Extending Upward Planar Graph Drawings
在本文中，我们研究的计算复杂性的向上平面扩展问题，这需要在输入一个向上的平面图$Γ_H$的一个子图$H$的有向图$G$，并询问是否$Γ_H$可以扩展到一个向上的平面图$G$。我们的研究符合部分表示可扩展性的研究路线，该研究最近已成为图形绘制中的主流。我们显示以下结果。首先，证明了平面向上扩张问题是NP完全的，即使$G$有一个指定的向上嵌入，$H$的顶点集也与$G$的顶点集重合，并且$H$不含边.其次，证明了如果$G$是一个$n$ -顶点向上平面$st$ -图，则向上平面扩张问题可以在$O(n \log n)$时间内求解.这一结果改进了一个已知的$O(n^2)$时间算法，但适用于所有的$n$ -顶点单源向上平面图。最后，我们将展示如何在多项式时间内解决一个令人惊讶的困难版本的向上平面性扩展问题，其中$G$是一个有向的路径或循环与规定的向上嵌入，$H$不包含任何边缘，没有两个顶点共享相同的$y$坐标在$Γ_H$。
2019-02-18 cs.CG cs.DS
Upward-Planar Drawings with Bounded Span
John Cabot University（约翰卡伯特大学）；University of Konstanz（康斯坦茨大学）；Roma III（罗马三大学）；Trier University（特里尔大学）；University of Passau（帕绍大学）；TU Munich（慕尼黑工业大学）
研究向上平面有向图的跨度问题，给出有向树和连通单源图的NP难性结果，并为具有有限源数的图族提供高效算法。
2026-05-01 cs.CG cs.DS
A Fixed-Parameter Algorithm for Extending Upward Planar Drawings
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）；TU Wien（维也纳工业大学）；University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
研究有向无环图向上平面图绘制的扩展问题，提出以顶点+边删除距离为参数的固定参数算法，克服以往算法局限，通过对缺失边规范集刻画，实现对有许多缺失边实例的可处理性。
2026-07-28 cs.CG cs.DS
Planar L-Drawings of Directed Graphs
研究了L-作图标准中有向图的平面作图。我们提供了这些图纸存在的必要条件，并表明，测试的存在一个平面L-绘图是一个NP完全问题。受此结果的启发，我们专注于向上平面L-图纸。我们证明了有向st-图允许一个向上的-（resp。向上-向上-）平面L-绘图正是那些承认双调（分别）。单调递增）ST-排序。我们给出了一个线性时间算法，计算一个双调（分别为。单调递增的）平面ST图的ST排序或者报告不存在ST排序。
2017-09-01 cs.CG cs.DS
Universal Slope Sets for 1-Bend Planar Drawings
我们描述了一组$Δ-1$斜率是通用的1-弯曲平面图的平面图的最大程度$Δ\geq 4$，这建立了一个新的上限$Δ-1$的1-弯曲平面斜率数。泛的意思是，每个平面度图$Δ$都有一个平面图，每条边最多有一个弯曲，并且形成边的线段的斜率属于给定的斜率集。这在两个方面改进了以前的结果：首先，以前已知的最好的1-弯曲平面斜率数的上限是$\frac{3}{2} (Δ-1)$（已知的下限是$\frac{3}{4} (Δ-1)$）;其次，所有已知的构造具有$O(Δ)$斜率的1-弯曲平面图的算法对于每个图使用不同的斜率集合并且可能具有差的角分辨率，而我们的算法使用通用的斜率集合，其还保证入射到顶点的任何两个边之间的最小角度是$\fracπ{(Δ-1)}$。
2017-03-13 cs.CG
The Price of Upwardness
本文研究DAG的向上k-平面绘制，证明多类图的边交叉数无界但外路径图至多为二，并证明k=1时测试向上k-平面性已NP完全，同时给出单源DAG的线性时间判定算法。
2025-07-23 cs.CG cs.DM
Drawing Subcubic 1-Planar Graphs with Few Bends, Few Slopes, and Large Angles
我们证明了3连通立方1-平面图的1-平面斜率数至多为4，当边被画成每条至多有1个弯曲的多边形曲线时。该界限由顶点和交叉分辨率至少为$π/4$的图形获得。另一方面，如果嵌入是固定的，那么有一个3连通的立方1-平面图，当绘制时需要3个斜率，每条边最多有1个弯曲。我们还表明，2个斜坡总是足够的1-平面图纸的次立方1-平面图，最多2个弯曲的每边。这个界限是用顶点分辨率$π/2$获得的，并且绘图是RAC（交叉分辨率$π/2$）。最后，我们证明了直线1-平面图的斜率数的下界的顶点数和最大程度。
2018-08-26 cs.CG
Upward Planar Morphs
证明了：给定$n$ -顶点有向图$G$的两个拓扑等价的向上平面直线图，它们之间总存在一个变形，使得该变形的所有中间图都是向上平面直线图.如果$G$是一个简化的平面$st$ -图，则这种变形包括$O(1)$变形步骤，如果$G$是一个平面$st$ -图，则包括$O(n)$变形步骤，如果$G$是一个简化的向上平面图，则包括$O(n)$变形步骤，如果$G$是一个一般的向上平面图，则包括$O(n^2)$变形步骤.此外，我们表明，$Ω(n)$变形步骤可能是必要的向上平面变形之间的两个拓扑等价的向上平面直线图纸的$n$顶点路径。
2018-10-12 cs.CG cs.DS math.CO
Planar Confluent Orthogonal Drawings of 4-Modal Digraphs
在有向图的平面合流正交图（PCOD）中，顶点被绘制为平面中的点，边被绘制为从垂直段开始并以水平段结束的正交折线。边可以在其第一个或最后一个线段中重叠，但不得相交。PCOD可以被看作是康定斯基图的有向变体，或者是有向图的细分的平面L-图。边中的最大细分顶点数就是分裂复杂度。如果每个边都以单调递增的y坐标绘制，则PCOD是向上的，如果没有边以递减的y坐标开始，则PCOD是准向上的。我们研究了各类图的PCOD和（准）向上PCOD的分裂复杂性。
2022-08-31 cs.CG cs.DS
Planar Drawings with Few Slopes of Halin Graphs and Nested Pseudotrees
本文研究平面图的平面斜率数，证明了Halin图的平面斜率数上界为$\max\{4,Δ\}$，并首次为树宽为4的嵌套伪树族给出了$O(Δ^2)$的多项式上界。
2023-11-27 cs.CG
Level-Planar Drawings with Few Slopes
介绍并研究了具有固定数量$λ$斜率的水平平面直线图。对于适当的水平图，我们给出了一个$O(n \log^2 n / \log \log n)$的时间算法，找到这样的图纸或确定没有这样的图纸存在。此外，我们考虑部分绘图扩展问题，我们试图将一个不可变的子图的绘图扩展到整个图的绘图，以及同时绘图问题，它要求存在两个图的绘图，它们的限制，他们的共享子图一致。我们提出$O(n^{4/3} \log n)$ -时间和$O(λ n^{10/3} \log n)$ -时间的算法，这些相应的问题适当的水平平面图。我们补充这些积极的结果表明，测试是否非适当的水平图承认水平平面图纸与$λ$斜率是$\textsf{NP}$ -硬，即使在有限的情况下。
2019-07-31 cs.CG cs.DS
How Many Slopes Does Polynomial Area Cost?
University of Ioannina（约阿尼纳大学）；National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；Trier University（特里尔大学）
研究有界度图平面绘图中斜率数量、每边弯曲数与面积需求之间的权衡，提出新构造以多项式面积实现少量弯曲，同时略微增加斜率数量。
2026-05-29 cs.CG
Improved Upper and Lower Bounds for LR Drawings of Binary Trees
在SODA'99中，Chan介绍了一种简单的二叉树平面直线向上保序绘图，称为LR绘图：这种绘图是通过选择根到叶的路径，将路径绘制为直线，并沿着路径递归地绘制子树来获得的。Chan证明了任何具有$n$节点的二叉树都允许LR绘图具有$O(n^{0.48})$宽度。在SODA'17中，Frati、Patrignani和Roselli证明了存在$n$ -节点二叉树族，其中任何LR图都具有$Ω(n^{0.418})$宽度。本文将Chan的上界改进为$O(n^{0.437})$和Frati等人的上界.是$Ω(n^{0.429})$的下限。
2020-08-22 cs.CG
On the $2$-Bend Slope Number of $1$-Planar Graphs
University of Ioannina（约阿尼纳大学）；National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；Trier University（特里尔大学）；TU Munich（慕尼黑工业大学）
研究1-平面图在每条边允许两个弯曲时的斜率数问题，提出增量绘制算法，可利用任意规定的一组\(\Delta\)个两两不同的斜率，生成最大度为\(\Delta\)的双连通1-平面图的2-弯1-平面绘制。
2026-07-29 cs.CG
Graph drawings with one bend and few slopes
我们考虑绘图的图形在平面中的边缘表示的多边形路径与最多一个弯曲和这些路径的所有部分所使用的不同的斜率的数量是小的。我们证明了$\lceil\fracΔ{2}\rceil$边斜率满足最大度外平面图$Δ\geq 3$的外平面图的外平面图的绘制.这符合明显的下限。我们还表明，$\lceil\fracΔ{2}\rceil+1$边缘斜率足以绘制一般的图形，提高了以前的界的$Δ+1$。此外，我们改进了以前的上界的平面图和二分平面图的平面绘图所需的斜率的数量。
2015-09-27 cs.CG cs.DM math.CO
Confluent Hasse diagrams
我们证明了传递约化有向图有合流上图的充要条件是它的可达关系的序维数不超过2。在这种情况下，我们在$O(n^2)$时间的$O(n) \times O(n)$网格中构建一个具有$O(n^2)$特征的汇合向上绘图。对于有向图表示串并行偏序，我们展示了如何构建一个绘图与$O(n)$功能在$O(n) \times O(n)$网格在$O(n)$时间从串并行分解的偏序。我们的图纸在他们使用的汇合点的数量上是最优的。
2013-11-13 cs.CG cs.DS cs.SE
Outerplanar graph drawings with few slopes
我们考虑外平面图的直线外平面图，其中使用少量不同的边斜率，即表示边的线段平行于少量方向。我们证明了$Δ-1$边斜率对于每一个最大度为$Δ\ge 4$的外平面图都是足够的。这改进了$O(Δ^5)$的上界，该上界是针对平面部分3-树（外平面图的超类）而给出的。边界很紧：对于每一个$Δ\ge 4$，存在具有最大度$Δ$的外平面图，该外平面图在外平面直线图中需要至少$Δ-1$不同的边斜率。
2014-04-10 cs.CG cs.DM math.CO
Drawing Two Posets
研究了同一个基集的两个偏序集的绘制问题，使得一个偏序集从左向右绘制，另一个偏序集从下向上绘制。这个问题的输入是一个有向图$G = (V, E)$和两个具有$X \cup Y = E$的集合$X, Y$，每个集合都可以解释为$V$的偏序。任务是找到$G$的平面图，使得$X$中的每个有向边被绘制为$x$ -单调边，并且$Y$中的每个有向边被绘制为$y$ -单调边。这样的绘图称为$xy$ -平面绘图。检验一个图是否允许$xy$ -平面图是NP-完全的。考虑了$G$的平面嵌入固定，且由$Y$中的边导出的$G$的子图是$G$的一个向上嵌入固定的连通生成子图的情形.对于这种情况下，我们提出了一个线性时间算法，确定是否$G$承认$xy$平面绘图，如果是这样，产生一个$xy$平面的绘图，最多有三个弯曲的每边。
2020-10-24 cs.CG
Tree Drawings Revisited
我们取得了进展，一些开放的问题，有关的区域要求绘制树木的网格。我们证明了1。每棵树的大小为$n$（任意大的度）有一个直线图面积为$n2^{O(\sqrt{\log\log n\log\log\log n})}$，改善了长期以来的$O(n\log n)$界; 2.每棵树的大小$n$（具有任意大的度）具有面积为$n\sqrt{\log n}(\log\log n)^{O(1)}$的直线向上图，改进了长期存在的$O(n\log n)$界; 3.每个大小为$n$的二叉树都有一个面积为$n2^{O(\log^*n)}$的直线正交图，改进了Shin，Kim和Chwa（1996）以及Chan，Goodrich，Kassaju和Tamassia（1996）所定义的以前的$O(n\log\log n)$; 4.每个大小为$n$的二叉树都有一个面积为$n2^{O(\log^*n)}$的直线保序图，改进了Garg和Rusu（2003）所定义的先前的$O(n\log\log n)$; 5.每个大小为$n$的二叉树都有一个面积为$n2^{O(\sqrt{\log n})}$的直线正交保序图，改进了Frati（2007）之前的$O(n^{3/2})$。
2018-03-19 cs.CG
Really Straight Graph Drawings
这篇论文已被作者撤回。它已经被论文所取代：“Drawings of Planar Graphs with Few Slopes and Segments”（数学/0606450）和“Graph Drawings with Few Slopes”（数学/0606446）。
2006-06-19 cs.CG cs.DM
NP-completeness of slope-constrained drawing of complete graphs
我们证明了以下问题的NP完全性。给定一组$n$斜率的$S$和一个整数$k\geq 1$，是否可以仅使用$S$的斜率在平面中的$k$顶点上绘制一个完整的图？等价地，在一般位置是否存在一组$k$点的$K$，使得$K$的两点之间的每一段的斜率都在$S$中？然后，我们提出了一个多项式算法时，$n\leq 2k-c$，条件是R. E.贾米森对于$n=k$，Wade和Chu提出了$\mathcal{O}(n^4)$中的算法。对于这种情况下，我们的算法是线性的，不依赖于贾米森的猜想。
2020-09-10 cs.CC cs.CG math.CO
Planar L-Drawings of Bimodal Graphs
在有向图（有向图）的平面L-图中，每条边e被表示为一个由开始于e的尾部的垂直段和结束于e的头部的水平段组成的线段。不同的边可以重叠，但不能交叉。我们主要关注的是双峰图，即，允许平面嵌入的有向图，其中每个顶点周围的输入边和输出边是连续的。我们证明了每个不含2-圈的平面双峰图都有一个平面L-图。这包括向上平面图类。最后，外平面有向图允许平面L-绘图-尽管它们不总是具有双峰嵌入-但不一定具有外平面嵌入。
2020-08-18 cs.CG cs.DM cs.DS
How to Morph a Tree on a Small Grid
本文研究了树的直线平面网格图之间的平面变形。变形由一系列变形步骤组成，其中在变形步骤中，顶点以恒定速度沿着直线轨迹移动。我们将展示如何构建平面变形，同时实现变形步骤和多项式有界的决议减少。我们假设初始和最终的图纸都位于网格上，并且我们确保每个变形步骤都会产生网格图纸;此外，我们考虑了向上绘制的有根树和任意树的图纸。
2019-09-27 cs.CG cs.DM cs.DS
On Planar Straight-Line Dominance Drawings
John Cabot University（约翰卡博特大学）；University of Ioannina（约阿尼纳大学）；Università degli Studi Roma Tre（罗马第三大学）；Università degli Studi di Perugia（佩鲁贾大学）
研究了st-平面图是否能通过平面直线支配绘图表示，并证明了某些特定类别的st-平面图总是存在此类绘图。
2025-12-04 cs.CG cs.DS
Upward and Orthogonal Planarity are W[1]-hard Parameterized by Treewidth
本文证明向上平面性测试和直线平面性测试在树宽参数化下是W[1]-难的，通过分析全有或全无流问题并调整归约链，同时排除了改进现有算法至亚指数时间的可能性（除非ETH失败）。
2023-09-03 cs.CC cs.CG
On the Total Number of Bends for Planar Octilinear Drawings
平面图的八线图是其中每个边被绘制为水平、垂直和对角45度线段的序列的图。为了使这些图纸可读，需要特别注意以保持弯曲的数量较少。由于求最少弯曲数的平面八线图问题是NP难问题，本文主要讨论了上界和下界问题。根据Keszegh等人最近关于平面图的斜率数的结果，我们可以得到n阶8-平面图的4 n-10个弯曲的上界。我们大大提高了这个一般界和相应的以前的三连通4，5和6-平面图。我们还获得了非平凡的下界，这三类图的技术启发的网络流的Tamassia制定。
2015-12-15 cs.CG cs.DS
Stress-Plus-X (SPX) Graph Layout
University of Arizona（亚利桑那大学）
应力、边交叉和交叉角对图形的质量和可读性起着重要作用。大多数标准的图形绘制算法优化这些标准之一，这可能导致布局在其他标准中有缺陷。我们引入了一个优化框架，应力加X（SPX），同时优化应力与其他几个标准：边交叉，最小交叉角，向上（有向无环图）。SPX实现的结果接近于单独优化这些指标的最先进算法。SPX是灵活和可扩展的，可以同时优化一个子集或所有这些标准。我们的实验分析表明，我们的联合优化方法是成功的，在整个可读性标准具有良好的性能绘制图形。
2019-08-23 cs.CG cs.LG stat.ML
Multilevel Planarity
本文介绍并研究了多层平面性测试问题，它是上平面性和水平平面性的推广。令$G = (V, E)$是有向图，并且令$\ell: V \to \mathcal P(\mathbb Z)$是将整数的有限集合分配给每个顶点的函数。$G$的多级平面图是$G$的平面图，使得每个顶点$v \in V$的$y$坐标是$y(v) \in \ell(v)$，并且每个边被绘制为严格的$y$单调曲线。我们提出了线性时间算法，用于测试嵌入图的多级平面性与一个单一的源和定向循环。补充这些算法的结果，我们表明，多级平面性测试是NP完全的，即使在非常有限的情况下。
2018-10-31 cs.CG cs.DS
Decomposition of Geometric Set Systems and Graphs
本文研究了组合几何中的两个分解问题。第一部分讨论平面的多重覆盖的分解。我们说一个平面集合是覆盖可分解的，如果存在一个常数m使得平面的任何m重覆盖及其平移都可分解为整个平面的两个不相交覆盖。Pach证明了每个凸集都是覆盖可分解的。我们验证了他的猜想多边形。此外，如果m足够大，我们证明了任何m重覆盖甚至可以分解成k个覆盖。然后，我们表明，在3维的情况正好相反，对于任何多面体和任何$m$，我们构造的空间是不可分解的m-折叠覆盖。我们还给出了结构，表明凹多边形通常是不可覆盖分解的。我们开始的第一部分，详细调查的所有结果覆盖分解的多边形。第二部分研究了另一个与图的平面表示有关的几何划分问题。一个图G的斜率数是最小的数s，它满足G是一条直线图，最多有s条不同斜率的边，且没有弯曲。我们研究了有界度图的斜率数。我们的主要结果是，如果最大度至少是5，那么随着顶点数的增加，斜率数趋于无穷大，但每个最大度至多为3的图只能嵌入5个斜率。我们还证明了这样的嵌入存在的相关概念称为斜率参数。最后，我们研究了平面斜率数，仅定义为可平面图的最小数s的性质，该图有一个直线画在平面上没有任何交叉，使边缘是只有s个不同的斜率的片段。证明了度有界的可平面图的平面斜率数是有界的。
2010-09-24 cs.CG math.CO
Recognition and Drawing of Stick Graphs
\emph{Stick graph}是轴对齐段的相交图，使得水平段的左端点和垂直段的底端点位于“基线”上，“基线”是具有斜率$-1$的线。在多项式时间内判定一个给定的二部图$A\cup B$是否具有棒表示是一个开放性问题，其中$A$和$B$中的顶点分别对应于水平和垂直段。我们证明了$G$具有Stick表示当且仅当存在$A$和$B$的排序使得$G$的行$A$和列$B$的二部邻接矩阵排除三个小的“禁止”子矩阵。这类似于其他类型的二部相交图的特征。我们提出了一个算法来测试是否给定的顺序$A$和$B$允许坚持表示尊重这些顺序，并找到这样的表示，如果它存在。该算法在时间上与邻接矩阵的大小成线性关系。对于只给出$A$的序的情况，我们给出了一个$O(|A|^3|B|^3)$ -时间算法.当这两个命令是给定的，我们提出了一些部分结果图，或不，坚持表示。
2018-08-29 cs.CG
Bar 1-Visibility Graphs and their relation to other Nearly Planar Graphs
一个图被称为一个强（或。弱）条1-可见性图，如果其顶点可以被表示为平面中的水平段（条），使得其边缘全部（分别顶点对的子集），这些顶点对的条具有连接它们的$ε$粗垂直线，该垂直线至多与另一条相交。我们探讨了弱（分别）之间的关系。强）棒1-可见性图和其他近平面图类。特别是，我们研究了它们的关系1-平面图，这有一个图纸，最多有一个交叉每边;准平面图，这有一个图纸，没有三个相互交叉的边缘;平面1-流网络的平方，这是向上有向图与在或出度最多为1。我们的主要结果是，1-平面图和平面1-流网络的（无向）平方是弱棒1-可见性图，这些是准平面图。
2013-12-19 cs.CG cs.DS math.CO
Strip Planarity Testing of Embedded Planar Graphs
在本文中，我们介绍和研究的带平面性测试问题，它作为一个输入的平面图$G(V,E)$和一个功能$γ:V \rightarrow \{1,2,\dots,k\}$，并要求是否存在一个平面图$G$，使每个边缘是单调的$y$ -方向，并为任何$u,v\in V$与$γ(u)<γ(v)$，它持有$y(u)<y(v)$。该问题与平面性测试问题的一些最深入研究的变体有很强的关系，例如聚集平面性，向上平面性和水平平面性。我们表明，如果$G$有一个固定的平面嵌入的问题是多项式时间可解的。
2013-09-03 cs.CG cs.DM
Upward Pointset Embeddings of Planar st-Graphs
本文研究平面 st-图的上向点集嵌入问题，证明一般情形下存在性检验是 NP-完全的，并对有界 st-割集的图给出多项式时间检验与枚举算法，同时刻画了环状 st-图存在上向点集嵌入的充要条件。
2025-01-03 cs.CG cs.DM cs.DS
