Picking Planar Edges; or, Drawing a Graph with a Planar Subgraph
给定一个图$G$和它的边的子集$F \subseteq E(G)$，是否存在一个$G$的图，其中$F$的所有边都没有交叉？我们表明，这个问题可以解决在多项式时间使用Hanani-Tutte风格的方法。如果我们要求$G$的绘制是直线，并且允许沿着$F$的每条边最多有一个交叉，那么这个问题就像实数的存在理论一样困难。
2013-11-26 cs.CG cs.DM math.CO
Note on Min-k-Planar Drawings of Graphs
本文研究图的 min-k-平面绘制中一般绘制与简单绘制的差异，证明存在具有 min-2-平面绘制或避免相邻边交叉的 min-3-平面绘制的图，但对任意大的固定 k 均不存在简单 min-k-平面绘制。
2024-09-30 cs.DM math.CO
Simple Topological Drawings of $k$-Planar Graphs
每个有限图都有一个\emph{simple (topological) drawing}，即每对边至多相交于一点的图。然而，结合其他限制，简单的图纸并不普遍存在。例如，\emph{$k$-planar graphs}是可以被绘制成使得每条边最多具有$k$交叉（即，它们承认\emph{$k$-plane drawing}）。对于$k\le 3$，每个$k$ -平面图都有一个$k$-平面简单图.但对于$k\ge 4$，存在不允许$k$-平面简单图的$k$-平面图.对Schaefer提出的一个问题，我们证明了存在一个函数$f : \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$，使得对所有的$k\in\mathbb{N}$，每个$k$ -平面图都有一个$f(k)$ -平面简单图.注意，函数$f$仅依赖于$k$，并且与图的大小无关。此外，我们还提出了一个算法，证明了每个$4$ -平面图都有一个$8$ -平面简单图.
2020-08-25 cs.CG cs.DM math.CO
Compact Drawings of 1-Planar Graphs with Right-Angle Crossings and Few Bends
我们研究了以下几类超平面图：1-平面图、IC-平面图和NIC-平面图。这些图形分别允许1-平面、IC-平面和NIC-平面绘图。如果一个图的每条边至多相交一次，则该图是1-平面图。如果没有两对相交边共享一个顶点，则1-平面绘图是IC-平面的。如果没有两对相交边共享两个顶点，则单平面图形是NIC平面的。我们研究这些超越平面图类（超越平面图是一个集体术语的主要尝试推广的平面图）的直角交叉（RAC）图，承认紧凑的图纸上的网格很少弯曲的关系。我们提出了四个绘图算法，保持给定的嵌入。首先，我们证明了每个$n$ -顶点NIC-平面图允许一个NIC-平面RAC绘图，在大小为$O(n) \times O(n)$的网格上，每条边最多有一个弯曲。然后，我们证明了每一个$n$ -顶点1-平面图承认1-平面RAC绘图与最多两个弯曲的每边上的大小为$O(n^3) \times O(n^3)$的网格。最后，我们提出了两个已知的算法嵌入保持，用于绘制1-平面RAC图，每边至多一个弯曲和绘制IC-平面RAC图直线。
2019-08-08 cs.CG cs.DM
Algorithmic methods of finite discrete structures. Topological graph drawing (part I)
本文提出基于图顶点旋转的代数方法，解决图的平面性测试与拓扑绘制问题，为非平面图绘制、最大平面子图识别等图论问题提供数学模型。
2024-07-31 cs.DM math.CO
1-Visibility Representations of 1-Planar Graphs
可见性表示是平面图的一种经典绘制风格。它将图形的顶点显示为水平顶点段，每个边由一个垂直边段表示，该边段与其端顶点的段接触;超过该点的段不相交。我们将可见性推广到1-可见性，其中每个边（点）段最多与一个点（边）段相交。换句话说，一个顶点最多只能与一条边相交，反之亦然。我们证明了1-可见性对1-平面性的适当扩展，并提出了一个线性时间算法来计算O（n^2）面积上嵌入1-平面图的1-可见性表示。一个图是1-平面的，如果它可以在平面上画，使得每个边最多交叉一次。关于密度，大小为$n$的1-可见图和1-平面图都有至多4 n-8条边。然而，对于每个n >= 7，存在具有4 n-8条边的1-可见图不是1-平面图。
2013-08-23 cs.CG cs.DM
Planar and Poly-Arc Lombardi Drawings
在伦巴第图中，边被表示为圆弧，并且与顶点关联的边具有完美的角分辨率。然而，不是每个图都有Lombardi图，也不是每个平面图都有平面Lombardi图。我们介绍k-Lombardi图纸，其中每个边可以画k圆弧，注意到每个图有一个光滑的2-Lombardi图纸。我们表明，每一个平面图有一个光滑的平面3-Lombardi图纸，并进一步研究连接平面性和Lombardi图纸的主题。
2011-09-02 cs.CG cs.DM
Drawing complete multipartite graphs on the plane with restrictions on crossings
引入了NIC-可平面图的概念，给出了NIC-平面完全k部图的充分刻画。
2013-11-08 cs.DM math.CO
Planar L-Drawings of Bimodal Graphs
在有向图（有向图）的平面L-图中，每条边e被表示为一个由开始于e的尾部的垂直段和结束于e的头部的水平段组成的线段。不同的边可以重叠，但不能交叉。我们主要关注的是双峰图，即，允许平面嵌入的有向图，其中每个顶点周围的输入边和输出边是连续的。我们证明了每个不含2-圈的平面双峰图都有一个平面L-图。这包括向上平面图类。最后，外平面有向图允许平面L-绘图-尽管它们不总是具有双峰嵌入-但不一定具有外平面嵌入。
2020-08-18 cs.CG cs.DM cs.DS
From Tutte to Floater and Gotsman: On the Resolution of Planar Straight-line Drawings and Morphs
本文针对极大平面图，证明了Floater算法及其与Gotsman形变算法所得平面直线绘制分辨率的上下界，并揭示该形变算法可能将多项式分辨率绘制退化为指数级小分辨率。
2025-03-01 cs.CG cs.DM cs.DS
Drawing planar graphs of bounded degree with few slopes
我们解决了Dujmović，Eppstein，Suderman和Wood的一个问题，证明存在一个函数$f$，其性质是每个具有最大度$d$的可平面图$G$都允许使用最多$f(d)$不同的斜率绘制不相交的直线边。如果我们允许边由具有{ \em one}弯曲的多边形路径表示，那么2d斜率就足够了。允许每条边有{ \em两}个弯曲，每个具有最大度$d\ge 3$的可平面图都可以使用最多$\lceil d/2\rceil$不同斜率的线段来绘制。只有一个例外：由八面体的边形成的图是4-正则的，但它需要3个斜率。这些界限无法改善。
2010-09-23 cs.DM math.CO
Well-Formed Separator Sequences, with an Application to Hypergraph Drawing
给定一个超图$H$，平面支撑问题是问是否存在一个平面图$G$与$H$在同一顶点集上，使得每个超边导出$G$的一个连通子图.平面支持的动机是在图形绘制和数据可视化的应用程序。我们发现，平面支持是固定参数听话时，参数化的超边的数量在输入超图和外平面数寻求平面图。为此，我们开发了新的结构结果$r$ -outerplanar三角磁盘，表明他们承认序列的分离器的结构特性，使数据减少。这使我们能够获得一个平面支撑的问题核，从而显示其固定参数的易处理性。
2015-07-09 cs.DM math.CO
Edge-Minimum Saturated k-Planar Drawings
对于平面中无环（多）图的绘图类$\mathcal{D}$，当向$D$添加任何边导致$D' \notin \mathcal{D}$时，绘图$D \in \mathcal{D}$是\emph{saturated}-这类似于Turán（1941）和Erdés，Hajnal和Moon（1964）引入的图类中的饱和图。我们专注于$k$ -平面图，即，在平面中绘制的图形，其中每个边在最多的$k$时间交叉，以及所有$k$ -平面图的类$\mathcal{D}$，服从一些限制，如没有交叉的入射边，没有一对边交叉超过一次，或没有边交叉本身。虽然饱和的$k$ -平面图纸是几个以前的作品的重点，如何稀疏这些可以是不好理解的紧边界。我们建立了一个通用的框架，以确定所有的$n$ -顶点饱和$k$ -在许多自然类的平面图纸之间的最小数量的边缘。例如，当事件交叉、多交叉和自交叉都被允许时，稀疏$n$ -顶点饱和$k$ -平面绘图对于任何$k \geq 4$都具有$\frac{2}{k - (k \bmod 2)} (n-1)$边，而如果所有这些都被禁止，稀疏的这样的绘图对于任何$k \geq 6$都具有$\frac{2(k+1)}{k(k-1)}(n-1)$边。
2021-08-26 cs.CG cs.DM math.CO
A Survey on Graph Drawing Beyond Planarity
平面之外的图形绘制是一个快速发展的研究领域，它根据禁止交叉配置对非平面图的几何表示进行分类和研究。本调查的目的是描述该领域的主要研究方向，最突出的已知结果，以及一些最具挑战性的开放问题。
2018-04-19 cs.CG cs.DM
Straightening out planar poly-line drawings
我们表明，任何$y$单调多线绘图可以理顺，同时保持$y$坐标和高度。宽度可能会增加很多，但我们也表明，在某些图指数宽度是必要的，如果我们不想增加的高度。同样，需要$y$ -单调性：存在无法在保持高度的情况下拉直的多段线图形（非$y$ -单调）。最后给出了结果的一些应用。
2014-04-24 cs.CG cs.DM cs.DS
Drawing non-planar graphs with rotation systems on the Klein bottle
针对带 Klein 瓶旋转系统的简单三连通非平面图，提出按边数线性时间运行的算法，可在平坦 Klein 瓶上生成无交叉直线绘制。
2023-07-17 cs.DM
On Layered Fan-Planar Graph Drawings
在本文中，我们研究使用$h$层的扇平面图，并且是适当的，即，边缘连接相邻层。我们证明了，如果图的嵌入是固定的，那么在$h$中测试这样的图的存在性是固定参数易处理的，通过Dujmović等人对平面图的类似结果的简化。如果嵌入不是固定的，那么我们给出了$h=2$的部分结果：已经知道如何测试2连通图的扇平面真2层图的存在性，我们在这里展示如何测试树。一路上，我们展示了其他有趣的结果与一个风扇平面适当的$h$层图纸的图形，特别是我们绑定他们的路径宽度，并表明他们有一个酒吧-1-可见性表示。
2020-02-22 cs.CG cs.DM
Planar Drawings of Fixed-Mobile Bigraphs
固定-可动偶图G是一个二部图，使得一个划分集的顶点在平面中具有固定的位置，而另一部分的可动顶点必须与边一起添加到图中。我们假设G是平面的，并研究问题的发现，对于一个给定的k >= 0，一个平面折线图的G与最多k个弯每边。在最一般的情况下，我们显示NP-硬度。对于k=0和下的固定或移动的顶点的位置的额外的限制，我们要么证明，该问题是多项式时间可解的或证明它属于NP。最后，我们提出了一个多项式时间的测试算法的某种类型的“分层”1-折弯图纸。
2017-08-30 cs.CC cs.CG cs.DM
Upward planar drawings with two slopes
在有向图的向上平面2-斜率绘图中，仅使用两个不同的斜率将边绘制为向上方向上的直线段而不交叉。我们研究了一个给定的向上平面有向图是否允许这样的绘图，如果允许的话，如何构造它.对于固定嵌入的情况下，我们给出了一个简单的特征和线性时间的结构，采用算法从正交绘图.对于变量嵌入的情况下，我们描述了一个线性时间算法的单源有向图，串并行有向图的四分之一时间算法，和一个固定参数的一般有向图的易处理的算法。对于后两个类，我们利用SPQR树和向上螺旋的概念。作为这种绘画风格的一个应用，我们展示了如何绘制一个向上的平面系统发育网络，两个斜坡，使所有的叶子都位于一条水平线上。
2022-07-05 cs.CG cs.DM
Towards a Topology-Shape-Metrics Framework for Ortho-Radial Drawings
正交径向图形是正交图形到由同心圆和从圆心发出的直线辐条形成的网格的概括。这样的绘图在示意图布局中具有应用，例如，地铁地图和目的地地图平面图是具有固定平面嵌入的平面图。我们给出了允许平面正交径向图没有弯曲的平面图的组合特征。以前，这样的表征只知道路径，循环，和theta图，并在特殊情况下的矩形图纸的三次图，其中每个面的轮廓需要是一个矩形。表征是表示在一个正交径向表示，类似于塔马西亚的正交表示正交图纸描述这样一个绘图combinatorially在周围的角度顶点和弯曲的边缘。从这个意义上说，我们的表征可以被看作是第一步推广的拓扑形状的框架Tamassia正交径向图纸。
2017-03-17 cs.DM cs.DS
Graph drawings with one bend and few slopes
我们考虑绘图的图形在平面中的边缘表示的多边形路径与最多一个弯曲和这些路径的所有部分所使用的不同的斜率的数量是小的。我们证明了$\lceil\fracΔ{2}\rceil$边斜率满足最大度外平面图$Δ\geq 3$的外平面图的外平面图的绘制.这符合明显的下限。我们还表明，$\lceil\fracΔ{2}\rceil+1$边缘斜率足以绘制一般的图形，提高了以前的界的$Δ+1$。此外，我们改进了以前的上界的平面图和二分平面图的平面绘图所需的斜率的数量。
2015-09-27 cs.CG cs.DM math.CO
Algorithmic methods of finite discrete structures. Topological graph drawing (part II)
本文研究非平面图拓扑绘制中平面部分的提取问题，提出基于顶点旋转、Mac Lane 平面性准则及线性代数与结构数代数的多项式复杂度计算方法，将平面图识别转化为离散优化问题。
2024-07-31 cs.DM math.CO
Two-Planar Graphs Are Quasiplanar
证明了2-平面图都是拟平面图，即如果一个简单图在平面中允许一个图使得每条边至多相交两次，那么它也允许一个图使得没有三条边两两相交.我们进一步证明，准平面性是见证了一个简单的拓扑图，也就是说，任何两个边缘交叉最多一次，相邻的边缘不交叉。
2019-09-04 cs.CG cs.DM math.CO
Algorithmic methods of finite discrete structures. Topological graph drawing (part IV)
本章基于Ringel顶点旋转理论，利用诱导圈系统和虚顶点定位方法，以最大平面子图的拓扑绘制为基础，为非可分非平面图构建具有特定厚度的拓扑绘制。
2025-07-22 cs.DM math.CO
Beyond Outerplanarity
Maastricht University（马斯特里赫特大学）；Universität Würzburg（维尔茨堡大学）；Amherst College（阿默斯特学院）；Università degli Studi di Perugia（佩鲁贾大学）
研究凸位置绘图中外k-平面图和外k-拟平面图的性质，包括退化性、染色数、平衡分离器以及识别问题的拟多项式时间算法，并证明全外k-平面性可在线性时间内测试。
2026-05-31 cs.DM math.CO
Relaxing the Constraints of Clustered Planarity
在聚类图的绘制中，顶点和边分别被绘制为点和曲线，而聚类由简单的闭合区域表示。如果一个聚类图没有边与边、边与区域或区域与区域的交叉，则它是c-平面的。判定聚类图是否可作c-平面图的复杂性是图论研究领域中一个长期存在的问题。c-平面性的一个明显的必要条件是聚类图的平面性。然而，这样的条件是不够的，由于没有边缘区域和区域区域交叉的要求对问题的后果尚未完全理解。为了阐明c-平面性问题，我们考虑了它的一个宽松版本，其中允许某些类型的交叉（边-边，边-区域或区域-区域），即使底层图是平面的。我们调查的最小数量之间的关系边边，边区域，区域区域交叉的图纸相同的聚类图。此外，我们考虑图纸中，只有一种交叉被承认。在这种情况下，我们证明了只有边缘边缘或只有边缘区域交叉的图纸总是存在的，而只有区域区域交叉的图纸可能不存在。此外，我们提供了这样的交叉点的数量的上限和下限。最后，我们给出了一个多项式时间的算法来测试是否只有区域交叉的绘图存在的双连通图，从而确定了第一个非平凡的必要条件c-平面性，可以测试在多项式时间的一类值得注意的图。
2014-02-18 cs.CG cs.DM
Strictly convex drawings of planar graphs
每一个有n个顶点的三连通平面图都有一个在O（n^2）x O（n^2）网格上的绘图，其中所有的面都是严格凸多边形。这些图是通过扰动（不严格）凸图在O（n）x O（n）网格上获得的。更一般地说，严格凸绘图存在于大小为O（W）x O（n^4/W）的网格上，对于任意选择的参数W，n<W<n^2。面的边越少，边界越紧。在证明中，我们得到了三角形中本原向量个数的一个显式下界。
2006-06-21 cs.CG cs.DM
The Density of Fan-Planar Graphs
一个图的拓扑图是扇平面的，如果对于每个边$e$，与$e$交叉的边形成星形，并且没有$e$的端点被$e$及其交叉边包围。一个扇平面图是一个图承认这样的绘图。等价地，这可以由三种禁止模式来表示，其中一种是其中$e$被两个独立边缘交叉的配置，而另外两种是其中$e$被两个入射边缘以包围$e$的某个端点的方式交叉的配置。如果任意两条边至多有一个公共点，则拓扑图是简单的。Fan-planar图是由禁止交模式定义的拓扑图中的一个新成员，如平面图及其推广，Turán-图和Conway的thrackle猜想。因此，扇平面图是组合几何中的一个重要领域，在离散数学的各个领域都有应用。由于每一个$1$ -平面图都是扇平面图，每一个扇平面图都是$3$ -拟平面图，所以它们也完全适合于最近一系列关于图的绘制和组合嵌入的近平面图的工作.在本文中，我们证明了每一个扇平面图上的$n$顶点最多有$5n-10$的边缘，即使扇平面图可能有一个平方数的交叉。我们的界限，这是紧的每$n \geq 20$，表明如何很好地扇平面图适合在行与平面图（$3n-6$边缘）和$1$ -平面图（$4n-8$边缘）。由此，扇平面图形成了由禁止模式定义的最大的非平凡拓扑图类，其中$n$顶点上的最大边数是精确已知的。
2021-07-15 cs.CG cs.DM math.CO
Planar Drawings of Higher-Genus Graphs
在本文中，我们给出了多项式时间算法，该算法可以将具有给定组合嵌入的图G取到亏格为g的可定向曲面S上，并在R^2中生成G的平面图，其边界面由S的多边形模式P定义。我们的图是平面的，但它们允许P的边界上的顶点和边的多个副本，这是在平面中可视化高级亏格图的常见方式。我们的绘图可以定义为一个规范的多边形模式或多边形割集模式，这提供了一个有趣的权衡，因为规范模式有更少的边，并有一个很好的拓扑结构，但他们可以有更多的重复顶点和边缘比一般的多边形割集。作为一个侧记，我们表明，它是NP-完全的，以确定是否一个给定的图嵌入在一个genus-g表面有一组2g的基本周期与顶点不相交的内部，这将是可取的从图形绘制的角度来看。
2009-08-12 cs.CG cs.DM
Optimal Orthogonal Graph Drawing with Convex Bend Costs
传统上，正交平面图形的质量通过折弯总数或每条边的最大折弯数来量化。然而，这忽略了在典型应用中，边缘具有不同的重要性。此外，由于所有平面嵌入上的弯曲最小化是NP难的，因此大多数方法都集中在固定的平面嵌入上。我们考虑如下定义的问题OptimalFlexDraw。给定一个最大度为4的n个顶点的平面图G，对于每条边e，一个成本函数cost_e：N_0 --> R定义成本取决于e上的弯曲数，计算G的最小成本正交图。请注意，这优化了输入图的所有平面嵌入，并且成本函数允许对边的弯曲进行细粒度控制。在这种普遍性中，OptimalFlexDraw是NP难的。我们证明，如果1）每条边的成本函数是凸的，并且2）每条边上的第一个弯曲不会导致任何成本（这是一个类似于决策问题FlexDraw的正柔性的条件），则可以有效地解决它。此外，我们证明了一个最佳的解决方案的存在性，除了一个单一的边缘，每个块（最大的双连通组件），最多有四个弯曲，每个边缘最多有三个弯曲。对于双连通图，我们得到了O（n T_flow（n））的运行时间，其中T_flow（n）表示在具有多个源和汇的平面流网络中计算最小费用流所需的时间。对于非双连通的连通图，我们需要一个额外的因子O（n）。
2012-04-23 cs.DM cs.DS
How to Morph a Tree on a Small Grid
本文研究了树的直线平面网格图之间的平面变形。变形由一系列变形步骤组成，其中在变形步骤中，顶点以恒定速度沿着直线轨迹移动。我们将展示如何构建平面变形，同时实现变形步骤和多项式有界的决议减少。我们假设初始和最终的图纸都位于网格上，并且我们确保每个变形步骤都会产生网格图纸;此外，我们考虑了向上绘制的有根树和任意树的图纸。
2019-09-27 cs.CG cs.DM cs.DS
Smallest Cubic Non-1-Planar Graphs
本文证明最小的三次非1-平面图有30个顶点，并借助SAT求解器与k-灵活性方法，避免了穷举四十亿个图的计算。
2026-09-24 cs.CG cs.DM math.CO
Drawing Graphs as Spanners
本文研究了图在平面上的嵌入问题，把它看作是一个好的几何空间。也就是说，对于图$G$，目标是在平面中构造$G$的直线绘图$Γ$，使得对于$G$的任何两个顶点$u$和$v$，从$u$到$v$的任何路径的最小长度与$u$和$v$之间的欧几里得距离之间的比率小。在$G$的所有顶点对上的最大这样的比率是$Γ$的生成比率。首先，我们表明，决定是否允许一个图的直线图的生成比$1$，一个适当的直线图的生成比$1$，和一个平面的直线图的生成比$1$是NP-完全，$\exists \mathbb R$ -完全，线性时间可解的问题，分别是，如果没有两个顶点重叠，没有边重叠的顶点，绘图是适当的。其次，我们表明，从生成比$1$到生成比$1+ε$，我们可以绘制每个图。也就是说，我们证明了，对于每一个$ε>0$，每一个（平面）图允许一个适当的（分别）。平面）直线图，跨度比小于$1+ε$。第三，跨度比小于$1+ε$的图具有大的边长比，即最长边的长度与最短边的长度之比是指数的。我们表明，这有时是不可避免的。更一般地说，我们确定有界韧性的标准，区分图表，承认直线图纸与常数跨度比和多项式边长比的图表，需要指数边长比在任何直线图纸与常数跨度比。
2020-02-13 cs.CG cs.DM cs.DS
Some Results On Point Visibility Graphs
本文提出了识别点可见图的三个必要条件。我们发现，这个识别问题在于PSPACE。我们陈述了点可见性图的新性质以及一些在理解点可见性图中很重要的已知性质。对于平面点可见性图，我们提出了一个完整的特征，从而导致一个线性时间识别和重建算法。
2014-04-04 cs.CG cs.DM math.CO
Expansion of gap-planar graphs
本文证明间隙平面图具有线性扩张，其浅次子图密度为O(rk)，并推广至拓扑次子图、覆盖平面图及任意曲面，应用于图着色。
2025-10-17 cs.DM math.CO
Crossing Numbers of Beyond-Planar Graphs
我们研究了1-平面，准平面，扇平面交叉数相比，（无限制）交叉数的图。我们证明了有$n$ -顶点1-平面（准平面，扇平面）图，使任何1-平面（准平面，扇平面）绘图有$Ω(n)$交叉，而$O(1)$交叉足够的交叉最小绘图没有限制的本地边缘交叉模式。
2019-09-09 cs.CG cs.DM
Embedding 1-Planar Graphs in Ten Pages
本文证明每个1-平面图可嵌入10页书，且当平面骨架有哈密顿回路时4页必要且充分。
2023-12-25 cs.DM
The Complexity of Drawing a Graph in a Polygonal Region
我们证明了以下问题对于实数的存在性理论是完备的：给定一个平面图和一个多边形区域，其中图的一些顶点被分配给区域边界上的点，将剩余的顶点放置在区域内以创建图的平面直线图。这加强了Patrignani关于扩展部分平面图的NP-困难结果。我们的结果是第一次表明，画平面图的直线边的问题是很难的实数的存在理论之一。问题的复杂性在单连通区域的情况下是开放的。我们还表明，即使是整数输入坐标，这是可能的，绘制一个图形在多边形区域需要一些顶点被放置在无理坐标。相比之下，已知坐标在凸区域的特殊情况下是有界的，或者用于在任何多边形区域中绘制路径。
2018-09-05 cs.CC cs.CG cs.DM
Drawing graphs with vertices and edges in convex position
一个图有强凸维数$2$，如果它允许在平面上画直线，使得它的顶点在凸位置，它的边的中点也在凸位置. Halman，Onn和Rothblum证明了强凸维数$2$的图是平面的，因此至多有$3n-6$边。我们证明了所有这类图至多有$2n-3$边，同时给出了一类强凸维数非可平面图$2$ .我们还给出了强凸维数图$2$的最大边数的下界，并讨论了这类图的变体。我们应用我们的结果的问题，大凸独立集的平点集的Minkowski和，近年来一直感兴趣。
2016-06-15 cs.CG cs.DM math.CO
On the Obfuscation Complexity of Planar Graphs
受John Tantalo的平面性博弈的启发，我们考虑了具有边交叉的平面图$G$的直线平面图，并想知道如何混淆这样的图纸可以。我们将$obf(G)$（$G$的混淆复杂度）定义为$G$图形中的最大边交叉数。有关$obf(G)$的$G$中的顶点度的分布，我们显示了一个有效的方法来构建一个至少有$obf(G)/3$边缘交叉点的$G$绘图。证明了具有最小顶点度$δ(G)\ge 2$的$n$ -顶点平面图$G$的界$(δ(G)^2/24-o(1))n^2 < \obf G <3 n^2$. $G$的移位复杂度，用$shift(G)$表示，是足以消除$G$的任意模糊绘图中的所有边交叉的顶点移位的最小数目（在移位顶点之后，所有入射边被认为相应地重绘）。如果$δ(G)\ge 3$，则由于$G$的匹配数是线性的这一已知事实，所以$shift(G)$在顶点数方面是线性的。然而，在$δ(G)\ge2$的情况下，我们注意到，即使匹配数有界，$shift(G)$也可以是线性的。至于计算复杂性，我们表明，给定一个平面图的图纸$D$，这是NP-难找到一个最佳的序列的移位，使$D$交叉自由。
2007-12-14 cs.CC cs.DM
Path-Additions of Graphs
路径添加是一种操作，它将图中两个顶点之间的内部顶点不相交路径与一组补充边一起添加。路径添加与未成年人正好相反。我们证明了一些类的图是封闭的路径下添加，包括非平面，直角交叉，扇交叉自由，准平面，（对齐）酒吧1-可见性，和区间图，而其他的不封闭，包括所有的平面图，有界树宽，k-平面，扇平面，外扇平面，外扇交叉自由，和酒吧（1，j）-可见性图的子类。
2016-05-10 cs.DM
How to Draw a Planar Graph: An Experimental Evaluation
研究中小规模平面图绘制算法，比较既定算法、启发式算法及新优化方法，发现无算法在所有美学标准上最佳，优化单一属性常损另一属性，直接优化及分数引导组合效果较好，设计通用简单稳健算法仍是难题。
2026-07-28 cs.CG cs.DM
Untangling planar graphs from a specified vertex position - Hard cases
给定一个平面图$G$，我们考虑$G$在平面中的绘图，其中边由直线段（可能相交）表示。这样的绘图通过将$G$的顶点集的$π$内射嵌入到平面中来指定。我们证明了一个轮图$W_n$承认一个绘图$π$，这样，如果一个人想消除边缘交叉移动顶点到新的位置在平面上，然后在最多$(2+o(1))\sqrt n$的所有$n$顶点可以保持固定。此外，即使假定顶点占据平面中任何指定的点集，这样的绘图$π$也存在。类似的问题进行了讨论，其他家庭的平面图。
2010-11-23 cs.CG cs.DM
Untangling Circular Drawings: Algorithms and Complexity
我们考虑的问题解开一个给定的（非平面）直线圆形图$δ_G$的外平面图$G=(V, E)$到一个平面的直线圆形图移动的最小数量的顶点到一个新的位置上的圆。对于一个外平面图$G$，很明显，这样一个交叉自由的圆形图总是存在的，我们定义的循环移位数移位$(δ_G)$的最小数量的顶点，需要被移动，以解决所有的交叉$δ_G$。我们发现，问题循环解开，询问是否转移$(δ_G) \le K$为一个给定的整数$K$，是NP完全的。对于$n$ -顶点外平面图，我们得到了移位$(δ_G) \le n - \lfloor\sqrt{n-2}\rfloor -2$的一个紧上界.基于这些结果，我们研究了几乎平面的圆形图纸，其中一个单一的边缘是在所有的交叉参与的圆形解开。在这种情况下，我们提供了一个紧上限移位$(δ_G) \le \lfloor \frac{n}{2} \rfloor-1$和提出了一个建设性的多项式时间算法来计算循环移位数的几乎平面的图纸。
2021-12-20 cs.CG cs.DM
Untangling a Planar Graph
平面图$G$的直线图$δ$不必是平面的，但可以通过\emph{untangling}使其成为平面，即通过移动$G$的一些顶点。令shift $(G,δ)$表示需要移动以解开$δ$的顶点的最小数目。我们表明，移位$(G,δ)$是NP难计算和近似。我们的硬度结果扩展到一个版本的\textsc{1BendPointSetEmbeddability}，一个著名的图形绘制问题。此外，我们定义固定$(G,δ)=n-shift(G,δ)$的平面$n$ -顶点图$G$的顶点的最大数量，可以固定时解开$δ$。我们给出了一个算法，固定至少$\sqrt{((\log n)-1)/\log \log n}$顶点时解开一个$n$ -顶点图$G$的绘图。如果$G$是外平面的，则相同的算法至少固定$\sqrt{n/2}$顶点。另一方面，对于任意大的$n$，我们构造了一个$n$ -顶点平面图$n$和一个$G$的绘图$δ_G$，其中$(G,δ_G) \le \sqrt{n-2}+1$是固定的，以及一个$n$ -顶点外平面图$H$和一个$H$的绘图$δ_H$，其中$(H,δ_H) \le 2 \sqrt{n-1}+1$是固定的.因此，我们的算法是渐近最坏情况下最优的外平面图。
2009-01-27 cs.CG cs.DM
Extending Partial Orthogonal Drawings
在部分表示扩展的框架下研究了平面正交绘图风格。设$(G,H,Γ_H )$是部分正交图，即，G是图，$H\subseteq G$是子图，$Γ_H$是H的平面正交图.我们表明，$G$的正交绘图$Γ_G$的存在，扩展$Γ_H$，可以在线性时间测试。如果存在这样的图形，则也存在每个边使用$O(|V(H)|)$折弯的图形。另一方面，我们发现，它是NP-完全找到一个扩展，最大限度地减少弯曲的数量或有一个固定数量的弯曲每边。
2020-08-24 cs.CG cs.DM
Moving Vertices to Make Drawings Plane
平面图$G$的直线图$δ$不必是平面的，但可以通过移动一些顶点来使其成为平面。让shift $(G,δ)$表示将$δ$转换为$G$的平面图所需移动的最小顶点数。证明了移位$(G,δ)$的计算和逼近是NP-难的，并且当$G$是树或一般平面图时，给出了移位$(G,δ)$的显式界.我们的硬度结果扩展到1BendPointSetEmbeddability，一个著名的图形绘制问题。
2008-11-06 cs.CC cs.CG cs.DM
Recognizing IC-Planar and NIC-Planar Graphs
我们证明了三角化的IC-平面图和NIC-平面图可以在立方时间内识别。一个图是1-平面的，如果它可以画在平面上，每条边至多有一个交叉。此外，如果每个顶点最多与一个交叉边关联，则绘图是IC平面的，如果两对交叉边最多共享一个顶点，则绘图是NIC平面的。在三角剖分的图形中，每个面都是三角形。因此，平面最大图、最大IC-平面图和NIC-平面图可以在O（n^5）时间内识别，而最大图和最优图可以在O（n^3）时间内识别。与此相反，识别3-连通IC-平面图和NIC-平面图是NP-完全的，即使这些图是用一个旋转系统来描述每个顶点处的边的循环排序。我们的结果补充类似的1-平面图。
2016-10-27 cs.DM
The Price of Upwardness
本文研究DAG的向上k-平面绘制，证明多类图的边交叉数无界但外路径图至多为二，并证明k=1时测试向上k-平面性已NP完全，同时给出单源DAG的线性时间判定算法。
2025-07-23 cs.CG cs.DM
