^2-3t+1$的结$K$，令$M$为$K$上的$2/q$手术的结果。证明了如果$M$是Seifert纤维空间，则对$M$的泛阿贝尔覆盖的Reidemeister挠的适当假设蕴涵$q=\pm 1$.
The asymptotics of the higher dimensional Reidemeister torsion for exceptional surgeries along twist knots
我们确定的高维Reidemeister扭转的异常手术沿扭曲结得到的图流形的渐近行为。我们证明了图流形的所有不可约SL（2;C）-表示都是由扭纽结群的不可约亚交换表示导出的。我们还明确地给出了高维Reidemeister挠率中首项系数的极限集。
Seifert surgery on knots via Reidemeister torsion and Casson-Walker-Lescop invariant
对于在同源$3$球体中具有$Δ_K(t)\doteq t^2-3t+1$的结$K$，令$M$为$K$上的$2/q$手术的结果。证明了如果$M$是Seifert纤维空间，则对$M$的泛阿贝尔覆盖的Reidemeister挠率和Casson-Walker-Lescop不变量的适当假设意味着$q=\pm 1$.
Reidemeister torsion of a 3-manifold obtained by a Dehn-surgery along the figure-eight knot
设M是沿8字形纽结通过Dehn手术得到的闭3-流形。本文给出了M的不可约SL（2;C）-表示的Reisdemeisiter挠率的一个公式。它被描述为经络图像的轨迹的理性表达。
A vanishing identity on adjoint Reidemeister torsions of twist knots
对于具有环面边界的紧致定向三维流形，伴随Reidemeister挠率被定义为$\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ -特征簇上的一个函数，它依赖于边界曲线的选择.在合理的假设下，证明了伴随挠率满足某种类型的消失恒等式。本文利用Jacobi的留数定理证明了该猜想对所有双曲扭纽结外点都成立。
Reidemeister torsion for linear representations and Seifert surgery on knots
研究了通过有限群的线性表示的由Reidemeister挠组成的3-流形的一个不变量。我们在这个不变量上给出了Dehn手术公式，并计算了$S^2$上Seifert流形的Dehn手术公式。因此，我们得到了一个必要条件的结果Dehn手术沿结被塞弗特纤维，这可以适用于即使在阿贝尔Reidemeister扭转没有给出任何信息的情况下。
A Reidemeister type theorem for petal diagrams of knots
我们研究花瓣图的结，它提供了一种方法来描述结在对称群$S_{2n+1}$的置换。我们定义了两类移动这样的排列，称为平凡的花瓣添加和交叉交流，这不会改变的同伦类的基础结。我们证明，任何两个置换，代表同位素结可以相关的序列，这些举动和他们的逆。
The colored Jones polynomial, the Chern--Simons invariant, and the Reidemeister torsion of a twice-iterated torus knot
体积猜想的一个推广将纽结的有色琼斯多项式的渐近行为与Chern-Simons不变量和纽结补数的Reidemeister挠率联系起来，纽结补数与基本群的表示相关联，表示为复数上的二阶特殊线性群。如果纽结是双曲的，则表示可以被视为确定完整双曲结构的完整表示的变形。在这篇文章中，我们研究了一个类似的现象时，结是一个两次迭代环面结。在这种情况下，有色琼斯多项式的渐近展开分裂成和，并且每个被加数与陈-西蒙斯不变量和与表示相关联的Reidemeister扭转有关。
A generating set of Reidemeister moves of oriented virtual knots
针对有向虚拟纽结Reidemeister移动生成集研究不足的问题，研究枚举得到17种去冗余的有向虚拟Reidemeister移动，证明4元素子集为其生成集，简化了有向虚拟纽结不变量的验证工作。
Symmetry of Reidemeister torsion on $SU_2$-representation spaces of knots
研究了纽结群的不可约$SU_2$ -表示的共轭类空间上的两类作用。其中一个是由$SU_2$的代数结构产生的对合，另一个是由纽结群的外自同构群作用的对合。特别是，我们认为他们在1维光滑的部分空间，这是正则定向和度量化通过Reidemeister扭转体积形式。作为应用，我们证明了一维子空间上的Reidemeister挠函数关于度量化具有对称性。
A polynomial defined by the SL(2;C)-Reidemeister torsion for a homology 3-sphere obtained by a Dehn surgery along a (2p,q)-torus knot
设K是一个（2 p，q）-环面纽结，M_n是一个沿K通过1/n-Dehn手术得到的三维流形。考虑SL（2;C）-不可约表示的多项式，其零点是M_n的Reideimeister挠率的逆.约翰逊给出了（2，3）-环面结情况下经过一定修改和规范化的公式。我们利用切比雪夫多项式推广了这个公式。
A polynomial defined by the $\mathit{SL}(2;\mathbb{C})$-Reidemeister torsion for a homology 3-sphere obtained by Dehn-surgery along a torus knot
令$M_n$为通过沿$(p,q)$ -环面结的$\frac1n$ -Dehn手术获得的同源3球。我们考虑一个多项式$σ_{(p,q,n)}(t)$，其零点是$\mathit{SL}(2;\mathbb{C})$ -不可约表示的$M_n$的Reideimeister挠率的逆。利用第一类切比雪夫多项式给出了该多项式的一个显式表达式。进一步给出了这些多项式的三项关系式。
Up-down colorings of virtual-link diagrams and the necessity of Reidemeister moves of type II
我们介绍了一个上下着色的虚拟链接图。的着色性给出了一个下界的最小数量的Reidemeister移动的类型II之间需要两个2组件的虚拟链接图。利用Quandle上循环不变量的概念，我们确定了平凡虚结图对的Reidemeister移动的必要性。这意味着对于任何虚拟结图$D$，存在表示相同虚拟结的图$D'$，使得它们之间的任何广义Reidemeister移动序列包括至少一个类型II的Reidemeister移动。
The adjoint Reidemeister torsion for the connected sum of knots
该研究针对纽结连通和的高维$\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$特征簇分支，给出伴随Reidemeister挠率的自然定义，证明其在子午线迹常值子集上局部常值，且连通和的挠率零化恒等式可由各分支纽结的该性质继承。
Shadow movies not arising from knots
阴影图是省略了上下信息的结图;阴影电影是由阴影Reidemeister移动相关的阴影图序列。我们表明，并不是每一个影子电影出现的Reidemeister电影的影子，这意味着一系列的经典节点图相关的经典Reidemeister移动。这意味着，在考夫曼的理论的虚拟结，虚拟交叉不能简单地被视为经典的交叉，其中链是在已被留下的“确定”。
Minimal generating sets of moves for diagrams of isotopic knots and spatial trivalent graphs
本文扩展Polyak关于纽结与链环图表定向Reidemeister移动极小生成集的研究，新增11个4元素极小生成集并证明共12个为全部可能，还确定空间三价图图表定向Reidemeister型移动的极小生成集含10个移动。
Automated Reidemeister Moves: A Numerical Approach to the Unknotting Problem
在数学中，一个结是一个单股的字符串交叉本身的任何次数，并连接在两端。Reidemeister移动已被证明是三个核心移动所需的充分解开一个结。有些结可以解开一个循环（解开），而其他人根本打结。我们定义了四个广义移动的基础上雷德迈斯特移动。这些动作有解开结的能力，这些结必须在简化之前变得更加复杂。通过这些移动，我们构建了一个计算机程序，该程序可以读取高斯码符号中的结的二维投影，并将其解开到尽可能少的交叉点。由于高斯码符号的属性，该程序运行效率与最小的计算时间相比，目前现有的解开程序。我们已经测试了所有可能的高斯码多达50个交叉点，该程序成功地确定了一个最简单的可能投影每个结。这个结果与我们关于这些动作如何解开一个结的预测是一致的。
Reidemeister torsion, twisted Alexander polynomial and fibered knots
作为一个推广的经典结果纤维结的亚历山大多项式，我们在本文中表明，Reidemeister扭转相关的一定表示检测纤维结在三个领域。
Algebraic properties of twisted Alexander polynomial and Reidemeister torsion of torus knots
本文证明了扭Alexander多项式中与不可约SL_n(C)表示相关的每个系数都是SL_n(C)特征标簇上的A-值局部常函数，其中A是所有复数上的代数整数环。此外，作为Kitano和Nozaki最近结果的推广，我们显示SL_n(C)的Reidemeister扭转对于许多Seifert纤维空间是代数整数。同时，我们讨论了扭结的Reidemeister扭转的幂和，这些扭结的低维不可约表示与TQFT存在神秘关系。
Reidemeister torsion of two-bridge knots and signatures of TQFT
本文建立两桥结伴随Reidemeister挠率与SU₂-TQFT符号差对应Frobenius代数的显式关系，证明挠率逆和为常数，且特定单位根序列下符号差与Verlinde公式渐近行为一致。
Realizing Exterior Cromwell moves on rectangular diagrams by Reidemeister moves
如果一个矩形图表示平凡纽结，那么它可以通过一个有限序列的合并操作和交换操作变形为只有四条边的平凡矩形图，而不需要增加边的数目，如I. A.戴尼科夫利用这一点，亨利克和考夫曼给出了解开琐碎结的结图所需的里德迈斯特移动次数的上界。然而，交换或合并移动的顶部和底部对矩形图的边缘没有考虑在证明。本文证明了平凡纽结存在一个矩形图，它需要这样的交换移动才能解开，并研究了实现这样的交换或合并移动所需的Reidemeister移动数的上界.
Reidemeister Moves and Groups
最近，作者发现了一类有趣的类结物体，称为自由结。这些纯粹的组合对象是高斯图模Reidemeister移动的等价类（Turaev在语言中引入了相同的概念，他认为所有自由结都是平凡的）。事实证明，这些新对象是高度非平凡的，甚至允许非平凡的配边类。一个重要的问题是不变量的存在，其中一个图评估为自身，这使得这样的对象“类似”于自由群：一个元素有它的最小代表“生活在”任何代表等价于它。
Seifert surgery on knots via Reidemeister torsion and Casson-Walker-Lescop invariant III
对于同调$3$ -球面$Σ$中的结$K$，令$M$为对$K$进行$2/q$ -手术的结果，令$X$为$M$的通用阿贝尔覆盖。我们的第一个定理是：如果$X$的第一同调是有限循环的，且$M$是具有$N\ge 3$奇异纤维的Seifert纤维空间，则$N\ge 4$当且仅当$X$的泛阿贝尔覆盖的第一同调是无限的.我们的第二个定理是，在对$K$的Alexander多项式的适当假设下，如果$M$是Seifert纤维空间，则$q=\pm 1$（即，整体手术）。
On Free Knots and Links
经典结和虚结都是以形式高斯图模对应于Reidemeister移动的一些抽象移动而出现的。如果我们忘记上/下交叉结构，并将结的数量以相同的Reidemeister移动为模，我们会得到虚拟结的戏剧性简化，这会杀死所有经典的结。然而，许多虚拟结在这种简化之后仍然存在。我们构造了这些对象的不变量，并将其应用于虚结点的极小性问题以及与图链接相关的一些问题。人们可以很容易地将这些结果推广到可定向的情况，并将其应用于解决不可逆性问题。这些不变量背后的主要思想是一些几何结构，它将一般等价简化为仅模Reidemeister - 2移动的等价。
Twisted Alexander polynomials, character varieties and Reidemeister torsion of double branched covers
本文推广了Fox关于三球面上双分枝复盖的Alexander多项式公式。我们的公式提供了一个非平凡的一维表示的一个双分支覆盖沿结的Reidemeister扭转的两个因子的乘积来自纽结群。其中一个因子由扭曲的Alexander多项式确定，另一个因子由特征标簇上的一个有理函数确定。作为一个应用程序，我们表明，这些产品区分同位素类的二桥结镜像。
Higher even dimensional Reidemeister torsion for torus knot exteriors
本文研究了环面纽结外部高维Reidemeister挠率的渐近性，这与W. Müller和P. Menal-Ferrer和J. Porti关于双曲三维流形的Reidemeister挠率和双曲体积的渐近性。我们证明了log序列|SL（2N，C）-表示环面纽结外高维Reidemeister挠率|当N趋于无穷大时，/（2N）^2收敛于零。我们还给出了环面纽结群的SL（2，C）-表示的一个分类，它导出了无圈SL（2N，C）-表示.
Strong and weak (1, 3) homotopies on knot Projections
强同伦和弱同伦（1，3）是纽结投影上的等价关系，由第一平坦的里德迈斯特移动和两种不同类型的第三平坦的里德迈斯特移动定义。本文引入了弦图中弦的最小二重点数--交叉弦数。交叉弦数诱导强（1，3）不变量。证明了Hanaki平凡数是弱（1，3）不变量.本文利用交叉弦数和二重点的正分解，给出了具有平凡化数2的纽结投影到第一平坦Reidemeister移动的完全分类。两个平凡化数为2的纽结投影都是弱（1，3）同伦等价和强（1，3）同伦等价的当且仅当它们只能由第一平坦Reidemeister移动联系起来。最后，我们确定了包含平凡纽结投影和其它纽结投影类的强（1，3）同伦等价类。
(1, 2) and weak (1, 3) homotopies on knot projections
本文得到了两个纽结投影由第一和第二平坦Reidemeister移动的有限序列相关的充要条件（定理1）。我们还考虑了一个称为弱（1，3）同伦的等价关系。这种等价关系通过第一平Reidemeister移动和第三平Reidemeister移动之一来发生。我们介绍了一个映射发送弱（1，3）同伦类结合痕类（第二。3）。利用该映射，我们确定哪些纽结投影在弱（1，3）同伦下平凡化（推论3）。
A short proof of the equivalence of any Reidemeister oriented move 3
在本注记中，我们给出了一个简短的证明，证明了类型2的4个定向的Reidemeister移动与类型3的8个定向的Reidemeister移动中的任何一个都足以隐含其他7个。
Twisted Alexander polynomials with the adjoint action for some classes of knots
我们计算了环面纽结和扭纽结的伴随作用下的扭Alexander多项式。作为这些计算的结果，我们得到的公式为非阿贝尔的Reidemeister扭转的环面结在\cite{Du}和一个公式为非阿贝尔的Reidemeister扭转的扭曲结，这是优于一个在\cite{DHY}。
A bound for orderings of Reidemeister moves
我们提供了一个上界的数量有序Reidemeister移动需要通过两个图之间的相同的链接。这个界限是根据所需的无序Reidemeister移动的数量。
Reidemeister Moves in Gauss Diagrams
我们提供了一个简单的算法来识别和执行Reidemeister移动高斯图。
Virtual Knot Groups
对于纽结图$K$，经典纽结群$π_1(K)$是由经典交叉上的Wirtinger型关系确定的自由群模关系.经典的纽结群在Reidemeister移动下是不变的。在本文中，我们定义了一组商群与结图$K$。这些商群在Reidemeister移动下是不变的，并且集合包括Boden等人和Silver和Williams定义的扩展纽结群。
Twisted Alexander polynomials of genus one two-bridge knots
Morifuji计算了非交换表示的扭曲结的扭曲亚历山大多项式。本文计算了亏格为1的二桥纽结的扭Alexander多项式和Reidemeister挠率，二桥纽结是一类包含扭纽结的纽结。作为应用，我们给出了亏格为1的两桥纽结的Dehn手术所得到的三维流形的Reidemeister挠率的一个公式.
Non abelian Reidemeister torsion and volume form on the SU(2)-representation space of knot groups
对于$S^3$中的纽结K及其群$G_K$在SU（2）中的正则表示$ρ$，我们在纽结外的第一个扭曲上同调群上构造了一个非交换的Reidemeister挠.这种非交换的Reidemeister挠率提供了$G_K$的SU（2）-表示空间上的体积形式。在另一种方式中，我们根据卡森-或更准确地说，考虑到林和Heusener的进一步工作-构造体积形式的SU（2）-表示空间的$G_K$。接下来，我们比较这两个明显不同的观点-第一个通过Reidemeister扭转和第二个定义的“一拉卡森”-最后证明，他们定义相同的拓扑结不变量。
Reidemeister Torsion of 3-Dimensional Euler Structures with Simple Boundary Tangency and Legendrian Knots
我们推广Turaev的扭转不变量对$(M,ξ)$的定义，其中$M$是一个3维流形和$ξ$是一个欧拉结构上的$M$（一个非奇异向量场同伦相对于边界的$M$和局部修改的$M$的内部）。也就是说，我们允许$M$具有任意边界，并且允许$ξ$具有到边界的简单（凸和/或凹）相切圆。我们证明Turaev的$H_1(M)$ -等方差公式也持有在我们的广义上下文中。我们的挠特别适用于（外部）Legendrian联系（特别是，结）在接触3-流形，我们证明，他们可以区分结是同位素的框架结，但不是Legendrian结。使用组合编码的向量场的基础上，分支标准的脊椎，我们展示了如何明确反转Turaev的重建图从组合光滑欧拉结构，从而使计算的挠率更有效的。作为一个例子，我们给出了一个具体的计算。
A lower bound for the number of Reidemeister moves of type III
我们研究了Reidemeister III型移动使用福克斯n-着色的结图的数量。
Finiteness of the image of the Reidemeister torsion of a splice
3-流形$M$的$\mathit{SL}(2,\mathbb{C})$ -Reidemeister挠率值的集合$\mathit{RT}(M)$可以是有限的，也可以是无限的。证明了如果$M$是三维球面中两个确定纽结的拼接，则$\mathit{RT}(M)$是有限集.证明是基于观察的字符品种和$A$多项式的节点。
On elementary moves of singular Legendrian knots
我们有两个结果。首先，我们给出了96个生成集定向奇异Reidemeister移动;这是Bataineh，Khaled，Elhamdadi和Hajij的问题的答案，他们使用他们的计算给出了一个生成集定向奇异Reidemeister移动。第二，在V.I.阿诺德，我们选择哪些移动生存的勒让德奇异结和前线图解和明确。
An upper bound on Reidemeister moves
我们提供了一个明确的上界Reidemeister移动的数量需要通过两个图之间的相同的链接。这导致了一个概念上简单的解决方案的等价性问题的链接。
On ordered sequences for link diagrams with respect to Reidemeister moves I and III
本文证明了存在无数对无法通过特定I和III序列变换的平凡纽结图，并提出I-广义有序序列可连通所有经有限次I和III变换的链环图。
Minimal unknotting sequences of Reidemeister moves containing unmatched RII moves
Arnold为一般平面曲线引入了不变量$J^+$、$J^-$和$St$。已知$J^+ /2 + St$和$J^- /2 + St$都是通用球面曲线的不变量。将这些不变量应用于纽结图的基础曲线，我们可以得到用于Uknotting的Reidemeister移动数目的下界。$J^- /2 + St$适用于不匹配的RII移动。然而，它只对RI移动起一半作用。令$w$表示纽结图的扭转。我们表明，$J^- /2 + St \pm w/2$也适用于RI移动，并证明它给出了一个精确的估计，为一定的结图的unknot与潜在的曲线$r = 2 + \cos (n θ/(n+1)),\ (0 \le θ\le 2(n+1)π$）。
Unknotting number and number of Reidemeister moves needed for unlinking
利用解结数，我们引入了一个Hass和Nowik型的链接图不变量，它在Reidemeister移动下最多改变2。作为一个应用程序，我们表明，一定的无穷序列图的平凡的两个组成部分的链接需要平方数的Reidemeister移动被unknotted关于交叉的数量。假设一个特定的猜想，解开一些特定系列的复合材料的环面结，我们表明，上述图需要平方数的Reidemeister移动被分裂。
Unknotting twisted knots with Gauss diagram forbidden moves
扭纽结理论是由M. O. Bourgoin提出的，是虚纽结理论的推广。很容易地表明，任何虚拟的纽结可以变形为平凡的纽结的广义Reidemeister移动和两个“禁止移动”$F_{1}$和$F_{2}$的有限序列。同样地，我们证明了任何扭曲的纽结也可以通过有限序列的扩展Reidemeister移动和三个“禁止移动”$T_{4}$，$F_{1}$（或$F_{2}$）和$F_{3}$（或$F_{4}$）变形为平凡纽结或平凡纽结与酒吧。
Unknot diagrams requiring a quadratic number of Reidemeister moves to untangle
我们提出了一个序列的图的unknot的最小数量的Reidemeister移动所需的通过平凡的图是二次的交叉点的数量。这些界限适用于$S^2$和$\R^2$。
Cube diagrams and 3-dimensional Reidemeister-like moves for knots
在本文中，我们介绍了一种表示节点和链接称为立方体图。我们表明，一个属性的立方体图是一个链接不变的当且仅当该属性是不变的两种类型的立方体图操作。一个结的同源构造从立方体图和结弗洛尔同调是等价的。
On the necessity of Reidemeister move 2 for simplifying immersed planar curves
在2001年，Oestlund证明Reidemeister的移动1和3足以描述一个同伦从任何一般的浸入到平面的圆的标准嵌入的圆。我们证明这个猜想是错误的。
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