Rigidity problems in toric topology, a survey
Suyoung Choi, Mikiya Masuda, Dong Youp Suh
在\cite{ma-su08}中讨论了复曲面拓扑中的几个刚性问题。在本文中，我们综述了这些问题的结果，包括最近的发展。
Several rigidity problems in toric topology are addressed in \cite{ma-su08}. In this paper, we survey results on those problems including recent development.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Strong cohomological rigidity of toric varieties
每个具有第二贝蒂数$2$的两个非奇异完全环面簇和拟流形之间的上同调环同构分别可由一个环同态和同胚实现。
Cohomological rigidity of smooth toric Fano fourfolds
该研究证明整上同调环分次同构的光滑环面法诺四维簇必微分同胚，确立其微分同胚类由上同调环决定的刚性性质。
A Counterexample to Cohomological Rigidity of Toric Manifolds
构造两个复维数四的环面流形，它们非同伦等价但整系数上同调环同构，从而给出上同调刚性的反例。
Toric cohomological rigidity of simple convex polytopes
一个简单凸多胞体$P$是\emph{cohomologically rigid}，如果它的组合结构由$P$上的拟流形的上同调环决定。不是每个$P$都有这个性质，但是一些重要的多面体如单形或立方体是上同调刚性的。本文研究了多胞形的上同调刚性，并对几类新的多胞形，包括单形的乘积，建立了上同调刚性。$P$的上同调刚性与它的\emph{Stanley--Reisner ring}的\emph{bigraded Betti numbers}有关，后者是组合交换代数中的另一个重要不变量.
Toric Topology. Chapter 2: Combinatorial structures
这是我们的“Toric Topology”图书项目的第二章。更多的章节即将到来。非常欢迎提出意见和建议。
Equivariant bordism rigidity for toric manifolds
本文提出等变配边方法，证明环面流形同构等价于弱等变酉配边，并给出全定向拟环面流形的刚性结果，以拓扑框架检测几何与组合刚性。
Cohomological rigidity for toric Fano manifolds of small dimensions or large Picard numbers
复曲面流形的上同调刚性问题是关于复曲面流形是否是同构的（或同胚的），如果它们的积分上同调环是同构的。已得到许多肯定的部分解决方案的问题，没有反例是已知的。本文研究复曲面Fano $d$ -折叠与$d=3,4$或与Picard数$\ge 2d-2$的同构分类.特别地，我们证明了除了两个复曲面Fano $4$ -褶皱之外的流形是复纯的，如果它们的积分上同调环是同构的.例外的两个环面Fano $4$ -折叠（它们的ID号是50和57在一个列表上的Bubro）有同构的上同调环和它们的总庞特里亚金类保持在它们的上同调环之间的同构下，但我们不知道它们是同构的还是同胚的。
Toric topology
我们综述了环面拓扑的一些结果。
Topological rigidity of quoric manifolds
Quoric流形是Toric流形的四元数类似物。它们承认$(S^3)^n$的一个局部好作用，且其商是一个带角点的流形.我们证明了它们满足等变刚性。更确切地说，任何局部线性$(S^3)^n$ -流形，如果它等变同伦地等价于一个准流形，它就等变同胚地等价于它，这个证明推广了Coxeter流形和Toric流形中的方法.
Toric Topology. Chapter 1: Geometry and combinatorics of polytopes
这是我们的“复曲面拓扑”图书项目的第一章。更多的章节即将到来。欢迎提出意见和建议。
Fullerenes, Polytopes and Toric Topology
讲座致力于一个显着的一类$3$维多面体，这是数学模型的量子物理，量子化学和纳米技术的重要对象-富勒烯。主要目标是展示环面拓扑结构的结果如何帮助构建富勒烯的组合不变量。主要概念在讲座中介绍。课堂讲稿是针对广大听众的。
Toric Topology. Chapter 3: Commutative and homological algebra of face rings
这是我们的“Toric Topology”图书项目的第三章。更多的章节即将到来。欢迎提出意见和建议。
On the homotopy types of $4$-dimensional toric orbifolds
本文研究4维托里克轨道的同调刚性问题，引入proper isomorphism概念，证明每个proper isomorphism类最多包含两种同伦类型，并在特殊情况下两种分类一致。
Surprising Examples of Manifolds in Toric Topology!
本文研究了维数为$4$，$5$，$6$和$7$的具有少量顶点的邻接单纯多面体的小覆盖和拟度.在大多数情况下，我们得到了完整的分类小覆盖。所有情况下的提升猜想都被验证为真。研究了小覆盖的上同调刚性问题，得到了一系列新的弱上同调刚性单多面体。流形的新例子提供了第一个已知的例子，quasitoric流形在更高的维度，其轨道多面体的色数$χ(P^n)\geq 3n-5$。
A new graph invariant arises in toric topology
在本文中，我们引入了新的组合不变量的任何有限单图，这产生于环面拓扑。本文计算了图结合面体$P_{\B(G)}$的实复曲面簇的$i$阶（有理）贝蒂数和欧拉示性数.它们可以通过纯粹的组合方法（根据图形）计算，并分别命名为$a_i(G)$和$b(G)$。令人惊讶的是，对于图$G$的特定族，我们的不变量与众所周知的组合序列（如Catalan数和Euler zigzag数）密切相关。
On the topology of real Lagrangians in toric symplectic manifolds
本文研究环面辛流形中由矩多面体对合对称性产生的实拉格朗日子流形，建立Delzant构造的实类比，证明其微分同胚类型由组合数据决定，并实现环面辛del Pezzo曲面上所有可能的连通实拉格朗日微分同胚类型。
Equivariant cohomological rigidity of certain $T$-manifolds
我们引入了{ \it局部$k$ -标准$T$ -流形}范畴，它包括了著名的流形类，如复曲面流形、拟复曲面流形、良好接触复曲面流形和矩角流形.它们是具有良好环面作用的光滑流形。我们研究了它们的拓扑性质，如基本群和等变上同调代数。然后讨论了环面等变上同调代数何时将它们区分为弱等变同胚。
Classification problems of toric manifolds via topology
本文从拓扑学的角度提出了环面流形分类中的一些问题，并综述了有关结果。
The topology of local quaternionic toric actions
本文研究了配备局部四元数典范作用的流形拓扑，基于四元数环面的正则表示，通过构造Leray-Serre和Atiyah-Hirzebruch谱序列，揭示了流形的上同调和K-理论结构，并在四维情况下发展了四元数版本的Meyer签名公式。
Cohomological rigidity of manifolds with torus actions: I
本文针对 moment-angle 流形与拓扑环面流形，证明满足组合条件的单纯球面所对应流形具有上同调刚性，并通过面环的 Tor-代数确定其组合类型。
Algebraic Topology of Calabi-Yau Threefolds in Toric Varieties
我们计算了Gorenstein环面Fano簇中Calabi-Yau三重超曲面和完全交的上同调的积分同调（包括挠）、拓扑K理论和Hodge结构.这些方法是纯拓扑的。
Properties of Bott manifolds and cohomological rigidity
复曲面流形的上同调刚性问题是关于复曲面流形的上同调环是否决定了流形的拓扑型。本文考虑了单扭Bott流形类的问题，得到了该问题的肯定答案。我们还将结果推广到拟流形。在这样做时，我们表明，扭曲数的Bott流形是定义良好的，等于上同调复杂性的上同调环的流形。我们还证明了任何上同调的Bott流形同胚的Bott流形。所有这些结果也推广到具有$\mathbb Z_{(2)}$ -系数的情形，其中$\mathbb Z_{(2)}$是在2处的局部化环。
Bier spheres and toric topology
本文计算了任意 Bier 球面的实与复 Buchstaber 数，识别了二维情形下的 13 种组合类型，并应用结果构造 Delzant 多面体的正则正规扇，计算了对应环面簇的上同调环及检验了小覆盖的可定向性。
Strong cohomological rigidity of a product of projective spaces
证明了对于复曲面流形$M$，任何分次环同构$H^\ast(M) \to H^\ast(\prod_{i=1}^{m}\CP^{n_i})$都是由一个分次环同构$\prod_{i=1}^m \CP^{n_i} \to M$诱导的.
Duality in Toric Topology
我们将积分Poincaré对偶矩角复形$\mathcal{Z}_{\mathcal{K}}$表示为单纯复形$\mathcal{K}$的Fan-Wang对偶的组合项，进而表示为Stanley-Reisner环$\mathbb{Z}[\mathcal{K}]$的Gorenstein对偶的代数项.利用单纯复形的多面体连接积，将Poincaré对偶结果推广到某些多面体积.
Combinatorics and topology of toric arrangements defined by root systems
给定的环面（或toral）的安排定义的根系$Φ$，我们描述了偏序集的层（连接组件的交叉点），我们计数其元素。事实上，我们展示了如何减少到零维层，在这种情况下，我们提供了一个明确的公式，涉及的最大子图的仿射Dynkin图的$Φ$。然后我们计算了这种排列的补的欧拉示性数和庞加莱多项式，它是环面的正则点的集合。
Cohomological rigidity of real Bott manifolds
实Bott流形是从一点开始的迭代RP ^1丛的全空间，其中每个RP ^1丛是两个实线丛的Whitney和的投影化。证明了两个实Bott流形是同构的，如果它们的系数为Z/2的上同调环是同构的.一个实Bott流形是一个实环面流形，并且在初等交换2-群的自然作用下有一个平坦的黎曼度量不变量。我们还证明了相反的情况也是成立的，即在初等交换2-群的作用下存在平坦黎曼度量不变量的实环面流形是实Bott流形。
Toric Topology
Toric拓扑出现在20世纪90年代末的边界上的等变拓扑，代数和辛几何，组合和交换代数。它已迅速成长为一个非常活跃的领域，具有许多跨学科的联系和应用，并继续吸引来自不同领域的专家。环面拓扑中的关键角色是矩角流形，这是一个用组合术语定义的具有环面作用的流形族。他们的建设链接到组合几何和代数几何的环面品种通过相关概念的拟流形。在矩角流形上发现的显著几何结构导致了与辛、拉格朗日和非凯勒复几何的经典和现代领域的开创性联系。矩角复形的一个相关范畴构造及其推广，多面体积，为同伦拓扑的许多基本构造提供了一个普遍的框架。多面体积的研究现在正在发展成为同伦理论的一个独立领域，与复曲面拓扑的其他领域有着密切的联系。对环面作用的新观点也促进了代数拓扑学经典领域的发展，如复配边。这本书包含了许多开放的问题，并针对有兴趣在新的想法连接所有涉及的主题，以及研究生和年轻的研究人员准备进入一个美丽的新领域的专家。
Matroids in toric topology
本文从组合的角度研究了具有孤立不动点的流形上的一般环面作用。主要研究对象是这类作用的面子流形的偏序集。本文引入了局部几何偏序集的概念--由几何格局部模化的分次偏序集，证明了对任何环面作用，它的面的偏序集都是局部几何的。接下来我们讨论面偏序集和GKM-理论之间的关系。特别地，我们定义了一个抽象的GKM-图的面偏序集，并展示了如何从一个流形的GKM-图重建它的面偏序集。
The topology of toric origami manifolds
流形上的折叠辛形式是沿着超曲面具有最温和可能退化的闭2-形式。折纸辛流形是一类特殊的折叠辛流形，由Cannas da Silva，Guillemin和Pires研究，他们通过组合折纸模板对环面折纸流形进行了分类。本文研究了具有非循环折纸模板和可共定向折叠超曲面的环面折纸流形的拓扑。我们证明了上同调集中在偶数次，等变上同调满足GKM描述。最后，我们证明了具有共同定向折叠超曲面的环面折纸流形提供了一类Masuda和Panov环面流形的例子。
Toric topology of the Grassmannian of planes in $\mathbb{C}^5$ and the del Pezzo surface of degree $5$
我们确定了Grassmannian Gr（2，5）上极大紧环面作用的轨道空间的积分同调。我们的方法使用了著名的几何不变理论的最大代数环面行动，这格拉斯曼。
Universal simplicial complexes inspired by toric topology
令$\mathbf{k}$为字段$\mathbb{F}_p$或环$\mathbb{Z}$。研究了单形为$\mathbf{k}^n$的某些幺模子集的泛单纯复形$X(\mathbf{k}^n)$和$K(\mathbf{k}^n)$的组合和拓扑性质.作为一个主要结果，我们表明，$X(\mathbf{k}^n)$，$K(\mathbf{k}^n)$和他们的单形的链接同伦等价于一个楔形球指定的确切数目的领域在相应的楔形分解。这是Davis和Januszkiewicz关于$K(\mathbb{Z}^n)$和$K(\mathbb{F}_2^n)$是$(n-2)$连通的单纯复形的结果的推广.我们讨论这些普遍的单纯复形的应用，环面拓扑和数论。
Higher Whitehead products in toric topology
本文研究了缺面复形K的矩角复形Z_k与Davis-Januskiewicz空间DJ（K）之间的关系。若K有n个顶点，则考虑同伦纤维化序列Z_k --> DJ（K）--> M，其中M是无限复射影空间的n个拷贝的乘积。我们观察到对这样的K，Z_k同伦等价于球面的楔形，并证明在这个等价下，映射Z_k -> DJ（K）同伦于高阶Whitehead积与迭代Whitehead积的楔形和.
Topology of Kempf-Ness sets for algebraic torus actions
在仿射簇上的代数群作用理论中，Kempf-Ness集的概念被用来用关于极大紧子群的商来代替范畴商。通过利用最近的成就“环面拓扑”，我们表明，一个适当的概念Kempf-Ness集存在一类代数环面行动拟仿射簇（坐标子空间安排补充）所产生的Batyrev-Cox“几何不变理论”的方法，环面品种。我们继续研究这些“环面”Kempf-Ness集的上同调。在射影非奇异环面簇的情况下，Kempf-Ness集可以描述为复空间中实二次曲面的完全交。
Massey products, toric topology and combinatorics of polytopes
本文引入了一类直接的单多面体$P^{0}\subset P^{1}\subset\ldots$，使得对任何$k$，$2\leq k\leq n$，在其矩角流形$\mathcal Z_{P^n}$的上同调环中存在非平凡的严格定义的$k$阶Massey积.证明了流形$\ast\subset S^{3}\hookrightarrow\ldots\hookrightarrow\mathcal Z_{P^n}\hookrightarrow\mathcal Z_{P^{n+1}}\hookrightarrow\ldots$的正列具有如下性质：每个流形$\mathcal Z_{P^n}$是$\mathcal Z_{P^{n+1}}$的收缩流形，并且在构造的Massey积的上同调中（在$n$和$k$上）有逆列，其中$k\to\infty$是$n\to\infty$.作为一个应用，我们得到了在连接环$H^*(ΩX)$和环$H^*(X)$的Eilenberg-Moore谱序列中，对于任意大的环$k$如$n\to\infty$，存在非平凡微分$d_k$，其中$X=\mathcal Z_{P^n}$ .
Categorical aspects of toric topology
我们认为，除了范畴论的工具包环面拓扑结构，调查最近的例子和应用。我们的例子是在复曲面空间X_K，如矩角复形Z_K，拟流形M和Davis-Januszkiewicz空间DJ（K）中得到的。我们首先证明X_K是小范畴cat（K）上的空间图的同伦余极限，其对象是有限单纯复形K的面及其包含的态射.然后我们研究了各种代数Quillen模型范畴中对应的猫（K）图，并将它们的同伦余极限解释为X_K的代数模型。这样的模型编码了许多标准的代数不变式，它们的存在由Quillen结构保证。我们提供了几个说明性的计算，通常是在有理数上，包括证明拟素流形（和各种推广）是有理形式的;证明闭路空间ΩDJ（K）的有理Pontrjagin环同构于旗复形K的Stanley-Reisner代数Q[K]的二次对偶;以及证明DJ（K）在K是旗时是共形的。最后，我们描述了任何复K的闭路空间ΩDJ（K）的代数模型，它模仿了我们以前作为拓扑幺半群的同伦余极限的描述。
Topology of moduli spaces of framed sheaves
本文证明了一类复曲面上框架无挠层的模空间存在由环面作用决定的可滤Bialynicki-Birula分解。这个模空间的不可约性作为一个推论紧接着得出。利用它的可滤分解，我们证明了模空间与具有相同不动点集的不变真紧子簇具有相同的同伦型。我们从射影平面上框架无挠层的模空间开始研究。之后，我们推广的结果复曲面的一些假设下。
Toric topology of the complex Grassmann manifolds
复格拉斯曼流形族$G_{n,k}$与环面$T^n=\mathbb{T}^{n}$的典范作用和超单形$Δ_{n,k}$的矩映射$μ: G_{n,k}\to Δ_{n,k}$的类似物是众所周知的。本文利用复曲面几何和复曲面拓扑的方法研究了轨道空间$G_{n,k}/T^n$的结构。我们使用一个细分的层$G_{n,k}$ $W_σ$和确定的时刻地图$μ$的所有规则和奇异点，引入的概念，允许多面体$P_σ$，使$μ(W_σ) = \stackrel{\circ}{P_σ}$和参数$F_σ$的空间的概念，这一起描述$W_σ/T^{n}$的产品$\stackrel{\circ}{P_σ} \times F_σ$。为了找到集合$\cup _σ \stackrel{\circ}{P_σ} \times F_σ$的适当拓扑，我们引入参数$\tilde{\mathcal{F}}$的泛空间和参数$\tilde{F}_σ\subset \tilde{\mathcal{F}}$的虚空间的概念，使得存在投影$\tilde{F}_σ\to F_σ$。因此，我们提出了一种轨道空间$G_{n,k}/T^n$的描述方法。前面我们证明了轨道空间$G_{4,2}/T^4$，定义的规范$T^4$ -作用的复杂性$1$，是同胚的$\partial Δ_{4,2}\ast \mathbb{C} P^1$。我们在这里证明，轨道空间…
Rigidity of powers and Kosniowski's conjecture
本文讨论了幂的刚性问题，它与刚性Hirzebruch类和Kosniowski关于酉圆作用的猜想有很强的拓扑背景。然而，我们对这个问题的陈述是足够基本的，不需要任何代数拓扑学知识。对于某些特殊情况，我们将给出这个问题的一个解.由此得到Kosniowski猜想在维数小于11或等于14时成立.
BV rigidity in the string topology of compact Lie groups
本文计算辛群自由环路空间的积分BV代数，并证明紧李群的环路空间BV代数由指数和基本群挠部分决定，单连通时等价于庞加莱对偶诱导的Hochschild上同调。
Moduli space of weighted pointed stable curves and toric topology of Grassmann manifolds
本文建立亏格0加权稳定曲线模空间与Grassmann流形等变拓扑的联系，证明这些模空间可嵌入轨道空间，并刻画了Deligne-Mumford紧化到Losev-Manin紧化的典范投影结构。
Exponential actions defined by vector configurations, Gale duality, and moment-angle manifolds
本文提出由向量配置定义的指数作用作为统一框架，涵盖全纯动力学、非凯勒复几何与环面拓扑中的多种构造，并指出相应商对象的几何拓扑可由Gale对偶向量配置的组合数据描述。
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