Filling the Complexity Gaps for Colouring Planar and Bounded Degree Graphs
图$G=(V,E)$的着色是函数$c: V\rightarrow\{1,2,\ldots \}$，使得对于每个$uv\in E$，$c(u)\neq c(v)$。$k$-$G$的常规列表分配是具有域$V$的函数$L$，使得对于每个$u\in V$，$L(u)$是大小为$k$的$\{1, 2, \dots\}$的子集。如果对于每个$u\in V$都有$c(u)\in L(u)$，则$G$的着色$c$遵守$G$的$k$ -常规列表分配$L$。一个图$G$是$k$ -可选的，如果对于$G$的每个$k$ -正则列表分配$L$，存在一个尊重$L$的$G$着色。我们也可以问，对于给定的图$G$的给定的$k$ -正则列表分配$L$，是否存在尊重$L$的$G$的着色。这产生了$k$ -常规列表着色问题。对于$k\in \{3,4\}$，我们确定一个家庭的类${\cal G}$的平面图，这样，无论是$k$ -定期列表着色是NP-完全的实例$(G,L)$与$G\in {\cal G}$，或每一个$G\in {\cal G}$是$k$ -choosable。通过使用已知的非$3$ -可选和非$4$ -可选图的例子，这使得我们能够将$k$ -正则列表着色的复杂性限制到平面图、平面二部图、平面无三角形图以及没有$4$ -圈和没有$5$ -圈的平面图。我们还分类的复杂性$k$ -定期列表着色和一些相关的着色问…
2019-02-07 cs.CC cs.DM cs.DS
The Complexity of (List) Edge-Coloring Reconfiguration Problem
设$G$是一个图，使得每条边都有其可用颜色的列表，并假设每个列表是由$k$颜色组成的公共集合的子集。假设我们给出$G$的两个列表边着色$f_0$和$f_r$，并询问在$f_0$和$f_r$之间是否存在$G$的列表边着色序列，使得每个列表边着色可以通过改变恰好一个边的颜色分配从前一个列表边着色获得。这个问题对于每个整数$k \ge 6$和最大度为3的平面图都是PSPACE完全的，但是对于非列表变体，任何复杂性硬度都是未知的。在本文中，我们首先改进了已知的结果，证明了，对于每一个整数$k \ge 4$，即使输入图是平面的，有界带宽，最大度为3的问题仍然是PSPACE完全的。然后，我们给出了第一个复杂性硬度结果的非列表变体：对于每一个整数$k \ge 5$，我们证明了非列表变体是PSPACE-完全的，即使输入图是平面的，带宽线性的$k$，和最大程度的$k$。
2016-09-01 cs.CC cs.DM
The Complexity of Drawing a Graph in a Polygonal Region
我们证明了以下问题对于实数的存在性理论是完备的：给定一个平面图和一个多边形区域，其中图的一些顶点被分配给区域边界上的点，将剩余的顶点放置在区域内以创建图的平面直线图。这加强了Patrignani关于扩展部分平面图的NP-困难结果。我们的结果是第一次表明，画平面图的直线边的问题是很难的实数的存在理论之一。问题的复杂性在单连通区域的情况下是开放的。我们还表明，即使是整数输入坐标，这是可能的，绘制一个图形在多边形区域需要一些顶点被放置在无理坐标。相比之下，已知坐标在凸区域的特殊情况下是有界的，或者用于在任何多边形区域中绘制路径。
2018-09-05 cs.CC cs.CG cs.DM
Clustered Planarity = Flat Clustered Planarity
判定一个聚类图是否可作平面聚类图的复杂性一直是图形学研究领域的一个悬而未决的问题。一些研究工作集中在这个问题的限制版本上，其中集群的层次结构是“平坦的”，即，没有不同于根的簇包含其它簇。我们证明，这个限制性的问题，我们称之为平坦的平面，保留了相同的复杂性的一般的平面问题，集群被允许形成任意层次结构。我们加强这一结果表明，平坦的平面性是多项式时间等价于独立平坦的平面性，其中每个集群诱导一个独立集。我们讨论这些结果的后果。
2018-08-31 cs.CG cs.DM
Complexity of Anchored Crossing Number and Crossing Number of Almost Planar Graphs
本文证明仅需三个高度数顶点或三个锚点即可使几乎平面图交叉数和锚定交叉数问题保持 NP 难，从而显著加强并优化了已有难解性结果。
2024-08-09 cs.CG cs.DM
The Parameterized Complexity of Graph Cyclability
一个图的可圈性是使每个$k$的顶点都位于一个圈上的最大整数$k$。给定图$G$和一个非负整数$k,$，判定图$G$的可圈性是否至少为$k,$是{ \sf NP}-难的.我们研究这个问题的参数化的复杂性。我们证明了这个问题，参数化$k,$是${\sf co\mbox{-}W[1]}$ -硬，它不承认一个多项式核的可平面图，除非${\sf NP}\subseteq{\sf co}\mbox{-}{\sf NP}/{\sf poly}$。在积极的一面，我们给出了一个可平面图的{ \sf FPT}算法，运行在时间$2^{2^{O(k^2\log k)}}\cdot n^2$。我们的算法是基于可平面图中循环连杆机构的一系列图论结果。
2016-01-25 cs.CC cs.DM cs.DS
Computing Cartograms with Optimal Complexity
在平面图的直线对偶中，顶点由简单的直线多边形表示，边由相应多边形之间的边接触表示。如果每个区域的面积等于对应顶点的预先指定的权重，则直线对偶被称为地图图。地图的复杂性由任何多边形所需的最大角（或边）数决定。在一系列的文件多边形的复杂性，这种代表性的最大平面图已减少从最初的40至34，然后到12和最近到目前最知名的10。在这里，我们描述了一个8边多边形的结构，这是多边形复杂性方面的最佳选择，因为8边多边形有时是必要的。具体来说，我们将展示如何计算组合结构，以及如何在线性时间内将表示细化为区域通用矩形布局。精确的地图可以从区域通用矩形布局中通过数值迭代计算，或者可以用爬山启发式近似。我们还描述了一种替代的建设哈密尔顿最大平面图，这使我们能够直接计算的cartograms在线性时间。此外，我们证明，即使是哈密尔顿图8边直线多边形是必要的，通过构建一个非平凡的下界的例子。如果哈密尔顿路具有像外平面图那样的单腿性质，则图的复杂度可降为6。因此，我们有最佳表示（多边形复杂性和运行时间）的哈密尔顿最大平面和最大外平面图。
2011-12-30 cs.CG cs.DM cs.DS
The complexity of the bondage problem in planar graphs
一个图$G$的一个集合$S\subseteq V(G)$是一个控制集，如果每个顶点在$S$中有一个邻居或属于$S$。设$γ(G)$是$G$中最小控制集的基数。图$G$的束缚数$b(G)$是一组边$A\subseteq E(G)$的最小基数，使得$γ(G-A)=γ(G)+1$。该$d$ -束缚是决定的问题，给定一个图$G$和一个整数$d\geq 1$，如果$b(G)\leq d$ .这个问题是已知的$\mathsf{NP}$ -硬，甚至对二分图和$d=1$。在本文中，我们证明了$1$ -Bondage是$\mathsf{NP}$ -硬的，甚至对于$3$ -正则可平面图类，次立方无爪图类，以及最大度$3$的二部可平面图类，围长为$k$，对任何固定的$k\geq 3$。在积极的一面，对于任何平面图$G$的围长至少$8$，我们表明，我们可以找到，在多项式时间，一组三个边缘$A$，使$γ(G-A)>γ(G)$。最后，我们给出了几类图的支配集可以在多项式时间内求解，其中$d$ -Bondage也可以在多项式时间内求解，对于任何固定的$d\geq 1$。
2022-03-21 cs.DM math.CO
Complexity of planar signed graph homomorphisms to cycles
研究了符号图的同态问题。符号图是一个无向图，其中每条边都有一个符号，正的或负的。符号图的一个重要概念是顶点的切换操作，即改变每个关联边的符号。图的同态是保持邻接的顶点映射;在有符号图的情况下，我们也保持边符号。符号图的特殊同态，称为s-同态，已被研究。在一个s-同态中，我们允许在映射之前，对源符号图执行任意数量的切换。这个概念已被广泛研究，最近得到了一个完整的复杂性分类（多项式或NP-完全）的s-同态到一个固定的目标有符号图。这样的二分法是不知道当我们限制输入图是平面的（甚至不为非符号图同态）。我们表明，决定是否（非签署）平面图承认一个同态的平方$C_t^2$的循环与$t\ge 6$，或循环集团$K_{4t/(2t-1)}$与$t\ge2$，是NP-完全问题。我们使用这些结果表明，决定是否一个平面签署图承认一个s-同态的不平衡的甚至循环是NP-完全的。（如果一个周期有奇数个负沿，则该周期是不平衡的）。我们推导出一个完整的复杂性二分法的平面s-同态问题的任何符号圈为目标。我们还研究了进一步的限制，涉及的最大程度和周长的输入有符号图。我们证明了平面s-同态问题，签署循环保持NP-完全的，即使是最大程度的输入~ $3$（除了不平衡的情况下$4$ -循环，我们证明了这一点的最大程度~ $4$）。我们还表明，对于一个给定的整数$g$，有符号的二分平面输入周长$g$的问题是平凡的或NP-完全的…
2019-07-09 cs.DM cs.DS math.CO
Complexity of Paired Domination in AT-free and Planar Graphs
对于图$G=(V,E)$，如果每个不在$D$中的顶点都与$D$中的至少一个顶点相邻，则顶点集$V$的子集$D$是$G$的支配集.如果图$G$的支配集$D$是由$G$中的$D$导出的子图$G[D]$，则称$D$为配对支配集（PD-集）. Min-PD问题要求计算一个最小基数的PD-集。决策版本的Min-PD问题仍然是NP-完全的，即使$G$属于限制图类，如二分图，弦图等。在积极的一面，这个问题是有效的可解的许多图类，包括区间图，强弦图，置换图等。在本文中，我们研究了问题的复杂性在AT-自由图和平面图。AT-自由图类包含余可比图、置换图、梯形图和区间图作为子类。我们提出了一个多项式时间算法来计算AT-自由图的最小PD-集。此外，我们还提出了一个线性时间的$2$ -近似算法的问题在AT-自由图。此外，我们证明了该问题的决策版本是NP-完全的平面图，回答了一个开放的问题问林等人。Comput.科学，$591 (2015): 99-105$和云母，$ 82 (2020) :2809-2840$）。
2021-12-10 cs.DM math.CO
On disjoint paths in acyclic planar graphs
对于整数多流问题，我们给出了一个复杂度为$O(f(R)^{k^2} k^3 n)$的算法，其实例为$(G,H,r,c)$，其中$G$是一个无圈平面有向图，而$r+c$是欧拉图.这里，$f$是多项式函数，$n = |V(G)|$、$k = |E(H)|$和$R$是最大请求$\max_{h \in E(H)} r(h)$。当$k$固定时，在同样的假设条件下，给出了弧不相交路径问题的多项式算法。
2010-08-21 cs.DM
On Collusion-Free Teaching in Planar Graphs
Aalto University（阿尔托大学）；Helsinki Institute for Information Technology（赫尔辛基信息技术研究所）；Hasso Plattner Institute（哈索·普拉特纳研究所）
本文针对平面图闭邻域的概念类，证明其无冲突教学维（NCTD）紧上界为2、正变体NCTD+紧上界为4，且判断NCTD或NCTD+是否≤1为NP完全问题，区分NCTD=1与2为NP难问题。
2026-10-14 cs.CC cs.DM cs.LG
Complexity, approximation, and extension of proper $\{a,b\}$-edge-weightings
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；ELTE Eötvös Loránd University（厄特沃什·洛兰德大学）
研究正规 $\{a,b\}$-边赋权的判定、近似与扩展问题，证明其判定在简单三次平面图上 NP 完全，给出平面多重图的精确算法和 EPTAS，并证明扩展问题在树上可多项式求解。
2026-09-28 cs.CC cs.DM math.CO
Neighborhood complexity of planar graphs
本研究证明了Sokołowski关于平面图邻域复杂度的多项式界猜想，得出其不同交集数为$O(r^4|A|)$，并将该多项式界推广至所有真闭子式图类。
2023-12-19 cs.DM math.CO
On the complexity of the vector connectivity problem
我们研究一个放松的向量支配问题称为向量连通性（VecCon）。给定一个图$G$，每个顶点$v$都有一个要求$r(v)$，VecCon要求顶点的最小基数集$S$，使得每个顶点$v\in V\setminus S$都通过$r(v)$不相交的路径连接到$S$。在介绍该问题的论文中，Boros等人[Networks，2014]给出了树、上图和分裂图中VecCon的多项式时间解，并表明该问题可以在$n$ -顶点图上的多项式时间内近似为$\log n+2$的因子，留下了问题在一般图上是否是NP困难的问题。我们证明了VecCon在一般图中是APX-硬的，在平面二部图和平面线图中是NP-硬的。我们还通过解决块图的问题推广了树的多项式结果。
2014-12-08 cs.CC cs.DM math.CO
Untangling Circular Drawings: Algorithms and Complexity
我们考虑的问题解开一个给定的（非平面）直线圆形图$δ_G$的外平面图$G=(V, E)$到一个平面的直线圆形图移动的最小数量的顶点到一个新的位置上的圆。对于一个外平面图$G$，很明显，这样一个交叉自由的圆形图总是存在的，我们定义的循环移位数移位$(δ_G)$的最小数量的顶点，需要被移动，以解决所有的交叉$δ_G$。我们发现，问题循环解开，询问是否转移$(δ_G) \le K$为一个给定的整数$K$，是NP完全的。对于$n$ -顶点外平面图，我们得到了移位$(δ_G) \le n - \lfloor\sqrt{n-2}\rfloor -2$的一个紧上界.基于这些结果，我们研究了几乎平面的圆形图纸，其中一个单一的边缘是在所有的交叉参与的圆形解开。在这种情况下，我们提供了一个紧上限移位$(δ_G) \le \lfloor \frac{n}{2} \rfloor-1$和提出了一个建设性的多项式时间算法来计算循环移位数的几乎平面的图纸。
2021-12-20 cs.CG cs.DM
Maximum Flow in Directed Planar Graphs with Vertex Capacities
在本文中，我们提出了一个O（nlog n）的算法寻找一个最大流的有向平面图，其中的顶点是受容量约束，除了弧。如果源和宿在同一个面上，那么我们的算法可以在O（n）时间内实现。对于一般（非平面）图，顶点容量不会使问题变得更困难，因为有一个简单的减少，消除顶点容量。然而，这种减少并不能保持图形的平面性。我们算法的本质是一种不同的约简，它确实保留了平面性，并且可以在线性时间内实现。对于无向平面图的特殊情况，最近有人提出了一个具有相同时间复杂度的算法，但我们指出它存在一个缺陷。
2009-05-04 cs.DM cs.DS
A Simplified Proof for the Edge-Density of 4-Planar Graphs
Universität Tübingen（蒂宾根大学）
本文通过简化证明，将Ackerman关于每条边最多被交叉四次的平面图边数上界结果推广到允许重边和非简单画法的情况。
2026-06-15 cs.DM math.CO
Elimination distance to bounded degree on planar graphs
University of Bremen（不来梅大学）
研究平面图中有限度数的消除距离参数，证明其在平面图上固定参数可处理，存在时间复杂度为f(k,d)·n^c的算法。
2024-05-23 cs.DM math.CO
Complexity and algorithms for injective edge-coloring in graphs
图$G$的单射$k$ -边着色是将颜色（即$\{1, \ldots , k\}$中的整数）分配给$G$的边，使得每个与第三条边的一个不同端点关联的任何两条边接收不同的颜色。确定这种$k$ -着色是否存在的问题称为k-内射边着色。我们证明了3-内射边染色是NP-完全的，即使对于无三角形的三次图、任意大围长的平面次三次图和围长为6的平面二部次三次图也是如此。4-对于三次图，内射边染色是NP-完全的。对于任何$k\geq 45$，我们证明了k-内射边着色保持NP-完全，即使是最大度至多$5\sqrt{3k}$的图。与这些否定的结果相反，我们证明了\InjPbName{k}是线性时间有界树宽图上可解的。此外，我们证明了围长至少为~16的所有平面二部次三图都是$3$ -边可注入着色的。此外，任何最大度至多为$\sqrt{k/2}$的图都是$k$ -边可注入着色的.
2021-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
Towards optimal kernel for connected vertex cover in planar graphs
我们研究了顶点覆盖问题的连通版本的参数化复杂性，其中解集必须诱导一个连通子图。虽然这个问题不承认一般图的多项式核（除非NP是coNP/poly的子集），但对于平面图，Guo和Niedermeier [ICALP'08]显示了至多14 k个顶点的核，随后由Wang等人[MFCS'11]改进为4k。这里的常数4是如此之小，以至于一个自然的问题出现了：它可能已经是这个问题的最优值了吗？本文给出了一个否定的答案：给出了平面图的连通点覆盖的一个（11/3）k-点核。我们相信，这一结果将激发进一步的研究，寻找一个最佳的内核。
2011-10-10 cs.DM cs.DS
