Optimal Approximate Distance Oracle for Planar Graphs
边加权图的$(1+ε)$ -近似距离预言是一种数据结构，它返回任意两个查询顶点之间的近似最短路径距离，直到$(1+ε)$因子。Thorup（FOCS 2001、JACM 2004）和Klein（SODA 2002）独立地构建了一个$(1+ε)$ -近似距离预言机，其中具有$O(n\log n)$空间（以字数衡量）和$O(1)$查询时间，当$G$是一个具有$n$顶点的无向平面图并且$ε$是一个固定常数时。许多后续工作给出了$(1+ε)$ -近似距离预言机，在空间和查询时间之间进行了各种权衡。然而，提高$O(n\log n)$的空间约束，而不牺牲查询时间仍然是一个开放的问题，近二十年。在这项工作中，我们解决了这个问题肯定通过构建一个$(1+ε)$ -近似距离预言机的最佳$O(n)$空间和$O(1)$查询时间的无向平面图和固定的$ε$。我们也取得了实质性的进展，平面有向图与非负边权。对于固定的$ε> 0$，我们给出了一个$(1+ε)$ -近似距离预言空间$o(n\log(Nn))$和$O(\log\log(Nn)$查询时间;这里$N$是最大和最小正边权重之间的比值。这改进了Thorup的（FOCS 2001，JACM 2004）$O(n\log(Nn)\log n)$空间，该空间被多个对数因子约束，同时匹配其结构的查询时间。这是二十年来平面有向图的第一次改进，包括加权和非加权的设置。
2021-11-05 cs.DS
Constant Query Time $(1 + ε)$-Approximate Distance Oracle for Planar Graphs
对于具有$n$顶点和非负边长的无向平面图$G$，给出了一个具有$O(1)$查询时间的$(1+ε)$ -近似距离预言机.对于$ε>0$和$G$中的任意两个顶点$u$和$v$，我们的预言机给出了一个距离$\tilde{d}(u,v)$，其拉伸$(1+ε)$在$O(1)$时间内。oracle具有大小$O(n\log n ((\log n)/ε+f(ε)))$和预处理时间$O(n\log n((\log^3 n)/ε^2+f(ε)))$，其中$f(ε)=2^{O(1/ε)}$。这是$n$中第一个$O(1)$查询时间与$ε$无关、大小与预处理时间近似线性的$(1+ε)$ -近似距离预言机，改进了以前的$(1+ε)$ -近似距离预言机的查询时间$O(1/ε)$，大小近似线性.
2017-06-09 cs.DS
Track Layouts, Layered Path Decompositions, and Leveled Planarity
我们研究了两种类型的图布局，轨道布局和分层路径分解，以及它们的相关参数轨道数和分层路径宽度之间的关系。我们使用这两种类型的布局来表征水平可平面图，这是没有虚拟顶点的平面水平图的图。它遵循从已知的NP-完全性的平整的轨道数和分层的路径宽度也是NP-完全的，即使是最小的常数参数值，使这些参数非平凡的。我们证明了有界分层路宽的图包括外平面图，Halin图和平方图，但（尽管有界的轨道数）串-平行图不具有有界分层路宽。最后，我们调查这些布局的参数化的复杂性，表明过去的方法用于书籍布局不工作的树宽或几乎树数的参数化的问题，但这个问题是（非均匀）固定参数易处理的树深度。
2018-10-18 cs.DS math.CO
More Compact Oracles for Approximate Distances in Planar Graphs
距离预言是一种数据结构，它为图中的最短路径和距离查询提供快速（可能是近似）答案。空间需求和查询时间的距离预言机之间的权衡是特别感兴趣的，本文的主要焦点。在FOCS'01中，Thorup引入了平面图的近似距离预言。他证明了，对于任何eps>0和任何平面图上的n个节点，存在一个（1+eps）-近似距离预言机使用空间O（n eps^{-1} log n），使近似距离查询可以回答时间O（1/eps）。十年后，我们给出了平面图的空间查询时间权衡的第一个改进。* 我们给出了第一个具有次二次依赖于1/eps的时空积的预言。对于空间~O（n log n），我们得到查询时间~O（1/eps）（假设多项式边权重）。该空间仅显示对1/eps的双对数依赖性。我们相信，对eps的依赖可能几乎是最佳的。* 对于中等边权重的情况（平均值由polylog（n）限制，这似乎是许多现实世界道路网络的情况），我们击中了一个“甜蜜点”，在eps和n方面改进了Thorup的预言。我们的oracle使用空间~O（n log log n），查询时间~O（log log log n + 1/eps）。（本摘要中的渐近符号隐藏了log（1/eps）和log*（n）中的低次多项式。
2011-10-28 cs.DS
Structured Recursive Separator Decompositions for Planar Graphs in Linear Time
给定一个n阶平面图G和一个整数参数r<n，G的少洞r-划分是将G分解为O（n/r）个大小不超过r的区域，使得每个区域包含最多常数个不是G的面（也称为洞）的面，并且对于每个区域，这些面上的顶点总数为O（sqrt r）。我们提供了一个线性时间算法计算r-划分与几个孔。事实上，我们的算法计算了一个称为分解树的结构，它表示G的递归分解，其中包括基本上所有r值的r-划分。特别地，给定指数增长序列r =（r_1，r_2，.），我们的算法可以在线性时间内产生具有很少孔的递归R-除法。在计算最短路径、最小切割和最大流的有效算法中，已经使用了具有很少孔的R-划分。我们的线性时间算法改进了最小st-割的最新算法中使用的分解算法（Italiano，Nussbaum，Sankowski和Wulff-Nilsen，STOC 2011），消除了其算法整体运行时间的瓶颈之一（类似于平面和有界亏格图中的最小割）。
2013-05-17 cs.DM cs.DS math.CO
Approximation Schemes for Planar Graph Connectivity Problems
CNRS & DIENS, ENS Paris - PSL Research University（法国国家科学研究中心与高等师范学院巴黎文理研究大学）；London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）；Department of Computer Science, ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院计算机系）；Department of Mathematics, ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院数学系）
本文提出了一种新的分解技术，为平面图的连通性问题提供了PTAS，解决了平面图中k边连通性和k顶点连通性增强的问题。
2025-12-24 cs.DS
Individual Fairness in Graph Decomposition
本文研究平面图低直径分解中的个体公平性问题，指出经典方法不满足该性质，提出新算法在公平性、簇连通性和簇数量最优性间权衡，并在真实选区重划网络上验证有效性。
2024-05-31 cs.DS
A Quasipolynomial $(2+\varepsilon)$-Approximation for Planar Sparsest Cut
（非均匀）稀疏割问题是下面的图划分问题：给定一个“供应”图，以及对顶点对的需求，删除一些供应边的子集，以最小化供应边切割与被删除的对的总需求的比率。尽管付出了很多努力，但只有少数几个非平凡类的供应图的常数因子近似是已知的。我们考虑平面图的问题，并给出了一个$(2+\varepsilon)$ -近似算法，运行在拟多项式时间。我们的方法定义了一个新的结构分解的最佳解决方案，使用“修补”原语。我们结合这种分解与Sherali-Adams风格的线性规划放松的问题，我们然后轮。这应该与Rao（1999）的多项式时间近似算法进行比较，Rao（1999）使用度量线性规划松弛和$\ell_1$ -嵌入，并且在多项式时间内实现$O(\sqrt{\log n})$ -近似。
2021-05-31 cs.DS
Approximate Distance Oracles for Planar Graphs with Subpolynomial Error Dependency
Thorup [FOCS'01，JACM'04]和Klein [SODA'01]分别证明了具有$O(n (\log n)ε^{-1})$空间和$O(ε^{-1})$查询时间的平面图存在一个$(1+ε)$ -近似距离预言机.虽然对$n$的依赖性几乎是线性的，但它们的预言机的空间查询乘积二次依赖于$1/ε$。许多后续的结果要么改善了空间\emph{or}的查询时间的甲骨文，同时有相同的，有时是最坏的，对$1/ε$的依赖。Kawarabayashi、Sommer和Thorup [SODA'13]首次将对$1/ε$的依赖性从二次提高到接近线性（以$\log^*(n)$因子为代价）。推测对$1/ε$的线性依赖是最优的是合理的：对于许多已知的平面图中的距离相关问题，证明了对$1/ε$的依赖至少是线性的。在这项工作中，我们反驳了这个猜想减少$1/ε$的空间查询产品的依赖性从线性一直下降到\emph{subpolynomial} $(1/ε)^{o(1)}$。更准确地说，我们构建了一个具有$O(n\log(n)(ε^{-o(1)} + \log^*n))$空间和$\log^{2+o(1)}(1/ε)$查询时间的oracle。我们的建设是过去二十年来发展的几种不同想法的顶峰。
2022-07-12 cs.DS
Faster Weak Expander Decompositions and Approximate Max Flow
本文提出了更快的无向图弱扩展器分解和近似最大流算法，通过对 cut-matching game 热启动避免递归开销，并简化 Li、Rao 和 Wang 的非递归近似最大流框架，使其复杂度逼近基于扩展器分解方法的极限。
2025-11-04 cs.DS
Lossy Planarization: A Constant-Factor Approximate Kernelization for Planar Vertex Deletion
在无F-minor-free删除问题中，我们希望在给定的图中找到一个最小顶点集，该顶点集与族F中所有图的minor模型相交。顶点平坦化问题是族F ={K_5，K_{3,3}}的无F-子式删除的一种特殊情况。只要族F包含至少一个平面图，则已知F-minor-free删除允许常数因子近似算法和多项式核化[Fomin，Lokshtanov，Misra和Saurabh，FOCS '12]。顶点平面化问题可以说是F不包含平面图的最简单的设置，并且常数因子近似或多项式核化的存在仍然是一个主要的开放问题。在这项工作中，我们表明，顶点平面化承认一个算法，这是一个组合的两种方法。也就是说，我们提出了一个多项式A-近似核化，对于某个常数A> 1，基于有损核化的框架[Lokshtanov，Panolan，Ramanujan和Saurabh，STOC '17]。简单地说，当给定图G和整数k时，我们展示了如何计算poly（k）顶点上的图G '，使得G'的任何B-近似解都可以提升为G的（A * B）-近似解，只要A * B * OPT（G）<= k。为了实现这一点，我们开发了一个框架，稀疏的平面图，近似保留所有的隔离符和近隔离符之间的子集给定的终端集。我们的结果产生了一个国家的最先进的顶点平面化的近似算法的改进。这个问题允许一个多项式时间O（n ^eps）-近似算法，对于任何eps> 0，和一个准多项式时间（…
2022-02-04 cs.CC cs.DS
Approximate Counting via Correlation Decay on Planar Graphs
我们发现了广泛的一类计数问题，相关衰减（强空间混合）意味着平面图上的FPTAS。我们考虑的计数问题的框架是具有任意恒定大小的区域和对称约束函数的Holant问题。我们定义了约束函数的正则性概念，它涵盖了广泛的自然和重要的计数问题，包括所有的多态自旋系统，计数图同态，计数加权匹配或完美匹配，从铁磁伊辛模型转换的子图世界问题，以及所有的计数CSP和Holant问题的对称约束函数的常数。我们的算法的核心是一个固定参数的易处理的算法，计算的精确值的Holant问题的有界树宽的图与定期约束函数。通过利用局部树型属性的顶点小自由图的家庭，参数化的精确算法意味着一个FPTAS的Holant问题在这些图的家庭，每当吉布斯测量定义的问题表现出强的空间混合。我们进一步将递归耦合技术推广到Holant问题，并建立了铁磁Potts模型和子图世界问题的强空间混合。作为结果，我们有新的确定性近似算法的平面图和所有顶点-小-自由图的几个计数问题。
2012-07-16 cs.DS
Planar Diameter via Metric Compression
我们开发了一种新的方法，用于平面图中的分布式距离计算，该方法基于Abboud等人最近引入的度量压缩问题的变体。[SODA'18]。我们的关键技术贡献之一是提供了一种压缩方案，该方案使用$\widetilde{O}(|S|\cdot poly(D)+|T|)$位对直径为$D$的未加权图的所有$S \times T$距离进行编码。这显著地改进了$\widetilde{O}(|S|\cdot 2^{D}+|T| \cdot D)$比特的现有技术。我们还考虑了一个近似版本的问题\emph{weighted}图，其中的目标是编码$(1+ε)$近似的$S \times T$距离。在这个紧凑的压缩方案的核心在于平面图上的VC维类型参数。这种有效的压缩方案导致直径计算设置的几个改进和简化，最明显的是在分布式设置中：- 存在用于计算平面图中的直径的$\widetilde{O}(D^5)$ -轮随机分布算法，w. h. p. -存在用于计算具有多项式有界权重的加权图中的直径的$(1+ε)$近似的$\widetilde{O}(D^3)+ poly(\log n/ε)\cdot D^2$ -轮随机分布算法，没有次线性轮算法已知这些问题之前。这些分布式结构是基于一个新的递归图分解，保留（未加权）的直径的每个子图的对数项。使用这种分解，我们还得到了$\widetilde{O}(D^2)$轮内的\emph{ex…
2019-12-24 cs.DS
Linear-Space Approximate Distance Oracles for Planar, Bounded-Genus, and Minor-Free Graphs
图的（1 + eps）-近似距离预言机是支持近似点到点最短路径距离查询的数据结构。距离预言机构造的最相关的度量是：空间、查询时间和预处理时间。平面图（Thorup，JACM'04）和随后的小排除图（Abraham和Gavoille，PODC'06）都有强距离预言结构。然而，对于n节点图，这些需要Omega（eps^{-1} n lg n）空间。我们认为，一个非常低的空间要求是必不可少的。由于现代计算机体系结构涉及分级存储器（高速缓存、主存储器、辅助存储器），因此高存储器需求实际上可能大大增加实际运行时间。此外，我们希望数据结构可以部署在小型移动设备上，例如手持设备，其具有相对较小的主存储器。在本文中，对于平面图，有界亏格图，和小排除图，我们给出的距离预言的结构，只需要O（n）空间。大O只隐藏一个固定常数，与ε无关，也与亏格或被排除子式的大小无关。我们的距离预言机的预处理时间也比以前已知的构造更快。对于平面图，预处理时间为O（nlg^2n）。然而，我们的构造具有较慢的查询时间。对于平面图，查询时间为O（eps^{-2} lg^2 n）。对于我们的线性空间结果，我们实际上可以确保，对于任何delta > 0，所需的空间仅为表示图本身所需空间的1 + delta倍。
2011-04-27 cs.DM cs.DS
Linear kernels and single-exponential algorithms via protrusion decompositions
图$G$的\emph{$t$-treewidth-modulator}是一个集合$X \subseteq V(G)$，使得$G-X$的树宽至多是某个常数$t-1$。在本文中，我们提出了一种新的算法来计算一个分解方案的图$G$，配备了一个$t$树宽调制器。这种分解称为\emph{protrusion decomposition}，是获得以下两个主要结果的基础。我们首先证明了任何具有\emph{finite integer index}且是\emph{treewidth-bounding}的参数化图问题（带参数$k$）都在$H$-topological-minor-free图上有一个线性核，其中$H$是任意的但固定的图。一个参数化的图问题被称为树宽边界，如果所有的正实例都有一个$t$-树宽调制器的大小为$O(k)$，对于一些常数$t$。这一结果部分地扩展了以前关于有界亏格图上线性核的存在性的元定理[Bodlaender等人，FOCS 2009]和$H$-无次要图[Fomin等人，SODA 2010]。我们的第二个应用程序涉及平面$\mathcal{F}$删除问题。设$\mathcal{F}$是一个至少包含一个平面图的固定有限图族。给定一个$n$顶点图$G$和一个非负整数$k$，Planar-$\mathcal{F}$-Deletion询问$G$是否有一个集合$X\subseteq V(…
2012-07-31 cs.DM cs.DS math.CO
Õptimal Fault-Tolerant Labeling for Reachability and Approximate Distances in Directed Planar Graphs
本研究提出一种针对有向加权平面图的$\tilde O(1)$大小容错标记方案，可仅通过三个顶点的标记在$\tilde O(1)$时间内求解单故障下的$(1+\u03b5)$近似距离查询，填补了该领域此前无高效方案的空白，且优于可达性问题原有的集中式预言机结果。
2025-03-24 cs.DC cs.DS
Decomposition of Map Graphs with Applications
二维性是设计特殊图类（特别是平面图）的次指数时间参数化算法的最常用技术。它背后的核心引擎是Robertson，Seymour和Thomas的组合引理，该引理指出每个平面图要么有一个$\sqrt{k}\times \sqrt{k}$ -网格作为子图，要么它的树宽是$O(\sqrt{k})$。然而，二维性理论不能直接扩展到几个著名的几何图形类。然而，这个引理的松弛已经被证明对单位圆盘图有用。受此启发，我们证明了一个新的分解引理的地图。非正式地，我们的引理陈述如下。对于任何映射图$G$，存在$G$的团的集合$(U_1,\ldots,U_t)$，其具有以下性质：$G$或者包含$\sqrt{k}\times \sqrt{k}$ -网格作为子图，或者它允许树分解，其中每个袋是上述集合中的团的$O(\sqrt{k})$的并集。新引理似乎是一个方便的工具，在设计次指数参数化算法的地图。我们证明了它的可用性，通过设计算法的地图图形与运行时间$2^{O({\sqrt{k}\log{k}})} \cdot n^{O(1)}$的连接平面$\cal F$ -删除问题（包括问题，如反馈顶点集和顶点覆盖）。获得最长循环/路径和循环包装的次指数算法更具挑战性。我们必须构造具有更强大属性的树分解，并证明最优解在这些分解中可以“穿过”袋子的方式的数量的次线性界限。对于最长循环/路径，这些是映射图上的第一个次指数时间参…
2019-03-04 cs.CG cs.DS
H-Planarity and Parametric Extensions: when Modulators Act Globally
本文提出基于调节器的图分解，定义H-平面性及其参数化扩展，证明在遗传类下多项式可解，并导出FPT算法及多种近似和计数应用。
2025-10-16 cs.DM cs.DS
Planar Cycle Covering Graphs
本文给出了平面二元马尔可夫随机场（MRF）最小能量位形的一个新的变分下界。我们的方法是基于添加辅助节点的平面嵌入图的每一个面，以捕捉一元潜力的影响。基态得到的近似可以有效地计算减少到最小重量的完美匹配。我们表明，变分参数的优化达到了相同的下界双重分解成原始图的所有周期的集合。我们证明了我们的变分优化收敛速度快，并提供高质量的解决方案，以硬组合问题的速度比竞争算法，优化相同的界限10- 100倍。
2011-04-06 cs.DS stat.ML
Tracking Paths in Planar Graphs
我们认为NP完全问题的跟踪路径的图，首先介绍了Banik等。等[3]。给定一个具有源$s$和目的$t$的无向图，找出与任何$s-t$路径相交的顶点的最小子集，这些顶点的交集导致唯一序列。在本文中，我们证明了当图是平面图时，这个问题仍然是NP完全的，并且在这种情况下我们给出了一个4-近似算法。我们还表明，通过Courcelle定理，它可以解决在线性时间的有界团宽度的图，当它的团分解是预先给定的。
2019-09-29 cs.DM cs.DS
Parameterized Algorithms for Upward Planarity
我们获得了新的参数化算法的经典问题，确定是否有向无环图承认一个向上的平面绘图。我们的研究结果包括一个新的固定参数的算法参数化的源的数量，一个XP算法参数化的树宽，和一个固定参数的算法参数化的树深。所有这三种算法都是使用一种新的框架，结合SPQR树分解与参数化技术的问题。我们的方法统一和推动超越以前的易处理性结果的问题上的串并联有向图，单源有向图和外平面有向图。
2022-03-10 cs.CG cs.DS
Enumeration of chordal planar graphs and maps
我们确定了具有$n$顶点的标号弦可平面图的个数，对于常数$c_1>0$和$γ\approx 11.89235$，它是渐近的$c_1\cdot n^{-5/2} γ^n n!$.我们还确定了具有$n$边的有根简单弦平面映射的个数，它是渐近的$c_2 n^{-3/2} δ^n$，其中$δ= 1/σ\approx 6.40375$和$σ$是一个代数数的次数为12。证明是基于组合分解和奇异性分析。弦可平面图（或映射）是一类次临界图的自然例子，其中3-连通图类相对丰富。3-连通杆件是精确的弦三角剖分，即从$K_4$开始，通过重复添加与现有三角形面相邻的顶点而获得的三角剖分。
2022-04-09 cs.DS math.CO
Subexponential-Time and FPT Algorithms for Embedded Flat Clustered Planarity
C平面性问题要求绘制$\textit{clustered graph}$，即，一种图，其顶点属于适当嵌套的簇，其中每个簇由一个简单的封闭区域表示，没有边-边交叉，没有区域-区域交叉，也没有不必要的边-区域交叉。我们研究了$\textit{embedded flat clustered graphs}$的C-平面性，图具有固定的组合嵌入，其簇划分顶点集。我们的主要结果是一个次指数时间算法来测试这些图的C-平面性时，他们的脸大小是有界的。此外，我们考虑的$\textit{embedded tree decomposition}$的概念的变化，其中，对于每个面，包括外面，有一个袋子，包含每个顶点的脸。我们发现，C-平面性是固定参数听话的嵌入宽度的基础图和不连通的集群的数量作为参数。
2018-03-14 cs.CG cs.DS
Improved distance queries in planar graphs
存在若干已知的数据结构，其回答平面图中的两个任意顶点之间的距离查询。在预处理时间、存储空间和查询时间之间进行权衡。在本文中，我们提出了三个数据结构，回答这样的查询，每一个都有自己的优势，比以前的数据结构。第一种改进了线性空间数据结构的查询时间。第二个改进的预处理时间的数据结构的空间界限为O（n^（4/3））或更高，同时匹配的最佳已知的查询时间。第三种数据结构以较长的预处理时间为代价，改善了对于类似范围的空间边界的查询时间。我们使用的技术包括修改平面图分解的参数，结合现有的数据结构的不同优点，并使用Monge属性寻找矩阵的最小元素。
2011-02-22 cs.DM cs.DS
An Approximation Algorithm for Fully Planar Edge-Disjoint Paths
对于边不相交路径问题的最大化问题，如果供给图和需求边构成一个平面图，我们设计了一个常数因子的近似算法。通过平面对偶，这等价于平面图中的包装切割，使得每个切割仅包含一个需求边。我们还表明，自然的线性规划松弛有恒定的完整性差距，产生一个近似的最大多流最小多割定理。
2020-01-06 cs.DM cs.DS math.CO
