Untangling Force-Directed Layouts Using Persistent Homology
力导向布局属于一种用于在节点链接图中定位节点的流行方法。然而，它们通常缺乏对全局结构的直接考虑，这可能导致视觉混乱和不相关结构的重叠。在本文中，我们使用持久同源性的原则来解开力导向布局，从而减轻这些问题。首先，我们设计了一种新的方法，使用0维持久同源有效地产生一个初始的图形布局。该方法导致更快的收敛和更好的图形布局质量。其次，我们提供了一个新的定义和一个有效的算法，1维持久同源特征（即，隧道/循环）。我们为用户提供了与一维特征交互的能力，通过突出显示它们并向布局中添加强调循环的力量。最后，我们通过计算各种指标，例如，联合排名、边缘交叉等，以证明我们提出的方法的有效性。
2022-08-14 cs.CG cs.HC cs.SI
Tangling and Untangling Trees on Point-sets
针对拓扑图论与图绘制交叉问题，提出缠绕-解缠绕方法构造树在点集上的指定交叉数绘制，保证常数曲线复杂度，给出一般树$O(n^2)$、路径$O(n\text{log}n)$时间算法，还可计算RAC绘制。
2025-08-25 cs.CG
Untangling Graphs on Surfaces
本文提出一种算法判定曲面上的图绘制能否通过滑动顶点和边消除交叉以同伦于嵌入，运行时间为 O(m + poly(g+b) n log n)，并引入简化三角剖分等新技术。
2025-07-17 cs.CG cs.DS
Drawing Planar Graphs with Many Collinear Vertices
请考虑以下问题：给定一个平面图$G$，使$G$有一个平面直线图且其顶点$p$共线的最大数目是多少？这个问题存在于几个图形绘制问题的核心，包括通用点子集，解开和列平面性。以下结果是已知的：每个$n$ -顶点平面图有一个平面直线图与$Ω(\sqrt{n})$共线顶点;对于每个$n$，有一个$n$ -顶点平面图，其每个平面直线图与$O(n^σ)$共线顶点，其中$σ<0.986$ ;每个树宽至多为2的$n$ -顶点平面图有一个平面直线图与$Θ(n)$共线顶点。我们将线性边界推广到树宽至多为3的平面图和三连通三次平面图。这（部分）回答了Ravsky和Verbitsky提出的两个开放问题[WG 2011：295- 306]。类似的结果是不可能的所有有界树宽平面图或所有有界度平面图。对于树宽至多为3的平面图，我们的结果也意味着上述所有其他绘图问题的渐近紧界。
2016-08-31 cs.CG math.CO
Compact Drawings of 1-Planar Graphs with Right-Angle Crossings and Few Bends
我们研究了以下几类超平面图：1-平面图、IC-平面图和NIC-平面图。这些图形分别允许1-平面、IC-平面和NIC-平面绘图。如果一个图的每条边至多相交一次，则该图是1-平面图。如果没有两对相交边共享一个顶点，则1-平面绘图是IC-平面的。如果没有两对相交边共享两个顶点，则单平面图形是NIC平面的。我们研究这些超越平面图类（超越平面图是一个集体术语的主要尝试推广的平面图）的直角交叉（RAC）图，承认紧凑的图纸上的网格很少弯曲的关系。我们提出了四个绘图算法，保持给定的嵌入。首先，我们证明了每个$n$ -顶点NIC-平面图允许一个NIC-平面RAC绘图，在大小为$O(n) \times O(n)$的网格上，每条边最多有一个弯曲。然后，我们证明了每一个$n$ -顶点1-平面图承认1-平面RAC绘图与最多两个弯曲的每边上的大小为$O(n^3) \times O(n^3)$的网格。最后，我们提出了两个已知的算法嵌入保持，用于绘制1-平面RAC图，每边至多一个弯曲和绘制IC-平面RAC图直线。
2019-08-08 cs.CG cs.DM
Crossing Numbers of Beyond-Planar Graphs
我们研究了1-平面，准平面，扇平面交叉数相比，（无限制）交叉数的图。我们证明了有$n$ -顶点1-平面（准平面，扇平面）图，使任何1-平面（准平面，扇平面）绘图有$Ω(n)$交叉，而$O(1)$交叉足够的交叉最小绘图没有限制的本地边缘交叉模式。
2019-09-09 cs.CG cs.DM
Fan-Crossing Free Graphs and Their Relationship to other Beyond-Planar Graphs
一个图是\emph{fan-crossing free}，如果它在平面上有一个图，使得每条边都被独立的边交叉，也就是说交叉的边有不同的顶点。另一方面，如果交叉边具有公共顶点，即它们形成扇形，则为\emph{fan-crossing}。两者都是超平面图的突出例子。其他著名的超平面类是$k$ -平面图、$k$ -间隙平面图、准平面图和直角交叉图。我们使用细分，节点到圆的扩展和路径添加操作来区分所有这些图类。特别地，我们证明了任何图的2-细分和节点到圆的扩张是无扇交叉的，这分别不适用于扇交叉和$k$ -（间隙）-平面图。从而，我们得到的图是扇交叉自由，既不扇交叉，也没有$k$ -（间隙）-平面。最后，我们证明了一些图有一个唯一的扇交叉自由嵌入，存在稀疏的最大扇交叉自由图，并证明了识别问题的扇交叉自由图是NP-完全的。
2020-12-10 cs.CG cs.DM
Beyond-Planarity: Density Results for Bipartite Graphs
超平面性主要研究在某种意义上近似平面的几何图和拓扑图。在这里，平面性放宽允许边缘交叉，但只相对于一些本地禁止交叉配置。早期的研究可以追溯到20世纪60年代（例如，Avital和Hanani 1966）的极值问题的几何图形，但也涉及到图形绘制问题，其中视觉混乱的边缘交叉应尽量减少（例如，Huang等人，2008年），这可能会对图纸的可读性产生负面影响。不同类型的禁止交叉配置产生不同的近平面图族。大部分的文献都集中在Turán型问题上，它要求一个近似平面图可以有最大数量的边。在这里，我们研究这个问题的二部拓扑图，考虑几种类型的近平面图，即，1-平面、2-平面、扇平面和RAC图。我们证明了边界的边缘是紧到小的添加剂常数的数量，其中一些是令人惊讶的，而不是沿线的已知结果为非二分图。我们的研究结果导致了著名的交叉引理二部图的领先常数的改进，以及一些有趣的研究问题的拓扑图。
2017-12-28 cs.CG cs.DM
A Survey on Graph Drawing Beyond Planarity
平面之外的图形绘制是一个快速发展的研究领域，它根据禁止交叉配置对非平面图的几何表示进行分类和研究。本调查的目的是描述该领域的主要研究方向，最突出的已知结果，以及一些最具挑战性的开放问题。
2018-04-19 cs.CG cs.DM
On the Recognition of Fan-Planar and Maximal Outer-Fan-Planar Graphs
扇平面图是最近引入的1-平面图的推广。一个图是扇平面的，如果它可以嵌入在平面中，使得每个被交叉超过一次的边被一束两个或更多个与公共顶点相关的边交叉。一个图是外扇平面的，如果它有一个扇平面嵌入，其中每个顶点都在外面。此外，如果边的插入破坏了它的外扇平面性，那么它是最大外扇平面的。本文给出了一个多项式时间算法来判定给定图是否为极大外扇平面图。该算法也可以用来产生外扇平面嵌入，如果存在的话。在消极的一面，我们证明了测试图的扇平面性是NP-困难的，对于旋转系统（即，每个顶点周围的边的循环顺序）。
2014-09-01 cs.CG cs.DM math.CO
The Density of Fan-Planar Graphs
一个图的拓扑图是扇平面的，如果对于每个边$e$，与$e$交叉的边形成星形，并且没有$e$的端点被$e$及其交叉边包围。一个扇平面图是一个图承认这样的绘图。等价地，这可以由三种禁止模式来表示，其中一种是其中$e$被两个独立边缘交叉的配置，而另外两种是其中$e$被两个入射边缘以包围$e$的某个端点的方式交叉的配置。如果任意两条边至多有一个公共点，则拓扑图是简单的。Fan-planar图是由禁止交模式定义的拓扑图中的一个新成员，如平面图及其推广，Turán-图和Conway的thrackle猜想。因此，扇平面图是组合几何中的一个重要领域，在离散数学的各个领域都有应用。由于每一个$1$ -平面图都是扇平面图，每一个扇平面图都是$3$ -拟平面图，所以它们也完全适合于最近一系列关于图的绘制和组合嵌入的近平面图的工作.在本文中，我们证明了每一个扇平面图上的$n$顶点最多有$5n-10$的边缘，即使扇平面图可能有一个平方数的交叉。我们的界限，这是紧的每$n \geq 20$，表明如何很好地扇平面图适合在行与平面图（$3n-6$边缘）和$1$ -平面图（$4n-8$边缘）。由此，扇平面图形成了由禁止模式定义的最大的非平凡拓扑图类，其中$n$顶点上的最大边数是精确已知的。
2021-07-15 cs.CG cs.DM math.CO
A Survey on Small-Area Planar Graph Drawing
本文综述了小面积平面图的构造算法和界。
2014-10-04 cs.CG cs.DM cs.DS
Drawing Partially Embedded and Simultaneously Planar Graphs
我们研究了两个相关问题的问题，即部分嵌入图问题-将子图的直线平面图扩展到整个图的平面图-和同时平面性问题-找到两个图的平面图，它们在共享的顶点和边上重合。在这两种情况下，我们表明，如果所需的平面图纸存在，那么有一个线性数量的弯曲每边的平面图纸，在同时平面性的情况下，每对边缘之间的交叉点的数量恒定。我们的证明提供了有效的算法，如果组合嵌入的图纸。我们的结果部分嵌入图绘制推广了经典的结果由Pach和Wenger，这表明，任何平面图可以画与线性数量的弯曲每边，如果每个顶点的位置是固定的。
2014-10-30 cs.CG cs.DM cs.DS
Planar Rectilinear Drawings of Outerplanar Graphs in Linear Time
我们将展示如何测试在线性时间是否outerplanar图承认一个平面直线图，无论是如果图形有一个规定的平面嵌入的绘图必须尊重，如果它不。我们的算法返回一个平面直线图，如果图承认一个。
2020-08-21 cs.CG cs.DM cs.DS
Smallest Cubic Non-1-Planar Graphs
本文证明最小的三次非1-平面图有30个顶点，并借助SAT求解器与k-灵活性方法，避免了穷举四十亿个图的计算。
2026-09-24 cs.CG cs.DM math.CO
$2$-Layer $k$-Planar Graphs: Density, Crossing Lemma, Relationships, and Pathwidth
$2$层绘图模型是一个很好的可视化二分图的范例。在此模型下研究了几类超平面图。然而，令人惊讶的是，基本类的$k$ -平面图已被认为只有$k=1$在这种情况下。我们提供了几个贡献，解决这一差距的文献。首先，我们证明了具有$k\in\{2,3,4,5\}$的$2$ -层$k$ -平面图类的紧密度界.在此基础上，我们给出了$2$ -层$k$ -平面图的一个交叉引理，从而给出了$2$ -层$k$ -平面图的一个一般密度界.我们证明了这个界几乎是最优的，相应的下界建设。最后，我们研究了$2$ -层模型中$k$ -平面性和$h$ -拟平面性之间的关系，证明了$2$ -层$k$ -平面图的路宽至多为$k+1$ .
2020-08-21 cs.CG cs.DM cs.DS
On 4-Map Graphs and 1-Planar Graphs and their Recognition Problem
我们建立了一个1-平面图和一般和无洞4-映射图之间的一一对应关系，并表明，1-平面图可以在多项式时间内识别，如果它们是交叉增广，完全三角化，最大1-平面，分别与一个多项式的次数分别为120，3，和5。
2015-09-11 cs.CG
On the Relationship between $k$-Planar and $k$-Quasi Planar Graphs
一个图是$k$ -平面的$(k \geq 1)$，如果它可以在平面中绘制，使得没有边交叉超过$k$次。一个图是$k$ -拟平面的$(k \geq 2)$，如果它可以画在平面上，没有$k$成对交叉的边。$k$ -平面图和$k$ -拟平面图族在文献中得到了广泛的研究，并证明了它们的边密度的几个界。尽管如此，只有琐碎的结果是已知的这两个图族之间的关系。本文证明了对$k \geq 3$，每个$k$ -平面图都是$(k+1)$ -拟平面图.
2019-09-04 cs.CG
Planar Lombardi Drawings for Subcubic Graphs
我们证明了每个最大度为3的平面图都有一个平面图，其中边被画成围绕每个顶点以相等角度相交的圆弧。我们的建设是基于Koebe-Thurston-Andreev圆包装定理，并使用一种新的类型的沃罗诺伊图的圆包装，是不变的Moebius变换，使用三维双曲几何定义。我们还使用圆包装，以建设平面Lombardi图纸的一类特殊的4-正则平面图，中间图的多面体图，我们表明，并不是每一个4-正则平面图有一个Lombardi图纸。我们已经实现了我们的算法3连通平面三次图。
2012-06-26 cs.CG
Drawing Planar Graphs and 1-Planar Graphs Using Cubic Bézier Curves with Bounded Curvature
研究使用有界曲率三次贝塞尔曲线绘制平面图与1-平面图的算法，证明1-平面图存在单曲线RAC绘制且可O(n)时间计算，平面图亦可O(n)时间绘制并保证角分辨率与曲率有界。
2024-10-15 cs.CG
Straight-line Drawability of a Planar Graph Plus an Edge
本文研究由一个平面图加一条边组成的拓扑图的直线图，也称为准平面图。我们提出了这样的图形，承认一个直线图的特征。该特征使得线性时间测试算法能够确定几乎平面图是否允许直线绘图，以及构造这样的绘图的线性时间绘图算法，如果它存在的话。我们还表明，一些几乎平面图需要指数面积的直线绘图。
2015-06-30 cs.CG
Planar graphs as L-intersection or L-contact graphs
L-交图是表示为平面内轴平行形状的交图的图。这些图的一个子类是{L，|，--}-切触图是平行于L轴的切触图，|和--平面上的形状。我们在这里证明了Chaplick和Ueckerdt在2013年提出的两个结果。我们证明了平面图是L-交图，无三角形平面图是{L，|，--}-接触图。这些结果是由一种新的和简单的4-连通三角剖分的分解技术。我们的结果也提供了一个更简单的证明已知的事实，平面图是段交图。
2017-07-28 cs.CG
1-Bend RAC Drawings of 1-Planar Graphs
一个图是1-平面的，如果它有一个图，其中每个边最多交叉一次。如果边仅以直角相交，则图形为RAC（直角相交）。1-平面图和RAC图之间的关系在文献中已经得到了部分研究。已知存在不可绘制直线RAC的1-平面图和具有直线RAC绘制但不是1-平面的图。此外，直线RAC图纸总是存在的IC-平面图，1-平面图的子类。一个仍然悬而未决的主要问题是，是否每个单平面图都有一个RAC绘图，每个边最多有一个弯曲。我们肯定地回答这个问题。
2016-08-30 cs.CG
Nodally 3-connected planar graphs and convex combination mappings
平面图的凸组合映射是指外部顶点映射到凸多边形的角上，内部顶点是其邻顶点的真加权平均的平面映射。如果一个平面图是3-连通的或三角化的，那么每个这样的映射都是一个嵌入（Tutte，Floater）。本文给出了平面3-连通图的一个简单刻画，并将上述结果推广到任何允许任何凸嵌入的平面图。
2007-08-07 cs.CG
Monotone Drawings of $k$-Inner Planar Graphs
$k$ -内部平面图是具有至多$k$ {内部顶点}的平面图的平面图，即，不位于其图形外表面边界上的顶点。外平面图是$0$ -内平面图。本文给出了如何在$2(k+1)n \times 2(k+1)n$网格上构造$k$ -内平面图的单调图.在特殊情况下的外平面图，我们可以产生一个平面单调画上的$n \times n$网格，改进以前已知的结果。
2018-08-22 cs.CG
On the Area Requirements of Planar Greedy Drawings of Triconnected Planar Graphs
本文研究了三连通平面图的平面贪婪图的面积要求。Cao，Strelzoff和Sun展示了三连通平面图的细分族$\cal H$，并声称在$\mathcal H$中的每一个平面图的贪婪绘制都需要指数面积。然而，我们发现，每一个$n$ -顶点图中的$\cal H$实际上有一个平面贪婪图纸尊重规定的平面嵌入在$O(n)\times O(n)$网格。这重新打开的问题是否三连通平面图承认平面贪婪图纸上的多项式大小的网格。此外，我们提供了一个肯定的答案，证明了每个$n$ -顶点Halin图承认一个平面的贪婪绘制上的$O(n)\times O(n)$网格上的上述问题的证据。这两个结果都是通过实际构造凸的和角单调的图来获得的。最后，我们考虑$α$ -施奈德图纸，这是角度单调，因此贪婪，如果$α\leq 30^\circ$，并表明存在平面三角形，每个$α$ -施奈德图纸与固定的$α<60^\circ$需要指数面积的任何决议规则。
2020-03-03 cs.CG cs.DM cs.DS
Drawing outer-1-planar graphs revisited
在最近的一篇文章中（Auer et al，Apumica 2016），声称每个外1平面图都有一个面积为$O(n\log n)$的平面可见性表示。在本文中，我们表明，这是错误的：有外1-平面图，需要$Ω(n^2)$面积在任何平面图。然后我们给出了一个构造（使用交叉，但保持给定的外1-平面嵌入），该构造的结果是具有O（nlog n）面积和每条边至多两个弯曲的正交盒图。
2020-09-20 cs.CG
Straight-line Drawings of 1-Planar Graphs
一个图是1-平面的，如果它可以画在平面上，使每个边最多交叉一次。然而，有1-平面图不承认直线1-平面图。我们证明了每一个1-平面图都有一个直线图，它的边是双染色的，所以相同颜色的边不会相交。因此，1-平面图的几何厚度为2。此外，如果每条边被交叉两次以上，则每条边被具有公共顶点的边交叉。绘图使用高精度算法，数字为O（nlog n）位，可以在线性时间内从1-平面绘图计算
2021-09-03 cs.CG
Order-preserving 1-string representations of planar graphs
本文考虑平面图的1-弦表示是保序的，在这个意义上，表示顶点$v$的曲线的交叉顺序与平面嵌入中围绕$v$顺时针方向的边的顺序相同.我们表明，这并不存在所有的平面图（甚至不是所有的平面3-树），但显示存在的一些子类的平面部分3-树。特别地，对于外平面图，它可以是保序的和外串的，在这个意义上，串的所有端点都在表示的外部。
2016-09-26 cs.CG
An Experimental Study of a 1-planarity Testing and Embedding Algorithm
$1$ -平面图的定义自然地扩展了图的平面性，即一个图是$1$ -平面图，如果它可以画在平面上，每条边至多有一个交叉。不幸的是，虽然测试图的平面性在线性时间内是可解的，但决定图是否是$1$ -平面的是NP-完全的，即使对于有限类的图也是如此。虽然几个多项式时间算法已被描述为识别特定的子族的$1$平面图，没有实现的一般算法是可用的日期。我们研究的可行性$1$ -平面性测试和嵌入算法的基础上回溯策略。虽然实验表明，我们的方法可以成功地应用于多达30个顶点的图，他们也建议需要更复杂的技术来攻击更大的图。我们的贡献提供了初步的迹象，可能会刺激进一步的研究设计的实用方法的$1$平面性测试问题。
2019-11-01 cs.CG
Crossing Numbers of Beyond-Planar Graphs Revisited
图形绘制超越平面性的重点是绘制高视觉质量的非平面图形，其特征是某些禁止的边缘配置。一幅图的质量的一个自然标准是边缘交叉的数量。然后出现的问题是否超越平面图纸有一个显着更大的交叉数比无限制的图纸。Chimani等人[GD'19]给出了三类超平面图的交叉数与非限制交叉数之比的界。在本文中，我们将他们的结果推广到目前已知的主要类别的超平面图的特征在于禁止边配置和回答他们的几个开放的问题。
2021-05-26 cs.CG
An annotated bibliography on 1-planarity
1-平面性的概念是图的平面性的最自然和研究最多的推广之一。一个图是1-平面的，如果它有一个嵌入，其中每条边最多与另一条边相交。1-平面图的研究可以追溯到五十多年前，最近，它在图论，图算法，图绘制和计算几何领域引起了越来越多的关注。这个注释书目的目的是提供一个指导性的参考研究人员谁想要有一个关于1-平面图的大量文献的概述。它回顾了目前的文献，涵盖各种研究流1-平面性，如表征和识别，组合性质，几何表示。作为一个额外的贡献，我们提供了一个列表上的1-平面图的开放问题。
2017-07-20 cs.CG
Gap-planar Graphs
我们引入了$k \geq 0$的$k$ -间隙-平面图族，即，具有一个绘图的图形，在该绘图中，每个交叉点被指定给两个相关边之一，并且每个边最多被指定$k$其交叉点。这个定义的动机是边缘外壳中的应用，作为一个$k$ -间隙平面图可以绘制交叉自由后，引入最多$k$局部间隙每边。本文给出了$k$ -间隙平面图的最大密度，它们与其它类超平面图的关系，$k$ -间隙平面完全图的特征，以及识别$k$ -间隙平面图的计算复杂性等结果.
2019-02-28 cs.CG
Identifying Cluttering Edges in Near-Planar Graphs
本文提出一种启发式方法，通过识别近平面图中的杂乱边并调整其权重，显著提升弹簧类图绘制算法在增广网格图、增广三角剖分和深度三角剖分上的布局质量。
2023-04-17 cs.CG cs.DS
On the Planar Edge-Length Ratio of Planar Graphs
图的直线图的边长比是图中最长边和最短边的长度之比。平面图的平面边长比是该图的任意平面直线图的最小边长比。本文研究了平面图的平面边长比。证明了存在平面边长比在$Ω(n)$中的$n$ -顶点平面图，这个界是紧的。我们还证明了几类平面图的平面边长比的上界，包括系列平行图和二部平面图。
2020-04-11 cs.CG cs.DS math.CO
The Number of Edges in Maximal 2-planar Graphs
一个图是$2$ -平面的，如果它有局部交叉数为2，也就是说，它可以在平面上画，使得每条边最多有两个交叉。一个图是极大$2$ -平面的，如果没有边可以被添加使得所得到的图保持$2$ -平面。一个$2$ -可平面图在$n$顶点上最多有$5n-10$边，并且一些（极大）$2$ -平面图--称为最优$2$ -平面图--达到这个界限.然而，与最大平面图形成强烈对比的是，最大$2$ -可平面图可以具有少于最大可能数目的边。本文通过证明每个在$n\ge 5$顶点上的极大$2$-平面图至少有$2n$条边来确定极大$2$-平面图的最小边密度。我们还表明，这个界是紧的，添加剂常数。该下界基于对图的特定类别的绘图中的度分布的分析。上界的建设进行了验证，通过仔细探索的空间，可接受的图纸，使用计算机的支持。
2023-03-15 cs.CG math.CO
Monotone Grid Drawings of Planar Graphs
平面图的单调图$G$是$G$的平面直线图，其中在某个方向上，$G$的每对顶点之间存在单调路径。最近，平面图的单调绘制被提出作为图形可视化的新标准。平面图的单调图是单调网格图，如果图中的每个顶点都画在一个网格点上。本文研究了平面图在可变嵌入下的单调网格图。我们证明了$n$顶点的每个连通平面图在大小为$O(n)\times O(n^2)$的网格上都有一个单调的网格图，并且这样的图可以在O（n）时间内找到。
2013-10-23 cs.CG cs.DS
On the size of planarly connected crossing graphs
我们证明了，如果一个$n$ -顶点图$G$可以画在平面上，使得每对交叉边是独立的，有一个交叉自由的边缘，连接他们的端点，那么$G$有$O(n)$边。允许这样绘图的图与拟平面图和极大$1$ -平面图和扇-可平面图有关.
2016-08-30 cs.CG math.CO
Morphing Planar Graphs Drawings Efficiently
同一图形的两个直线平面图之间的变形是从第一个图到第二个图的连续变换，使得平面性始终保持不变。变形的每一步都沿直线以恒定速度移动每个顶点。尽管在几十年前就已经确定了任何两个图形之间存在变形，但直到最近才证明多项式数量的步骤足以使任何两个平面直线图形变形。也就是说，在SODA 2013年，Alamdari et al. [1]证明了平面图的任意两个平面直线图都可以在O（n^4）步内变形，而如果我们限制为极大平面图，则O（n^2）步就足够了。本文改进了这一结果，给出了一个O（n^2）步变形平面图的任意两个平面直线图的算法，并进一步证明了串-并联图的任意两个平面直线图之间存在一个O（n）步变形.
2013-08-20 cs.CG cs.DS
Strengthening Hardness Results to 3-Connected Planar Graphs
本文将2-连通平面图类的一些经典NP-困难性结果推广到3-连通平面图的子类。减少部分是基于一个新的图形增强，这可能是独立的利益。
2016-07-08 cs.CC cs.CG math.CO
Adding one edge to planar graphs makes crossing number and 1-planarity hard
一个图是近平面的，如果它可以通过添加一条边从平面图获得。我们发现了一个令人惊讶的事实，即计算近平面图的交叉数是NP-困难的。一个图是1-平面的，如果它有一个图，其中每个边最多与另一个边相交。我们证明了判定一个给定的近平面图是否是1-平面图是NP-困难的。在这两个减少的主要思想是考虑的问题，同时绘制两个平面图内的磁盘，其一些顶点固定在边界的磁盘。这导致了锚定嵌入的概念，这是独立的利益。作为一个有趣的结果，我们得到了一个新的，几何证明的NP-完全性的交叉数的问题，即使是限制在三次图。这就解决了一个关于林书豪的问题。
2012-03-27 cs.CC cs.CG math.CO
Bar 1-Visibility Graphs and their relation to other Nearly Planar Graphs
一个图被称为一个强（或。弱）条1-可见性图，如果其顶点可以被表示为平面中的水平段（条），使得其边缘全部（分别顶点对的子集），这些顶点对的条具有连接它们的$ε$粗垂直线，该垂直线至多与另一条相交。我们探讨了弱（分别）之间的关系。强）棒1-可见性图和其他近平面图类。特别是，我们研究了它们的关系1-平面图，这有一个图纸，最多有一个交叉每边;准平面图，这有一个图纸，没有三个相互交叉的边缘;平面1-流网络的平方，这是向上有向图与在或出度最多为1。我们的主要结果是，1-平面图和平面1-流网络的（无向）平方是弱棒1-可见性图，这些是准平面图。
2013-12-19 cs.CG cs.DS math.CO
