On the enumeration of labelled hypertrees and of labelled bipartite trees
Roland Bacher
我们给出了一个简单的公式的数量的超树与$k$超边的大小和$n+1$标记的顶点与规定的程度。这个公式的一个轻微的推广计数标记的二分树与规定的程度在每一类顶点。
We give a simple formula for the number of hypertrees with $k$ hyperedges of given sizes and $n+1$ labelled vertices with prescribed degrees. A slight generalization of this formula counts labelled bipartite trees with prescribed degrees in each class of vertices.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Enumeration and randomized constructions of hypertrees
三十多年前，卡莱证明了一个美丽的$d$维的凯莱公式的模拟数的$n$顶点树。他列举了$d$维超树，这些超树由它们的$(d-1)$维同调群的平方大小加权.然而，这并没有回答$d$ -超树的未加权枚举的更基本的问题，这是我们在这里关注的问题。我们的主要结果，定理1.4，显着提高了$d$ -超树数量的下界。此外，我们还研究了$d$ -复合物的随机$1$ -out模型，其中每个$(d-1)$ -维面选择一个包含它的随机$d$ -面，并证明了它具有可忽略的$d$ -维同调.
Asymptotic Enumeration of Labelled Interval Orders
在Zagier、Bousquet-Mélou等人工作的基础上，和Khamis的结果，给出了$n$ -元集上标号区间序个数的一个渐近公式.
Enumeration of Labelled and Unlabelled Hamiltonian Cycles in Complete $k$-partite Graphs
我们在完全$n$ -部图$K_{d,d,\ldots,d}$中列举了标号和非标号哈密顿圈，这些图的每一部分都有精确的$d$顶点（换句话说，图兰图$T(nd, n))$）.我们得到的递归关系，使我们能够找到精确的值$b_{n}^{(d)}$，这样的周期为任意$n$和$d$
Enumeration of labelled 4-regular planar graphs
本文通过完全递归分解给出了标号4-正则可平面图计数的第一个组合方案。更精确地说，我们证明了标记4-正则可平面图的指数母函数可以有效地计算为一个方程组的解，从中可以提取系数。作为副产品，我们还列举了标记3-连通4-正则可平面图，简单的4-正则根映射。
Asymptotic enumeration of labelled graphs with a given genus
我们列举了根2-连通和3-连通的表面映射的顶点和边缘。我们还推导出随机3连通映射的大面宽结果的二元版本。然后利用这些结果导出亏格g（1-连通、2-连通和3-连通图）标号图个数的渐近公式。
Labelled and unlabelled enumeration of $k$-gonal 2-trees
本文通过用四边形、五边形或$k$边多边形代替三角形（$k$-边）来推广2-树，其中$k\geq 3$是固定的.这种推广，$k$-树2，是自然的，是密切相关的，在平面的情况下，一些专门的细胞生长问题。我们的目标是根据$k$ -树的个数$n$，对$k$ -树2-树进行标号和非标号的枚举.我们给出明确的公式在标记的情况下，并在未标记的情况下，递归和渐近公式。
Enumeration of labelled 4-regular planar graphs II: asymptotics
这项工作是文章[Proc.\。伦敦数学Soc.\ 119（2）：358- 378，2019]，其中作者解决了标号4-正则可平面图的计数问题。本文给出了标号4-正则可平面图在$n$顶点上的个数$g_n$的精确渐近估计。我们的估计是$g_n \sim g\cdot n^{-7/2} ρ^{-n} n!$的形式，其中$g>0$是一个常数和$ρ\approx 0.24377$是生成函数$\sum_{n\ge 0}g_n x^n/n!$的收敛半径，并符合以前得到的几类可平面图的枚举的普遍模式。除了解析方法，我们的解决方案需要密集使用计算机代数，以处理大型系统的多元多项式方程。我们还得到了2-连通和3-连通4-正则可平面图的个数以及4-正则简单映射（连通和2-连通）的个数的渐近估计。
Enumeration of 4-regular one-face maps
给出了4-正则标号单面映射和4-正则非标号单面映射的计数公式。
Combinatorics of Labelled Parallelogram polyominoes
我们得到了标记的多角形的计数的显式公式。这些是由从原点到点（k，n）的东北格子路径在上下两个方向上界定的四角形。从1到n的数字（标签）被双射地附加到上边界路径的$n$北台阶，条件是它们沿着连续的北台阶以递增的值出现。我们计算了对称群S_n在这些标号上作用的Frobenius特征。所有这些枚举结果进行了改进，以考虑到这些polyominoes的面积。我们把我们的计数结果与积分Macdonald多项式是联合本征函数的算子理论联系起来。我们还解释了如何这些相同的多项式可以用来显式地构造一个SL_2-不变量环的线性基。
Enumeration of Permutation Classes and Weighted Labelled Independent Sets
本文通过阶梯编码将排列类映射为加权独立集，推导生成函数，建立双射以枚举排列类，并揭示不平衡Wilf等价性及随机采样方法。
Enumeration and limit laws of series-parallel graphs
证明了$n$顶点上的标号串-平行图的个数$g_n$是渐近的$g_n \sim g\cdot n^{-5/2} γ^n n!$，其中$γ$和$g$是显式的可计算常数.我们证明了随机串-平行图的边数是渐近正态的，其均值和方差都是线性的，并且边数集中在它的期望值附近。类似的结果证明了标记的外平面图和不包含$K_{2,3}$作为一个小的图。
Simplex links in determinantal hypertrees
我们推导出一个结构归纳描述的行列式概率测度与Kalai的著名枚举结果的高维生成树的$n-1$ -单纯形。作为结果，我们得到的边缘分布的单形链接在这样的随机树。一路上，我们还刻画了每一个其他单纯锥的高维生成树的基础单纯复形的高维有根森林。我们也将这些新的结果应用到随机拓扑，随机图的谱分析，以及高维展开子的理论。这些结果的一个特别有趣的推论是$o(\log n)$行列式2-树的并集的基本群具有高概率的Kazhdan性质（T）。
Asymptotic enumeration and limit laws of planar graphs
给出了$n$顶点上标号可平面图个数的一个渐近估计。我们还发现了随机可平面图中边数、连通分量数和其他参数的极限律。
On the enumeration of leaf-labelled increasing trees with arbitrary node-degree
我们考虑的计数问题的数量\textit{leaf-labeled increasing trees}，其中内部节点可能有一个任意数量的后代。所有这些树的集合是在某些群体遗传模型（如多重合并合并模型）下获得的系谱的离散表示。虽然其中的二叉树的组合学是很好理解的，但对于所有树的数量，只有一个近似的渐近公式是已知的。在这项工作中，我们验证这个公式的常数项和比较的渐近行为的所有叶标记的增加树的二元，三元和四元树的数量。
The structure and labelled enumeration of K_{3,3}-subdivision-free projective-planar graphs
本文研究了一类2-连通非平面K_{3,3} -无子剖分图，它们可嵌入到射影平面中.我们证明了这些图允许唯一的分解为图K_5（核心），其中的边被由2-连通可平面图构造的两极网络所取代。本文描述了在标号情况下枚举这些图的一种方法。此外，我们还列举了F中的同胚不可约图和同胚不可约2-连通可平面图。特别使用的是两极定向串并联网络。我们还证明了当n ≥ 6时，F中n阶图的边数m满足m <= 3 n-6的界.
The Euler characteristic of the Whitehead automorphism group of a free product
建立了标号超树格上的一个组合求和恒等式，使人们能够获得关于群的自由积的各种自同构群的欧拉示性数的具体信息.
A new counting methods, including the issue of counting labelled self-complementary graphs
Harary和Palmer在他们的书（Graphical Enumeration，Academic Press，New York and London，1973）的结尾宣布了标记自补图的计数问题。本文解决了这一问题。解决这个问题的一个方法导致下列公式的推导：（a）具有给定阶的自同构群的标号图的数目的公式。(b)关于具有给定自同构群阶的未标号图的个数的公式。(c)给定自同构群阶的标号自补图的个数的一个公式。(d)具有给定阶自同构群的无标号自补图的个数的一个公式。
Counting Labelled Trees with Given Indegree Sequence
对于顶点集$[n]:=\{1,2,..., n\}$上的标记树，如果满足$i<j$，则将每条边$ij$的方向定义为$i\to j$。$T$的入度序列可以看作是一个划分$λ\vdash n-1$。在计算射影空间中曲线的割线平面时，产生了具有给定入度序列的树的计数问题。最近Ethan Cotterill给出了$[n]$上对应于一个划分$λ$的入度序列的树的个数公式.本文给出了Cotterill猜想的两个证明：一个是基于归纳法的“半组合”证明，另一个是双射证明。
Runs in labelled trees and mappings
我们将升运行和降运行的概念从置换推广到有根标记树和映射，即，从集合$\{1, \dots, n\}$到自身的函数。相应的功能有向图的组合分解与生成函数的方法，使我们能够进行联合研究的上升和下降运行标记树和映射，分别。从各自生成函数的给定特征，我们可以推导出这些量的二元中心极限定理。此外，对于上升运行（或下降运行），我们得到明确的枚举公式显示连接到第二类斯特林数。我们还给出了建立这种关系的双射证明，并进一步说明了映射和标记树之间的双射连接两种结构中的数量。
Asymptotic enumeration of sparse 2-connected graphs
本文给出了$n$顶点和$m$边的标号2-连通（简单）图的个数的一个渐近公式，条件是$m-n\to\infty$和$m=O(n\log n)$为$n\to\infty$ .这是先前结果未涵盖的整个$m$范围。证明涉及确定最小度至少为2的随机图的核和核的性质。2-边连通性的情况也被类似地处理。对于大多数（“典型”）序列，我们还得到了具有给定度序列的2-连通图的个数的计算公式.我们的主要结果解决了Wright在1983年提出的一个问题。
Refined enumeration of $k$-plane trees and $k$-noncrossing trees
$k$ -平面树是一种平面树，其顶点被分配了$1$和$k$之间的标签，使得沿着任何边的标签之和不大于$k+1$。这些树是已知的有关$(k+1)$ -ary树，他们是计数的广义版本的加泰罗尼亚数字。我们证明了一个令人惊讶的简单精致的计数公式，在这里我们计数树与规定数量的标签的每一种。几个推论来自这个公式，并证明了一个类似的定理为$k$ -noncrossing树，一个类似定义的家庭标记noncrossing树的$(2k+1)$ -ary树。
Counting connected multitype graphs with prescribed edge counts
研究稀疏标记连通多类型图的渐近计数，通过非齐次随机图的大偏差原理和连通性概率，将计数问题转化为巨分支问题，推广了Bender、Canfield和McKay的经典结果。
Structure and enumeration of (3+1)-free posets
一个偏序集是（3+1）-free的，如果它不包含长度为3和1的链的不交并作为导出子偏序集。这些偏序集在Stanley和Stembridge的（3+1）-free猜想中起着核心作用。Lewis和Zhang通过将（3+1）-free偏序集分解为二部图的方法，在分次情况下枚举了这些偏序集，但到目前为止，一般的计数问题仍然是开放的。我们给出了一个适用于所有（3+1）-自由偏序集的二部图的更精细的分解，并得到了计数具有标号和非标号顶点的（3+1）-自由偏序集的生成函数。利用这个分解，我们得到了自同构群的一个分解和（3+1）-free偏序集个数的渐近性。
Enumeration of flattened $k$-Stirling permutations with respect to descents
本文证明扁平化k-Stirling排列与类型B集合划分的着色变体双射对应，并用加权标记结构给出其基数和下降多项式的指数生成函数及若干计数公式。
Asymptotic enumeration of 2-covers and line graphs
在本文中，我们发现$n$标记的顶点和不同类型的相关组合对象称为2-覆盖的线图的数量的渐近枚举。我们发现$[n]$上的2-覆盖数$s_n$和真2-覆盖数$t_n$都具有渐近增长性$$ s_n\sim t_n\sim B_{2n}2^{-n}\exp(-\frac12\log(2n/\log n))= B_{2n}2^{-n}\sqrt{\frac{\log n}{2n}}, $$，其中$B_{2n}$是$2n$的第n个Bell数，而$[n]$，$v_n$和线图$l_n$上的限制2-覆盖数$u_n$，限制真2-覆盖数$v_n$和真2-覆盖数$t_n$都具有渐近增长性.都有增长$$ u_n\sim v_n\sim l_n\sim B_{2n}2^{-n}n^{-1/2}\exp(-[\frac12\log(2n/\log n)]^2). $$在我们的证明中，我们使用概率参数的非限制类型的2-覆盖和生成函数的方法的限制类型的2-覆盖和线图。
Parking function varieties for combinatorial tree models
本文研究了近年来提出的树停泊函数、树停泊分布、素树停泊函数和素树停泊分布的计数问题，它们分别适用于标号有序树、标号无序树和标号二叉树等重要组合树族的根标号树.使用组合分解的基础结构的产量，求解所得方程后，隐式特征的树的大小$n$和$n$成功的驱动程序，从中我们获得准确和渐近枚举结果，这样的树停车功能的总数合适的生成函数。该方法可以扩展到一般情况下的树停车功能的大小$n$和$m<n$驱动程序，我们也能够描述的生成函数的解决方案，允许，通过应用分析组合学技术，研究的渐近行为的总数的树停车功能和分布$n \to \infty$取决于负载因子$0 < α= \frac{m}{n} < 1$。
Characterization and enumeration of toroidal K_{3,3}-subdivision-free graphs
我们描述了2-连通非平面环形图的结构，没有K_{3,3} -细分，使用适当的替代平面网络到某些图形的边缘称为环形核心。结构结果是基于[A. Gagarin和W. Kocay，“包含K_5-子划分的嵌入图”，Ars Combin. 64（2002），33-49]。它允许在线性时间内识别这些图，并且可以通过使用类似于[A]的方法来枚举不包含K_{3,3} -细分并且具有最小顶点度2或3的标记2-连通环形图。Gagarin，G. Labelle和P. Leroux，“Counting labeled可平面图without a K_{3,3} -subdivision”，提交，arXiv：math.CO/0406140，（2004）]。
Enumerating threshold graphs and some related graph classes
给出了标号阈值图、拟阈值图、圈阈值图和拟圈阈值图的计数公式的组合证明。在每一种情况下，我们都按顶点数和分量数计数。对于阈值图，我们也通过控制顶点的数量来计数，对于循环阈值图，我们通过循环控制顶点的数量来计数。我们还获得了类似的Frobenius公式（连接欧拉数和斯特林数的第二类）的背景下，标记的阈值图。
Enumeration of maps with the Dumitriu-Edelman model
利用Dumitriu-Edelman三对角模型，给出了β系综粒子幂和累积量在1/N和β下的展开，系数由Bouttier、Fusy和Guitter引入的适当标记地图表示，仅涉及可定向地图，并通过新映射将前两阶与LaCroix的展开联系起来。
Enumeration of intersection graphs of $x$-monotone curves
研究x-单调伪段交集图的计数，证明其数量下界与上界均为2^{O(n^{4/3}log²n)}
Combinatorial families of multilabelled increasing trees and hook-length formulas
在这项工作中，我们介绍和研究的概念越来越多的标签树，其中的子节点的标签总是大于其父节点的标签，多标签树的家庭，在树中的节点可以得到多个标签的各种概括。对于所有的树类，我们通过微分方程的树枚举序列显示合适的生成函数的特征。此外，对于多标号增树族的几个组合类，我们提出了明确的枚举结果。我们还提出了多标记的增加树家族的椭圆性质，其中的指数母函数可以表示在Weierstrass-p函数或双纽线正弦函数。此外，我们将展示如何翻译枚举公式的multilabelled增加树到钩长公式的树，并提出了一个通用的“逆向工程”方法来发现钩长公式与这样的树家庭。
Pattern avoidance in labelled trees
我们讨论了一个新的概念，模式避免的动机的操作理论：模式避免平面标记树。这是一个概括的各种类型的连续模式避免研究之前：连续模式的话，排列，彩色排列等概念的Wilf等价的模式排列承认一个简单的概括（套）树模式，我们描述了类树与少量的叶子，并给出几个双射树之间避免模式集从同一个类。我们还解释了一些一般结果树模式避免，无论是精确和渐近枚举。
Asymptotic enumeration of integer matrices with constant row and column sums
设s，t，m，n是正整数，使得sm=tn。设M（m，s;n，t）是{0，1，2，.}上的m × n矩阵的个数。其中每一行求和为s，每一列求和为t。当量，M（m，s; n，t）对m × n阶的2路列联表进行计数，使得行边缘和都是s，列边缘和都是t。第三个等价的描述是M（m，s;n，t）是具有m个s度顶点和n个t度顶点的半正则标号二部多重图的个数。当m=n和s=t时，这样的矩阵也被称为n × n幻方，其线和等于t。我们证明了一个精确的渐近公式M（m，s;n，t），这是有效的范围内（m，s;n，t），其中m，n成为无穷大，而保持近似相等，平均条目不是太小。该范围包括m/n、n/m、s/n和t/m从下面限定的情况。
A multivariate hook formula for labelled trees
最近文献中出现了几个二叉树的钩和公式。本文给出了一个类似的公式，无序增加树的大小为r，其中涉及r参数。右边可以很好地写为线性因子的乘积。我们研究了这个新公式的两个特殊化，包括Cayley关于顶点度的树的枚举。给出了Hook公式的三个证明。这些证据之一产生有点间接，从表示论的对称群，特别是使用Kerov的字符多项式。其他的证据是更直接的，和独立的利益。
Enumeration of chordal planar graphs and maps
我们确定了具有$n$顶点的标号弦可平面图的个数，对于常数$c_1>0$和$γ\approx 11.89235$，它是渐近的$c_1\cdot n^{-5/2} γ^n n!$.我们还确定了具有$n$边的有根简单弦平面映射的个数，它是渐近的$c_2 n^{-3/2} δ^n$，其中$δ= 1/σ\approx 6.40375$和$σ$是一个代数数的次数为12。证明是基于组合分解和奇异性分析。弦可平面图（或映射）是一类次临界图的自然例子，其中3-连通图类相对丰富。3-连通杆件是精确的弦三角剖分，即从$K_4$开始，通过重复添加与现有三角形面相邻的顶点而获得的三角剖分。
The enumeration of planar graphs via Wick's theorem
理论物理学中一个开创性的技术称为威克定理，它将埃尔米特矩阵的幂的迹的乘积的高斯矩阵积分解释为具有给定度序列的标记映射的数量，并按它们的欧拉示性数排序。这导致了类似于那些通过组合方法获得的地图枚举结果。在本文中，我们表明，图的计数嵌入在一个给定的二维表面（当代计数组合学的主要研究课题）也可以制定为高斯矩阵积分的冰型分拆函数。离散数学中一些最令人困惑的命题都与循环双覆盖的概念有关。我们用Ihara-Selberg型函数的高斯矩阵积分来表示具有固定有向圈双覆盖的图的个数。
Asymptotic enumeration of minimally transitive permutation groups
该研究证明了极小传递置换群计数的Pyber上界在固定素数幂序列上最优，推导得出顶点传递图和有向图的数量阶，并给出Pyber上界的未发表证明，探讨对McKay–Praeger猜想的启示。
Chordal graphs with bounded tree-width
本研究针对树宽至多为t的k-连通带标号弦图，推导得出其渐近计数公式与i-团数的正态分布结论，是首个解决该类有界树宽非平凡图类渐近计数问题的成果。
Tamari lattices and parking functions: proof of a conjecture of F. Bergeron
大小为n的m-ballot路径是正方形网格上的路径，由北向和东向单位步长组成，从（0，0）开始，结束于（mn，n），并且永远不会低于线{x=my}。这些路的集合可以具有一个格结构，称为m-Tamari格，记为T_n^（m），它推广了通常的Tamari格T_n（m=1）。这种格是由F.伯杰龙与共不变空间的研究。他提出了几个有趣的公式处理枚举的间隔在这个格子。其中之一是T_n^（m）中的区间数为$$ \frac {m+1}{n(mn+1)} {(m+1)^2 n+m\choose n-1}. $$。这个猜想最近得到了证明，但不是以双射的方式，而它的形式强烈地暗示了与平面树的联系。在这里，我们证明了另一个猜想的Bergeron，其中涉及的数量标记，间隔。T_n^（m）的区间[P，Q]被标记，如果Q的北阶被标记为从1到n，使得标记沿着任何连续的北阶序列增加。本文证明了T_n^（m）中标号区间的个数为$$ {(m+1)^n(mn+1)^{n-2}}. $$。这些数的形式表明了与停车函数的联系，但我们的证明是非双射的。它是基于一个递归的描述的间隔，这转化为一个函数方程满足相关的生成函数。这个方程涉及一个导数和一个均差除法，是关于两个附加变量的。解这个方程是这篇论文最难的部分。找到一个双射证明仍然是一个悬而未决的问题。
Explicit enumeration and large-valence asymptotics of even-valent maps
本文推导了具有固定最小嵌入亏格的规则偶价图数量的显式公式，允许价参数和顶点数变化，扩展了亏格0和1的结果，并给出了亏格2至4的显式计数及大价渐近行为。
Maximum induced trees and forests of bounded degree in random graphs
本文研究了随机图中最大导出树与森林的尺寸，利用二阶矩方法、Talagrand集中不等式及标号树枚举新结果，证明了其在稠密图中的2点集中性及稀疏图中的显式区间集中性。
Convex characters, algorithms and matchings
系统发生树被用来模拟进化：叶子被标记为代表当代物种（“分类群”），内部顶点代表灭绝的祖先。非正式地，凸特征是对当代物种的测量，其中共享给定状态的物种子集（当代和灭绝）形成连通子树。在\cite{KelkS17}中，给出了如何有效地对凸特征标的某些限制性子族进行计数、列表和抽样，并给出了算法应用。我们继续在多个方向开展这项工作。首先，我们展示了如何结合现有的参数化算法的凸字符的枚举可以用来加快指数时间算法的\emph{maximum agreement forest problem}在遗传学。其次，我们重新访问数量$g_2(T)$，定义为数量的凸字符的$T$，其中每个国家出现在至少2个分类群。我们使用这一点给出了一个算法的运行时间$O( ϕ^{n} \cdot \text{poly}(n) )$，其中$ϕ\approx 1.6181$是黄金比例和$n$是在输入树中的类群数，计算\emph{maximum parsimony distance on two state characters}。通过进一步限制$g_2(T)$计数的字符，我们打开了一个有趣的桥梁，列举匹配的文献。通过这座桥，我们提高了运行时间的上述简约距离算法$O( 1.5895^{n} \cdot \text{poly}(n) )$，并获得了一些新的结果，在自己有关的枚举匹配的最多二叉树。
Exact and asymptotic enumeration of unrestricted binary phylogenetic networks through automorphism weights
本文通过自同构权重对无限制二元系统发育网络进行精确与渐近计数，提出递归方法，给出k≤5的闭式计数，并证明非树-子网络占比及随机网络非平凡自同构概率的渐近结果。
Word-Representable Co-Bipartite Graphs: Vertex Ordering, Representation Number, Speed, and Entropy
本文通过顶点排序给出共二部图可词表示的充要条件，证明其表示数最多为3，并分析该类图的速度和熵，得到渐近上界。
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