Extending Upward Planar Graph Drawings
在本文中，我们研究的计算复杂性的向上平面扩展问题，这需要在输入一个向上的平面图$Γ_H$的一个子图$H$的有向图$G$，并询问是否$Γ_H$可以扩展到一个向上的平面图$G$。我们的研究符合部分表示可扩展性的研究路线，该研究最近已成为图形绘制中的主流。我们显示以下结果。首先，证明了平面向上扩张问题是NP完全的，即使$G$有一个指定的向上嵌入，$H$的顶点集也与$G$的顶点集重合，并且$H$不含边.其次，证明了如果$G$是一个$n$ -顶点向上平面$st$ -图，则向上平面扩张问题可以在$O(n \log n)$时间内求解.这一结果改进了一个已知的$O(n^2)$时间算法，但适用于所有的$n$ -顶点单源向上平面图。最后，我们将展示如何在多项式时间内解决一个令人惊讶的困难版本的向上平面性扩展问题，其中$G$是一个有向的路径或循环与规定的向上嵌入，$H$不包含任何边缘，没有两个顶点共享相同的$y$坐标在$Γ_H$。
2019-02-18 cs.CG cs.DS
Upward-Planar Drawings with Bounded Span
John Cabot University（约翰卡伯特大学）；University of Konstanz（康斯坦茨大学）；Roma III（罗马三大学）；Trier University（特里尔大学）；University of Passau（帕绍大学）；TU Munich（慕尼黑工业大学）
研究向上平面有向图的跨度问题，给出有向树和连通单源图的NP难性结果，并为具有有限源数的图族提供高效算法。
2026-05-01 cs.CG cs.DS
A Fixed-Parameter Algorithm for Extending Upward Planar Drawings
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）；TU Wien（维也纳工业大学）；University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
研究有向无环图向上平面图绘制的扩展问题，提出以顶点+边删除距离为参数的固定参数算法，克服以往算法局限，通过对缺失边规范集刻画，实现对有许多缺失边实例的可处理性。
2026-07-28 cs.CG cs.DS
Transforming planar graph drawings while maintaining height
平面图形绘制有许多样式，特别是直线绘制、折线绘制、正交图形绘制和可见性表示。在这篇文章中，我们展示了许多这样的绘图可以从一种风格转换为另一种风格，而不需要改变绘图的高度。然后我们给出了这些变换的一些应用。
2013-08-30 cs.CG
Planar L-Drawings of Directed Graphs
研究了L-作图标准中有向图的平面作图。我们提供了这些图纸存在的必要条件，并表明，测试的存在一个平面L-绘图是一个NP完全问题。受此结果的启发，我们专注于向上平面L-图纸。我们证明了有向st-图允许一个向上的-（resp。向上-向上-）平面L-绘图正是那些承认双调（分别）。单调递增）ST-排序。我们给出了一个线性时间算法，计算一个双调（分别为。单调递增的）平面ST图的ST排序或者报告不存在ST排序。
2017-09-01 cs.CG cs.DS
1-Bend RAC Drawings of 1-Planar Graphs
一个图是1-平面的，如果它有一个图，其中每个边最多交叉一次。如果边仅以直角相交，则图形为RAC（直角相交）。1-平面图和RAC图之间的关系在文献中已经得到了部分研究。已知存在不可绘制直线RAC的1-平面图和具有直线RAC绘制但不是1-平面的图。此外，直线RAC图纸总是存在的IC-平面图，1-平面图的子类。一个仍然悬而未决的主要问题是，是否每个单平面图都有一个RAC绘图，每个边最多有一个弯曲。我们肯定地回答这个问题。
2016-08-30 cs.CG
Non-aligned drawings of planar graphs
图形的非对齐绘图是指没有两个顶点位于同一行或列中的绘图。Auber等人表明，并非所有平面图都具有直线、平面和最小可能的$n\times n$网格中的非对齐绘图。他们还表明，如果多达$n-3$的边缘可能有弯曲，则存在此类图纸。在本文中，我们给算法不对齐的平面图纸，提高了奥伯等人的结果。特别是，我们给这样的图纸在一个$n\times n$网格显着较少的弯曲，我们研究什么样的网格大小可以实现，如果我们坚持有直线图纸。
2016-11-28 cs.CG
The Price of Upwardness
本文研究DAG的向上k-平面绘制，证明多类图的边交叉数无界但外路径图至多为二，并证明k=1时测试向上k-平面性已NP完全，同时给出单源DAG的线性时间判定算法。
2025-07-23 cs.CG cs.DM
Straight-line Drawings of 1-Planar Graphs
一个图是1-平面的，如果它可以画在平面上，使每个边最多交叉一次。然而，有1-平面图不承认直线1-平面图。我们证明了每一个1-平面图都有一个直线图，它的边是双染色的，所以相同颜色的边不会相交。因此，1-平面图的几何厚度为2。此外，如果每条边被交叉两次以上，则每条边被具有公共顶点的边交叉。绘图使用高精度算法，数字为O（nlog n）位，可以在线性时间内从1-平面绘图计算
2021-09-03 cs.CG
Strongly Monotone Drawings of Planar Graphs
一个图的直线图是单调图，如果每对顶点都有一条在某个方向上单调增加的路，如果单调性的方向由连接两个顶点的线段的方向给出，则称为强单调图。我们提出的算法来计算交叉自由强单调图纸的一些类的平面图，即3-连通平面图，outerplanar图，2-树。3连通平面图的绘制是基于原对偶圆填充的。我们的图纸外平面图是基于一个新的算法，构造强单调图纸的树也是凸的。对于不可约树，这些图是严格凸的。
2016-01-07 cs.CG
Drawing outer-1-planar graphs revisited
在最近的一篇文章中（Auer et al，Apumica 2016），声称每个外1平面图都有一个面积为$O(n\log n)$的平面可见性表示。在本文中，我们表明，这是错误的：有外1-平面图，需要$Ω(n^2)$面积在任何平面图。然后我们给出了一个构造（使用交叉，但保持给定的外1-平面嵌入），该构造的结果是具有O（nlog n）面积和每条边至多两个弯曲的正交盒图。
2020-09-20 cs.CG
Monotone Drawings of $k$-Inner Planar Graphs
$k$ -内部平面图是具有至多$k$ {内部顶点}的平面图的平面图，即，不位于其图形外表面边界上的顶点。外平面图是$0$ -内平面图。本文给出了如何在$2(k+1)n \times 2(k+1)n$网格上构造$k$ -内平面图的单调图.在特殊情况下的外平面图，我们可以产生一个平面单调画上的$n \times n$网格，改进以前已知的结果。
2018-08-22 cs.CG
Planar Lombardi Drawings for Subcubic Graphs
我们证明了每个最大度为3的平面图都有一个平面图，其中边被画成围绕每个顶点以相等角度相交的圆弧。我们的建设是基于Koebe-Thurston-Andreev圆包装定理，并使用一种新的类型的沃罗诺伊图的圆包装，是不变的Moebius变换，使用三维双曲几何定义。我们还使用圆包装，以建设平面Lombardi图纸的一类特殊的4-正则平面图，中间图的多面体图，我们表明，并不是每一个4-正则平面图有一个Lombardi图纸。我们已经实现了我们的算法3连通平面三次图。
2012-06-26 cs.CG
On Planar Greedy Drawings of 3-Connected Planar Graphs
如果对于每个有序的顶点对$(x,y)$，存在从$x$到$y$的路径，使得到$y$的欧几里德距离在路径的每个顶点处单调减小，则图形绘制是$\textit{greedy}$。贪婪绘制支持简单的几何路由方案，其中必须将分组发送到目的地“greenhouse”任何节点根据图中的欧几里德距离，将数据包转发到比其自身更接近目的地的任何邻居。在贪婪的绘图中，这样的邻居总是存在的，因此这种路由方案保证成功。2004年，Papadimitriou和Ratajczak提出了两个与贪婪绘画有关的论点。$\textit{greedy embedding conjecture}$指出每个$3$ -连通平面图允许贪婪绘图。$\textit{convex greedy embedding conjecture}$断言每个$3$ -连通平面图都允许平面贪婪图，其中面由凸多边形限定。2008年，贪婪嵌入猜想被Leighton和Moitra以肯定的方式解决。本文证明了每一个$3$ -连通平面图都有一个$\textit{planar}$贪婪图.除了是一个加强莱顿和Moitra的结果，这个定理构成了一个自然的中间步骤，证明凸贪婪嵌入猜想。
2017-01-02 cs.CG
Simplifying Non-Simple Fan-Planar Drawings
如果与公共边$a$相交的边在$a$的同一侧共享顶点$A$，则图的绘图是扇平面的。更准确地说，任意地定向$e$并且其它边缘朝向$A$导致交叉的一致定向。到目前为止，扇形平面绘图仅在简单绘图的上下文中考虑，其中任何两条边最多共享一个点，包括端点。我们表明，每一个非简单的扇平面图可以重画为一个简单的扇平面图相同的图形，而不引入额外的交叉。结合以前的结果扇平面图纸，这产生的$n$顶点图具有这样的图纸可以有最多$6.5n$的边缘，这样的图的识别是NP-困难的。因此，我们回答了Kaufmann和Ueckerdt在2014年提出的一个开放问题。
2021-08-30 cs.CG
Min-$k$-planar Drawings of Graphs
本文引入min-k-平面绘制概念，推广k-平面绘制，证明边数上界并研究其与k-平面图的关系。
2024-02-08 cs.CG
On Morphing 1-Planar Drawings
计算一个图的两幅图之间的变形是计算几何和图形绘制中的一个经典问题。虽然这个问题已被广泛研究的背景下，平面图，很少有人知道存在的拓扑保持变形对非平面图图纸。我们向这个问题迈出了一步，通过展示一个拓扑保持变形总是存在一个有意义的家庭的$1$平面图的图纸。虽然我们的证明是建设性的，顶点可能遵循无限复杂的轨迹。
2021-05-27 cs.CG
Upward Planar Morphs
证明了：给定$n$ -顶点有向图$G$的两个拓扑等价的向上平面直线图，它们之间总存在一个变形，使得该变形的所有中间图都是向上平面直线图.如果$G$是一个简化的平面$st$ -图，则这种变形包括$O(1)$变形步骤，如果$G$是一个平面$st$ -图，则包括$O(n)$变形步骤，如果$G$是一个简化的向上平面图，则包括$O(n)$变形步骤，如果$G$是一个一般的向上平面图，则包括$O(n^2)$变形步骤.此外，我们表明，$Ω(n)$变形步骤可能是必要的向上平面变形之间的两个拓扑等价的向上平面直线图纸的$n$顶点路径。
2018-10-12 cs.CG cs.DS math.CO
Morphing Planar Graph Drawings via Orthogonal Box Drawings
本文提出一种平面图绘制形变算法，通过先变换为正交盒式图再在其间形变，以每条边常数个弯折实现 O(n) 网格、O(n) 个线性形变和 O(n^2) 运行时间。
2024-09-06 cs.CG
Dynamic Embeddings of Dynamic Single-Source Upward Planar Graphs
一个有向图$G$是上平面的，如果它允许一个平面嵌入使得每条边都是$y$-单调的.与平面性测试不同，向上平面性测试是NP难的，除非在限制情况下，例如当图具有单源属性（即每个连通分量只有一个源）时。在本文中，我们提出了一个动态的算法，以保持一个组合嵌入$\mathcal{E}(G)$的单源向上平面图的边缘删除，边缘收缩，边缘插入向上通过一个面，和单源保持顶点分裂通过指定的角。此外，我们支持子图翻转形式的嵌入$\mathcal{E}(G)$的变化，子图翻转镜像或滑动通过最多两个顶点连接到图的其余部分的子图的位置。只要图形保持向上平面，就支持所有更新操作，只要图形保持单源，就支持所有查询。违反向上平面性的更新被我们的更新算法识别并拒绝。我们动态地维护一个线性大小的数据结构$G$，它支持一个顶点和一个面之间的关联查询，和向上链接的顶点对。如果一对顶点不是向上翻转的，我们方便一个翻转的查询，指向一个子图翻转，使他们的翻转，如果任何这样的翻转存在。我们支持所有的更新和查询在$O(\log^2 n)$的时间。
2022-09-28 cs.CG cs.DS
Straight-line Drawability of a Planar Graph Plus an Edge
本文研究由一个平面图加一条边组成的拓扑图的直线图，也称为准平面图。我们提出了这样的图形，承认一个直线图的特征。该特征使得线性时间测试算法能够确定几乎平面图是否允许直线绘图，以及构造这样的绘图的线性时间绘图算法，如果它存在的话。我们还表明，一些几乎平面图需要指数面积的直线绘图。
2015-06-30 cs.CG
Bipartite and Series-Parallel Graphs Without Planar Lombardi Drawings
我们发现一个家庭的平面二部图所有的Lombardi图纸（图纸与圆弧的边缘，满足在顶点的等角）是非平面的。我们还发现家庭的嵌入式串并行图和顶点树（图形形成的添加一个顶点到一棵树），其中没有平面Lombardi绘图与给定的嵌入一致。
2019-08-08 cs.CG
Drawing Planar Graphs and 1-Planar Graphs Using Cubic Bézier Curves with Bounded Curvature
研究使用有界曲率三次贝塞尔曲线绘制平面图与1-平面图的算法，证明1-平面图存在单曲线RAC绘制且可O(n)时间计算，平面图亦可O(n)时间绘制并保证角分辨率与曲率有界。
2024-10-15 cs.CG
Strictly-Convex Drawings of $3$-Connected Planar Graphs
小面积$3$ -连通平面图的凸直线图是图论中的一个经典研究课题。目前，最著名的区域是$O(n^2) \times O(n^2)$，如Bárány和Rote通过基于扰动（非严格）凸图的复杂技术所示。不幸的是，在这样的区域边界中的隐藏常数是以$10^4$顺序的。我们提出了一个新的和易于实现的技术，产生严格凸的直线平面图纸$3$连接平面图的大小为$2(n-1) \times (5n^3-4n^2)$的整数网格。
2022-08-29 cs.CG
Planar Confluent Orthogonal Drawings of 4-Modal Digraphs
在有向图的平面合流正交图（PCOD）中，顶点被绘制为平面中的点，边被绘制为从垂直段开始并以水平段结束的正交折线。边可以在其第一个或最后一个线段中重叠，但不得相交。PCOD可以被看作是康定斯基图的有向变体，或者是有向图的细分的平面L-图。边中的最大细分顶点数就是分裂复杂度。如果每个边都以单调递增的y坐标绘制，则PCOD是向上的，如果没有边以递减的y坐标开始，则PCOD是准向上的。我们研究了各类图的PCOD和（准）向上PCOD的分裂复杂性。
2022-08-31 cs.CG cs.DS
Drawing planar graphs with few segments on a polynomial grid
图形绘制的视觉复杂性可以通过用于表示其元素的几何对象的数量来衡量。本文研究了平面图中边由少数线段表示的情形。在这样的图中，一条线段可以表示形成路径的多条边，很少线段的平面图的绘制在过去的几年中得到了广泛的研究。然而，面积要求只考虑有限的平面图的子类。在本文中，我们表明，树有图纸与$3n/4-1$段和$n^2$地区，改善以前的结果$O(n^{3.58})$。我们还证明了3-连通平面图和双连通外平面图分别具有$8n/3-O(1)$和$3n/2-O(1)$段和$O(n^3)$区域的图。
2019-08-05 cs.CG
Drawing Subcubic 1-Planar Graphs with Few Bends, Few Slopes, and Large Angles
我们证明了3连通立方1-平面图的1-平面斜率数至多为4，当边被画成每条至多有1个弯曲的多边形曲线时。该界限由顶点和交叉分辨率至少为$π/4$的图形获得。另一方面，如果嵌入是固定的，那么有一个3连通的立方1-平面图，当绘制时需要3个斜率，每条边最多有1个弯曲。我们还表明，2个斜坡总是足够的1-平面图纸的次立方1-平面图，最多2个弯曲的每边。这个界限是用顶点分辨率$π/2$获得的，并且绘图是RAC（交叉分辨率$π/2$）。最后，我们证明了直线1-平面图的斜率数的下界的顶点数和最大程度。
2018-08-26 cs.CG
Drawing HV-Restricted Planar Graphs
图$G=(V, E)$在$\mathbb{R}^2$中的严格正交绘图是$G$的绘图，使得每个顶点被映射到不同的点，并且每个边被映射到水平或垂直线段。如果图$G$的每条边都被指定了水平或垂直方向，则图$G$是$HV$受限的。如果一个$HV$ -限制图$G$是平面的并且尊重$G$的边方向，那么它的严格正交图是好的。在本文中，我们给出了一个多项式时间算法，以检查是否给定的$HV$ -限制平面图（即，具有固定组合嵌入的平面图）允许保持输入嵌入的良好正交绘图，这解决了由Matencies uch等人提出的开放问题（Graph Drawing 2010）。然后，我们检查$HV$ -限制平面图（即，当嵌入不固定时），并给出了$HV$ -限制双连通外平面图的一个完整的刻画.
2019-04-14 cs.CG
On Self-Approaching and Increasing-Chord Drawings of 3-Connected Planar Graphs
如果在从$s$到曲线上的任何点$t'$的相应曲线的遍历期间，到$t'$的距离不增加，则图的绘图中的$st$路径是自逼近的。如果一条路径在两个方向上都是自接近的，那么它的和弦就增加了。如果任意一对顶点之间有自逼近（增弦）路径相连，则称该图为自逼近（增弦）图.本文研究了三角剖分图和3连通平面图的自逼近和增弦图.我们表明，在欧几里德平面，三角承认增加弦图纸，平面3树，我们可以确保平面性。我们证明了强单调（从而增加弦）图纸的树木和二元仙人掌需要指数分辨率在最坏的情况下，回答了一个开放的问题Kindermann等人。[GD'14]。此外，我们提供了一个二进制仙人掌，不承认一个自我接近的绘图。最后，我们证明了3-连通平面图在双曲平面上允许增弦图，并刻画了允许增弦图的树。
2014-12-04 cs.CG
Optimal Morphs of Planar Orthogonal Drawings II
Van Goethem和Verbeek最近展示了如何在连通图$G$的两个平面正交图$Γ_I$和$Γ_O$之间变形，同时在变形过程中保持平面性、正交性和绘图的复杂性。必要的图纸$Γ_I$和$Γ_O$必须是等价的，也就是说，存在将$Γ_I$转换为$Γ_O$的平面的同胚。Van Goethem和Verbeek使用$O(n)$线性变形，其中$n$是输入图形的最大复杂度。然而，如果图是断开的，他们的方法需要$O(n^{1.5})$线性变形。在本文中，我们提出了一个改进的版本，他们的方法，使我们也变形之间的两个平面正交图纸的不连通图与$O(n)$线性变形，同时保持平面性，正交性和线性复杂的中间图纸。Van Goethem和Verbeek根据$Γ_I$相对于$Γ_O$的所谓螺旋度$s = O(n)$来测量两幅图之间的结构差异，并使用$O(s)$线性变形来描述从$Γ_I$到$Γ_O$的变形。我们证明了$s+1$线性变形总是足够的变形之间的两个平面正交图，即使是不连通的图。由此产生的变形是相当自然和视觉愉悦。
2019-08-22 cs.CG
L-Visibility Drawings of IC-planar Graphs
IC-平面图是一种拓扑图，其中每条边最多交叉一次，并且没有两条交叉的边共享一个顶点。我们证明了每个IC平面图都有一个可见性图，其中每个顶点都是L形，每个边都是水平或垂直段。作为一个副产品，我们的绘图技术，我们证明了IC平面图有一个RAC绘图在平方面积最多两个弯曲的每边。
2015-11-18 cs.CG
Properties and Complexity of Fan-Planarity
在图的\emph{fan-planar drawing}中，一条边只能与具有公共端点的边相交。最近Kaufmann和Ueckerdt引入了扇平面图，他们证明了每个$n$ -顶点扇平面图最多有$5n-10$边，并且这个界对于$n \geq 20$是紧的。我们扩展他们的结果，无论是从组合和算法的角度来看。我们证明了扇形平面图形约束版本密度的严格界限，并研究了扇形平面性和$k$平面性之间的关系。此外，我们证明了决定一个图是否允许在可变嵌入设置的扇平面图是NP-完全的。
2014-06-20 cs.CG
Crossing Numbers of Beyond-Planar Graphs Revisited
图形绘制超越平面性的重点是绘制高视觉质量的非平面图形，其特征是某些禁止的边缘配置。一幅图的质量的一个自然标准是边缘交叉的数量。然后出现的问题是否超越平面图纸有一个显着更大的交叉数比无限制的图纸。Chimani等人[GD'19]给出了三类超平面图的交叉数与非限制交叉数之比的界。在本文中，我们将他们的结果推广到目前已知的主要类别的超平面图的特征在于禁止边配置和回答他们的几个开放的问题。
2021-05-26 cs.CG
Upright-Quad Drawing of st-Planar Learning Spaces
我们考虑学习空间的图形绘制算法，学习空间是一种面向st的部分立方体，来自antimatroids，用于模拟学生的知识状态。我们展示了如何绘制任何st-平面学习空间，使所有内部面都是凸四边形，底边水平，左侧垂直，有一个最小和一个最大顶点。相反地，每一个这样的绘图代表一个st-平面学习空间。我们还描述了这些图之间的连接和一个象限的翻译安排。
2006-07-20 cs.CG
Universal Slope Sets for 1-Bend Planar Drawings
我们描述了一组$Δ-1$斜率是通用的1-弯曲平面图的平面图的最大程度$Δ\geq 4$，这建立了一个新的上限$Δ-1$的1-弯曲平面斜率数。泛的意思是，每个平面度图$Δ$都有一个平面图，每条边最多有一个弯曲，并且形成边的线段的斜率属于给定的斜率集。这在两个方面改进了以前的结果：首先，以前已知的最好的1-弯曲平面斜率数的上限是$\frac{3}{2} (Δ-1)$（已知的下限是$\frac{3}{4} (Δ-1)$）;其次，所有已知的构造具有$O(Δ)$斜率的1-弯曲平面图的算法对于每个图使用不同的斜率集合并且可能具有差的角分辨率，而我们的算法使用通用的斜率集合，其还保证入射到顶点的任何两个边之间的最小角度是$\fracπ{(Δ-1)}$。
2017-03-13 cs.CG
Recognizing and Drawing IC-planar Graphs
IC-平面图是指没有两条交叉边共享一个端点且每条边最多交叉一次的图。它们是1-平面图的一个真子群。给定一个嵌入IC平面图$G$，给出了一个计算$G$在二次区域内的直线图的$O(n)$ -时间算法和一个计算$G$在指数区域内有直角交叉的直线图的$O(n^3)$ -时间算法.这两个面积要求都是最差情况下的最佳值。我们还表明，它是NP-完全的测试IC-平面性在一般情况下，并在旋转系统是固定的输入图的情况下。此外，我们描述了一个多项式时间的算法来测试是否可以添加一组匹配的边缘三角化的平面图，这样得到的图是IC-平面。
2016-07-18 cs.CG
Drawing Two Posets
研究了同一个基集的两个偏序集的绘制问题，使得一个偏序集从左向右绘制，另一个偏序集从下向上绘制。这个问题的输入是一个有向图$G = (V, E)$和两个具有$X \cup Y = E$的集合$X, Y$，每个集合都可以解释为$V$的偏序。任务是找到$G$的平面图，使得$X$中的每个有向边被绘制为$x$ -单调边，并且$Y$中的每个有向边被绘制为$y$ -单调边。这样的绘图称为$xy$ -平面绘图。检验一个图是否允许$xy$ -平面图是NP-完全的。考虑了$G$的平面嵌入固定，且由$Y$中的边导出的$G$的子图是$G$的一个向上嵌入固定的连通生成子图的情形.对于这种情况下，我们提出了一个线性时间算法，确定是否$G$承认$xy$平面绘图，如果是这样，产生一个$xy$平面的绘图，最多有三个弯曲的每边。
2020-10-24 cs.CG
Optimal Morphs of Planar Orthogonal Drawings
我们描述了一个算法，变形之间的两个平面正交图纸$Γ_I$和$Γ_O$的连接图$G$，同时保持平面性和正交性。必要地，$Γ_I$和$Γ_O$共享相同的组合嵌入。我们的变形使用线性变形（两个图纸之间的线性插值）的线性数量，并保留整个过程中的线性复杂性，从而回答了一个开放的问题，从Biedl等人。我们的算法首先统一的两个图纸，以确保每个边缘上的（虚拟）弯曲的数量相等。然后，我们将弯曲解释为顶点，这些顶点形成了所谓的线的障碍：分隔$Γ_O$顶点的水平线和垂直线。我们可以在$Γ_I$中找到与$Γ_O$中的导线共享拓扑属性的相应导线。这两张图纸之间的结构差异可以通过$Γ_I$中导线的螺旋来捕捉，它引导我们从$Γ_I$到$Γ_O$的变形。
2018-03-19 cs.CG
How to morph planar graph drawings
给定一个$n$ -顶点图和该图的两个具有相同面和相同外面的直线平面图，我们证明了存在一个变形（即，一个连续的变换）之间的两个图纸，保持直线平面性，并由$O(n)$步骤，我们证明是最佳的最坏情况。每一步都是单向线性变形，这意味着每个顶点都以恒定的速度沿着直线移动，尽管顶点速度可能不同，但这些线是平行的。因此，我们提供了一个有效的版本凯恩斯的1944年证明存在的直线平面保持变体的三角图，这需要一个指数数量的步骤。
2016-06-01 cs.CG
Parameterized Algorithms for Upward Planarity
我们获得了新的参数化算法的经典问题，确定是否有向无环图承认一个向上的平面绘图。我们的研究结果包括一个新的固定参数的算法参数化的源的数量，一个XP算法参数化的树宽，和一个固定参数的算法参数化的树深。所有这三种算法都是使用一种新的框架，结合SPQR树分解与参数化技术的问题。我们的方法统一和推动超越以前的易处理性结果的问题上的串并联有向图，单源有向图和外平面有向图。
2022-03-10 cs.CG cs.DS
Smooth Orthogonal Drawings of Planar Graphs
在平面图的\emph{smooth orthogonal layouts}中，每条边都是轴对齐的线段和具有公共轴对齐切线的圆弧的交替序列。在本文中，我们研究的问题，找到光滑的正交布局低\emph{edge complexity}，也就是说，每边的几段。我们说一个图有\emph{smooth complexity} k--简称SC_k-布局--如果它允许一个光滑的正交图，其边复杂度至多为$k$。我们的主要结果是：每个4-平面图都有一个SC_2-布局。虽然我们的图纸可能有超多项式面积，我们表明，对于3平面图，立方面积就足够了。进一步，我们证明了每个双连通4-外平面图都有一个SC_1-布局。在消极的一面，我们证明了一个无限家庭的双连通4-平面图，需要指数面积的SC_1布局。最后，我们给出了一类不允许SC_1-布局的双连通4-平面图。
2013-12-12 cs.CG
Extending Orthogonal Planar Graph Drawings is Fixed-Parameter Tractable
在文献中已经广泛研究了在坚持对表示的约束的同时找到对给定的图的部分绘图的扩展的任务，其中众所周知的结果为基本表示（例如平面和超平面拓扑绘图）提供了有效的算法。本文研究了平面连通图的弯曲最小正交图的扩张问题，这是最基本的几何图形表示之一。虽然已知该问题是\NP -难的，但考虑仅需绘制图的一小部分的情况是很自然的。在这里，我们建立了固定参数的问题时，参数化的缺失子图的大小的易处理性。我们的算法是基于多个新的成分internalized几何和组合参数。这些措施包括识别一个新的图形表示的弯曲等效区域的顶点放置在平面上，建立一个绑定的树宽度的这个辅助图，和一个全球点网格，使我们能够离散的可能放置的弯曲和顶点到本地有界的子网格为上述每个区域。
2023-02-20 cs.CG
Algorithms and Bounds for Drawing Non-planar Graphs with Crossing-free Subgraphs
我们首先研究了如下问题：给定一个非平面图G和G的一个平面子图S，是否存在G在平面上的一个直线图Γ，使得G的任何边都不与S的边相交？对G的不同类型的连通生成子图S给出了肯定和否定的结果。此外，为了扩大的子集的情况下，承认一个解决方案，我们考虑的可能性弯曲的边缘G不在S中，在这种情况下，我们讨论不同的权衡弯曲的数量和所需的绘图面积。
2014-08-07 cs.CG
Monotone Grid Drawings of Planar Graphs
平面图的单调图$G$是$G$的平面直线图，其中在某个方向上，$G$的每对顶点之间存在单调路径。最近，平面图的单调绘制被提出作为图形可视化的新标准。平面图的单调图是单调网格图，如果图中的每个顶点都画在一个网格点上。本文研究了平面图在可变嵌入下的单调网格图。我们证明了$n$顶点的每个连通平面图在大小为$O(n)\times O(n^2)$的网格上都有一个单调的网格图，并且这样的图可以在O（n）时间内找到。
2013-10-23 cs.CG cs.DS
Ideal Tree-drawings of Approximately Optimal Width (And Small Height)
对于有根树，理想的绘图是平面的、直线的、严格向上的和保序的。本文认为理想的图纸有根树的目的是保持这种图纸的宽度小。不知道找到最小可能宽度是NP难的还是多项式的。本文给出了这个问题的一个2-近似，以及一个$2Δ$ -近似（对于$Δ$ -叉树），其中树的高度为$O(n)$ .对于具有$Δ\leq 3$的树，前一算法找到具有最小可能宽度的理想绘图。
2016-07-18 cs.CG
Compact Drawings of 1-Planar Graphs with Right-Angle Crossings and Few Bends
我们研究了以下几类超平面图：1-平面图、IC-平面图和NIC-平面图。这些图形分别允许1-平面、IC-平面和NIC-平面绘图。如果一个图的每条边至多相交一次，则该图是1-平面图。如果没有两对相交边共享一个顶点，则1-平面绘图是IC-平面的。如果没有两对相交边共享两个顶点，则单平面图形是NIC平面的。我们研究这些超越平面图类（超越平面图是一个集体术语的主要尝试推广的平面图）的直角交叉（RAC）图，承认紧凑的图纸上的网格很少弯曲的关系。我们提出了四个绘图算法，保持给定的嵌入。首先，我们证明了每个$n$ -顶点NIC-平面图允许一个NIC-平面RAC绘图，在大小为$O(n) \times O(n)$的网格上，每条边最多有一个弯曲。然后，我们证明了每一个$n$ -顶点1-平面图承认1-平面RAC绘图与最多两个弯曲的每边上的大小为$O(n^3) \times O(n^3)$的网格。最后，我们提出了两个已知的算法嵌入保持，用于绘制1-平面RAC图，每边至多一个弯曲和绘制IC-平面RAC图直线。
2019-08-08 cs.CG cs.DM
Morphing Planar Graph Drawings with Unidirectional Moves
Alamdari等人证明，给定一个图的两个直线平面图，它们之间存在一个保持平面性的变形，它由多项式数量的步骤组成，其中每个步骤都是一个\emph{linear morph}，它以恒定的速度沿着直线移动每个顶点。他们证明的一个重要步骤是将一个\emph{pseudo-morph}（其中允许收缩）转换为一个真正的变体。在这里，我们引入了\emph{unidirectional morphing}步骤的概念，其中顶点沿着具有相同方向的线移动。我们的主要结果是表明，任何平面保持伪变形组成的单向步骤和收缩的低程度的顶点可以变成一个真正的变形，而不增加步骤的数量。利用这一点，我们加强Alamdari等人。的结果只使用单向变形，并在这个过程中，我们简化了证明。
2014-11-23 cs.CG
Windrose Planarity: Embedding Graphs with Direction-Constrained Edges
给定平面图$G$和每个顶点$v$的邻居在四个集合$UR(v)$、$UL(v)$、$DL(v)$和$DR(v)$中的划分，问题Windrose Planarity要求决定$G$是否允许Windrose平面绘图，即，其中（i）每个邻居$u \in UR(v)$在$v$的右上方，（ii）每个邻居$u \in UL(v)$在$v$的左上方，（iii）每个邻居$u \in DL(v)$在$v$的左下方，（iv）每个邻居$u \in DR(v)$在$v$的右下方，以及（v）边缘由相对于每个轴单调的曲线表示。通过利用顶点之间的水平和垂直关系，windrose-planar绘图允许同时可视化由图的边缘定义的两个偏序。虽然在一般情况下，这个问题是NP-难的，我们给出了一个多项式时间算法来测试是否存在一个windrose-planar绘图，尊重给定的组合嵌入。该算法是基于一个特征的平面三角剖分承认一个windrose平面图。此外，对于任何具有$n$顶点的嵌入图，其具有一个windrose-planar绘图，我们可以构造一个每条边至多有一个弯曲并且总共至多有$2n-5$弯曲的图，其位于$3n \times 3n$网格上。后一结果与直线风玫瑰平面图可能需要指数面积的事实形成对比。
2018-09-06 cs.CG
Planar and Poly-Arc Lombardi Drawings
在伦巴第图中，边被表示为圆弧，并且与顶点关联的边具有完美的角分辨率。然而，不是每个图都有Lombardi图，也不是每个平面图都有平面Lombardi图。我们介绍k-Lombardi图纸，其中每个边可以画k圆弧，注意到每个图有一个光滑的2-Lombardi图纸。我们表明，每一个平面图有一个光滑的平面3-Lombardi图纸，并进一步研究连接平面性和Lombardi图纸的主题。
2011-09-02 cs.CG cs.DM
Morphing Planar Graphs Drawings Efficiently
同一图形的两个直线平面图之间的变形是从第一个图到第二个图的连续变换，使得平面性始终保持不变。变形的每一步都沿直线以恒定速度移动每个顶点。尽管在几十年前就已经确定了任何两个图形之间存在变形，但直到最近才证明多项式数量的步骤足以使任何两个平面直线图形变形。也就是说，在SODA 2013年，Alamdari et al. [1]证明了平面图的任意两个平面直线图都可以在O（n^4）步内变形，而如果我们限制为极大平面图，则O（n^2）步就足够了。本文改进了这一结果，给出了一个O（n^2）步变形平面图的任意两个平面直线图的算法，并进一步证明了串-并联图的任意两个平面直线图之间存在一个O（n）步变形.
2013-08-20 cs.CG cs.DS
Drawing Planar Graphs with Few Geometric Primitives
我们定义平面图形绘制的\emph{visual complexity}为表示其所有边所需的基本几何对象的数量。具体地，一个对象可以表示多个边缘（例如，只需要一个线段来绘制具有任意数量的边的路径）。设$n$表示图的顶点数。我们表明，树可以画$3n/4$直线段上的多项式网格，并与$n/2$直线段上的准多项式网格。此外，我们提出了一个算法绘制平面3-树与$(8n-17)/3$段上的$O(n)\times O(n^2)$网格。该算法稍加修改也可用于在$O(n)\times O(n^2)$网格上绘制具有$3n/2$边的最大外平面图。我们还研究了用圆弧绘制极大平面图的问题，并给出了一个只用$(5n - 11)/3$圆弧绘制极大平面图的算法。这是显着小于$2n$的下限为线段的非平凡的图形类。
2018-09-06 cs.CG
Upward and Orthogonal Planarity are W[1]-hard Parameterized by Treewidth
本文证明向上平面性测试和直线平面性测试在树宽参数化下是W[1]-难的，通过分析全有或全无流问题并调整归约链，同时排除了改进现有算法至亚指数时间的可能性（除非ETH失败）。
2023-09-03 cs.CC cs.CG
Drawing Planar Graphs with Many Collinear Vertices
请考虑以下问题：给定一个平面图$G$，使$G$有一个平面直线图且其顶点$p$共线的最大数目是多少？这个问题存在于几个图形绘制问题的核心，包括通用点子集，解开和列平面性。以下结果是已知的：每个$n$ -顶点平面图有一个平面直线图与$Ω(\sqrt{n})$共线顶点;对于每个$n$，有一个$n$ -顶点平面图，其每个平面直线图与$O(n^σ)$共线顶点，其中$σ<0.986$ ;每个树宽至多为2的$n$ -顶点平面图有一个平面直线图与$Θ(n)$共线顶点。我们将线性边界推广到树宽至多为3的平面图和三连通三次平面图。这（部分）回答了Ravsky和Verbitsky提出的两个开放问题[WG 2011：295- 306]。类似的结果是不可能的所有有界树宽平面图或所有有界度平面图。对于树宽至多为3的平面图，我们的结果也意味着上述所有其他绘图问题的渐近紧界。
2016-08-31 cs.CG math.CO
Parallel Graph Drawing Algorithm for Bipartite Planar Graphs
本文提出一种在 CRCW PRAM 上运行的 $O(\log(n))$ 时间并行算法，利用基于耳分解搜索的 st-编号方法，将平面二部图的顶点表示为不交叉的平行线段，边表示为线段交点。
2024-09-23 cs.CG
