Bimonoidal Categories, $E_n$-Monoidal Categories, and Algebraic $K$-Theory
双单范畴是没有加法逆的环的范畴类似物。自1970年以来，它们一直在范畴论、同伦论和代数$K$理论中被积极研究。双单范畴在数学和其他科学中有着丰富的新应用和新问题。这项工作提供了一个统一的治疗bimonoidal和更高的环状范畴，它们与代数$K$ -理论和同伦理论的连接，并应用到量子群和拓扑量子计算。与丰富的背景材料，广泛的覆盖面，详细介绍了著名的和新的定理，并列出了开放的问题，这项工作是一个用户友好的资源，为初学者和专家一样。
2021-07-22 math.AT math.CT math.KT
Enrichment of Algebraic Higher Categories
我们提供了一个丰富的定义，适用于各种各样的范畴结构，概括Leinster的理论丰富的$T$ -multicategories。作为一个新的丰富的结构的例子，我们详细描述了丰富的幺半范畴和丰富的双范畴的例子，重点是monoidal双范畴作为广泛方便的基础的丰富。
2022-05-24 math.CT
Associahedra and Weak Monoidal Structures on Categories
本文回答了这样一个问题：什么样的代数结构的范畴对应的$A_n$结构（在意义上的Stasheff）的几何实现的神经？
2011-09-10 math.AT math.CO math.CT
Closed symmetric monoidal structure and flow
流的类别不是完全封闭的。我们构造了一个封闭的对称幺半群结构，而且从计算机科学的观点来看，它具有令人满意的行为。
2003-08-07 math.AT math.CT
Equivariant symmetric monoidal structures
基于等变同伦理论中观察到的结构，我们定义了对称monoidal范畴的一个等变推广：一个$G$ -对称幺半范畴。它们不仅记录了由任意有限$G$ -集索引的对称么半群乘积，而且记录了对称么半群幂。然后，我们定义$G$ -交换幺半群的自然扩张的普通交换幺半群这一新的背景。使用这种机器，然后我们描述当Bousfield本地化等变谱保持一定的运算代数结构，我们探索的后果，我们的定义类别的模块在$G$ -交换幺半群。
2016-10-10 math.AT math.CT
On the Kelly monoidal structure of $Λ$-sequences and unital operads
本文研究了Λ序列的凯利单体结构，证明了其与对称序列右模的同构，并建立了普遍的正常弱单体结构，将单位运算子识别为单体。
2026-02-13 math.AT math.CT
A monoidal category of dependently sorted algebraic theories II: categorical aspects
本文从语境范畴的角度研究广义代数理论的闭对称幺半结构，定义指数函子和多重态射，并证明张量积的存在性和函子性。
2026-05-31 math.CT
The 2-monoidal structure of symmetric sequences
EPFL, Switzerland（瑞士洛桑联邦理工学院）
该研究证明Dwyer与Hess提出的对称序列范畴的2-幺半结构猜想，通过分析两种幺半结构的相互作用，得出每个operad都具有Day-operad结构的结论。
2026-09-01 math.AT math.CT
Infinite loop spaces, and coherence for symmetric monoidal bicategories
本文证明了对称么半群双范畴的三个不同的凝聚定理。首先，我们证明了在自由对称monoidal双范畴中，每个2-胞室图都是可交换的。第二，我们表明，这意味着自由对称monoidal双范畴的一个对象是等价的，作为一个对称monoidal双范畴，离散对称monoidal双范畴的不相交工会的对称群。第三，我们证明了每一个对称monoidal双范畴都等价于一个严格的双范畴。我们给出了这些相干结果的两个拓扑应用。首先，我们证明了一个对称monoidal双范畴的分类空间可以配备一个E_{\infty}结构。其次，我们证明了E_n空间n \geq 4的基本2-广群具有对称幺半群结构。这些计算还表明E_3空间的基本2-广群具有sylleptic monoidal结构。
2012-10-03 math.AT math.CT
Tensor product for symmetric monoidal categories
我们对对称幺半范畴引入了一个张量积，它具有以下性质。用SMC表示以小对称幺半范畴、箭对称半群函子和2-胞体半群自然变换为对象的2-范畴。我们的张量积加上一个合适的单位是SMC上的结构的一部分，该结构是对称monoidal闭范畴的2-范畴版本。这个结构非常简单。特别是在张量的结合律和对称律以及单位消去律中涉及的箭头是2-自然的，并且满足严格交换图的相干公理。我们还证明了SMC的范畴商由其2-胞腔所生成的同余构成，且具有对称的么半群闭结构。
2008-06-11 math.AT math.CT
The folk model category structure on strict $ω$-categories is monoidal
本文证明了Lafont，Métayer和Worytkiewicz提出的严格$ω$ -范畴范畴上的民间模型范畴结构是monoidal的，首先证明了它对Gray张量积是monoidal的，其次证明了它对第一作者和Maltsiniotis提出的$ω$ -范畴的并是monoidal的.此外，我们表明，格雷张量积诱导，通过附加，严格的$(m,n)$ -范畴的张量积，这张量积也是兼容的民间模型的范畴结构。特别地，我们得到了严格$ω$ -群胚范畴上的一个么半群模型范畴结构。我们证明了这种么半群模型范畴结构满足么半群公理，从而第二作者所研究的Gray么半群范畴具有自然的模型范畴结构。
2020-09-04 math.AT math.CT
Multifunctorial Equivariant Algebraic K-Theory
本文构造从 O-伪代数 G-范畴多范畴到正交 G-谱的富化多函子 K，证明等变 K-理论可保持多范畴参数化的代数结构。
2024-04-03 math.AT math.CT math.KT
On the Commutative Algebra of Categories
讨论了对称幺半范畴范畴是交换半环范畴上的模的意义。（1）Carnival幺半范畴，（2）半加法范畴，（3）联络谱范畴中的每一个范畴都可以用这种方法恢复为交换半环范畴（或后一种情况下的$\infty$ -范畴）上的模范畴。这种语言提供了代数理论（运算，PROPs，Lawvere理论）和稳定同伦理论的形式主义的同时推广，基本上是代数K理论的一个变体。
2018-05-22 math.AT math.CT
Monoidal Kleisli Bicategories and the Arithmetic Product of Coloured Symmetric Sequences
将算术积推广至着色对称序列，证明其构成正规oplax幺半结构，利用幺半双范畴高效验证相干条件。
2024-02-06 math.AT math.CT
Simplicial localization of monoidal structures, and a non-linear version of Deligne's conjecture
证明了如果$(M,\tensor,I)$是么半群模型范畴，则$\REnd_M(I)$是$\sSet$中的（弱）2-么半群.当$M$是单纯幺半群$A$上的$A$ -双模的范畴时，这一点尤其适用：$A$的导出自同态形成了它的Hochschild上同调，从而成为单纯2-幺半群。
2003-05-12 math.AT math.CT
A unified framework for notions of algebraic theory
泛代数通过将各种代数结构表示为方程理论或抽象克隆来统一地捕捉它们。代数结构在数学和相关领域中的普遍存在已经产生了泛代数的几个变体，例如对称运算、非对称运算、广义运算、PROP、PRO和单子的理论。这些泛代数的变体称为代数理论的概念。在本文中，我们开发了一个统一的框架。关键的观察是，代数理论的每一个概念都可以用一个幺半范畴范畴来识别，这样代数理论就对应于其中的幺半群对象。为了将语义，我们引入了一个分类结构称为元模型，它形式化的定义模型的代数理论。我们还定义了代数理论的概念，这是一个monoidal版本的profunctors之间的态射。每一个强么半群函子都会产生一对这样的态射，并提供了一个统一的方法来建立代数理论中不同概念的模型范畴之间的同构。一个一般的结构-语义伴随性结果和一个双范畴的泛性质泛属性的范畴的模型。
2019-11-27 math.CT math.LO
Parametrised noncommutative motives and equivariant cubical descent in algebraic K-theory
University of Bonn（波恩大学）
本文引入参数化完美稳定范畴，构建参数化非交换动机，研究其在有限2群上的共变结构，揭示其与Mackey函子的关系。
2026-03-16 math.AT math.CT math.KT
Interpolations of monoidal categories and algebraic structures by invariant theory
本文利用编码标量不变量的 Hopf 代数特征标构造泛范畴 $C_χ$，刻画好特征标并据此插值代数结构与对称幺半范畴，推广 Deligne、Knop 等构造。
2023-07-18 math.CT math.QA
Foundations of Algebraic Theories and Higher Dimensional Categories
泛代数通过将各种代数结构表示为方程理论或抽象克隆来统一地捕捉它们。代数结构在数学和相关领域中的普遍存在已经产生了泛代数的几个变体，例如对称运算、非对称运算、广义运算和单子。这些泛代数的变体称为代数理论的概念。在本论文的第一部分，我们开发了一个统一的框架，包括所有上述例子的概念代数理论。我们的关键观察是，代数理论的每个概念都可以被识别为一个幺半范畴，以这样一种方式，理论对应于其中的幺半群对象。我们引入了一个范畴结构称为元模型，这是理论模型定义的基础。我们还考虑代数理论的概念之间的态射，这是一个monoidal版本的profunctors。每一个强么半群函子都会产生一对这样的态射，并且提供了一种统一的方法来建立代数理论中不同概念的模型范畴之间的同构。一个一般的结构-语义伴随性结果和一个双范畴的泛性质泛属性的范畴的模型。在本文的第二部分，我们从一般的代数结构研究转移到一个特殊的代数结构：高维范畴。在几个现有的定义更高的维度范畴，我们选择看一个由Batanin提出，后来由Leinster完善。我们表明，广泛的范畴的概念在Batanin和Leinster的定义中起着核心作用。利用这一点，我们概括了他们的定义，允许丰富的任何本地可呈现的广泛的范畴。
2019-03-17 math.CT
Skew monoidal structures on actegories
本文研究如何由强作用在 actegory 上构造斜幺半结构，证明特定伴随可赋予其斜幺半结构并成为幺半伴随，同时给出辫子诱导与闭性的充分条件。
2025-10-20 math.CT
Induced monoidal structure from the functor
设$\mathcal{B}$是给定范畴$\mathcal{D}$的子范畴。设$\mathcal{B}$具有幺半群结构。本文讨论了什么时候可以把$\mathcal{B}$的幺半群结构推广到$\mathcal{D}$，使得$\mathcal{B}$成为幺半范畴$\mathcal{D}$的子幺半范畴.文中给出了一些例子，特别是以闭路空间为例，详细阐述了本文所讨论的所有结果。
2016-12-22 math.CT
Some equivariant constructions in noncommutative algebraic geometry
在这里，我们提出了一种方法的雏形，几何行动的非交换代数几何，根据几何容许行动的幺半范畴。这推广了通常的霍普夫代数上的（余）模代数，提供了仿射的例子。我们引入了么半群作用与局部化的相容性，它是一个分配律。在这个系统中有令人满意的等变对象、非对易纤维丛和双射的概念。
2009-02-09 math.AG math.CT
The monoidal structure of strictification
研究了标准严格化函子$\textrm{st}:\mathbf{Bicat} \rightarrow \mathbf{2Cat}$的幺半群结构。在这样做的时候，我们构造monoidal结构上的2-范畴的对象是双范畴和2-范畴的对象是2-范畴。
2013-01-25 math.CT
Centre of an algebra
受有理共形域论中出现的代数结构的启发，我们研究了一个与monoidal范畴中的代数相关联的构造，一个交换代数（{ \em全中心}）在幺半范畴的monoidal中心.我们建立了这个结构的森田不变性，通过将其扩展到模范畴。作为一个例子，我们处理的情况下，群论范畴。
2010-01-31 math-ph math.CT math.MP
Monoidal Grothendieck construction
我们把纤维化和指标范畴之间的标准等价提升为monoidal纤维化和monoidal指标范畴之间的等价，即弱monoidal伪函子到范畴的2-范畴。在这样做时，我们调查这个“全球”monoidal结构的总范畴是monoidal和纤维化严格保持结构之间的关系，和一个“fibrewise”的纤维monoidal和reindexing函子强烈保持结构，首先暗示舒尔曼。特别地，当整环是余范畴monoidal时，函子到2-范畴的松弛monoidal结构对应于函子到幺半范畴的2-范畴的提升。最后，我们给出了这种对应出现的例子，从基本的和家庭的纤维化网络模型和系统。
2021-08-17 math.CT
Day algebras
School of Electronic Engineering and Computer Science, Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院电子工程与计算机科学学院）
本文展示Day单调积可扩展至其他代数结构及部分代数结构，应用于逻辑领域如混合逻辑和分离逻辑。通过 profunctor 描述，将任意代数结构扩展为伪代数结构，并进一步扩展至部分操作和残余操作。
2025-12-10 math.CT
A note on warpings of monoidal structures
在\cite{LS14}中，我们概述了Kleisli构造与\cite{LS12}意义上的“扭曲一个斜幺半群范畴”构造之间的类比。在本说明中，我们以稍微正式的方式介绍同样的工作。
2015-10-02 math.CT
A higher-order Eckmann-Hilton argument
School of the Art Institute of Chicago（芝加哥艺术学院）；Sheffield Hallam University（谢菲尔德哈勒姆大学）
本文提出纯代数的高阶高维Eckmann-Hilton论证，证明三个适当互换的幺半结构迫使每个典范辫成为对称，并应用于n-退化半严格(n+1)-范畴。
2026-06-11 math.CT
Monads on higher monoidal categories
我们研究了单子在具有多个单子结构的范畴上的作用。我们确定的结构和条件，保证较高的monoidal结构继承的范畴代数单子。Monoidal monad和comonoidal monad在这个层次结构中作为基本情况出现。作用于对偶范畴的单子构成了下一种情况。我们涵盖了一般情况下的$n$ -幺半范畴，并讨论了几个自然发生的例子，其中$n\leq 3$。
2017-01-11 math.CT
The additivity of traces in monoidal derivators
受矩阵的迹和拓扑空间的欧拉示性数的启发，我们期望对称幺半范畴范畴中的抽象迹是“可加的”。当范畴在某种意义上是“稳定的”时，沿着上纤序列的可加性是一个关于稳定性和么半群结构相互作用的问题。基于monoidal三角范畴的新公理，May证明了当稳定结构是三角范畴时的可加性定理。在本文中，我们使用稳定的导子，这是一个不同的模型“稳定同伦理论”。我们定义和研究monoidal结构的导子，提供了一个上下文来描述的稳定性和monoidal结构之间的相互作用，只使用普通的范畴论和泛性质。然后，我们可以在一个封闭的monoidal稳定导子中执行May的迹的可加性证明，而不需要额外的公理，因为所有需要的兼容性都是自动的。
2014-03-06 math.AG math.AT math.CT
The Giry Monad is not Strong for the Canonical Symmetric Monoidal Closed Structure on Meas
该研究在可测空间与可测函数构成的范畴Meas的典范对称幺半闭结构框架下，证明了Giry单子不具有强性，为范畴论与测度论交叉领域的单子性质研究提供了关键结论。
2016-12-18 math.CT
Skew-monoidal categories and bialgebroids
当结合子和幺半范畴范畴的左单位和右单位以某种特定方式不可逆时，斜幺半范畴就产生了。我们证明了右R模范畴上的闭斜monoidal结构正是环R上的右双代数胚。这些斜monoidal结构在R-R-双模范畴上诱导出商斜monoidal结构，并由此得到如下推广：幺半范畴上的Opmonoidal单子对应于具有相同单位对象的斜monoidal结构，它们通过自然的分配律与普通monoidal结构相容。在研究Day和Street定理的基础上，我们还讨论了monoidal lax余单子来描述平面情形之外的双代数胚的余单子范畴。
2012-08-31 math.CT math.QA
Monoidal characterisation of groupoids and connectors
我们使用monoidal方法研究正则范畴的内部结构。正则Goursat范畴中的群胚可以等价地描述为特殊的匕首Frobenius么半群在其关系的幺半范畴范畴中。类似地，连接器可以等效地描述为具有三进制乘法的Frobenius结构。我们研究这种三元Frobenius结构和二元结构的关系，概括了连接器和广群之间的关系。
2019-06-15 math.CT
A monoidal structure on the category of relative Hopf modules
设$B$是一个双代数，$A$是一个辫子幺半范畴$\Cc$中的左$B$ -余代数，并假定$A$也是一个余代数，具有一个不一定结合的或酉的左$B$ -作用.然后我们可以在两个相对Hopf模的张量积上定义一个右$A$ -作用，这定义了相对Hopf模范畴上的一个monoidal结构当且仅当$A$是$B$上左Yetter-Drinfeld模范畴中的一个双代数.文中给出了一些实例。
2010-11-22 math.CT
Skew-monoidal categories and the Catalan simplicial set
斜幺半范畴范畴的基本数据与幺半范畴范畴的基本数据相同，只是不再要求约束态射可逆。约束被赋予特定的方向，并满足Mac Lane的五个公理。虽然最近的应用证明使用斜monoidal结构，他们没有给出一个内在的理由的形式的结构（方向的约束和公理，他们满足）。本文提供了一个角度对斜monoidal结构，其中，除其他事项外，使它很明显，为什么这个特定的选择是一个自然的。为此，我们使用Catalan单纯集C。它很容易描述：它是monoidal偏序集（2，v，0）的神经，并且在每个维度上都有一个卡塔兰数的单形（因此得名）。我们的观点是，C分类斜monoidal结构的意义上说，单纯映射从C到一个适当定义的神经猫正是斜幺半范畴范畴。更一般地，在monoidal双范畴K中的斜monoidal通过从C到K的单纯神经的映射来分类。
2013-07-01 math.CT
Biclosed monoidal structures on the categories of digraphs and graphs
本文研究了有向和无向反射图范畴中的闭合单调结构，证明其恰好存在两个（除同构外）此类结构。
2025-11-21 math.CO math.CT
A universal property of the monoidal 2-category of cospans of finite linear orders and surjections
证明了有限线性级和满射的余扩张的monoidal 2-范畴是具有半群和余半群结构的对象X的泛幺半范畴，其中这两种结构满足一定的二维可分代数条件.
2007-06-11 math.CT
The Strict 2-Category Structure of Distorted Monoidal Categories
本文提出扭曲单子范畴的严格2-范畴结构，通过构造性演算实现非可逆交换的正式推理，扩展单子范畴的表达能力以建模不可逆过程。
2025-11-10 math.CT
A monoidal category of dependently sorted algebraic theories I: syntax
本文通过语法算法定义了广义代数理论之间的张量积，并构造了相关上下文范畴，为建立闭幺半结构奠定基础。
2026-05-31 math.CT math.LO
Monoidal Structures on Generalized Polynomial Categories
该研究将多项式函子与dialectica范畴上的已知幺半群结构推广到广义多项式范畴，重点分析了一种推广多项式函子复合的非对称幺半群结构，证明其对应余幺半群的性质，可用于动力系统组合界建模。
2023-12-14 math.CT
Algebraic theories and commutativity in a sheaf topos
对于Grothendieck topos $\mathcal E$的定义$\mathcal C$的任何位置，我们定义了一个$\mathcal C$ -ary Lawvere理论$τ: \mathscr C \to \mathscr T$的概念，其模型范畴是$\mathcal E$上的栈。当$\mathcal C=\aleph_0$和$\mathcal E = \operatorname{\mathbf {Set}}$的定义与Lawvere的有限性理论一致时，我们的定义与Lawvere的有限性理论一致.我们构造了一个模型的纤维范畴$\operatorname{\mathbf {Mod}}^{\mathscr T}$作为$\mathcal E$上的一个栈，并证明了它是$\mathcal E$ -完全和$\mathcal E$ -余完全的.我们证明了存在一个自由遗忘的附加$F \dashv U: \operatorname{\mathbf {Mod}}^{\mathscr T} \rightleftarrows \mathscr E$。如果$τ$在某种意义上是一个交换理论，那么我们得到了模型范畴上的一个"局部monoidal闭“结构，它增强了自由遗忘到对称monoidal $\mathcal E$ -范畴的一个附加.我们的结果给出了一个构造monoidal $\mathcal E$ -c…
2019-08-09 math.AP math.CT math.FA
Coherence for Monoidal Endofunctors
本文的目标是证明关于monoidal endofunctors，即endofunctors的幺半范畴，保持monoidal结构到一个自然变换，不需要同构的关系图的连贯性结果。这些结果首先证明在没有对称性的monoidal结构，然后与此对称性。在论文的后半部分中，相干结果被推广到具有对角或余对角自然变换的幺半范畴中的monoidal内函子，或者monoidal结构是由有限乘积或余乘积给出的。Monoidal endofunctors是有趣的，因为他们站在monoidal monads和comonads后面，对于它们的相干性将在本文的续集中得到证明。
2010-01-08 math.CT math.LO
Cartesian Gray-Monoidal Double Categories
本文通过引入局部立方Gray范畴和双松弛函子，为对称Gray-幺半群双范畴建立了笛卡尔结构，并利用曲面图给出其简洁表示。
2023-07-10 math.CT
Extending monoidal structures on fibered categories via embeddings
该研究针对小范畴及其满子范畴的嵌入关系，证明了满足自然条件的纤维范畴幺半群结构由子范畴上的限制唯一决定且可扩张，该结论可应用于反常层与可构造导出范畴，也适用于纤维范畴态射及其幺半群性。
2024-12-11 math.AG math.CT
Monoidal Ringel duality and monoidal highest weight envelopes
本文提出通过单子增强的半无限环el对偶，将非阿贝尔单子范畴嵌入具有最高权结构的阿贝尔单子范畴，并应用于李代数表示的单子结构研究。
2026-03-06 math.CT math.RT
Coherence for Monoidal Monads and Comonads
本文的目的是证明关于monoidal monad和comonad的关系图的相干结果，即monad和comonad在幺半范畴中，使得monad或comonad的内函子是monoidal函子（这意味着它保持monoidal结构直到自然变换，不需要是同构）。这些结果首先证明在没有对称性的monoidal结构，然后与此对称性。么半群的结构也可以由有限积或有限余积给出。具有有限乘积的Monoidal余单子公理化了模态逻辑S4的一个片段中的演绎的同一性的一个似是而非的概念。
2010-01-08 math.CT math.LO
Closed symmetric monoidal structures on the category of graphs
本文研究了图分类的闭合对称单子结构，证明其存在盒积和范畴积两种闭合对称单子积。
2025-12-20 math.CO math.CT
A Morphism Double Category and Monoidal Structure
一个双重范畴是从一个给定范畴的“肥胖”版本中构建出来的，其动机部分是平行运输的背景。我们还研究了基础范畴和增肥范畴上的么半群结构。
2012-05-16 math-ph math.CT math.MP
Symmetric Monoidal Structure with Local Character is a Property
在以前的工作中，我们证明了，对于交换半环上的自由有限维模范畴，线性紧闭对称么半群结构是一个性质，而不是一个结构。也就是说，如果存在这样的结构，那么它是唯一定义的（直到monoidal等价）。在这里，我们提供了一个新的统一的范畴理论的概念，对称monoidal结构与当地的字符，我们证明是一个更广泛的范畴的例子，包括无限维的情况下的关系在quantale和非自由的情况下，在一个主要的理想域的生成模块的属性。
2019-01-29 math.CT quant-ph
Structure and classification of monoidal groupoids
本文分析了每个箭头都可逆的幺半范畴的结构，并在此基础上发展了三维非交换因子集的Schreier-Grothendieck分类理论.特别是，我们的状态和证明精确的分类定理的monoidal广群的各向同性群都是交换的，以及为他们的同态，通过利奇的上同调群的monoids。
2012-12-18 math.CT math.KT
Categorification of modules and construction of schemes
Indian Institute of Science, Bangalore（印度科学学院）；Indian Institute of Technology, Delhi（德里印度理工学院）
本文通过单侧作用的分类，构建了对称单向范畴上的方案理论，并引入了谱$\mathcal M$-拓扑以研究相关几何结构。
2026-01-04 math.AG math.CT
Arrow Categories of Monoidal Model Categories
本文证明幺半模型范畴的箭头范畴在推出积幺半结构与投射模型结构下仍是幺半模型范畴，回答了霍维的问题，并推动了立方同伦理论中的幺半积应用，附有多个非余生成实例。
2018-12-30 math.AG math.AT math.CT
Bayesian Inference using the Symmetric Monoidal Closed Category Structure
利用可测空间范畴的对称monoidal闭范畴结构，结合我们证明是强monad的Giry monad，我们分析了与张量积概率有关的贝叶斯推理映射及其构造.这种观点允许推理映射被看作是一个拉回构造。
2016-02-04 math.CT math.PR
Commutative graded monads
众所周知，Monoidal Monad的Kleisli代数范畴具有标准Monoidal结构。我们定义了交换分次单子的概念，并提出了一个严格的两类证明，Kleisli代数等单子同样进行规范monoidal结构减少到monoidal单子的情况下，交换分次单子的问题是分次的平凡幺半范畴。
2022-04-04 math.CT
