Path-Additions of Graphs
路径添加是一种操作，它将图中两个顶点之间的内部顶点不相交路径与一组补充边一起添加。路径添加与未成年人正好相反。我们证明了一些类的图是封闭的路径下添加，包括非平面，直角交叉，扇交叉自由，准平面，（对齐）酒吧1-可见性，和区间图，而其他的不封闭，包括所有的平面图，有界树宽，k-平面，扇平面，外扇平面，外扇交叉自由，和酒吧（1，j）-可见性图的子类。
2016-05-10 cs.DM
The planar directed k-Vertex-Disjoint Paths problem is fixed-parameter tractable
给定图G和k对顶点（s_1，t_1），.，（s_k，t_k），k-顶点不相交路径问题要求两两顶点不相交路径P_1，.，使得P_i从s_i到t_i。Schrijver [SICOMP'94]证明了平面有向图上的k-顶点不相交路问题可以在时间n^{O（k）}内求解。我们给出了一个运行时间为2^{2^{O（k^2）}} n^{O（1）}的算法，即证明了问题的固定参数可处理性.
2013-04-15 cs.DM cs.DS math.CO
$2$-Layer $k$-Planar Graphs: Density, Crossing Lemma, Relationships, and Pathwidth
$2$层绘图模型是一个很好的可视化二分图的范例。在此模型下研究了几类超平面图。然而，令人惊讶的是，基本类的$k$ -平面图已被认为只有$k=1$在这种情况下。我们提供了几个贡献，解决这一差距的文献。首先，我们证明了具有$k\in\{2,3,4,5\}$的$2$ -层$k$ -平面图类的紧密度界.在此基础上，我们给出了$2$ -层$k$ -平面图的一个交叉引理，从而给出了$2$ -层$k$ -平面图的一个一般密度界.我们证明了这个界几乎是最优的，相应的下界建设。最后，我们研究了$2$ -层模型中$k$ -平面性和$h$ -拟平面性之间的关系，证明了$2$ -层$k$ -平面图的路宽至多为$k+1$ .
2020-08-21 cs.CG cs.DM cs.DS
Triangulating planar graphs while keeping the pathwidth small
任何简单的平面图都可以三角化，即，我们可以向其添加边，而不添加多边，使得结果是平面的并且所有面都是三角形。本文研究了在不增加太多路宽的情况下对平面图进行三角剖分的问题。我们证明了如果一个平面图的路径宽度$k$，那么我们可以三角化它，使所得到的图的路径宽度$O(k)$（其中的因素是1，8和16 3-连通，2-连通和任意图）。利用类似的技巧，我们还证明了任何路径宽度为$k$的外平面图都可以转化为路径宽度至多为$4k+4$的最大外平面图。之前最著名的结果是$16k+15$。
2015-05-16 cs.DM math.CO
Shortest Paths in Planar Graphs with Real Lengths in $O(n\log^2n/\log\log n)$ Time
给定一个$n$ -顶点平面有向图，它的边长为实且不含负圈，我们给出了如何在O（n）空间和$O(n\log^2n/\log\log n)$时间内计算图中的单源最短路距离.这是Klein等人最近提出的$O(n\log^2n)$的时间界的改进。
2009-11-25 cs.DM
On disjoint paths in acyclic planar graphs
对于整数多流问题，我们给出了一个复杂度为$O(f(R)^{k^2} k^3 n)$的算法，其实例为$(G,H,r,c)$，其中$G$是一个无圈平面有向图，而$r+c$是欧拉图.这里，$f$是多项式函数，$n = |V(G)|$、$k = |E(H)|$和$R$是最大请求$\max_{h \in E(H)} r(h)$。当$k$固定时，在同样的假设条件下，给出了弧不相交路径问题的多项式算法。
2010-08-21 cs.DM
Computing Tutte Paths
Tutte路是解决平面图中Hamilton性问题的最成功的工具之一。不幸的是，基于它们的结果是非建设性的，因为它们的证明本质上使用重叠子图的归纳，这些重叠阻碍了将运行时间绑定到多项式。然而，对于特殊情况，Tutte路径的计算结果是已知的：对于4-连通平面图，Tutte路径实际上是Hamilton路径，千叶和Nishizeki展示了如何在线性时间内计算这样的路径。对于3连通平面图，Tutte路具有更复杂的结构，并且直到最近才证明它们可以在多项式时间内计算。然而，Tutte路是为一般的2-连通平面图定义的，这是大多数应用程序所需要的。不幸的是，没有计算结果是已知的。我们给出了第一个有效的算法，计算Tutte路径（一般情况下的2-连通平面图）。关于这种Tutte路径的最强的存在性结果之一是由于Sanders，它允许规定所需路径的端顶点和中间边，包括和加强所有以前的Tutte路径的计算结果，我们展示了如何有效地计算这种特殊的Tutte路径。我们的方法改进了这两个结果，Pastaassen和Sanders，并通过使用一种新的迭代分解沿2-分隔符，避免重叠的子图。最后，我们证明了我们的算法在二次时间内运行。
2017-07-19 cs.DM cs.DS math.CO
Decomposing $4$-connected planar triangulations into two trees and one path
改进了Whitney的经典证明，证明了任何$4$连通的平面三角剖分都可以分解为一条Hamilton路径和两棵树.因此，每个$4$ -连通可平面图分解成三个森林，其中一个森林的最大度至多为$2$。利用这个结果，我们证明了任何Hamilton平面三角剖分都可以分解为两棵树和一棵最大度的生成树，最大度至多为$3$。这些分解改进了Gonçalves [Covering可平面图with forests，one having bounded maximum degree. J. Comb. Theory，Ser. B，100（6）：729- 739，2010]，每个可平面图可以被分解成三个森林，其中一个森林的最大度至多为$4$。我们还表明，我们的结果是最好的可能。
2018-04-20 cs.DM math.CO
Splitting Planar Graphs of Girth 6 into Two Linear Forests with Short Paths
最近，Borodin，Kostochka和Yancey（On $1$ -inappropriate $2$ -coloring of sparse graphs. Discrete Mathematics，313（22），2013）示出了围长至少为$7$的每个平面图的顶点可以是$2$着色的，使得每个颜色类导出匹配的子图。我们证明了任何周长至少为$6$的平面图都允许$2$颜色的顶点着色，使得每个单色分量是长度至多为$14$的路。此外，我们显示了这个结果的列表版本。另一方面，对于每个正整数$t\geq 3$，我们构造了一个周长$4$的平面图，使得在$2$颜色的顶点的任何着色中，存在长度至少为$t$的单色路径.围长$5$的每个平面图是否允许没有长单色路的$2$ -染色仍然是开放的。
2015-07-10 cs.DM math.CO
On Gallai's conjecture for series-parallel graphs and planar 3-trees
路径覆盖是将图的边分解为边不相交的简单路径。Gallai证明了每个连通的$n$ -顶点图都有一个至多包含$\lceil n/2 \rceil$路的路覆盖.证明了Gallai关于串平行图的猜想。对于类的平面3-树，我们展示了如何构建一个路径覆盖最多$\lfloor 5n/8 \rfloor$路径，这是一个改进的最佳先前已知的界$\lfloor 2n/3 \rfloor$。
2017-06-13 cs.DM math.CO
Pathwidth of 2-Layer $k$-Planar Graphs
Nagoya University（名古屋大学）
本文证明了2层k-平面图的路径宽度下界为k + 1，改进了之前的下界(k+3)/2。
2026-02-17 cs.CG cs.DM
Gallai's path decomposition conjecture for triangle-free planar graphs
图$G$的路径分解是覆盖$G$的边集的$G$的边不相交路径的集合。Gallai（1968）证明了$n$顶点上的连通图的路分解至多为$\lfloor (n+1)/2\rfloor$ . Gallai猜想已在许多图类中得到验证。特别地，Lovász（1968）证明了这个猜想对于至多有一个偶数度顶点的图，而Pyber（1996）证明了它对于每个圈包含一个奇数度顶点的图。最近，Bonamy和Perrett（2016）验证了Gallai猜想，用于最大度至多为$5$的图，Botler等人（2017）验证了树宽至多为$3$的图。本文证明了无三角形可平面图的Gallai猜想。
2018-03-19 cs.DM math.CO
Lattices and maximum flow algorithms in planar graphs
我们证明了平面图的s-t-路集合上的左/右关系诱导出一个所谓的次模格。如果图的嵌入是s-t-平面的，则这个格是偶连续的。这意味着福特和富克尔森的最高路径算法的最大流在这样的图确实是一个特殊的情况下，两个阶段的贪心算法的格多面体。我们还证明了如果图是平面图而不是s-t-平面图，则子模性和召唤性不能同时由路上的任何偏序得到，从而给出了这类图的一个刻画.
2012-11-09 cs.DM math.CO
1-String CZ-Representation of Planar Graphs
在本文中，我们证明了每一个平面4-连通图有一个CZ-表示--一个字符串表示使用路径在一个矩形网格，其中包含最多一个垂直段。此外，每当在$u$和$v$之间存在边时，表示顶点$u,v$的两条路径精确地相交一次。所需的网格大小为$n \times 2n$。
2014-09-19 cs.CG cs.DM
Covering Paths for Planar Point Sets
给定平面中的$n$点，\emph{covering path}是访问所有点的多边形路径。如果没有三个点是共线的，则每个覆盖路径至少需要$n/2$段，并且即使要求覆盖路径是不相交的，$n-1$直线段显然也足够了。我们证明了平面上的每一组$n$点都有一条由$n/2 +O(n/\log{n})$直线段组成的覆盖路径（可能是自交叉的）.如果要求路径是不相交的，我们证明了$(1-\eps)n$直线段满足小常数$\eps>0$，我们展示了$n$ -元素点集，要求至少$5n/9 -O(1)$段在每一个这样的路径。进一步，不相交\emph{covering trees}的类似问题被认为是和类似的界限。最后，它表明，计算平面上的$n$点的非交叉覆盖路径需要$Ω(n \log{n})$时间在最坏的情况下。
2013-03-01 cs.DM math.CO
Lifted Disjoint Paths with Application in Multiple Object Tracking
Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克信息学研究所）；Leibniz University Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）
我们提出了一个扩展的不相交的路径问题，其中额外的\emph{lifted}边缘被引入到提供路径连接先验。我们称由此产生的优化问题的提升不相交路径问题。我们证明了这个问题是NP-困难的减少从整数多商品流和3-SAT。为了实现实际的全局优化，我们提出了几类线性不等式，产生高质量的LP松弛。此外，我们提出了有效的切割平面算法分离提出的线性不等式。提升的不相交路径问题是多目标跟踪的自然模型，并且允许用于长距离时间交互的优雅的数学公式。提升的边缘有助于防止身份转换和重新识别人员。我们的提升不相交路径跟踪器实现了输入检测方面的近最佳分配。因此，它在MOT挑战的所有三个主要基准上都处于领先地位，比最先进的技术有了显着改进。
2020-06-25 cs.CV cs.DM
The Effect of Planarization on Width
我们研究了平面化（从一个非平面图$G$通过用一个新的顶点替换每个交叉来构造平面图$D$）对图宽度参数的影响。我们证明了对于树宽、路宽、枝宽、树宽和树深，存在一族参数值有界的$n$ -顶点图，其所有的平面化都有参数值$Ω(n)$。然而，对于带宽、割宽和雕刻宽度，每个具有有界参数值的图都具有线性尺寸的平坦化，其参数值保持有界。有界度图的树宽、路宽和分支宽度也是如此。
2017-08-17 cs.DM math.CO
