Triangle-free Uniquely 3-Edge Colorable Cubic Graphs
本文给出了无限多个无三角形的唯一3边可着色三次图的新例子。此前已知的唯一一张这样的图是Tutte在1976年给出的。
2015-08-27 math.CO
Uniquely 2-List Colorable Graphs
一个图称为唯一列表可着色的，如果它允许一个列表分配，导致一个唯一的列表着色。我们研究唯一列表可着色图的颜色使用的数量上的限制。在这种方法中，我们推广了一个定理，唯一的2-列表着色图的特点。本文引入了图的唯一色数表，并对它作了一个猜想，它是著名的Brooks定理的推广。
2008-01-02 math.CO
Graphs with no $K_9^=$ minor are 10-colorable
Hadwiger猜想认为任何没有$K_t$子图的图都是$(t - 1)$ -可着色的。这一点已在$t \le 6$中得到证明，但在$t \ge 7$中仍是开放的。作为这个猜想的一个变体，没有$K_t^=$子图的图已经被考虑，其中$K_t^=$表示去掉两条边的完全图。已经证明，没有$K_t^=$子图的图对于$t \in \{7, 8\}$是$(2t - 8)$可着色的。在本文中，我们将这个结果推广到$t = 9$的情况，并证明了没有$K_9^=$子图的图是$10$ -可着色的。
2018-09-16 math.CO
A note on uniquely 10-colorable graphs
本文证明了当k ≤ 10时，任何具有唯一k-染色的色数k的图都存在k阶团子式.
2020-02-19 math.CO
Planar graphs without 4-cycles adjacent to triangles are DP-4-colorable
单图的DP-染色（也称为对应染色）是列表染色的推广。已知与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是4-可选图，不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色图.本文证明了与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色的，这是上述两个结果的推广。
2017-12-25 math.CO
A comment to: On 3-colorable planar graphs without short cycles
设G是一个图。证明了：如果G是一个不含{4，6，7}-圈且两个5-圈不共用一条边的可平面图，则G是3-可着色的.我们注意到这个结果的证明是不正确的。
2008-10-20 math.CO
Graphs with girth $2\ell+1$ and without longer odd holes are $3$-colorable
对于一个数$\ell\geq 2$，设$\mathcal{G}_{\ell}$表示围长为$2\ell+1$且没有长度大于$2\ell+1$的奇洞的图族. Plummer和Zha证明了$\mathcal{G}_2$中的3-连通和内部4-连通图都是3-可着色的. Wu、Xu和Xu证明了$\bigcup_{\ell\geq2}\mathcal{G}_{\ell}$中的每个图都是3-可着色的。Chudnovsky等人和Wu等人，分别证明了$\mathcal{G}_2$和$\mathcal{G}_3$中的所有图都是3-可着色的。本文证明了$\bigcup_{\ell\geq5}\mathcal{G}_{\ell}$中的所有图都是3-可着色的。
2022-12-31 math.CO
On uniquely list colorable graphs
设G是n个顶点的图，对G中的每个顶点v，存在一个k色表L（v），使得G在这个表集合中有唯一的真染色，则G称为唯一k-表可着色图.最近M。Mahdian和E.S. Mahmoodian刻画了唯一2-列表可着色图。在这里，我们陈述的一些结果，这将铺平道路的唯一k-列表着色图的特征。这一概念与图着色中的定义集和拉丁方中的临界集之间存在联系。
1999-06-02 math.CO
Size of edge-critical uniquely 3-colorable planar graphs
一个图$G$是\emph{uniquely k-colorable}，如果$G$的色数是$k$，并且$G$只有一个$k$ -染色直到颜色的置换.唯一$k$可着色图$G$是边临界图，如果$G-e$对任何边$e\in E(G)$都不是唯一$k$可着色图. Mel'nikov和Steinberg [L. S.梅尔尼科夫河Steinberg，One counterexample for two aesthetures on three coloring，Discrete Math.20（1977）203-206]要求找到一个边临界3-可着色平面图的边数的精确上界。本文给出了边临界唯一3-可着色可平面图的一些性质，并证明了如果$G$是这样的具有$n(\geq6)$顶点的图，则$\frac{8}{3}n-\frac{17}{3}$改进了Matsumoto [N. Matsumoto，边临界唯一3-可着色可平面图的尺寸，Electron. J. Combin。20（3）（2013）$\#$ P49]。此外，我们还找到了一些边临界3-可着色的可平面图，它们的顶点为$n(=10,12, 14)$，边为$\frac{5}{2}n-7$.
2013-12-29 math.CO
Tree-colorable maximal planar graphs
极大可平面图的树染色是一个真点$4$ -染色，使得由此染色导出的每个双色子图都是树.一个极大可平面图$G$是树可着色的，如果$G$有树可着色.本文证明了树可着色极大可平面图$G$至少含有四个奇顶点，且其$δ(G)\geq 4$是可着色极大平面图.此外，对于一个最小度为4的树可着色的最大可平面图，如果它恰好包含四个奇顶点，我们证明了由它的四个奇顶点导出的子图不是爪，并且不包含三角形。
2014-03-20 math.CO
Plane graphs without 4- and 5-cycles and without ext-triangular 7-cycles are 3-colorable
在[J. A.邦迪大学S. R. Murty，图论，Springer，Berlin，2008]是Steinberg的猜想，它指出每个不含4-和5-圈的可平面图是3-可着色的。本文证明了不含4-圈和5-圈的平面图是3-可着色的，如果它们不含外三角7-圈。这意味着（1）不含4-，5-，7-圈的可平面图是3-可着色的，（2）不含4-，5-，8-圈的可平面图是3-可着色的，这一结果覆盖了文献中由Steinberg猜想所激发的许多已知结果.
2017-02-24 math.CO
Every signed planar graph without cycles of length from 4 to 7 is 3-colorable
Hu和Li研究了Erd $\ddot{\mathrm{o}}$问题的带符号图版本：是否存在常数$c$使得每个不含$k$ -圈的带符号可平面图，其中$4\leq k\leq c$，是$3$ -可着色的，并证明了每个不含长度为4到8的圈的带符号可平面图是3-可着色的.我们给出了这个结果的一个非常简短和简单的证明，并根据最近的观察改进了它。
2022-05-03 math.CO
Every planar graph without adjacent short cycles is 3-colorable
如果两个循环具有共同的边沿，则它们是{ \em相邻}的。设$G$是一个可平面图，对于任意两个相邻的圈$C_{1}$和$C_{2}$，我们有$|C_{1}| + |C_{2}| \geq 11$，特别地，当$|C_{1}| = 5$，$|C_{2}| \geq 7$ .证明了图$G$是3-可着色的.
2010-04-05 math.CO
Planar graphs without cycles of length 4 or 5 are (11:3)-colorable
一个图G是（a：b）-可着色的，如果存在{1，.，a}映射到G的顶点，使得分配给邻顶点的集合是不相交的。我们证明了每个不含长度为4或5的圈的可平面图都是（11：3）-可着色的，这是对最近被否定的Steinberg猜想的一个削弱.特别地，每个具有n个顶点的这样的图具有大小至少为3 n/11的独立集。
2019-07-14 math.CO
Planar graphs without 7-cycles and butterflies are DP-4-colorable
DP-着色（也称为对应着色）是列表着色的一种推广，由Dvopelák和Postle在2017年引入。众所周知，存在不可4选的可平面图。可平面图是DP- $4$ -可着色的充分条件是近年来研究的热点.特别地，对于每个$k \in \{3, 4, 5, 6\}$，每个没有$k$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的。本文证明了不含$7$ -圈和蝴蝶的可平面图是DP- $4$ -可着色的.我们的证明可以很容易地修改，以证明其他充分条件，禁止集群形成的许多三角形。
2019-11-04 math.CO
Every toroidal graphs without adjacent triangles is odd 8-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果$χ_o(G)\le k$是奇数，我们说$G$是奇数$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。Tian和Yin证明了每个环形图都是奇$9$ -可染的，每个不含$3$ -圈的环形图都是奇$9$ -可染的.本文证明了不含相邻$3$ -圈的环形图是奇$8$ -可染的.
2022-06-15 math.CO
Nonrepetitively 3-colorable subdivisions of graphs with a logarithmic number of subdivisions per edge
本文证明了对任何图$G$和对$G$的每条边至少细分$O(\log |V(G)|)$得到的任何图$H$，$H$都是非重复3-可着色的.事实上，我们表明，$O(\log π'(G))$细分每边是足够的，其中$π'(G)$是非重复色指数的$G$。这回答了伍德的一个问题，并改进了Pezarski和Zmarz的一个类似结果，该结果表明存在至少一个3-着色划分，每个边的细分顶点数为线性。
2021-02-01 math.CO
Planar graphs without 5-cycles and intersecting triangles are $(1,1,0)$-colorable
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含$5$ -圈和相交三角形的平面图都是$(0,0,0)$ -可着色的.本文证明了这类图是$(1,1,0)$ -可着色的.
2014-09-26 math.CO
Every toroidal graph without $3$-cycles is odd $7$-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果是$χ_o(G)\le k$，我们说$G$是$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。本文证明了不含$3$ -圈的环形图是奇$7$ -可染的.因此，任何不含$3$ -圈的平面图都是奇$7$ -可着色的.也就是说，如果解决了围绕$3$ -圈的其余情形，就可以证明每个环形图都是$7$ -可着色的。
2022-06-13 math.CO
Every graph with no $K_7^{\vee}$-minor is $6$-colorable
本文受 Hadwiger 猜想启发，证明每个不含 $K_7^{\vee}$-子式的图都是 $6$-可着色的。
2025-07-04 math.CO
5 Colorable Visibility Graphs Have Bounded Size or 4 Collinear Points
我们调查的问题，找到一个界限的大小$χ$ -着色有限可见性图，最多有$\ell$共线点。这可以被看作是大线-大集团猜想的一个放松版本。我们证明了任何至少有2311个点的有限点集要么有4个共线点，要么有一个不可5色的可见图。
2014-10-27 math.CO
Planar graphs with girth at least 5 are (3,4)-colorable
一个图是$(d_1, \ldots, d_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以被划分为$k$个非空子集，使得由$i$个部分导出的子图的最大度至多为$d_i$，对于每个$i\in\{1, \ldots, k\}$ .已知对于每对$(d_1, d_2)$，存在具有围长$4$的平面图，该平面图不是$(d_1, d_2)$可着色的。这引发了人们对寻找$(d_1, d_2)$对的兴趣，使得周长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的。给定$d_1\leq d_2$，已知围长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的，如果$d_1\geq 2$和$d_1+d_2\geq 8$或$d_1=1$和$d_2\geq 10$ .我们通过提供文献中第一对满足$d_1+d_2\leq 7$的$(d_1, d_2)$改进了上述结果，其中围长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的。也就是说，我们证明了围长至少为$5$的可平面图是$(3, 4)$ -可着色的。
2019-08-08 math.CO
Graphs with girth 8 and without longer even holes are 3-colorable
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Shanghai Maritime University（上海海事大学）
本文证明了围长为8且无长度大于8的偶洞的图是3-可着色的。
2026-05-27 math.CO
On uniquely colorable Cayley graphs
University of Niš（尼什大学）
该研究解决了Klotz和Sander提出的两个关于唯一可着色Cayley图的开放问题，构造了无限族唯一3-可着色整循环图并否定相关猜想，还建立通用代数构造证明非阿贝尔群上存在符合要求的唯一可着色Cayley图。
2026-09-04 math.CO
Planar graphs without $5^{-}$-cycles at distance less than $3$ are $(\mathcal{I}, \mathcal{F})$-colorable
该研究针对平面图的$(\bma{I}, \bma{F})$-着色问题，证明了距离小于3的位置不含$5^{-}$-圈的平面图均满足该着色性质，拓展了平面图可着色性的相关结论。
2023-11-06 math.CO
Flows of 3-edge-colorable cubic signed graphs
Bouchet在1983年证明了每一个流可容许的符号图都有一个无处为零的6-流，这等价于对三次符号图的限制。本文证明了每一个流容许的$3$ -边可着色的三次符号图都存在一个无零$10$ -流。这与四色定理一起意味着每个流容许的无桥平面符号图容许一个无处零的$10$ -流。作为一个副产品，我们还表明，每一个流允许的哈密顿符号图承认无处零$8$ -流。
2022-11-03 math.CO
On uniquely k-list colorable planar graphs, graphs on surfaces, and regular graphs
一个图$G$称为唯一k-列表可着色（UPDMATHABMN LC），如果在它的顶点上存在一个颜色列表，比如说$L=\lbrace S_v \mid v \in V(G) \rbrace $，每个颜色的大小为$k$，使得从这个颜色列表中存在唯一的真列表着色$G$.一个图$G$被称为具有性质$M(k)$，如果它不是唯一的$k$ -列表可着色的. Mahmoodian和Mahdian刻画了所有具有性质$M(2)$的图.对于$k\geq 3$性质$M(k)$，仅对多部图进行了研究。在这里，我们发现$M(k)$上的边界嵌入在表面上的图，并获得新的结果可平面图。我们开始对$M(k)$上的正则图以及具有不同列表大小的图的界限进行一般性研究。
2017-05-21 math.CO
Every graph with no $\mathcal{K}_9^{-6}$ minor is $8$-colorable
对于正整数$t$和$s$，令$\mathcal{K}_t^{-s}$表示从完全图$K_t$去除$s$边得到的图族。一个图$G$没有$\mathcal{K}_t^{-s}$子图，如果它对于每个$H\in \mathcal{K}_t^{-s}$都没有$H$子图。受著名的Hadwiger猜想的启发，Jakobsen在1971年证明了所有不含$\mathcal{K}_7^{-2}$子图的图都是$6$ -可着色的;最近，作者证明了所有不含$\mathcal{K}_8^{-4}$子图的图都是$7$ -可着色的。在本文中，我们继续我们的工作，并证明了任何没有$\mathcal{K}_9^{-6}$子图的图是$8$ -可着色的。我们的结果意味着Paul Seymour在2017年提出的$H$ -Hadwiger猜想对所有九点图$H$成立，使得$H$是$ \mathcal{K}_9^{-6}$中每个图的子图。
2022-10-05 math.CO
Decomposing graphs into interval colorable subgraphs and no-wait multi-stage schedules
一个图$G$称为区间可着色的，如果它有一个用颜色$1,2,3,\dots$的适当边染色，使得关联到$G$的每个顶点的边的颜色形成一个整数区间.不是所有的图都是区间可着色的;事实上，很少有图族被证明是区间可着色的。本文引入并研究了图$G$的区间着色厚度的概念，记为${θ_{\mathrm{int}}}(G)$，它是$G$的并为$G$的区间可着色边不交子图的最小数目.我们的调查是出于紧凑性要求的调度问题，特别是问题的解决方案可能包括几个时间表，但每个时间表必须不包含任何等待期或空闲时间的所有参与方。首先证明了每一个连通的$3$ -边可着色图都是区间可着色的，并且利用这个结果，我们给出了一般图$G$的${θ_{\mathrm{int}}}(G)$的一个上界.我们证明了当$G$是二部的，平面的或完全多部的情况下，这个上界可以得到改进，并考虑了一些应用。
2021-06-07 math.CO
Triangle-free graphs that do not contain an induced subdivision of $K_4$ are 3-colorable
本文证明无三角形且不含 K4 导出细分的图必为 3-可着色，从而解决了 Trotignon 与 Vuskovic 提出的猜想。
2017-04-26 math.CO
Triangle-free graphs of tree-width t are ceil((t + 3)/2)-colorable
证明了树宽为t的无三角形图的色数至多为ceil（（t + 3）/2），并证明了这个界是紧的.本文还建立了树宽为t的图的着色与路宽为t的图的在线着色之间的联系。
2017-06-09 math.CO
Planar graphs having no cycle of length $4$, $6$ or $8$ are DP-3-colorable
本文证实了Dvořák和Postle的猜想，通过证明更强的结果：没有长度为4、6或8的圈的平面图是DP-3-可着色的。
2024-12-26 math.CO
Every subcubic multigraph is $(1,2^7)$-packing edge-colorable
对于正整数的非减序列$S = (s_1, \ldots, s_k)$，图$G$的$S$ -填充边染色是将$G$的边分解成不相交的集合$E_1, \ldots, E_k$，使得对于每个$1 \le i \le k$，任何两个不同边之间的距离$e_1, e_2 \in E_i$至少为$s_i+1$。$S$ -填充边染色的概念首先由Gastineau和Togni从它的顶点对应物推广而来。他们证明了存在非$(1,2,2,2,2,2,2)$ -packing（缩写为$(1,2^6)$ -packing）边可着色的次立方图，并提出了是否每个次立方图都是$(1,2^7)$ -packing边可着色的问题。最近，Hocquard，Lajou和Lužar证明了每个次立方图都是$(1,2^8)$ -packing边可着色的，并且每个$3$ -edge可着色的次立方图都是$(1,2^7)$ -packing边可着色的.此外，他们还证明了每个次立方图都是$(1,2^7)$ -填充边可着色的。本文证实了Hocquard，Lajou和Lužar的猜想，并将其推广到多重图.
2022-06-30 math.CO
On restricted colorings of $(d,s)$-edge colorable graphs
如果一个循环的边被两种不同的颜色正确着色，则该循环是$2$着色的。一个$(d,s)$ -边可着色图$G$是一个$d$ -正则图，它允许一个适当的$d$ -边着色，其中$G$的每条边至少在$s-1$ $2$ -着色$4$ -圈中.给定一个$(d,s)$ -边可着色图$G$和满足一定稀疏性条件的$G$的边的禁色列表分配$L$，证明了$G$存在一个避免$L$的$d$ -边适当着色，即$G$的适当边着色$φ$，使得对$G$的每条边$e$都有$φ(e) \notin L(e)$.
2019-05-25 math.CO
The $\mathbb{Z}$-Divisor Graph on $\mathbb{Q} \cap [1,7]$ is Planar and 3-Colorable
Baylor University（贝勒大学）
本文证明了满足 $m\leq 7n$ 的整数区间上的因子图是平面图，且 7 为最优界限，并进一步证明这些图可 3-着色。
2026-09-22 math.CO
Every planar graph without $i$-cycles adjacent simultaneously to $j$-cycles and $k$-cycles is DP-$4$-colorable when $\{i,j,k\}=\{3,4,5\}$
DP-染色是简单图列表染色的推广。列表着色中的许多结果可以推广到DP-着色中。Kim和Ozeki证明了没有$k$-圈的平面图，其中$k=3,4,5,$或$6$是DP-$4$-可着色的.最近，Kim和Yu推广了关于$3$-圈和$4$-圈的结果，证明了没有三角形邻接$4$-圈的平面图是DP-$4$-可着色的。Xu和Wu证明了不存在同时与$3$-圈和$4$-圈相邻的$5$-圈的平面图是$4$-可选的.本文推广了关于$5$-圈和与$4$-圈相邻的三角形的结果，证明了当$\{i,j,k\}=\{3,4,5\}.$时，没有$i$-圈同时与$j$-圈和$k$-圈相邻的平面图是DP-$4$-可染的.这也推广了徐和吴的结果.
2018-01-31 math.CO
Planar graphs without 4-cycles and close triangles are (2,0,0)-colorable
对于一组非负整数$c_1, \ldots, c_k$，图$G$的一个$(c_1, c_2,\ldots, c_k)$ -染色是将$V(G)$划分为$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$i$，$1\le i\le k, G[V_i]$的最大度至多为$c_i$ .证明了所有不含4-圈且三角形间边不少于两条的可平面图都是$(2,0,0)$ -可着色的.
2018-06-20 math.CO
Every planar graph without 4-cycles adjacent to two triangles is DP-4-colorable
Wang和Lih在2002年证明了任何不含相邻三角形的可平面图都是4-可选图。本文证明了每个与两个三角形相邻的不含任何4-圈的可平面图都是DP-4-可着色的，改进了Lam，Xu和Liu [Journal of Combin. Theory，Ser. B，76（1999）117- 126]，Cheng，Chen和Wang [Discrete Math.，339（2016）3052--3057]以及Kim和Yu [arXiv：1709.09809v1]。
2018-04-21 math.CO
Improper coloring of graphs on surfaces
一个图$G$是$(d_1,\ldots,d_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分成$k$集$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$i\in\{1, \ldots, k\}$，由$V_i$诱导的$G$的子图在至多$d_i$处具有最大度.四色定理指出每个平面图都是$(0,0,0,0)$ -可着色的，Cowen，Cowen，和Woodall的一个经典结果表明每个平面图都是$(2,2,2)$ -可着色的.在本文中，我们将这两个结果推广到曲面上的图。也就是说，我们证明了每一个可嵌入到欧拉亏格$g>0$的曲面上的图都是$(0,0,0,9g-4)$ -可着色的和$(2,2,9g-4)$ -可着色的。此外，这些图也是$(0,0,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的和$(2,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的。我们还证明了每一个可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的无三角形图都是$(0, 0, O(g))$ -可着色的。这是Grötzsch定理的一个扩展，该定理指出无三角形平面图是$(0, 0, 0)$ -可着色的。最后证明了任意围长至少为7的可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的图都是$(0,O(\sqrt{g}))$ -可着色的.所有这些结果在几个方面都是最好的，因为围长条件是尖锐的，恒定的最大程度不能得到改善，并且取决于$g$的最…
2018-10-29 math.CO
A note on shortest circuit cover of 3-edge colorable cubic signed graphs
符号图$(G, σ)$的{符号电路覆盖} $\mathcal{F}$是覆盖$(G, σ)$所有边的符号电路族。最短符号电路覆盖问题由Má $\check{\text{c}}$ ajová、Raspaud、Rollová和Škoviera（JGT 2016）提出，近年来受到了很多关注。本文证明了每一个流容许的3边可着色三次符号图$(G, σ)$都有一个长度至多为$\frac{20}{9} |E(G)|$的符号圈覆盖.
2022-04-12 math.CO
On uniquely 3-colorable plane graphs without prescribed adjacent faces
一个图$G$是\emph{uniquely k-colorable}，如果$G$的色数是$k$，并且$G$只有一个$k$ -染色直到颜色的置换.对于平面图$G$，如果$d(f_1)=i$，$d(f_2)=j$和$f_1$和$f_2$有公共边，则$G$的两个面$f_1$和$f_2$是\emph{adjacent $(i,j)$-faces}，其中$d(f)$是面$f$的次数。本文证明了每一个唯一3-可染平面图都有相邻的$(3,k)$ -面，其中$k\leq 5$。$k$的边界5是最好的。进一步证明了存在一类唯一3-可着色的平面图，其中$i,j\in \{3,4,5\}$和$i \neq j$既不具有相邻的$(3,i)$-面，也不具有相邻的$(3,j)$ -面.我们的一个构造意味着存在一个无限族的边临界的唯一3-可着色的平面图，其中$n(\geq 11)$是奇数且$n\equiv 2\pmod{3}$具有$n$顶点和$\frac{7}{3}n-\frac{14}{3}$边.
2015-09-10 math.CO
Deciding lettericity is NP-complete, even for four-colorable comparability graphs
University of Florida（佛罗里达大学）
本文证明判定图的lettericity至多为k是NP完全的，即使对四色可比图也成立，通过将二部图归约到其关联图的膨胀图，并利用边划分路径的NP完全性。
2026-10-06 math.CO
Graphs with girth $2\ell$ and without longer even holes are $3$-colorable
本文证明了对任意整数 $\ell\geq5$，围长为 $2\ell$ 且不含更长偶洞的图都是 3-可着色的，部分解决了 Wu、Xu 和 Xu 关于该类图 3-可着色性的猜想。
2025-09-01 math.CO
Graphs that contain a $K_{1,2,3}$ and no induced subdivision of $K_4$ are $4$-colorable
本文证明了一个猜想：当图包含 $K_{1,2,3}$ 且不含 $K_4$ 的导出细分图时，该图是 $4$-可染色的。
2023-05-06 math.CO
Tiling tripartite graphs with 3-colorable graphs
设G是一个三部图，每个顶点类中有N个顶点，N可被6 h整除，且每个顶点至少与其它顶点类中的2N/3+h-1个顶点相邻.证明了如果N足够大，则G可以完全被K_{h,h,h}的拷贝拼接.这推广了文[19]中的工作，也给出了任意（固定）3-可着色图可平铺的一个充分条件.此外，我们表明，这种最小程度的条件是最好的可能性，并提供了非常严格的界限时，N是由h整除，但不是由6 h。
2016-05-21 math.CO
1-planar graphs are odd 13-colorable
图$G$的奇染色是指图$G$中任意非孤立点的染色在其邻点上出现奇数次的真染色。奇色数，记作$χ_o(G)$，是允许$G$的奇染色的最小颜色数。Petruševski和Škrekovski在2021年引入了这个概念，并证明了如果$G$是平面的，那么$χ_o(G)\le9$和证明了$χ_o(G)\le5$。最近，Petr和Portier将$9$改进为$8$。一个图是$1$ -平面的，如果它可以画在平面上，使得每一条边最多与另一条边相交。Cranston，Laffeine和Song证明了每个$1$ -平面图都是奇$23$ -可染的.本文改进了这一结果，证明了每个$1$ -平面图都是奇$13$ -可染的.
2022-06-28 math.CO
Uniquely Distinguishing Colorable Graphs
本文定义并研究唯一可区分着色图，提出1型与2型分类，刻画非连通图、树及二部图结构，并据此确定 G∪G 与 G 的可区分色数关系。
2023-08-15 math.CO
Diamond-free, claw-free cubic graphs are (1, 1, 2, 3)-packing colorable
University of St. Thomas（圣托马斯大学）；Trinity College（三一学院）
研究不含钻石图、无爪立方图是否为\((1, 1, 2, 3)\)-填充可染色的问题，通过对图\(G\)的分析给出肯定答案，核心方法是对\(V(G)\)进行特定划分，主要贡献是解决了相关填充染色问题。
2026-07-29 math.CO
Strongly Set-Colorable Graphs: A Complete Characterization
本文给出强集合可着色图的完整刻画，证明其等价于关联 3-一致超图构成唯一 Steiner 三元系的 packing，从而统一并简化了该图类的结构理论。
2025-08-16 math.CO
Planar graphs without cycles of lengths 4 and 5 and close triangles are DP-3-colorable
Montassier，Raspaud，and Wang（2006）要求找到最小的正整数$d_0$和$d_1$，使得没有$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge d_0$的可平面图是$3$ -可选的，没有$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge d_1$的可平面图是$3$ -可选的，其中$d^Δ$是三角形之间的最小距离。结果显示，$2\le d_0\le 4$和$d_1\le 3$ .本文证明了下列可平面图是DP-3-可着色的：（1）不含$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge 3$的可平面图是DP- $3$ -可着色的;（2）不含$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge 2$的可平面图是DP- $3$ -可着色的. DP-着色是列表着色的推广，因此作为推论，$d_0\le 3$和$d_1\le 2$。实际上，我们证明了更强的声明，每个预着色的一些圈可以扩展到整个图。
2018-09-04 math.CO
A note on 3-colorable plane graphs without 5- and 7-cycles
Borodin等人指出了J. Combinatorial Theory Ser. B（Vol.96（2006）958- 963）中的一个空白，并利用类似的方法给出了一个新的证明。本文的目的是通过稍微修改特殊面孔的定义，并在证明中添加几行解释（新添加的文本都是黑色字体）来修复差距。
2008-10-08 math.CO
$(2P_2,K_4)$-Free Graphs are 4-Colorable
本文证明了所有无$(2P_2,K_4)$图都是4-可着色的.五轮和七轮的补充达到了界限。这回答了Wagon \cite{Wa80}在20世纪80年代提出的一个悬而未决的问题。我们的结果也可以被看作是一个结果，在研究的Vizing界的图类。图着色计算复杂性研究中的一个主要问题是无$(4P_1,C_4)$图的着色能否在多项式时间内解决。Lozin和Malyshev \cite{LM17}推测答案是肯定的。作为我们主要结果的应用，我们给出了$(4P_1,C_4)$ -free图的一个2-近似染色算法，为猜想提供了第一个肯定的证据。
2018-12-14 math.CO
Trivial coloring of Cartesian product of graphs
本文推广了Greenwell和Lovász关于完全图平凡幂可着色的结果，证明了一类满足团条件的有限连通图是平凡幂可着色的，并据此完整刻画了平凡幂可着色的余图，还描述了其无限幂的着色结构。
2024-10-22 math.CO
A note on the locally irregular edge colorings of cacti
一个图是局部不规则的，如果每一条边的端点的度是不同的。图G的一个边染色是局部不规则的，如果每一种颜色都导出G的一个局部不规则子图。可着色图G是允许局部不规则边着色的图。可着色图G的局部不规则边染色所需的最小颜色数是G的局部不规则色数X 'irr（G）。局部不规则猜想认为所有可着色图的局部不规则边最多需要3种颜色。最近，人们发现这个猜想对蝴蝶结图B不成立，因为B是可着色的，并且需要至少4种颜色才能使局部不规则边着色。由于B是一个仙人掌图，所有不可着色的图也是仙人掌，这似乎是一个相关的一类图的局部不规则性猜想。本文证明了对所有可着色仙人掌图，X 'irr（G）<= 4.
2022-07-07 math.CO
