The free splitting complex of a free group I: Hyperbolicity
Michael Handel, Lee Mosher
我们证明了有限秩自由群的自由分裂复形，也称为Hatcher球面复形，是双曲的。
We prove that the free splitting complex of a finite rank free group, also known as Hatcher's sphere complex, is hyperbolic.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On hyperbolicity of free splitting and free factor complexes
我们展示了如何从$F_N$的自由分裂复形的双曲性的Handel-Mosher证明导出$F_N$的自由因子复形的双曲性，从而得到Bestvina-Feigh定理的另一种证明。我们还表明，在自然映射$τ$从自由分裂复杂的自由因子复杂，测地线$[x,y]$映射到一个路径是一致Hausdorff接近测地线$[τ(x),τ(y)]$。
Acylindrical hyperbolicity, non simplicity and SQ-universality of groups splitting over Z
我们表明，使用acyllincoln双曲性，一个cyllincoln有限生成群分裂在$\Z$不能是简单的。我们还获得了在大多数情况下的SQ-普适性，例如一个平衡群（其中如果两个无限阶元素的幂是共轭的，那么它们是相等的或逆的），它是在$\Z$上生成和分裂的，它要么是SQ-普适的，要么是七个几乎阿贝尔例外之一。
Acylindrical hyperbolicity for Artin groups with a visual splitting
该研究建立了判定具有可视分裂的Artin群柱形双曲性的准则，提出抛物子群弱反正规性相关猜想并在多类Artin群中证明，同时建立了相关Artin群猜想间的联系。
Relative free splitting and free factor complexes I: Hyperbolicity
研究自由群$F_n$及一般群$\Gamma$相对于自由因子系统选择的相对自由分裂复形和相对自由因子复形的大规模几何，证明其双曲性，证明还给出复形中粗传递拟测地线族信息。
Submanifold projections and hyperbolicity in ${\rm Out}(F_n)$
本文利用自由分裂图的几何实现构造子流形投影，并据此为 $n\geq 3$ 构建了一个新的双曲 ${\rm Out}(F_n)$-图，证明了 $n=3$ 时指数增长元素具有正平移长度。
The hyperbolicity of the sphere complex via surgery paths
Handel和Mosher证明了自由群的自由分裂复形FS是Gromov双曲的。这是一个深层次的和备受追捧的结果，因为它建立FS作为曲面的曲线复合体的一个很好的模拟。我们给出了这个定理的一个较短的替代证明，使用手术路径在Hatcher的球复合体（另一种模型的自由分裂复合体），而不是亨德尔和莫舍的折叠路径。作为一个副产品，我们得到的手术路径是非参数化的拟测地线在球复杂。我们解释了如何从我们的证明推导出一些其他的复合物，如自由因子复合物或弧复合物（与边界的表面）的双曲性。
Hyperbolicity of the complex of free factors
我们发展了外层空间折叠路的几何学，并作为应用证明了有限秩自由群的自由因子复形是双曲的。
Acylindrical hyperbolicity of Artin-Tits groups associated to triangle-free graphs and cones over square-free bipartite graphs
证明了每一个不可约Artin群的中心商要么是虚循环的，要么是非圆柱双曲的.本文对无三角形图的Artin群和无平方二部图上的锥的大型Artin群证明了这个猜想。事实上，我们根据Brady和McCammond的结果处理了已知为CAT（0）群的Artin群。
Acylindrical hyperbolicity and the centers of Artin groups that are not free of infinity
本文引入约化团-立方复形，证明了与非完全图相关的不可约Artin群的非柱面双曲性，并得出此类群中心有限且多为平凡的结论。
Generic free subgroups and statistical hyperbolicity
本文研究了具有收缩元的真群作用中$k\ge 2$的$k$元组元的通有行为，并应用于相对双曲群、CAT（0）群和映射类群.对于一类统计凸余紧作用，证明了对任意固定的$k\ge 2$，$k$元素的指数脱殊集生成秩为$k$的拟等距嵌入自由子群.对于$k=2$，我们研究了群作用的蔓延性质，证明了这类统计凸余紧作用在M意义下是统计双曲的. Duchin，S. Lelièvre和C.穆尼对于任意含有收缩元的真作用，如果它满足Dal'bo-Otal-Peigné引入的条件，并且具有纯指数增长性，我们得到了关于泛有自由子群和统计双曲性的相同结果.
Relative hyperbolicity of ascending HNN extension of groups
该研究证明了带自由因子系统的有限生成群的保系统单自同态对应的升序HNN扩张的相对双曲性，并得出有限秩自由群指数增长单自同态的升序HNN扩张相对双曲的推论，推进了几何群论相关研究。
Relative hyperbolicity of free extensions of free groups
本文给出了自由乘自由群具有保持尖点结构的相对双曲性的充要条件，证明了当一族指数增长外自同构共享不变子群系统且补集中共轭类均指数增长时，可由该系统构造外围子群使相应扩张相对双曲。
Quasiconvexity and relatively hyperbolic groups that split
我们探讨了一个群G分裂为相对双曲群的图的组合定理。利用相对双曲性的细图方法，在一定条件下得到了G的相对双曲性的简短证明。然后，我们给出了子群H的相对拟凸性取决于H与G的顶点群的交的相对拟凸性的一个判据。给出了局部相对拟凸性的一个应用。
On hyperbolicity and virtual freeness of automorphism groups
我们表明，字双曲的自同构群的图产品$G_Γ$和Coxeter群$W_Γ$强烈依赖于定义图$Γ$的形状。我们还根据实际上是自由的$Γ$来表征那些$Aut(G_Γ)$和$Aut(W_Γ)$。
Weak hyperbolicity and free constructions
本文的目的是证明群相对于子群的弱相对双曲性（或Farb意义下的相对双曲性）并不意味着普通双曲群的某些著名代数性质的任何自然类似物。我们的主要工具是弱相对双曲群的组合定理。
Around subgroups of Artin groups: derived subgroups and acylindrical hyperbolicity in the even FC-case
该研究将直角Artin群的多项相关结果推广至更广泛的Artin群类，涵盖导子群自由性与群凝聚性的等价性、有限生成正规子群性质及FC型偶Artin群子群的柱形双曲性三方面内容。
Relative hyperbolicity of free-by-cyclic extensions
给定有限秩自由群$\mathbb{F}$（$\mathsf{rank}(\mathbb{F})\geq 3$），证明了当$ϕ$指数增长时，$ϕ$的映射环面是（强）相对双曲的.我们结合我们的结果与工作的按钮，Kropholler回答一个问题Minasyan Osin关于acylinopolicity的这种自由的循环扩张。作为一个应用，我们构建了新的例子免费的免费双曲扩张的元素的商群不一定是完全不可约的。给出了Bridson-Groves二次等周不等式定理的一个新证明。
Hyperbolic graphs for free products, and the Gromov boundary of the graph of cyclic splittings
我们定义的自由分裂，循环分裂，最大循环分裂的$F_N$群的自由积的图形的类似物，并显示其双曲性。给定可数群$G$分裂为$G=G_1\ast\dots\ast G_k\ast F$，其中$F$表示一个可循环生成的自由群，我们确定了相对循环分裂图的Gromov边界与$\mathcal{Z}$ -厌恶树的等价类空间在相应的外部空间的边界上.一棵树是\emph{$\mathcal{Z}$-averse}，如果它不兼容任何树$T'$，这是本身兼容的相对循环分裂。如果两个$\mathcal{Z}$ -厌恶树都与相应外层空间边界上的公共树相容，则它们是\emph{equivalent}.我们给出了一个类似的描述的格罗莫夫边界的图的最大循环分裂。
Acylindrical hyperbolicity of automorphism groups of infinitely-ended groups
证明了任意无限端有限生成群的自同构群是非圆柱双曲群。特别地，对于每个$n\ge 2$，$\mathrm{Aut}(\mathbb{F}_n)$都是非圆柱双曲的。更一般地说，如果$G$是一个群，它不是虚循环的，并且是相对于一个有限的集合$\mathcal{P}$生成的真子群的双曲的，那么$\mathrm{Aut}(G,\mathcal{P})$是非圆柱双曲的。因此，一个循环自由群$\mathbb{F}_n\rtimes_φ\mathbb{Z}$是非圆柱双曲的当且仅当$φ$在$\mathrm{Out}(\mathbb{F}_n)$中有无穷阶。
Acylindrical Hyperbolicity of Out($W_n$)
证明了自由Coxeter群$W_n$的外自同构群在Osin意义下是非圆柱双曲的.作为应用，我们观察到任何CAT（0）空间允许几何作用Out（$W_n$）必须包含一个秩1测地线。该定理从扩展Out（$W_n$）和自由群的外自同构群之间的一个众所周知的关系出发。
Hyperbolicity of Multiple Ascending HNN Extensions of Free Groups
研究多重上升HNN扩张的超几何性，基于超几何非满射自同构的推广，分析其结构特性。
Relative hyperbolicity for automorphisms of free products
我们证明了，对于一个自由产品$G$与自由因子系统$\mathcal{G}$，任何自同构$ϕ$保持$\mathcal{G}$，atoroidal（在某种意义上相对于$\mathcal{G}$），没有其权力发送两个不同的共轭的子群在$\mathcal{G}$上的共轭本身由同一个元素，产生一个半直积$G\rtimes_ϕ\mathbb{Z}$，这是相对于双曲的悬浮液组在$\mathcal{G}$。我们恢复了Gautero-Lustig和Ghosh的一个定理，即如果$G$是一个自由群，$ϕ$是$G$的自同构，而$\mathcal{G}$是它的多项式增长子群族，那么由$ϕ$得到的半直积相对于这些子群的悬置是双曲的.我们将第一个结果应用于阿贝尔群的自由积的某些自同构（环面和环面）的共轭问题。
Thick metric spaces, relative hyperbolicity, and quasi-isometric rigidity
研究了非相对双曲群的几何。推广了Schwartz的一个结果，非相对双曲空间在相对双曲空间中的任何拟等距像都包含在单个外围子群的有界邻域中.这意味着一个群是相对双曲的，而其周边子群是非相对双曲的，则它是一个拟等距不变量。作为一个应用，阿廷群是相对双曲的当且仅当可自由分解。我们还引入了一个新的准等距不变量的度量空间称为度量厚，这是足够的度量空间是非双曲相对于任何非平凡的子集的集合。厚有限生成群包括：大多数曲面的映射类群;大多数自由群的外自同构群;某些Artin群;以及其他。高阶半单李群中的非均匀格是厚的，因此是非相对双曲的，与提供相对双曲群的激励性例子的秩1相反。映射类群是第一个例子nonrelatively双曲群有切割点在任何渐近锥面，解决了几个问题的Drutu和萨皮尔的结构相对双曲群。在群论之外，Teichmuller空间对于足够大的复杂性的曲面来说相对于Weil-Peterson度量是厚的，与Brock-Farb的双曲性结果相比，它的复杂性很低。
Multiplication tables and word-hyperbolicity in free products of semigroups, monoids, and groups
本文研究了Duncan & Gilman定义的关于正则梳的具有上下文无关乘法表的词双曲半群和幺半群的性质。特别地，考虑了在取自由积的情况下保持词双曲性的问题。在所涉及的半群的较弱条件下，例如由幺半群或正则半群所满足，我们证明了两个字双曲半群的半群自由积也是字双曲的。类似地，与一个温和的条件的唯一性表示的单位元，满足例如由团体，我们证明了幺半群自由积的两个字双曲幺半群是字双曲。这些方法在语言理论上是通用的，并且同样适用于半群、幺半群或具有$\mathbf{C}$ -乘法表的群，其中$\mathbf{C}$是任何逆闭超$\operatorname{AFL}$，在格雷巴赫意义上。特别地，我们推出了两个分别具有$\operatorname{ET0L}$的群的自由积.索引乘法表同样具有$\operatorname{ET0L}$，索引乘法表
Subfactor projections
当自由群F_n的两个自由因子A和B处于“一般位置”时，我们定义了B到A的分裂复形（或自由因子复形）的投影。我们表明，投影满足类似于地下的Masur和Minsky介绍的预测属性。利用子因子投影构造了Out（F_n）在有限乘积双曲空间上的作用，其中每个指数增长性的自同构作用于正平移长度.我们还证明了一个版本的有界测地线图像定理。在附录中，我们给出了使用（自由）折叠路径的分裂复形的Handel-Mosher双曲性定理的证明的草图。
Relative hyperbolicity and similar properties of one-generator one-relator relative presentations with powered unimodular relator
一个群从一个非平凡群通过添加一个生成元和一个关系子而得到，关系子是一个字的真幂，其中附加生成元的指数和是1，包含初始群的自由平方，并且几乎总是（除了一个明显的例外）包含一个非阿贝尔自由子群。如果初始群是对合自由的或关系子至少是三次幂，则所得到的群是SQ-泛群且相对于初始群是双曲的。
Spectral Dehn functions and a characterisation of word-hyperbolicity
本文引入谱德恩函数，证明其与德恩函数的关系，并通过谱德恩函数的度量自由变体刻画词超几何性，同时展示其比德恩函数提供更细致的信息。
The relative hyperbolicity of one-relator relative presentations
证明了：若$G$是自由扭群，且$w(t)$是字母表$G \sqcup \{t^{\pm 1}\}$中指数和为1的字，则群$<G,t|(w(t))^k = 1>$，其中$k \geq 2$，相对于$G$是双曲的.
On Profinite Hyperbolicity and Diophantine Geometry
本文研究了拓扑生成的投射有限群的双曲性。提出了丢番图几何中的一些应用，并试图用双曲投射有限群来重新表述丢番图几何中的某些问题。然后，我们介绍了伽罗瓦群是自由profinite的许多情况，并试图探讨这一条件在丢番图几何世界中的意义。特别地，我们证明了，Grothendieck的“部分猜想”加上Shafarevich的“自由度猜想”意味着双曲曲线有无穷多个解决方案的最大阿贝尔扩张的整体领域。这使得莫德尔的猜想，这是证明了法尔明斯，更有趣。
Relative hyperbolicity of hyperbolic-by-cyclic groups
本文证明了无挠双曲群的自同构映射环面相对于极大多项式增长子群的悬挂具有相对双曲性，并给出了相应的典范子群集合。
Spaces that can be ordered effectively: virtually free groups and hyperbolicity
本文基于旅行商问题研究度量空间的渐近不变量，通过排序效率对群和空间进行分类，证明了 virtually free groups 可由 $4$ 点子集上的排序效率刻画，且所有 $δ$-hyperbolic spaces 在点数趋于无穷时可被极其高效地排序。
Hyperbolicity and obstructions to PL actions of the circle
该研究探讨作用于圆周的分段线性同胚的 acylindrically 双曲群的结构，证明其为虚自由群等三类，推广直角 Artin 子群性质，还得出高维双曲流形基本群无法作用于圆周的结论。
Splittings of free groups from arcs and curves
证明了$S_g^1$的弧图是$F_{2g}$的自由分裂复形的粗Lipschitz收缩核.我们还证明了$S_g^1$的弧和曲线图是$F_{2g}$的循环分裂图和$F_{2g}$的最大循环分裂图的粗Lipschitz收缩。
Polynomial hyperbolicity and products of free groups
本文研究了局部有限图在某种条件下成为多项式超几何空间的性质，证明了在紧致特殊群中，不含自由群F₂×F₂作为子群等价于是线性多项式超几何的，且包含F₂×F₂作为子群在紧致特殊群中是准等距不变的。
Automorphisms of graphs of cyclic splittings of free groups
本文证明了秩为$N\ge 3$的自由群$F_N$的循环分裂图的任何等距都是由$F_N$的外自同构诱导的.同样的陈述也适用于最大循环分裂和非常小的分裂的图。
Polygonal VH Complexes
Ian Leary研究了一类双曲群是否剩余有限。我们的回答是肯定的，在他的论文中给出了一个系统的版本的建设，这表明，这些演示的标准2-复合物有一个VH-结构。这种结构导致了这些群的分裂，这与双曲性一起意味着这些群是剩余有限的。
Transitivity degrees of countable groups and acylindrical hyperbolicity
证明了每一个可数非圆柱双曲群都存在一个具有有限核的高传递作用。这个定理统一地推广了许多以前已知的结果，并使我们能够回答Garion和Glassner关于映射类群的高传递忠实作用的存在性的一个问题。这也意味着在各种几何和代数的设置，一个无限群的传递度只能采取两个值，即$1$和$\infty$。这里的传递度是指群的忠实置换表示的传递度的上确界。进一步，对任何允许高传递忠实作用的可数群$G$，我们证明了以下二分法：要么$G$包含同构于无限交错群的正规子群，要么从模型论的观点，$G$类似于自由积.应用这个定理得到了非圆柱双曲群的泛理论和混合恒等式的新结果。最后，我们讨论了一些开放的问题。
Hyperbolicity of Orders of Quaternions Algebras and Group Rings
对于给定的四元数除子代数，我们构造了两种单位：Pell单位和Gauss单位。若K是有理二次扩张，G是有限群，我们对R和G进行分类，s.t.，增广1的单位群U（RG）是双曲的。特别地，当G是8阶四元数群时，给出了G是8阶四元数群的充要条件。在这种情况下，双曲边界同构于二维球面。结果，我们得到一类只有一个目的的群体，它们实际上并不自由。
Statistical hyperbolicity in groups
在本文中，我们介绍了一个几何统计称为“蔓延”的一组相对于一个发电机组，基于平均距离的字度量之间的字对长度相等。这种蔓延量化了对双曲线的某种阻碍。具有最大蔓延的组演示文稿（即，没有这个障碍）被称为统计双曲线。我们首先蔓延曲率和非初等双曲群是统计双曲，然后给出一些结果的产品，迪斯特尔领导人图和lampighter组。在自由阿尔贝群中，字度量渐近地逼近由凸多胞体导出的范数，使得对蔓延的研究归结为凸几何中的问题。我们提出了一个算法，计算蔓延准确地为任何发电机组，从而量化失败的各种介绍Z^d是双曲线。这导致了一个关于极值的猜想，与经典的马勒猜想有关。
Subgroups, hyperbolicity and cohomological dimension for totally disconnected locally compact groups
本文是利用离散群理论研究全不连通的局部紧群（TDLC-群）的大规模几何性质的计划的一部分。利用同调等周不等式给出了双曲TDLC-群的一个刻画.利用这一刻划证明了本文的主要结果：对于具有有理离散上同调维数$\leq 2$的双曲TDLC-群，双曲性由紧表示的闭子群继承.因此，当$\mathrm{Aut}(X)$以多个轨道作用在$X$上时，负弯曲的局部有限$2$ -维建筑物$X$的自同构群$\mathrm{Aut}(X)$的每个紧表示闭子群都是双曲TDLC-群。这一结果适用的例子包括双曲线波登建筑。我们重新审视了合并自由积的小消去子的构造，并验证了当应用于开子群上的投射有限群的合并积时，它提供了有理离散上同调维数为$2$的双曲TDLC群的例子.我们提出的问题，是否我们的主要结果可以推广到局部紧双曲群，如果合理的离散上同调维数渐近维数取代。我们证明，这是离散群的情况下，并勾勒一个参数TDLC组。
Two applications of strong hyperbolicity
本文利用双曲群可配备强双曲度量的事实，给出了两个解析应用：构造交叉积C*-代数上的自然时间流及其唯一KMS态，并简短证明了双曲群在足够大的$\u2113^p$空间上有真等距作用。
The frequency space of a free group
分析了由$\partial F$上所有平移不变Borel概率测度组成的非交换自由群$F=F(a_1,...,a_k)$的\emph{frequency space} $Q(F)$的结构，并构造了$Out(F)$在$Q(F)$上的自然作用.特别是，我们证明了任何外部自同构$ϕ$的$F$的\emph{conjugacy distortion spectrum}的$ϕ$，由所有的数字$||ϕ(w)||/||w||$，其中$w$是一个非平凡的共轭类，是交叉的$\mathbb Q$和一个封闭的子区间的$\mathbb R$合理的端点。我们还提供了一个算法，用于检测严格双曲的$F$的自同构。
Relative free splitting and free factor complexes: An overview
本文研究了相对自由分裂与自由因子复形的大尺度几何及其作用动力学，证明了相关复形的超几何性并探讨了外自同构作用的动力学特性。
Hyperbolic groups of Fibonacci type and T(5) cyclically presented groups
建立在以前的结果有关的双曲群的Fibonacci型，我们给了一个几乎完整的分类（非初等）双曲群在这一类。我们无法精确地确定两个群的双曲性状态，即Gilbert-Howie群H（9，4），H（9，7）。我们证明了如果H（9，4）是无挠的则它不是双曲的。我们考虑T（5）循环表示群的类，并对（非初等的）双曲群进行分类，证明了Tits替代方法成立。
Failure of the finitely generated intersection property for ascending HNN extensions of free groups
本文的主要结果是非循环有限秩自由群的升HNN扩张的生成交性质（FGIP）的失效。这类群由循环自由群和自由群的适当上升的HNN扩张组成。在相对双曲性的背景下，我们也给出了FGIP失效的一个充分条件，并将其应用于指数增长性的自由循环群。
Cyclic hyperbolicity in CAT(0) cube complexes
本文证明余紧特殊群不含F2×F2当且仅当循环双曲，并在CAT(0)立方复形几何作用群中给出结构定理和强Tits替代，推论SQ-普遍性。
Geometric characterizations of virtually free groups
证明了测地线度量空间上的四个几何条件是等价的，它们是表征双曲性的经典条件的更强变体。在特殊的情形下，证明了它们是自由群的特征.
Splittings and poly-freeness of triangle Artin groups
该研究刻画了三角阿廷群可分裂为自由群图的充要条件，完全解决了相关公开问题，并部分证明了这类群的虚多自由性，推进了群论领域的相关研究。
Splittings of knot groups
设K是亏格为g的纽结。如果K是纤维化的，则众所周知，纽结群pi（K）只在秩为2g的自由群上分裂。证明了如果K不是纤维群，则π（K）在任意大秩的非自由群上分裂.此外，如果K不是纤维化的，则pi（K）在秩至少为2g的每个自由群上分裂。然而，pi（K）不能在秩小于2g的组上分裂。最后一个声明证明使用最近的结果Agol，Przytycki-怀斯和怀斯。
Thickness of $\mathsf{Out}(A_1*...*A_n)$
本文研究了$Γ_n := \mathsf{Out}(G_n)$的双曲性和相对双曲性，其中$G_n = A_1*...*A_n$是有限自由积，每个$A_i$是有限群.利用Guirardel-Levitt变形空间上的$\mathsf{Out}(G_n)$作用，找到了一个虚生成集，证明了一类子群的拟等距嵌入.我们使用了莫舍-亨德尔和阿利贝戈维奇的作品中的思想来证明非失真。我们已经使用这些子群证明了$Γ_n$对于更高的复杂性是厚的。厚度是由Behrstock-Drugu-Mosher开发的，厚度意味着这些组是非相对双曲线的。
JSJ splittings for all Artin groups
本文刻画 Artin 群沿无限循环子群的 JSJ 分裂条件，并据此得到同构不变量、自同构群非柱形双曲性及新的 R-infinity Artin 群族。
A Geometric Proof of the Structure Theorem for Cyclic Splittings of Free Groups
我们给出了一个著名定理的几何证明，该定理将自由群的分裂描述为整数上的混合积或HNN扩张。这个论证推广到对虚循环群上的虚自由群的分裂给出类似的描述。
Splittings of mapping tori of free group automorphisms
给出了自由群自同构$ϕ$的映射环面$M_ϕ=F\rtimes \mathbb{Z}$在$\mathbb{Z}$上存在分裂的充要条件.
Elliptic subgroups in cyclic splittings of a free group
本文利用 Whitehead 算法的 Gersten 推广研究自由群初等循环分裂中有限生成子群的椭圆性判定，并给出秩二情形及 HNN-扩张情形的算法结果。
Splitting automorphisms of prime power orders of free Burnside groups
证明了：如果奇数周期自由Burnside群$B(m,n)$的分裂自同构的阶是素幂，则它是内自同构.从而肯定地回答了自由Burnside群$B(m,n)$的分裂与内自同构对于~ $p^k$阶自同构（$p$是素数）的重合性问题.这个问题在1990年的Kourovka笔记本中提出（见第11版，问题11.36.~（b）。
Hyperbolicity as an obstruction to smoothability for one-dimensional actions
Ghys和Sergiescu证明了在$80$的汤普森的组$T$，因此$F$，承认行动的$C^{\infty}$单同态的循环。他们证明了这些群的标准作用与一组$C^\infty$同构拓扑共轭。莫诺定义了一族分段投射同胚群，而洛达-摩尔定义了可表示的分段投射同胚群。这些群特别令人感兴趣，因为它们是不顺从的，并且不包含自由子群。与Gandel-Sergiescu的结果相反，我们证明了Monod群和Lodha-Moore群与$C^1$群同构不是拓扑共轭的.进一步证明了Lodha-Moore群在区间上没有非交换的$C^1$作用.我们还表明，许多莫诺集团$H(A)$，例如当$A$是这样的$\mathsf{PSL}(2,A)$包含一个合理的homothety $x\mapsto \tfrac{p}{q}x$，不承认一个$C^1$行动的时间间隔。这个障碍来自于$C^1$作用的双曲不动点的存在。与略有不同的技术，我们还表明，一些群体的分段仿射同胚的区间或圆是不光滑的。
Detecting free splittings in relatively hyperbolic groups
我们描述了一个算法，它确定是否是双曲相对于阿贝尔群承认一个非平凡的分裂在一个有限群。
Automorphisms of the graph of free splittings
证明了秩至少为3的自由群的自由分裂图的每一个单纯自同构都是由该自由群的外自同构诱导的。
On free components of Artin and Coxeter groups
研究Artin和Coxeter群的连通分量数量，探讨von Neumann代数与自由群因子问题的关系，以及测度等价中的相关情况。
Splitting theorems for pro-$p$ groups acting on pro-$p$ trees and 2-generated subgroups of free pro-$p$ products with procyclic amalgamations
设G是作用在pro-p树上的一个生成的无限pro-p群，使得对某个开子群的作用的限制是自由的.然后证明了G作为一个pro-p融合积或作为一个pro-p HNN-扩张在一个边稳定子上分裂。利用这个结果，我们证明了在一定条件下，具有原循环合并的自由pro-p积从其自由因子继承了每个2-生成子群是自由pro-p的性质，推广了已知的pro-p结果，以及抽象组合群论中经典结果的一些pro-p类似物.
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