A proof of Catalan's Convolution formula
Alon Regev
给出了Catalan数的$k$ -重卷积的一个新证明.这是通过列举称为$k$ -in- $n$解剖的某类多边形解剖来完成的。此外，我们给出了一个公式的平均圈数的三角剖分。
We give a new proof of the $k$-fold convolution of the Catalan numbers. This is done by enumerating a certain class of polygonal dissections called $k$-in-$n$ dissections. Furthermore, we give a formula for the average number of cycles in a triangulation.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A simple combinatorial proof of Shapiro's Catalan convolution
夏皮罗证明了一个优雅的卷积公式，涉及Catalan数的偶数指数。本文给出了该公式的一个简单的组合证明。此外，我们还证明了它与中心二项式系数的交替卷积公式是等价的。
Some experimental observations about Hankel determinants of convolution powers of Catalan numbers
本研究通过计算机实验提出了若干关于卡特兰数卷积幂汉克尔行列式的猜想，虽多数暂无证明，但仍予以公布以期学界后续证明。
Action graphs, planar rooted forests, and self-convolutions of the Catalan numbers
我们表明，家庭的行动图，与初始图是线性的不同长度，产生自卷积的加泰罗尼亚序列。我们证明了这一结果，通过与平面有根森林与固定数量的树木的比较。
Hankel determinants of convolution powers of Catalan numbers revisited
本文利用推广的 Andrews-Wimp 定理，简洁证明了 Catalan 数卷积幂平移的 Hankel 行列式，并推广至 Narayana 多项式。
Weighted Catalan convolution and $(q,2)$-Fock space
本文研究 $(q,2)$-Fock 空间的组合性质，显式计算由 Catalan 卷积驱动且以 $1+q$ 参数化的序列，并将其用于求场算子真空矩中的配对分区数。
Ascent sequences and the binomial convolution of Catalan numbers
在本文中，我们考虑了两组避免模式的上升序列：那些避免201和210和那些避免0021。在每种情况下，我们表明，这种上升序列的数量是由二项式卷积的加泰罗尼亚号码。$\{201, 210\}$ -回避者的结果完成了Baxter和当前作者在以前的论文中给出的结果族。0021回避者的结果，加上邓肯、斯坦格里姆松、曼苏尔和沙塔克之前的工作，完成了威尔夫对上升序列长度为4的单一模式的分类。
Hankel determinants for convolution powers of Catalan numbers
Catalan数的卷积幂的Hankel行列式$\left(\frac{r}{2(i+j)+r}\binom{2(i+j)+r}{i+j}\right)_{0\leq i,j \leq n-1}$被Rehler和Rehler与Krattenthaler考虑过。我们通过寻找移位的周期连分数来计算$r\le 31$的这些行列式，这些移位的周期连分数是在Sulanke和Xin的连分数方法的应用中产生的。其中包括一些特殊情况下的Escherichler的插图。我们还给出了这些行列式的多项式特征。同样的技术用于评估汉克尔行列式$\left(\binom{2(i+j)+r}{i+j}\right)_{0\leq i,j \leq n-1} $。得到类似的结果。
On a New Alternating Convolution Formula for the Super Catalan Numbers
我们提出了一个新的交替卷积公式的超Catalan数，这是作为两个已知的二项式恒等式的推广。我们证明了这个公式的推广使用辅助和，递归关系，归纳。利用一种新的方法证明了一个关于超Catalan数的有趣整除性结果。
Shifted Hankel determinants of Catalan numbers and related results II: Backward shifts
该研究通过前置零定义序列后向移位的汉克尔行列式，得到卡特兰数及相关数与多项式序列的相关结果，并对卡特兰数卷积幂序列提出猜想。
Convolutions of Tribonacci, Fuss-Catalan, and Motzkin sequences
我们介绍了一类序列，定义的部分贝尔多项式，包含一个基础的空间的线性递归序列的常系数以及其他著名的序列，如加泰罗尼亚语和Motzkin。对于本文所考虑的Bell序列族，我们给出了一个一般的多重卷积公式，并用几个例子说明了我们的结果。
Some identities and formulas involving generalized Catalan numbers
Catalan数的推广被认为是。新的结果包括二项式恒等式，递归关系和多元生成函数的封闭公式。一个简单的加泰罗尼亚行列式的表达式。
A Rational Catalan Formula for $(m,3)$-Hikita Polynomials
基于最近的$(3,m)$ -加泰罗尼亚多项式的公式，我们描述了一个公式$(3,m)$ -Hikita多项式的加泰罗尼亚多项式。该公式揭示了Hikita多项式系数间的一种令人惊讶的关系，蕴含了更深层次的递归关系，并证明了$(3,m)$ -Hikita多项式的$q,t$ -对称性.
An integral representation of Catalan numbers using the Féaux formula
本研究利用Féaux的Gamma函数对数积分表示，推导出Catalan数的一种新积分表达式，该式可为中心二项式系数、Catalan数相关新恒等式的推导提供基础。
A refinement of the formula for $k$-ary trees and the Gould-Vandermonde's convolution
本文给出了一类有色$k$ -叉树上的对合，从而给出了广义Catalan数$C_{k,γ}(n)=\fracγ{k n+γ}{k n+γ\choose n}$的组合和的组合证明.从组合和出发，我们改进了$k$ -叉树的公式，得到了广义Catalan数的生成函数的一个隐式公式，它显然蕴含了Gould推广的Vandermonde型卷积.此外，我们还得到了一个组合和涉及的向量推广的Catalan数的扩展我们的对合。
Chromatic statistics for Catalan and Fuß-Catalan numbers
我们完善Catalan数和Fuel-Catalan数引入颜色统计的三角形和$d$维概括那里，我们称之为Fuel-Catalan复。我们的改进包括在显示的三角形，分别Fuel-Catalan复合物，其顶点的颜色分布的数量是由封闭的产品公式。证明的关键要素是拉格朗日-古德反演公式。
Formulas and asymptotics of hypergraph Catalan numbers
本文研究了k-游走的渐进行为，通过另一种方法验证了Gunnells关于超图卡塔兰数的渐近公式，发现其增长由星形树上的k-游走数量决定。
A Determinantal Formula for Catalan Tableaux and TASEP Probabilities
本文给出了具有开放边界的完全不对称简单排它过程（TASEP）的定态概率的行列式公式。TASEP是一个已被广泛研究的一维粒子模型，具有丰富的组合结构。这些稳态概率是通过加泰罗尼亚表的枚举计算的，加泰罗尼亚表是填充有$α$和$β$的某些杨氏图，它们满足行和列上的某些条件。我们构建一个双射从加泰罗尼亚tableaux加权格路径的杨图，并从这个我们列举的路径与行列式公式，建筑在一个公式的纳拉亚纳计数未加权格路径的杨图。最后，我们提供了一个公式的加泰罗尼亚表，满足一个给定的条件的行，这对应于稳态概率，在TASEP的晶格与$n$网站，正是$k$的网站被占领的粒子。这个公式是Narayana数的$α /\ β$推广。
Enumeration of Anti-Invariant Subspaces and Touchard's Formula for the Entries of the $q$-Hermite Catalan Matrix
本文用不变子空间数目表示反不变子空间数目，并在可对角化且特征值互异时给出 q-Hermite Catalan 矩阵元素的有限域解释，同时给出 Touchard 公式的新证明。
Identities and Generating Functions of Products of Generalized Fibonacci numbers, Catalan and Harmonic Numbers
本文研究了广义 Fibonacci 与 Lucas 数类的性质，获得了著名 Fibonacci 恒等式的类比及乘积卷积新恒等式，并写下了其乘积、多截、调和数与 Catalan 数的生成函数。
Enumeration of connected Catalan objects by type
非交叉集合划分、非嵌套集合划分、戴克路径和有根平面树是四类带有类型概念的加泰罗尼亚对象。存在一个乘积公式，它根据类型枚举这些对象。我们定义了一个概念，这些对象的“连通性”，并证明了一个类似的产品公式，计数连接对象的类型。这个乘积公式的证明是组合的和双射的。我们扩展到一个产品的公式，计算对象与一个固定的类型和数量的连接组件。我们把我们的乘积公式与由停车函数产生的对称函数联系起来。最后，我们提出了另一种证明我们的产品公式传达给我们的基督教Krattenthaler使用生成函数和拉格朗日反演。
Decomposition of the Catalan number into the sum of squares
对代克词的动态分析帮助解决了将加泰罗尼亚数表示为自然数的平方和的问题。在这种情况下，在不同的坐标中考虑Dyck三角形。在计算中，我们使用Catalan卷积矩阵。
A determinant representation for generalized ballot and Fuss-Catalan numbers
本文引入了一个行列式，并给出了它的计算公式。该行列式是著名的选票数和Fuss-Catalan数的推广，被认为是新的。证明了该行列式与平面上位于有理斜率边界线以下的具有（1，0），（0，1）-步的格路的个数一致.
(k,m)-Catalan Numbers and Hook Length Polynomials for Plane Trees
由A.在Postnikov有关二叉树的基础上，我们定义了m元树和平面森林的钩长多项式，并证明了这些多项式有一个简单的二项式表达式。这个表达式的整数值是C_{k,m}（n）= \frac{1}{mn+1}{(mn+1)k \choose n}，我们称之为（k，m）-Catalan数。为了证明钩长公式，我们还引入了一个组合族，（k，m）-ary树，这是计数的（k，m）-Catalan数。
Notes on the Hankel transform of linear combinations of consecutive pairs of Catalan numbers
我们提供了一个上下文周围的一个固定的封闭形式的Hankel变换的线性组合的连续对Catalan数。推广了移位Catalan数的Hankel变换公式和Catalan数对的线性组合的已知结果。出现了许多有趣的数字三角形，其中一些我们使用Riordan数组语言进行分析。
On the extended Catalan arrangement of type $B_\ell$
本文给出了$B_\ell$型扩展Catalan排列的锥化的对数向量场生成元的显式公式。
A derivation of the Catalan numbers from a bijection between permutations and labeled trees
我们提出了一个算法映射从排列的长度DN标记n节点的d元树，并再次返回。给定这样一个双射，我们可以将卡塔兰数公式中的每一个因子都解释为排列的计数。
Parking Cascades: From the Simplest Sequence to Motzkin and Catalan
本文引入k级联停车函数，推导了基于排列模式的递归公式，其结果序列可关联Motzkin数、Catalan数等，为相关卷积三角形行和提供新组合解释。
A conjectured formula for the rational $q,t$-Catalan polynomial
本文提出有理$q,t$-Catalan多项式可用极大Dyck路径指标的单称单项式串表示的猜想，并证明对任意有限$d^*$，在满足$r\equiv 1 \mod s$且$d\leq d^*$的无限函数集上给出组合证明等价于一个有限计数问题。
Yet another way of calculating moments of the Kesten's distribution and its consequences for Catalan numbers and Catalan triangles
我们计算所谓的凯斯滕分布的矩通过该分布的密度的分母的扩展，然后集成所有的被加数相对于的循环分布。通过比较这个表达式与其他方法得到的Kesten分布的矩公式，我们发现了涉及多项式的恒等式，其幂系数与Catalan数、Catalan三角形、二项式系数密切相关.最后，作为这些恒等式的应用，我们得到了上述数之间的各种有趣的关系，也涉及卢卡斯数、斐波那契数和精细数。
Analytic and combinatorial approaches to a weighted Catalan sum
本文研究加权Catalan数的卷积，通过解析、组合和概率方法推导出闭式表达式，并探讨其与随机游走返回概率的关系。
Catalan numbers, Hankel determinants and Fibonacci polynomials
这（部分暂时）文件起源于研究汉克尔决定因素的卷积权力的Catalan数和Narayana多项式。这导致了一些汉克尔行列式签署加泰罗尼亚数的价值是倍数的斐波那契数和一些汉克尔行列式签署中央二项式系数的价值是倍数的卢卡斯数。大多数证明是计算，但我们也包括一个组合由于基督教Krattenthaler。最后，我们制定了一些建议。
Combinatoric results for graphical enumeration and the higher Catalan numbers
总结了用高阶Catalan数解决的一些组合数学问题。这些问题是用Catalan数解决的组合数学问题的推广。最近出现的高Catalan数的生成函数作为一个辅助函数在枚举映射和显式计算的分拆函数的随机矩阵的渐近展开在酉系综的情况下。给出亏格为0和亏格为1的映射的个数公式的组合证明。
Regions of the type C Catalan arrangement
在本文中，我们给出了一个双射根标记有序森林与选择子集的叶子和区域的类型$C$加泰罗尼亚安排$\R^n$。因此，我们得到了一个双射证明的著名的计数公式，这些地区${2^n}n! \binom{2n}{n}$。
Rational parking functions and Catalan numbers
经典的停车函数，以Cayley数（n+1）^（n-1）计数，带有对称群S_n的自然置换表示，其中轨道数是第n个Catalan数。在本文中，我们将这种设置推广到有理停车功能的一对（a，b）互质正整数。我们证明了这些由b^（a-1）计数的停泊函数携带S_a的一个置换表示，其中轨道数是一个有理Catalan数。计算了（a，b）-parking函数的S_a-模的Frobenius特征。接下来，我们提出了一个组合公式的q-模拟的合理卡塔兰数，并将此公式的q-二项式系数的一个新的组合模型。最后，我们讨论了有理Catalan数和停车函数的q，t-类似物（推广了经典情况下的shuffle猜想），并提出了几个示意图。
An integral representation of Catalan numbers using Malmstén's formula
本文基于Malmstén对Gamma函数对数的定积分表示，提出了Catalan数的积分表达式，该表达式有望产生涉及Catalan数或中心二项式系数的新求和。
Combinatorics of certain higher $q,t$-Catalan polynomials: chains, joint symmetry, and the Garsia-Haiman formula
高阶$q,t$ -加泰罗尼亚多项式$C^{(m)}_n(q,t)$可以组合地定义为包含在某些三角形中的格路径的加权和，或者代数地定义为由$n$的分区索引的有理函数的复杂和。本文证明了这两个定义对所有$m\geq 1$和所有$n\leq 4$的等价性。我们还给出了所有$m\geq 1$和所有$n\leq 4$的联合对称性$C^{(m)}_n(q,t)=C^{(m)}_n(t,q)$的双射证明。证明是基于一个通用的方法来证明联合对称性，解剖的对象的集合成链，然后从一个联合的初始点和终点的对称性的联合对称性的完整的对象集。进一步的结果包括所有$m\geq 1$和所有$n\leq 4$的单峰结果和$C^{(m)}_n(q,t)$中系数的具体公式。对于某些有理斜率$q,t$ -Catalan多项式，我们给出了类似的结果.
4D Dyck triangle and its projections
经典的戴克三角形、卡塔兰三角形和卡塔兰卷积矩阵是多维戴克三角形的平面投影。在Dyck路径中，每个节点由四个相关参数中的两个唯一确定：（i）当前括号的位置，（ii）括号的当前不平衡，（iii）查看的左括号的数量，以及（iv）右括号相同。最后两个参数可以分别重新定义为当前Catalan数的索引和Catalan数分解为平方和（Dyck平方）的被加数的索引。对于4D Dyck三角形，我们考虑了六个2D投影（其中一些还没有需求）和四个3D投影。
An analytic generalization of the Catalan numbers and its integral representation
本文对组合数论中的卡塔兰数进行解析推广，并利用柯西积分公式给出其积分表示，同时指出后续研究方向。
A new statistic on Dyck paths for counting 3-dimensional Catalan words
一个三维加泰罗尼亚语单词是一个三个字母的单词，因此任何两个字母上的子单词都是一个Dyck路径。对于给定的Dyck路径$D$，最近定义的一个统计量计算了加泰罗尼亚语单词的数量，其属性是任何两个字母上的子单词都正好是$D$。在本文中，我们列举了Dyck路与此统计量等于一定的值，包括所有的素数。所得到的公式是以Motzkin数和Motzkin选票数表示的。
Bijections for faces of the Shi and Catalan arrangements
在1986年，施导得了著名的公式$(n+1)^{n-1}$的区域数的施安排，超平面安排在$\mathbb{R}^n$。这个公式至少有两种不同的双射解释，一种是Pak和Stanley，另一种是Athanasiadis和Linusson。在1996年，Athanasiadis使用有限域方法推导出了一个公式的数量$k$维面的施安排，任何$k$。直到现在，Athanasiadis的公式还没有一个双射解释。在本文中，我们扩展了由Bernardi定义的区域的双射，以获得一个双射之间的$k$维面的施安排的任何$k$和一组装饰二叉树。此外，我们将展示如何将这些树可以转换为一个简单的一组功能的形式$f: [n-1] \to [n+1]$连同一个标记的子集$\text{Im}(f)$。这一对应给出了第一双射证明公式的Athanasiadis。在这个过程中，我们还得到了一个双射和计数公式的面的加泰罗尼亚安排。我们所有的结果推广到这两个扩展安排。
Modular Catalan Numbers
加泰罗尼亚数字$C_n$枚举$x_0*\dotsb*x_n$的括号，其中$*$是二元运算。当$*$满足推广通常结合性的$k$ -结合律时，我们引入模Catalan数$C_{k,n}$来计算$x_0*\dotsb*x_n$的括号化的等价类.这导致了一个研究的限制家庭的加泰罗尼亚对象列举的$C_{k,n}$，重点是二叉树，平面树和戴克路径，每个避免某些模式。给出了$C_{k,n}$的闭公式，并给出了两种不同的证明.对于每个$n\ge0$，我们计算的最大尺寸的$k$ -关联等价类，并表明，这个大小的类的数量是一个加泰罗尼亚数。
Modular Fuss-Catalan numbers
模卡塔兰数$C_{k,n}$由Hein和Huang在2016年引入，计算$x_0 * x_1 * \dots *x_n$的括号的等价类，其中$*$是二进制$k$ -结合运算，$k$是正整数。结合性的经典概念是1-结合性，在这种情况下是$C_{1,n} = 1$，唯一类的大小由加泰罗尼亚数$C_n$给出。本文引入了模Fuss-Catalan数$C_{k,n}^{m}$，它计算了$x_0 * x_1 * \dots *x_n$的括号化的等价类，其中$*$是$m \geq 2$的$m$元$k$ -结合运算.我们的主要结果是$C_{k,n}^{m}$的一个封闭公式和$k$ -结合性的一个特征。
Enumerating runs, valleys, and peaks in Catalan words
该研究针对 Catalan 词中的多类游程、谷与峰统计量，给出对应生成函数、计数公式及渐近结果，并通过与受限 Dyck 路径和有序树的双射迁移统计量。
Harmonic Catalan Number Series via Half-Integer Binomial Coefficients
该研究通过半整数参数的交替二项式恒等式，结合广义二项式系数的显式表示与相关恒等式，推导出含卡特兰数、调和数的闭式求和公式，为转化恒等式提供了系统机制。
Pfaffian decomposition and a Pfaffian analogue of q-Catalan Hankel determinants
受矩序列的Hankel行列式估计的启发，研究了一类Pfavian类似估计.我们证明了反对称矩阵的LU-分解类似，称为Pfweian分解。然后，我们应用这个公式来评估与一些经典的正交多项式的矩序列相关的Pfrons。特别地，我们得到了一类q-Catalan Pfrons的乘积公式。我们还建立了一个连接我们的Pfidian公式和一定的加权枚举移位反向平面分区。
A q-analogue of Catalan Hankel determinants
在本文中，我们将调查的各种方法，评估汉克尔行列式，并作为一个例子，我们评估一些汉克尔行列式的q-类似的Catalan数。这里我们考虑$\frac{(aq;q)_{n}}{(abq^{2};q)_{n}}$作为加泰罗尼亚数$C_{n}=\frac1{n+1}\binom{2n}{n}$的q-模拟，它被称为小q-雅可比多项式的矩。我们也给出了这个q-模拟的几个证明，其中我们使用格路径，正交多项式，或基本的超几何级数。我们还考虑了Schröder Hankel行列式的一个q-模拟，并利用${}_2F_{1}$的加法公式给出了Moztkin Hankel行列式的一个新证明.
Super Catalan Numbers and Fourier Summation over Finite Fields
本文研究了奇特征有限域上单位圆上的多项式求和，得到了一个不依赖无穷过程的纯代数积分理论。尽管如此，有很强的相似之处，经典的积分理论在一个圆圈，我们表明，超级加泰罗尼亚数和密切相关的有理数谎言的核心，这两个理论。这给了这些至今还有些神秘的数字一个统一的解析意义。我们的推导利用了三重对称的色几何之间的欧几里德和相对论几何，我们发现，傅立叶求和公式，我们在这两个不同的设置是紧密相连的。
Catalan Recursion on Externally Ordered Bases of Unit Interval Positroids
卡塔兰数形成了一个序列，可以计数超过200个组合对象。Catalan数的一个显着的性质，它延伸到这些对象，是它的递归定义;也就是说，我们可以确定$n^{th}$对象从以前的。拟阵是组合对象，它推广了线性独立的概念，并与其他数学领域有联系。单位区间拟阵（UIP）是由单位区间阶反邻接矩阵诱导的Catalan对象。与每个UIP相关联的是外部有序基的集合，由于Las Vergnas，它在邻接底部元素后产生晶格。研究了外序UIP基的偏序集和隐含Catalan诱导递归。解释，我们描述了一个算法，用于构建一个秩$n$ UIP从低秩的格。利用其固有的组合结构，我们定义了一个简单的公式来枚举一个给定的UIP基地。
Flow polytopes with Catalan volumes
Chan-Robbins-Yuen多面体可以被认为是具有净流向量$(1, 0, \ldots, 0, -1)$的完全图的流多面体。Chan-Robbins-Yuen多面体的归一化体积等于连续Catalan数的乘积，但没有组合证明这一事实。我们考虑这个多面体的一个自然推广，即，流多面体的完全图的净流向量$(1,1, 0, \ldots, 0, -2)$。我们证明了这个多面体的体积是$2$的某个幂乘以连续Catalan数的乘积。我们的证明使用了常数项恒等式，并进一步加深了为什么这些数字出现的组合之谜。此外，我们引入了两个家庭的流动多面体的体积由产品公式。
A combinatorial interpretation of the eigensequence for composition
在与自身的卷积下左移的monic序列是具有130+组合解释的Catalan数。在这里，我们建立了一个组合解释的一元序列，左移下组成：它计数排列，包含3241模式的一部分，只有35241模式。我们给两个递归，第一个允许相对快速的计算，第二个类似于一个加泰罗尼亚数字。其中4倍4！= 96个包含4个字母的类似限制模式（例如4 \underline{2} 31：431模式仅作为4231的一部分出现），产生四个不同的计数序列：64给出加泰罗尼亚数，16给出贝尔数，12给出OEIS中的序列A051295，4给出具有显式公式的新序列。
Set-Valued Tableaux & Generalized Catalan Numbers
标准集值杨表格是标准杨表格的推广，其中单元格可以包含多个整数，并且添加了位置$(i,j)$处的每个整数必须小于位置$(i,j+1)$和$(i+1,j)$处的每个整数的条件。本文探讨了组合学的标准集值杨表与两行，以及如何这些表可能被用来提供新的组合解释的广义卡塔兰数。新的组合解释提供了两个参数的Fuss-Catalan数（Raney数），合理的Catalan数，并解决所谓的“广义网球问题”。方法，然后介绍了枚举的标准集值杨tableaux，提示明确的公式一般两行的情况下。本文关闭绘制任意类的两行标准集值的杨tableaux和集合的二维格路径弱低于一个唯一的最大路径之间的双射。
On an upper bound for central binomial coefficients and Catalan numbers
本文比较了中心二项式系数的Agievich上界与Sasvari上界，证明前者更大，并给出下一阶上界表达式应用于Catalan数，证明其差值随$n$及阶数增加而减小。
Expressions for Catalan Kronecker Products
给出了Kronecker积s_（d，d）* s_（d+k，d-k）和s_（d，d）* s_（2d-k，1^k）的一些初等显正公式.这些公式证明了Kronecker系数的一些基本性质，我们用它们来推导一些枚举和组合的结果。
An explicit basis for the extended Catalan arrangement of type Dl
本文为 D_l 型扩展 Catalan 排列的锥的导子模构造显式齐次基，并证明其在无穷远处与已知积分基一致，从而阐明参数选择的几何动机。
Hankel Determinants for Convolution of Power Series: An Extension of Cigler's Results
该研究将Cigler关于卡特兰数卷积幂的汉克尔行列式恒等式，推广到满足特定二次方程的一般幂级数卷积场景，并给出Motzkin数卷积幂的汉克尔行列式恒等式作为应用。
The freeness of Shi-Catalan arrangements
设$W$为有限外尔群，$\A$为相应的Weyl排列. $\A$的变形是通过将$H$的几个平行移动通过垂直于$H$的正根（及其整数倍）添加到每个超平面$H\in\A$而获得的仿射布置。如果每个超平面$H\in \A$的平行超平面的数目仅取决于$H$的$W$ -轨道，则我们说变形是$W$ -等变的.证明了$W$ -等变变形的锥环在Shi-Catalan条件下是自由排列的，并给出了腔室个数的计算公式.这推广了Edelman-Reiner的Yoshinaga定理。
Combinatorial proofs of totals of some statistics on Catalan words
本文通过组合方法证明了Catalan词中某些统计量总和的公式，并解释了一个相关的Catalan数恒等式。
Convolution numbers: the cyclic case
本文引入卷积和并探讨有限集上的循环卷积特例，所得分布是 Catalan 数与 Narayana 数的多维推广，为循环素数情形提供闭式解，并指出其对攻克 Hadamard 矩阵猜想的意义。
New Formulas for Dyck Paths in a Rectangle
我们考虑的问题计数集$\mathscr{D}_{a,b}$的Dyck路内接在一个矩形大小$a\times b$。它们是由加泰罗尼亚数字列举的古典戴克词的自然概括。利用与Dyck路相关的Ferrers图，我们导出了用Catalan数表示的具有$a$和$b$非互素的$\mathscr{D}_{a,b}$的计数公式.
Catalan numbers for complex reflection groups
对任意不可约复反射群W构造了（q，t）-Catalan多项式和q-Fuss-Catalan多项式。在这个建设的两个主要成分是Rouquier的制定转移函子的理性Cherednik代数的W，和Opdam的分析置换的不可约表示的W所产生的Knizhnik-Zamolodchikov连接。
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