Drawing Partially Embedded and Simultaneously Planar Graphs
我们研究了两个相关问题的问题，即部分嵌入图问题-将子图的直线平面图扩展到整个图的平面图-和同时平面性问题-找到两个图的平面图，它们在共享的顶点和边上重合。在这两种情况下，我们表明，如果所需的平面图纸存在，那么有一个线性数量的弯曲每边的平面图纸，在同时平面性的情况下，每对边缘之间的交叉点的数量恒定。我们的证明提供了有效的算法，如果组合嵌入的图纸。我们的结果部分嵌入图绘制推广了经典的结果由Pach和Wenger，这表明，任何平面图可以画与线性数量的弯曲每边，如果每个顶点的位置是固定的。
2014-10-30 cs.CG cs.DM cs.DS
A Survey on Small-Area Planar Graph Drawing
本文综述了小面积平面图的构造算法和界。
2014-10-04 cs.CG cs.DM cs.DS
Planar Rectilinear Drawings of Outerplanar Graphs in Linear Time
我们将展示如何测试在线性时间是否outerplanar图承认一个平面直线图，无论是如果图形有一个规定的平面嵌入的绘图必须尊重，如果它不。我们的算法返回一个平面直线图，如果图承认一个。
2020-08-21 cs.CG cs.DM cs.DS
Picking Planar Edges; or, Drawing a Graph with a Planar Subgraph
给定一个图$G$和它的边的子集$F \subseteq E(G)$，是否存在一个$G$的图，其中$F$的所有边都没有交叉？我们表明，这个问题可以解决在多项式时间使用Hanani-Tutte风格的方法。如果我们要求$G$的绘制是直线，并且允许沿着$F$的每条边最多有一个交叉，那么这个问题就像实数的存在理论一样困难。
2013-11-26 cs.CG cs.DM math.CO
Relaxing the Constraints of Clustered Planarity
在聚类图的绘制中，顶点和边分别被绘制为点和曲线，而聚类由简单的闭合区域表示。如果一个聚类图没有边与边、边与区域或区域与区域的交叉，则它是c-平面的。判定聚类图是否可作c-平面图的复杂性是图论研究领域中一个长期存在的问题。c-平面性的一个明显的必要条件是聚类图的平面性。然而，这样的条件是不够的，由于没有边缘区域和区域区域交叉的要求对问题的后果尚未完全理解。为了阐明c-平面性问题，我们考虑了它的一个宽松版本，其中允许某些类型的交叉（边-边，边-区域或区域-区域），即使底层图是平面的。我们调查的最小数量之间的关系边边，边区域，区域区域交叉的图纸相同的聚类图。此外，我们考虑图纸中，只有一种交叉被承认。在这种情况下，我们证明了只有边缘边缘或只有边缘区域交叉的图纸总是存在的，而只有区域区域交叉的图纸可能不存在。此外，我们提供了这样的交叉点的数量的上限和下限。最后，我们给出了一个多项式时间的算法来测试是否只有区域交叉的绘图存在的双连通图，从而确定了第一个非平凡的必要条件c-平面性，可以测试在多项式时间的一类值得注意的图。
2014-02-18 cs.CG cs.DM
Transforming planar graph drawings while maintaining height
平面图形绘制有许多样式，特别是直线绘制、折线绘制、正交图形绘制和可见性表示。在这篇文章中，我们展示了许多这样的绘图可以从一种风格转换为另一种风格，而不需要改变绘图的高度。然后我们给出了这些变换的一些应用。
2013-08-30 cs.CG
Strictly-Convex Drawings of $3$-Connected Planar Graphs
小面积$3$ -连通平面图的凸直线图是图论中的一个经典研究课题。目前，最著名的区域是$O(n^2) \times O(n^2)$，如Bárány和Rote通过基于扰动（非严格）凸图的复杂技术所示。不幸的是，在这样的区域边界中的隐藏常数是以$10^4$顺序的。我们提出了一个新的和易于实现的技术，产生严格凸的直线平面图纸$3$连接平面图的大小为$2(n-1) \times (5n^3-4n^2)$的整数网格。
2022-08-29 cs.CG
On the Area Requirements of Planar Greedy Drawings of Triconnected Planar Graphs
本文研究了三连通平面图的平面贪婪图的面积要求。Cao，Strelzoff和Sun展示了三连通平面图的细分族$\cal H$，并声称在$\mathcal H$中的每一个平面图的贪婪绘制都需要指数面积。然而，我们发现，每一个$n$ -顶点图中的$\cal H$实际上有一个平面贪婪图纸尊重规定的平面嵌入在$O(n)\times O(n)$网格。这重新打开的问题是否三连通平面图承认平面贪婪图纸上的多项式大小的网格。此外，我们提供了一个肯定的答案，证明了每个$n$ -顶点Halin图承认一个平面的贪婪绘制上的$O(n)\times O(n)$网格上的上述问题的证据。这两个结果都是通过实际构造凸的和角单调的图来获得的。最后，我们考虑$α$ -施奈德图纸，这是角度单调，因此贪婪，如果$α\leq 30^\circ$，并表明存在平面三角形，每个$α$ -施奈德图纸与固定的$α<60^\circ$需要指数面积的任何决议规则。
2020-03-03 cs.CG cs.DM cs.DS
Simple Topological Drawings of $k$-Planar Graphs
每个有限图都有一个\emph{simple (topological) drawing}，即每对边至多相交于一点的图。然而，结合其他限制，简单的图纸并不普遍存在。例如，\emph{$k$-planar graphs}是可以被绘制成使得每条边最多具有$k$交叉（即，它们承认\emph{$k$-plane drawing}）。对于$k\le 3$，每个$k$ -平面图都有一个$k$-平面简单图.但对于$k\ge 4$，存在不允许$k$-平面简单图的$k$-平面图.对Schaefer提出的一个问题，我们证明了存在一个函数$f : \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$，使得对所有的$k\in\mathbb{N}$，每个$k$ -平面图都有一个$f(k)$ -平面简单图.注意，函数$f$仅依赖于$k$，并且与图的大小无关。此外，我们还提出了一个算法，证明了每个$4$ -平面图都有一个$8$ -平面简单图.
2020-08-25 cs.CG cs.DM math.CO
Planar Drawings of Higher-Genus Graphs
在本文中，我们给出了多项式时间算法，该算法可以将具有给定组合嵌入的图G取到亏格为g的可定向曲面S上，并在R^2中生成G的平面图，其边界面由S的多边形模式P定义。我们的图是平面的，但它们允许P的边界上的顶点和边的多个副本，这是在平面中可视化高级亏格图的常见方式。我们的绘图可以定义为一个规范的多边形模式或多边形割集模式，这提供了一个有趣的权衡，因为规范模式有更少的边，并有一个很好的拓扑结构，但他们可以有更多的重复顶点和边缘比一般的多边形割集。作为一个侧记，我们表明，它是NP-完全的，以确定是否一个给定的图嵌入在一个genus-g表面有一组2g的基本周期与顶点不相交的内部，这将是可取的从图形绘制的角度来看。
2009-08-12 cs.CG cs.DM
1-Bend RAC Drawings of 1-Planar Graphs
一个图是1-平面的，如果它有一个图，其中每个边最多交叉一次。如果边仅以直角相交，则图形为RAC（直角相交）。1-平面图和RAC图之间的关系在文献中已经得到了部分研究。已知存在不可绘制直线RAC的1-平面图和具有直线RAC绘制但不是1-平面的图。此外，直线RAC图纸总是存在的IC-平面图，1-平面图的子类。一个仍然悬而未决的主要问题是，是否每个单平面图都有一个RAC绘图，每个边最多有一个弯曲。我们肯定地回答这个问题。
2016-08-30 cs.CG
Non-aligned drawings of planar graphs
图形的非对齐绘图是指没有两个顶点位于同一行或列中的绘图。Auber等人表明，并非所有平面图都具有直线、平面和最小可能的$n\times n$网格中的非对齐绘图。他们还表明，如果多达$n-3$的边缘可能有弯曲，则存在此类图纸。在本文中，我们给算法不对齐的平面图纸，提高了奥伯等人的结果。特别是，我们给这样的图纸在一个$n\times n$网格显着较少的弯曲，我们研究什么样的网格大小可以实现，如果我们坚持有直线图纸。
2016-11-28 cs.CG
Straight-line Drawings of 1-Planar Graphs
一个图是1-平面的，如果它可以画在平面上，使每个边最多交叉一次。然而，有1-平面图不承认直线1-平面图。我们证明了每一个1-平面图都有一个直线图，它的边是双染色的，所以相同颜色的边不会相交。因此，1-平面图的几何厚度为2。此外，如果每条边被交叉两次以上，则每条边被具有公共顶点的边交叉。绘图使用高精度算法，数字为O（nlog n）位，可以在线性时间内从1-平面绘图计算
2021-09-03 cs.CG
Strongly Monotone Drawings of Planar Graphs
一个图的直线图是单调图，如果每对顶点都有一条在某个方向上单调增加的路，如果单调性的方向由连接两个顶点的线段的方向给出，则称为强单调图。我们提出的算法来计算交叉自由强单调图纸的一些类的平面图，即3-连通平面图，outerplanar图，2-树。3连通平面图的绘制是基于原对偶圆填充的。我们的图纸外平面图是基于一个新的算法，构造强单调图纸的树也是凸的。对于不可约树，这些图是严格凸的。
2016-01-07 cs.CG
Drawing outer-1-planar graphs revisited
在最近的一篇文章中（Auer et al，Apumica 2016），声称每个外1平面图都有一个面积为$O(n\log n)$的平面可见性表示。在本文中，我们表明，这是错误的：有外1-平面图，需要$Ω(n^2)$面积在任何平面图。然后我们给出了一个构造（使用交叉，但保持给定的外1-平面嵌入），该构造的结果是具有O（nlog n）面积和每条边至多两个弯曲的正交盒图。
2020-09-20 cs.CG
Planar L-Drawings of Bimodal Graphs
在有向图（有向图）的平面L-图中，每条边e被表示为一个由开始于e的尾部的垂直段和结束于e的头部的水平段组成的线段。不同的边可以重叠，但不能交叉。我们主要关注的是双峰图，即，允许平面嵌入的有向图，其中每个顶点周围的输入边和输出边是连续的。我们证明了每个不含2-圈的平面双峰图都有一个平面L-图。这包括向上平面图类。最后，外平面有向图允许平面L-绘图-尽管它们不总是具有双峰嵌入-但不一定具有外平面嵌入。
2020-08-18 cs.CG cs.DM cs.DS
Quasi-upward Planar Drawings with Minimum Curve Complexity
本文研究了双峰平面有向图的最小曲线复杂度的拟上平面图的计算问题，图中，以使每个边缘的最大弯曲数最小化。我们证明了每一个双峰平面有向图都允许一个曲线复杂度为2的拟向上平面图，这是最坏情况最优的。我们还表明，在准向上的平面绘图曲线的复杂性最小化的问题可以建模为一个单位容量的平面流网络的最小成本流问题。这就产生了一个$\tilde{O}(m^\frac{4}{3})$ -时间算法，计算一个准向上的平面绘图与最小的曲线复杂性;此外，绘图具有最小数量的弯曲时，没有边可以弯曲两次以上。作为对比，我们显示双峰平面有向图的弯曲最小准向上平面图纸需要线性曲线的复杂性，即使在变量嵌入设置。
2021-09-11 cs.CG
Monotone Drawings of $k$-Inner Planar Graphs
$k$ -内部平面图是具有至多$k$ {内部顶点}的平面图的平面图，即，不位于其图形外表面边界上的顶点。外平面图是$0$ -内平面图。本文给出了如何在$2(k+1)n \times 2(k+1)n$网格上构造$k$ -内平面图的单调图.在特殊情况下的外平面图，我们可以产生一个平面单调画上的$n \times n$网格，改进以前已知的结果。
2018-08-22 cs.CG
Monotone Grid Drawings of Planar Graphs
平面图的单调图$G$是$G$的平面直线图，其中在某个方向上，$G$的每对顶点之间存在单调路径。最近，平面图的单调绘制被提出作为图形可视化的新标准。平面图的单调图是单调网格图，如果图中的每个顶点都画在一个网格点上。本文研究了平面图在可变嵌入下的单调网格图。我们证明了$n$顶点的每个连通平面图在大小为$O(n)\times O(n^2)$的网格上都有一个单调的网格图，并且这样的图可以在O（n）时间内找到。
2013-10-23 cs.CG cs.DS
Planar Lombardi Drawings for Subcubic Graphs
我们证明了每个最大度为3的平面图都有一个平面图，其中边被画成围绕每个顶点以相等角度相交的圆弧。我们的建设是基于Koebe-Thurston-Andreev圆包装定理，并使用一种新的类型的沃罗诺伊图的圆包装，是不变的Moebius变换，使用三维双曲几何定义。我们还使用圆包装，以建设平面Lombardi图纸的一类特殊的4-正则平面图，中间图的多面体图，我们表明，并不是每一个4-正则平面图有一个Lombardi图纸。我们已经实现了我们的算法3连通平面三次图。
2012-06-26 cs.CG
On Planar Greedy Drawings of 3-Connected Planar Graphs
如果对于每个有序的顶点对$(x,y)$，存在从$x$到$y$的路径，使得到$y$的欧几里德距离在路径的每个顶点处单调减小，则图形绘制是$\textit{greedy}$。贪婪绘制支持简单的几何路由方案，其中必须将分组发送到目的地“greenhouse”任何节点根据图中的欧几里德距离，将数据包转发到比其自身更接近目的地的任何邻居。在贪婪的绘图中，这样的邻居总是存在的，因此这种路由方案保证成功。2004年，Papadimitriou和Ratajczak提出了两个与贪婪绘画有关的论点。$\textit{greedy embedding conjecture}$指出每个$3$ -连通平面图允许贪婪绘图。$\textit{convex greedy embedding conjecture}$断言每个$3$ -连通平面图都允许平面贪婪图，其中面由凸多边形限定。2008年，贪婪嵌入猜想被Leighton和Moitra以肯定的方式解决。本文证明了每一个$3$ -连通平面图都有一个$\textit{planar}$贪婪图.除了是一个加强莱顿和Moitra的结果，这个定理构成了一个自然的中间步骤，证明凸贪婪嵌入猜想。
2017-01-02 cs.CG
Simplifying Non-Simple Fan-Planar Drawings
如果与公共边$a$相交的边在$a$的同一侧共享顶点$A$，则图的绘图是扇平面的。更准确地说，任意地定向$e$并且其它边缘朝向$A$导致交叉的一致定向。到目前为止，扇形平面绘图仅在简单绘图的上下文中考虑，其中任何两条边最多共享一个点，包括端点。我们表明，每一个非简单的扇平面图可以重画为一个简单的扇平面图相同的图形，而不引入额外的交叉。结合以前的结果扇平面图纸，这产生的$n$顶点图具有这样的图纸可以有最多$6.5n$的边缘，这样的图的识别是NP-困难的。因此，我们回答了Kaufmann和Ueckerdt在2014年提出的一个开放问题。
2021-08-30 cs.CG
From Tutte to Floater and Gotsman: On the Resolution of Planar Straight-line Drawings and Morphs
本文针对极大平面图，证明了Floater算法及其与Gotsman形变算法所得平面直线绘制分辨率的上下界，并揭示该形变算法可能将多项式分辨率绘制退化为指数级小分辨率。
2025-03-01 cs.CG cs.DM cs.DS
Min-$k$-planar Drawings of Graphs
本文引入min-k-平面绘制概念，推广k-平面绘制，证明边数上界并研究其与k-平面图的关系。
2024-02-08 cs.CG
On Morphing 1-Planar Drawings
计算一个图的两幅图之间的变形是计算几何和图形绘制中的一个经典问题。虽然这个问题已被广泛研究的背景下，平面图，很少有人知道存在的拓扑保持变形对非平面图图纸。我们向这个问题迈出了一步，通过展示一个拓扑保持变形总是存在一个有意义的家庭的$1$平面图的图纸。虽然我们的证明是建设性的，顶点可能遵循无限复杂的轨迹。
2021-05-27 cs.CG
Morphing Planar Graph Drawings via Orthogonal Box Drawings
本文提出一种平面图绘制形变算法，通过先变换为正交盒式图再在其间形变，以每条边常数个弯折实现 O(n) 网格、O(n) 个线性形变和 O(n^2) 运行时间。
2024-09-06 cs.CG
Straight-line Drawability of a Planar Graph Plus an Edge
本文研究由一个平面图加一条边组成的拓扑图的直线图，也称为准平面图。我们提出了这样的图形，承认一个直线图的特征。该特征使得线性时间测试算法能够确定几乎平面图是否允许直线绘图，以及构造这样的绘图的线性时间绘图算法，如果它存在的话。我们还表明，一些几乎平面图需要指数面积的直线绘图。
2015-06-30 cs.CG
Upward Planar Drawings with Three and More Slopes
图形$G$的斜率数是表示$G$的任何直线图形中的边的线段所需的最小斜率数。它作为图形绘制的视觉复杂性的度量。在平面和非平面环境中，已经建立了几个特定图形类的斜率数的界限。此外，也可以为有向图和向上平面图定义斜率数。我们研究只使用常数斜率的向上平面直线绘图。特别是，对于一个固定数量的$k$的斜坡，我们感兴趣的是，是否一个给定的有向图$G$与最大的在和出度最多$k$承认一个向上的平面$k$ -斜坡绘图。我们调查这个问题，在固定和可变嵌入的情况下。我们证明了这个问题对于外平面图（$k = 3$）和平面图（$k \ge 3$）是NP-难判定的。在积极的一面，我们可以决定是否一个给定的仙人掌图允许向上的平面$k$ -斜坡图，并在肯定的情况下，构造这样一个图在FPT时间与参数$k$。此外，我们可以确定线性时间内给定树所需的最小斜率数，并有效地计算相应的绘图。
2022-10-12 cs.CG
Edge-Minimum Saturated k-Planar Drawings
对于平面中无环（多）图的绘图类$\mathcal{D}$，当向$D$添加任何边导致$D' \notin \mathcal{D}$时，绘图$D \in \mathcal{D}$是\emph{saturated}-这类似于Turán（1941）和Erdés，Hajnal和Moon（1964）引入的图类中的饱和图。我们专注于$k$ -平面图，即，在平面中绘制的图形，其中每个边在最多的$k$时间交叉，以及所有$k$ -平面图的类$\mathcal{D}$，服从一些限制，如没有交叉的入射边，没有一对边交叉超过一次，或没有边交叉本身。虽然饱和的$k$ -平面图纸是几个以前的作品的重点，如何稀疏这些可以是不好理解的紧边界。我们建立了一个通用的框架，以确定所有的$n$ -顶点饱和$k$ -在许多自然类的平面图纸之间的最小数量的边缘。例如，当事件交叉、多交叉和自交叉都被允许时，稀疏$n$ -顶点饱和$k$ -平面绘图对于任何$k \geq 4$都具有$\frac{2}{k - (k \bmod 2)} (n-1)$边，而如果所有这些都被禁止，稀疏的这样的绘图对于任何$k \geq 6$都具有$\frac{2(k+1)}{k(k-1)}(n-1)$边。
2021-08-26 cs.CG cs.DM math.CO
Bipartite and Series-Parallel Graphs Without Planar Lombardi Drawings
我们发现一个家庭的平面二部图所有的Lombardi图纸（图纸与圆弧的边缘，满足在顶点的等角）是非平面的。我们还发现家庭的嵌入式串并行图和顶点树（图形形成的添加一个顶点到一棵树），其中没有平面Lombardi绘图与给定的嵌入一致。
2019-08-08 cs.CG
Drawing Planar Graphs and 1-Planar Graphs Using Cubic Bézier Curves with Bounded Curvature
研究使用有界曲率三次贝塞尔曲线绘制平面图与1-平面图的算法，证明1-平面图存在单曲线RAC绘制且可O(n)时间计算，平面图亦可O(n)时间绘制并保证角分辨率与曲率有界。
2024-10-15 cs.CG
Crossing Numbers of Beyond-Planar Graphs
我们研究了1-平面，准平面，扇平面交叉数相比，（无限制）交叉数的图。我们证明了有$n$ -顶点1-平面（准平面，扇平面）图，使任何1-平面（准平面，扇平面）绘图有$Ω(n)$交叉，而$O(1)$交叉足够的交叉最小绘图没有限制的本地边缘交叉模式。
2019-09-09 cs.CG cs.DM
Drawing planar graphs with few segments on a polynomial grid
图形绘制的视觉复杂性可以通过用于表示其元素的几何对象的数量来衡量。本文研究了平面图中边由少数线段表示的情形。在这样的图中，一条线段可以表示形成路径的多条边，很少线段的平面图的绘制在过去的几年中得到了广泛的研究。然而，面积要求只考虑有限的平面图的子类。在本文中，我们表明，树有图纸与$3n/4-1$段和$n^2$地区，改善以前的结果$O(n^{3.58})$。我们还证明了3-连通平面图和双连通外平面图分别具有$8n/3-O(1)$和$3n/2-O(1)$段和$O(n^3)$区域的图。
2019-08-05 cs.CG
Morphing Planar Graphs Drawings Efficiently
同一图形的两个直线平面图之间的变形是从第一个图到第二个图的连续变换，使得平面性始终保持不变。变形的每一步都沿直线以恒定速度移动每个顶点。尽管在几十年前就已经确定了任何两个图形之间存在变形，但直到最近才证明多项式数量的步骤足以使任何两个平面直线图形变形。也就是说，在SODA 2013年，Alamdari et al. [1]证明了平面图的任意两个平面直线图都可以在O（n^4）步内变形，而如果我们限制为极大平面图，则O（n^2）步就足够了。本文改进了这一结果，给出了一个O（n^2）步变形平面图的任意两个平面直线图的算法，并进一步证明了串-并联图的任意两个平面直线图之间存在一个O（n）步变形.
2013-08-20 cs.CG cs.DS
Planar L-Drawings of Directed Graphs
研究了L-作图标准中有向图的平面作图。我们提供了这些图纸存在的必要条件，并表明，测试的存在一个平面L-绘图是一个NP完全问题。受此结果的启发，我们专注于向上平面L-图纸。我们证明了有向st-图允许一个向上的-（resp。向上-向上-）平面L-绘图正是那些承认双调（分别）。单调递增）ST-排序。我们给出了一个线性时间算法，计算一个双调（分别为。单调递增的）平面ST图的ST排序或者报告不存在ST排序。
2017-09-01 cs.CG cs.DS
How to Draw a Planar Graph: An Experimental Evaluation
研究中小规模平面图绘制算法，比较既定算法、启发式算法及新优化方法，发现无算法在所有美学标准上最佳，优化单一属性常损另一属性，直接优化及分数引导组合效果较好，设计通用简单稳健算法仍是难题。
2026-07-28 cs.CG cs.DM
Untangling planar graphs from a specified vertex position - Hard cases
给定一个平面图$G$，我们考虑$G$在平面中的绘图，其中边由直线段（可能相交）表示。这样的绘图通过将$G$的顶点集的$π$内射嵌入到平面中来指定。我们证明了一个轮图$W_n$承认一个绘图$π$，这样，如果一个人想消除边缘交叉移动顶点到新的位置在平面上，然后在最多$(2+o(1))\sqrt n$的所有$n$顶点可以保持固定。此外，即使假定顶点占据平面中任何指定的点集，这样的绘图$π$也存在。类似的问题进行了讨论，其他家庭的平面图。
2010-11-23 cs.CG cs.DM
Drawing Subcubic 1-Planar Graphs with Few Bends, Few Slopes, and Large Angles
我们证明了3连通立方1-平面图的1-平面斜率数至多为4，当边被画成每条至多有1个弯曲的多边形曲线时。该界限由顶点和交叉分辨率至少为$π/4$的图形获得。另一方面，如果嵌入是固定的，那么有一个3连通的立方1-平面图，当绘制时需要3个斜率，每条边最多有1个弯曲。我们还表明，2个斜坡总是足够的1-平面图纸的次立方1-平面图，最多2个弯曲的每边。这个界限是用顶点分辨率$π/2$获得的，并且绘图是RAC（交叉分辨率$π/2$）。最后，我们证明了直线1-平面图的斜率数的下界的顶点数和最大程度。
2018-08-26 cs.CG
Untangling Circular Drawings: Algorithms and Complexity
我们考虑的问题解开一个给定的（非平面）直线圆形图$δ_G$的外平面图$G=(V, E)$到一个平面的直线圆形图移动的最小数量的顶点到一个新的位置上的圆。对于一个外平面图$G$，很明显，这样一个交叉自由的圆形图总是存在的，我们定义的循环移位数移位$(δ_G)$的最小数量的顶点，需要被移动，以解决所有的交叉$δ_G$。我们发现，问题循环解开，询问是否转移$(δ_G) \le K$为一个给定的整数$K$，是NP完全的。对于$n$ -顶点外平面图，我们得到了移位$(δ_G) \le n - \lfloor\sqrt{n-2}\rfloor -2$的一个紧上界.基于这些结果，我们研究了几乎平面的圆形图纸，其中一个单一的边缘是在所有的交叉参与的圆形解开。在这种情况下，我们提供了一个紧上限移位$(δ_G) \le \lfloor \frac{n}{2} \rfloor-1$和提出了一个建设性的多项式时间算法来计算循环移位数的几乎平面的图纸。
2021-12-20 cs.CG cs.DM
Straightening out planar poly-line drawings
我们表明，任何$y$单调多线绘图可以理顺，同时保持$y$坐标和高度。宽度可能会增加很多，但我们也表明，在某些图指数宽度是必要的，如果我们不想增加的高度。同样，需要$y$ -单调性：存在无法在保持高度的情况下拉直的多段线图形（非$y$ -单调）。最后给出了结果的一些应用。
2014-04-24 cs.CG cs.DM cs.DS
Universal Slope Sets for Upward Planar Drawings
本文证明了每一个包含水平斜率的$Δ$斜率集$\mathcal S$对于顶点度为$Δ$的双调$st$ -图的$1$ -向上弯曲平面图是通用的，即，每一个这样的有向图允许一个$1$向上弯曲的平面图，其边段仅使用$\mathcal S$中的斜率。这个结果在斜率的数量方面是最坏情况下的最优，并且对于$\mathcal S$的适当选择，它产生具有最坏情况下的最优角分辨率的绘图。此外，我们还证明了每一个这样的集合$\mathcal S$都可以用来构造$n$ -顶点平面$st$ -图的$2$ -向上弯曲平面图，这些$2$-向上弯曲平面图总共最多有$4n-9$弯曲.我们的主要工具是一个线性时间运行的建设性技术。
2018-08-29 cs.CG
Drawing HV-Restricted Planar Graphs
图$G=(V, E)$在$\mathbb{R}^2$中的严格正交绘图是$G$的绘图，使得每个顶点被映射到不同的点，并且每个边被映射到水平或垂直线段。如果图$G$的每条边都被指定了水平或垂直方向，则图$G$是$HV$受限的。如果一个$HV$ -限制图$G$是平面的并且尊重$G$的边方向，那么它的严格正交图是好的。在本文中，我们给出了一个多项式时间算法，以检查是否给定的$HV$ -限制平面图（即，具有固定组合嵌入的平面图）允许保持输入嵌入的良好正交绘图，这解决了由Matencies uch等人提出的开放问题（Graph Drawing 2010）。然后，我们检查$HV$ -限制平面图（即，当嵌入不固定时），并给出了$HV$ -限制双连通外平面图的一个完整的刻画.
2019-04-14 cs.CG
On Self-Approaching and Increasing-Chord Drawings of 3-Connected Planar Graphs
如果在从$s$到曲线上的任何点$t'$的相应曲线的遍历期间，到$t'$的距离不增加，则图的绘图中的$st$路径是自逼近的。如果一条路径在两个方向上都是自接近的，那么它的和弦就增加了。如果任意一对顶点之间有自逼近（增弦）路径相连，则称该图为自逼近（增弦）图.本文研究了三角剖分图和3连通平面图的自逼近和增弦图.我们表明，在欧几里德平面，三角承认增加弦图纸，平面3树，我们可以确保平面性。我们证明了强单调（从而增加弦）图纸的树木和二元仙人掌需要指数分辨率在最坏的情况下，回答了一个开放的问题Kindermann等人。[GD'14]。此外，我们提供了一个二进制仙人掌，不承认一个自我接近的绘图。最后，我们证明了3-连通平面图在双曲平面上允许增弦图，并刻画了允许增弦图的树。
2014-12-04 cs.CG
Optimal Morphs of Planar Orthogonal Drawings II
Van Goethem和Verbeek最近展示了如何在连通图$G$的两个平面正交图$Γ_I$和$Γ_O$之间变形，同时在变形过程中保持平面性、正交性和绘图的复杂性。必要的图纸$Γ_I$和$Γ_O$必须是等价的，也就是说，存在将$Γ_I$转换为$Γ_O$的平面的同胚。Van Goethem和Verbeek使用$O(n)$线性变形，其中$n$是输入图形的最大复杂度。然而，如果图是断开的，他们的方法需要$O(n^{1.5})$线性变形。在本文中，我们提出了一个改进的版本，他们的方法，使我们也变形之间的两个平面正交图纸的不连通图与$O(n)$线性变形，同时保持平面性，正交性和线性复杂的中间图纸。Van Goethem和Verbeek根据$Γ_I$相对于$Γ_O$的所谓螺旋度$s = O(n)$来测量两幅图之间的结构差异，并使用$O(s)$线性变形来描述从$Γ_I$到$Γ_O$的变形。我们证明了$s+1$线性变形总是足够的变形之间的两个平面正交图，即使是不连通的图。由此产生的变形是相当自然和视觉愉悦。
2019-08-22 cs.CG
Drawing Planar Graphs with Many Collinear Vertices
请考虑以下问题：给定一个平面图$G$，使$G$有一个平面直线图且其顶点$p$共线的最大数目是多少？这个问题存在于几个图形绘制问题的核心，包括通用点子集，解开和列平面性。以下结果是已知的：每个$n$ -顶点平面图有一个平面直线图与$Ω(\sqrt{n})$共线顶点;对于每个$n$，有一个$n$ -顶点平面图，其每个平面直线图与$O(n^σ)$共线顶点，其中$σ<0.986$ ;每个树宽至多为2的$n$ -顶点平面图有一个平面直线图与$Θ(n)$共线顶点。我们将线性边界推广到树宽至多为3的平面图和三连通三次平面图。这（部分）回答了Ravsky和Verbitsky提出的两个开放问题[WG 2011：295- 306]。类似的结果是不可能的所有有界树宽平面图或所有有界度平面图。对于树宽至多为3的平面图，我们的结果也意味着上述所有其他绘图问题的渐近紧界。
2016-08-31 cs.CG math.CO
Drawing Arrangement Graphs In Small Grids, Or How To Play Planarity
我们描述了一个线性时间算法，找到一个平面图的每一个图形的一个简单的线或伪线安排内的网格面积为O（n^{7/6}）。没有已知的输入会导致我们的算法对任何ε>0使用面积Ω（n^{1+ε}）;找到这样的输入将代表离散几何中著名的k集问题的重大进展。绘制直线排列图是平面拼图的主要任务。
2013-07-31 cs.CG
L-Visibility Drawings of IC-planar Graphs
IC-平面图是一种拓扑图，其中每条边最多交叉一次，并且没有两条交叉的边共享一个顶点。我们证明了每个IC平面图都有一个可见性图，其中每个顶点都是L形，每个边都是水平或垂直段。作为一个副产品，我们的绘图技术，我们证明了IC平面图有一个RAC绘图在平方面积最多两个弯曲的每边。
2015-11-18 cs.CG
Properties and Complexity of Fan-Planarity
在图的\emph{fan-planar drawing}中，一条边只能与具有公共端点的边相交。最近Kaufmann和Ueckerdt引入了扇平面图，他们证明了每个$n$ -顶点扇平面图最多有$5n-10$边，并且这个界对于$n \geq 20$是紧的。我们扩展他们的结果，无论是从组合和算法的角度来看。我们证明了扇形平面图形约束版本密度的严格界限，并研究了扇形平面性和$k$平面性之间的关系。此外，我们证明了决定一个图是否允许在可变嵌入设置的扇平面图是NP-完全的。
2014-06-20 cs.CG
Crossing Numbers of Beyond-Planar Graphs Revisited
图形绘制超越平面性的重点是绘制高视觉质量的非平面图形，其特征是某些禁止的边缘配置。一幅图的质量的一个自然标准是边缘交叉的数量。然后出现的问题是否超越平面图纸有一个显着更大的交叉数比无限制的图纸。Chimani等人[GD'19]给出了三类超平面图的交叉数与非限制交叉数之比的界。在本文中，我们将他们的结果推广到目前已知的主要类别的超平面图的特征在于禁止边配置和回答他们的几个开放的问题。
2021-05-26 cs.CG
Drawing Planar Graphs with a Prescribed Inner Face
给定平面图$G$（即，具有固定平面嵌入的平面图）和$G$中顶点映射为凸多边形的简单圈$C$，我们考虑这种图是否可以推广为$G$的平面直线图的问题.当这是可能的简单的必要条件，我们证明是足够的，我们的特点。这也导致了线性时间测试算法。如果存在图形扩展，则可以在同一运行时间内计算该扩展。
2013-08-15 cs.CG cs.DS
Upright-Quad Drawing of st-Planar Learning Spaces
我们考虑学习空间的图形绘制算法，学习空间是一种面向st的部分立方体，来自antimatroids，用于模拟学生的知识状态。我们展示了如何绘制任何st-平面学习空间，使所有内部面都是凸四边形，底边水平，左侧垂直，有一个最小和一个最大顶点。相反地，每一个这样的绘图代表一个st-平面学习空间。我们还描述了这些图之间的连接和一个象限的翻译安排。
2006-07-20 cs.CG
On Planar Straight-Line Dominance Drawings
研究了st-平面图是否能通过平面直线支配绘图表示，并证明了某些特定类别的st-平面图总是存在此类绘图。
2025-12-04 cs.CG cs.DS
Universal Slope Sets for 1-Bend Planar Drawings
我们描述了一组$Δ-1$斜率是通用的1-弯曲平面图的平面图的最大程度$Δ\geq 4$，这建立了一个新的上限$Δ-1$的1-弯曲平面斜率数。泛的意思是，每个平面度图$Δ$都有一个平面图，每条边最多有一个弯曲，并且形成边的线段的斜率属于给定的斜率集。这在两个方面改进了以前的结果：首先，以前已知的最好的1-弯曲平面斜率数的上限是$\frac{3}{2} (Δ-1)$（已知的下限是$\frac{3}{4} (Δ-1)$）;其次，所有已知的构造具有$O(Δ)$斜率的1-弯曲平面图的算法对于每个图使用不同的斜率集合并且可能具有差的角分辨率，而我们的算法使用通用的斜率集合，其还保证入射到顶点的任何两个边之间的最小角度是$\fracπ{(Δ-1)}$。
2017-03-13 cs.CG
Recognizing and Drawing IC-planar Graphs
IC-平面图是指没有两条交叉边共享一个端点且每条边最多交叉一次的图。它们是1-平面图的一个真子群。给定一个嵌入IC平面图$G$，给出了一个计算$G$在二次区域内的直线图的$O(n)$ -时间算法和一个计算$G$在指数区域内有直角交叉的直线图的$O(n^3)$ -时间算法.这两个面积要求都是最差情况下的最佳值。我们还表明，它是NP-完全的测试IC-平面性在一般情况下，并在旋转系统是固定的输入图的情况下。此外，我们描述了一个多项式时间的算法来测试是否可以添加一组匹配的边缘三角化的平面图，这样得到的图是IC-平面。
2016-07-18 cs.CG
