Separator-Based Graph Embedding into Multidimensional Grids with Small Edge-Congestion
研究了将一个具有最小边拥塞的客体图嵌入到一个与客体图大小相同的多维网格中的问题。基于一个众所周知的概念的图形分隔符，我们表明，嵌入具有较小的边缘拥塞可以得到，如果客人图有一个较小的分隔符，如果主机网格有一个较高的，但恒定的尺寸。具体地说，我们证明了任何图与$N$节点，最大节点度$Δ$，并与一个节点分隔符的大小$O(n^α)$（$0\leqα<1$）可以嵌入到一个网格的一个固定的维度$d\geq 2$至少$N$节点，与边拥塞$O(Δ)$如果$d>1/(1-α)$，$O(Δ\log N)$如果$d=1/(1-α)$，和$O(ΔN^{α-1+\frac{1}{d}})$如果$d< 1/(1-α)$。如果$d>1/(1-α)$，这种边缘拥塞达到恒定比率近似，并且如果$d\leq 1/(1-α)$，这种边缘拥塞在恒定因子内匹配存在的下限。我们的结果意味着，如果客人图有一个固定大小的排除子图，如平面图，那么我们可以得到一个边拥塞的$O(Δ\log N)$的$d=2$和$O(Δ)$的任何固定的$d\geq 3$。此外，如果客体图具有固定的树宽，如树、外平面图和串并行图，则对于任意固定的$d\geq 2$，我们都可以得到$O(Δ)$的边拥塞.为了设计我们的嵌入算法，我们引入了边分隔符边界扩展，使得在递归地使用边分隔符将图划分为孤立的节点时，在递归步骤中要划分的子图的传出边的数量是有界的。我们提出了…
2014-02-28 cs.DM math.CO
The disjoint separators problem in graphs
LIRMM, Université de Montpellier（蒙彼利埃大学）；Aix-Marseille Université（艾克斯-马赛大学）；LIRIS, Université Claude Bernard Lyon 1（里昂第一大学）；IMT Atlantique（大西洋理工学院）；LIMOS, Université Clermont Auvergne（克莱蒙奥弗涅大学）
研究图的不相交分隔器问题，类似不相交路径问题。给定图及顶点子集，探讨是否存在不相交分隔器，证明其NP完全性，也给出特定条件下平面图的结构特征及多项式算法，还关联到Hex游戏。
2026-07-07 cs.DM math.CO
The Complexity of Finding Small Separators in Temporal Graphs
时间图是具有时间戳边缘的图。我们研究的问题，找到一个小的顶点集（分离器）相对于两个指定的终端顶点，这样的集合的删除消除了所有的时间路径连接一个终端到其他。在这里，我们考虑两种模型的时间路径：路径，通过任意多个边缘，每个时间步（非严格）和路径，通过最多一个边缘，每个时间步（严格）。关于时间图的时间步数，我们显示了两个问题的复杂性二分法（NP-硬度与多项式时间可解性）。此外，我们证明了这两个问题的变种是NP-完全的，即使在时间图的基础图是平面的。我们进一步表明，在平面底层图的时间图，如果另外的时间步数是常数，那么严格路径的问题的变种是可解的准线性时间。最后，我们介绍和激励的概念，一个时间的核心（顶点的事件边随时间变化）。我们证明了非严格的变体是固定参数易处理时，参数化的时间核心的大小，而严格的变体仍然是NP完全的，即使是恒定大小的时间核心。
2018-07-25 cs.CC cs.DM cs.DS
QPTAS for Max Weight Independent Set in Graphs with Strongly Edge-Sublinear Separators
CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP UMR 5668（法国国家科学研究中心、里昂高等师范学院、里昂第一大学、LIP UMR 5668）；Department of Mathematics, Hanyang University（汉阳大学数学系）
本文针对具有强边次线性分离器的图类，证明最大权独立集存在确定性拟多项式时间近似方案，推广了多个已有相关QPTAS结果，适用范围涵盖排除固定诱导子式的图等多种图类。
2026-11-04 cs.DM cs.DS cs.LO
On the Circumference of Essentially 4-connected Planar Graphs
一个可平面图本质上是$4$ -连通的，如果它是3-连通的，并且它的每个3-分隔符都是一个顶点的邻域. Jackson和Wormald证明了在$n$顶点上的本质4连通可平面图$G$包含一个长度至少为$\frac{2n+4}{5}$的圈，并且这个结果最近被多次改进.本文证明了：每一个本质4连通可平面图$G$在$n$顶点上都含有一个长度至少为$\frac{5}{8}(n+2)$的圈.这改进了以前最著名的下界$\frac{3}{5}(n+2)$。
2019-12-06 cs.DM math.CO
Reweighted Spectral Partitioning Works: A Simple Algorithm for Vertex Separators in Special Graph Classes
本文提出重加权谱划分这一多项式时间算法，通过改进Cheeger型不等式、推导半定规划界，为多类特殊图求得小规模2/3平衡顶点分隔器，同时得到若干相关独立结果。
2026-10-16 cs.CG cs.DM cs.DS
Longer Cycles in Essentially 4-Connected Planar Graphs
一个平面3连通图$G$称为\emph{essentially $4$-connected}，如果对于每个3-分隔符$S$，$G-S$的两个分支中至少有一个是孤立点。Jackson和Wormald证明了本质4连通平面图$G$在$n$顶点上的最长圈的长度$\mathop{\rm circ}\nolimits(G)$至少为$\frac{2n+4}{5}$，Fabrici，Harant和Jendrol将这一结果改进为$\mathop{\rm circ}\nolimits(G)\geq \frac{1}{2}(n+4)$ .本文证明了$n$顶点上的本质4连通平面图包含一个长度至少为$\frac{3}{5}(n+2)$的圈，并且证明了这样的圈可以在时间$O(n^2)$中找到.
2017-10-16 cs.DM math.CO
Beyond Outerplanarity
Maastricht University（马斯特里赫特大学）；Universität Würzburg（维尔茨堡大学）；Amherst College（阿默斯特学院）；Università degli Studi di Perugia（佩鲁贾大学）
研究凸位置绘图中外k-平面图和外k-拟平面图的性质，包括退化性、染色数、平衡分离器以及识别问题的拟多项式时间算法，并证明全外k-平面性可在线性时间内测试。
2026-05-31 cs.DM math.CO
Separator Theorems for Minor-Free and Shallow Minor-Free Graphs with Applications
Alon，Seymour和Thomas推广了Lipton和Tarjan的平面分离器定理，证明了具有$n$顶点的$K_h$ -子自由图的分离器的大小至多为$h^{3/2}\sqrt n$ .他们给出了一个算法，给定一个图$G$与$m$边和$n$顶点，并给出一个整数$h\geq 1$，输出在$O(\sqrt{hn}m)$时间这样一个分隔符或$K_h$ -小$G$。Plotkin、Rao和Smith给出了一个$O(hm\sqrt{n\log n})$时间算法来寻找大小为$O(h\sqrt{n\log n})$的分隔符。Kawarabayashi和Reed改进了$h\sqrt n$的分隔符大小的界限，并给出了一个算法，该算法可以在$O(n^{1 + ε})$时间内找到这样一个分隔符，对于任何常数$ε> 0$，假设$h$是常数。该算法在运行时间上对$h$有极大的依赖性（$h$的一些功率塔，其高度本身是$h$的函数），使得即使对于小的$h$也不切实际。我们感兴趣的是一个小的多项式时间依赖$h$，我们展示了如何找到一个$O(h\sqrt{n\log n})$大小的分隔符或报告，$G$有一个$K_h$ -未成年人在$O(\poly(h)n^{5/4 + ε})$时间为任何常数$ε> 0$。我们还提出了第一个$O(\poly(h)n)$时间算法，找到一个常数$c < 1$的大小$O(n^c)$的分隔…
2011-07-07 cs.DM
A 9k kernel for nonseparating independent set in planar graphs
研究了平面图上NP难问题的核化（一种有效的预处理）。我们的主要结果是一个核的大小最多为9 k顶点的平面最大非分离独立集问题。这个结果的一个直接结果是，平面连通顶点覆盖没有至多（9/8 -n）k个顶点的核，对于任何n> 0，假设P \ne NP。我们还给出了一个非常简单的平面最大叶的5 k-顶点核，这导致了平面连通支配集的核的（5/4 -n）k个顶点的下界（也在P \ne NP下）。作为一个副产品，我们展示了一些极值图论的结果，这可能是独立的利益。我们证明了不含分隔符的图只包含度为2的顶点，它包含（a）一个至少有n/4个叶子的生成树和（b）一个大小至少为n/9的非分离独立集（也等价地，一个大小至多为8/9 n的连通顶点覆盖）。结果（a）是Kleitman和West [SIDMA 1991]的一个定理的推广，他们对最小度为3的图给出了相同的界。最后证明了每个n-顶点外平面图都包含一个独立集I和一个顶点不交圈的集合C，使得9个|I| >= 4 n-3 |C| .
2012-07-19 cs.DM cs.DS math.CO
Edge separators for graphs excluding a minor
本文证明了排除 $K_t$ 子式的图存在大小为 $O(t^2(\log t)^{1/4}\sqrt{Δn})$ 的边分隔符，推广了平面图和有界亏格图的经典结果。
2022-12-21 cs.DM math.CO
Planar graph is on fire
设$G$是$n$顶点上的任意连通图，$n \ge 2.$设$k$是任意正整数.假设火灾发生在$G.$的某个顶点上，那么在每一轮$k$消防员可以保护$G$的顶点--每个可以保护一个尚未着火的顶点;接下来，火灾蔓延到所有未受保护的邻居。G的\emph{$k$-surviving}率，用$ρ_k(G),$表示，是可以被$k$消防员从火灾中救出的顶点的期望分数，假设起始顶点是均匀随机选择的。本文证明了对于任何可平面图$G$，我们都有$ρ_3(G) \ge \frac{2}{21}.$而且，第一步只需要3个消防员，之后每轮有2个消防员就足够了.这一结果显著地改进了Cai和Wang的一个问题（一般可平面图只有3个消防员时的生存率没有正界）的已知解.证明是使用平面图的分离定理。
2015-11-30 cs.DM math.CO
Computing Tutte Paths
Tutte路是解决平面图中Hamilton性问题的最成功的工具之一。不幸的是，基于它们的结果是非建设性的，因为它们的证明本质上使用重叠子图的归纳，这些重叠阻碍了将运行时间绑定到多项式。然而，对于特殊情况，Tutte路径的计算结果是已知的：对于4-连通平面图，Tutte路径实际上是Hamilton路径，千叶和Nishizeki展示了如何在线性时间内计算这样的路径。对于3连通平面图，Tutte路具有更复杂的结构，并且直到最近才证明它们可以在多项式时间内计算。然而，Tutte路是为一般的2-连通平面图定义的，这是大多数应用程序所需要的。不幸的是，没有计算结果是已知的。我们给出了第一个有效的算法，计算Tutte路径（一般情况下的2-连通平面图）。关于这种Tutte路径的最强的存在性结果之一是由于Sanders，它允许规定所需路径的端顶点和中间边，包括和加强所有以前的Tutte路径的计算结果，我们展示了如何有效地计算这种特殊的Tutte路径。我们的方法改进了这两个结果，Pastaassen和Sanders，并通过使用一种新的迭代分解沿2-分隔符，避免重叠的子图。最后，我们证明了我们的算法在二次时间内运行。
2017-07-19 cs.DM cs.DS math.CO
Jordan-like characterization of automorphism groups of planar graphs
研究了可平面图的自同构群。主要结果是所有抽象群的一个完整的递归描述，可以实现为自同构群的可平面图。该特征是制定在非均匀圈积。在证明中，我们结合了组合学、群论和几何学的技巧。这大大改进了Babai的描述（1975）。
2021-02-05 cs.DM math.CO math.GR
Bar 1-Visibility Drawings of 1-Planar Graphs
图$G$的条1可见性绘图是$G$的绘图，其中每个顶点被绘制为称为条的水平线段，每个边缘被绘制为垂直线段，其中表示边缘的垂直线段必须连接表示端顶点的水平线段，并且对应于边缘的垂直线段与最多一个不是边缘的端点的条相交。如果$G$具有条形图1可见性图形，则图形$G$为条形图1可见。一个图$G$是1-平面的，如果$G$在一个二维平面中有一个绘图，使得一条边至多与另一条边相交。本文给出了求对角网格图和极大外1-平面图的条1-可见图的线性时间算法。我们还证明了递归四边形1-平面图和伪双轮1-平面图是棒1-可见图。
2013-02-20 cs.DM cs.DS math.CO
(Even hole, triangle)-free graphs revisited
ENS de Lyon, CNRS, Université Lyon 1, LIP UMR 5668（里昂高等师范学院，法国国家科学研究中心，里昂第一大学，LIP联合研究实验室）
本文重新审视经典论文，扩展了无偶孔和三角形图的类别，提出更强的结构定理，并证明了图的树宽上限为4，改进了之前的5。
2026-04-02 cs.DM math.CO
Thin graph classes and polynomial-time approximation schemes
贝克设计了一个强大的技术，以获得近似计划的各种问题限制在平面图。她的技术可以直接扩展到其他各种图形类，其中最一般的图形避免固定顶点图作为一个未成年人。进一步的概括（例如，到所有适当的次闭图类）是已知的，但是它们使用技术的组合并且通常集中于稍微受限的问题类。我们提出了一种新的类型的图分解（薄系统的覆盖）推广贝克的技术，并导致直接的多项式时间近似计划。我们还表明，许多图类（所有适当的小封闭类，所有子图封闭类有界最大程度和强次线性分离器）承认这样的分解。
2017-04-01 cs.DM math.CO
Linear-Time Algorithms for Geometric Graphs with Sublinearly Many Edge Crossings
我们提供了线性时间算法的几何图形与次线性许多交叉。也就是说，我们提供的算法运行在O（n）时间的连接几何图有n个顶点和k个交叉，其中k小于n的迭代对数因子。我们研究的具体问题包括沃罗诺伊图和单源最短路径。我们的算法都运行在线性时间在标准的比较为基础的计算模型，因此，我们不做任何假设的分布或位的边缘权重的复杂性，我们也不利用不寻常的位级操作的内存字。相反，我们的算法是基于一个平面化的方法，“零”的边缘交叉，连同方法扩展平面分离器分解几何图形与次线性许多交叉。顺便说一句，我们的平面化算法也解决了一个开放的计算几何问题的Chazelle三角形的自相交的多边形链具有n段和k交叉在线性时间，当k是次线性n的情况下，通过迭代对数因子。
2009-05-14 cs.CG cs.DM cs.DS
Separate, Measure and Conquer: Faster Algorithms for Max 2-CSP and Counting Dominating Sets
我们展示了一种方法，导致几个多项式空间，指数时间算法的改进。问题Max（r，2）-CSP的一个实例，或简称为Max 2-CSP，由域大小r（通常为2），变量的数量n（约束图G中的顶点）和约束的数量m（G中的边）参数化。当G是三次时，为了清楚起见，这里省略了次指数项，我们给出了一个在时间上运行的算法r^（（1/5）n）= r^（（2/15）m）;以前的最佳算法是r^（（1/4）n）= r^（（1/6）m）。根据已知的结果，这种对立方情况的改进导致算法在一般情况下在时间上运行r^（（9/50）m）;以前最好的是r^（（19/100）m）。我们表明，早期算法的分析是紧密的：我们的改进是在算法，而不仅仅是分析。新的算法，像旧的，扩展到多项式和环CSP。我们还给出了#支配集的快速算法，计算每个基数0，.，n为n阶图G。对于三次图，我们的算法运行时间为3^（（1/6）n）;以前最好的是2^（（1/2）n）。对于一般图，我们给出了一个不相关的算法，运行时间为1.5183^n;以前的最佳算法是1.5673^n。以往求解这些问题的最佳算法都是采用局部变换，并采用“测量与征服”的方法进行分析。我们的新算法利用了三次图的小平衡分离器的存在-一个非局部属性-以及定制本地算法总是在分离器的顶点上“枢轴”的能力。新算法的性能与旧算法相当，直到分隔符为空，此时它们会获益，因为剩余的顶点被分成两个独立的问题实例，…
2017-11-17 cs.CC cs.DM cs.DS
Detecting and Counting Small Patterns in Planar Graphs in Subexponential Parameterized Time
我们提出了一个算法，作为输入$n$ -顶点平面图$G$和$k$ -顶点模式图$P$，并计算在$2^{O(k/\log k)}n^{O(1)}$时间$G$中的$P$（诱导）副本的数量。如果$P$是一个匹配的、独立集的或连通的有界最大度图，则运行时将简化为$2^{\tilde{O}(\sqrt{k})}n^{O(1)}$。虽然我们的算法计数的所有副本的$P$，它也提高了最快的算法，只检测副本的$P$。在我们的工作之前，没有已知的用于检测非限制模式$P$的$2^{O(k/\log k)}n^{O(1)}$时间算法，并且根据Bodlaender等人[ICALP 2016]的结果，$2^{o(k/\log k)}n^{O(1)}$时间算法将违反指数时间假设（ETH）。此外，它只知道如何检测一个固定的连接有界的最大程度模式$P$在$2^{\tilde{O}(\sqrt{k})}n^{O(1)}$时间概率的副本。对于计数问题，这是一个反复问开放的问题，是否存在$2^{o(k)}n^{O(1)}$时间算法，即使是特殊的模式，如独立集，匹配和平面图中的路径计数。上述结果通过给出算法来计算运行时间等于其决策版本的ETH下界的问题的版本，在很大程度上解决了这个问题。一般来说，我们的算法计数$P$的副本在时间上成比例的顺序$\tilde{O}(\sqrt{k})$的非同构分离的数量。该算法引入了一种新的递…
2019-04-25 cs.CC cs.DM cs.DS
Distance Approximating Minors for Planar and Minor-Free Graphs
本文针对平面图和无次要图，首次构造出规模为近线性的(1+ε)-距离近似次要结构，打破了终端数量上的二次界，并仅依赖最短路径分隔器和ε-覆盖，同时为无次要图提供了首个近线性规模仿真器。
2025-09-21 cs.CG cs.DM cs.DS
An FPT algorithm for planar multicuts with sources and sinks on the outer face
给定边加权图G中的k个源-汇对的列表，最小多割问题在于选择G中总权重最小的一组边，使得移除这些边不会留下从每个源到其对应的汇的路径。据我们所知，没有非平凡的FPT结果的特殊情况下，这个问题，这是APX-困难的一般图的任何固定的k>2，是已知的关于k。当图G是平面图时，如果k=O（1），则该问题是多项式时间可解的，但在指数时间假设下不能关于k是FPT。在本文中，我们表明，如果G是平面的，此外，所有的源和汇都位于外面，那么这个问题不承认FPT算法时，参数为k（虽然它仍然是APX难当k是输入的一部分，即使在明星）。要做到这一点，我们提供了一个新的表征在这种情况下的最佳解决方案，然后用它来设计一个“分而治之”的方法：即，一些边缘的任何这样的解决方案的一部分，实际上定义了一个多项式时间可解的多终端的问题的变体上的一些源和汇（这可以确定由于减少枚举阶段）的最佳解决方案。从图中删除这些边将其切割成几个较小的实例，然后可以递归求解。
2017-08-19 cs.DM cs.DS
Minimum Sum Vertex Cover via Minimum Vertex Cover
University of Windsor（温莎大学）；University of Ottawa（渥太华大学）；Carleton University（卡尔顿大学）；Aalto University（阿尔托大学）
本研究通过顶点覆盖结构研究最小和顶点覆盖问题，提出近似算法（最大度图近似比$R_\Delta$，$d$-正则图$1.184$-近似）和精确算法（参数化$2^{O(k\log k)}$及平面图$2^{O(\sqrt n \log n)}$），并证明平面图NP-难及ETH下界。
2026-09-24 cs.DM cs.DS
