Toric Topology. Chapter 2: Combinatorial structures
Victor Buchstaber, Taras Panov
这是我们的“Toric Topology”图书项目的第二章。更多的章节即将到来。非常欢迎提出意见和建议。
This is the second chapter in our "Toric Topology" book project. Further chapters are coming. Comments and suggestions are very welcome.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Toric Topology. Chapter 1: Geometry and combinatorics of polytopes
这是我们的“复曲面拓扑”图书项目的第一章。更多的章节即将到来。欢迎提出意见和建议。
Toric Topology. Chapter 3: Commutative and homological algebra of face rings
这是我们的“Toric Topology”图书项目的第三章。更多的章节即将到来。欢迎提出意见和建议。
Combinatorial generators for the cohomology of toric arrangements
本文为实复化环面排列补集的整数上同调环提供新的组合描述，并纠正了2017年《数学进展》上一篇论文中的错误。
The integer cohomology algebra of toric arrangements
我们计算了整系数复曲面排列的补的上同调环，并从排列的组合数据中研究了它的依赖性。为此，我们研究了一个态射的谱序列与某些组合定义的复曲面Salvetti类别的复杂的情况下，并使用一个技术参数，以延长的结果，以充分的一般性。作为副产品，我们获得：- 一个“组合”版本的Brieskorn引理在萨尔韦蒂复杂的复杂安排，-一个唯一性结果实现的算术拟阵至少有一个基础的多重性1。
A new graph invariant arises in toric topology
在本文中，我们引入了新的组合不变量的任何有限单图，这产生于环面拓扑。本文计算了图结合面体$P_{\B(G)}$的实复曲面簇的$i$阶（有理）贝蒂数和欧拉示性数.它们可以通过纯粹的组合方法（根据图形）计算，并分别命名为$a_i(G)$和$b(G)$。令人惊讶的是，对于图$G$的特定族，我们的不变量与众所周知的组合序列（如Catalan数和Euler zigzag数）密切相关。
A basis for the cohomology of compact models of toric arrangements
本文给出了复曲面排列的紧致奇妙模型的整上同调环的单项基。在单项式的描述中，各种组合对象发挥作用：建筑集，嵌套集，以及合适的复曲面品种的粉丝。我们提供了一些通过SageMath程序计算的例子，然后重点讨论与A型根系相关的复曲面排列的情况。这里的组合描述我们的基础上提供了一个几何的观点之间的关系的一些欧拉统计的对称群。
Characteristic numbers of canonical toric manifolds and their applications
本文计算了典范胞腔流形的陈数、米尔诺数和庞特里亚金数，及其实数对应物的斯蒂夫尔-惠特尼数，探讨了其在单位ary、定向和非定向 bordism 类的组合刻画、单位ary bordism 环生成元的几何代表、典范胞腔流形的边界判定准则以及其浸入欧几里得空间的维数估计。
On the integral cohomology of real toric manifolds
本文研究实 toric 流形的整数上同调，通过组合数据推导出上同调群公式，并提出环结构的组合公式，进一步给出判断 spin^c 流形的准则。
Toric manifolds over 3-polytopes
本文研究了三维简单多面体上拟紧致流形的存在性，并指出某些多面体不对应于光滑射影紧致变种，揭示了富勒烯与紧致流形的关系。
Operations on polyhedral products and a new topological construction of infinite families of toric manifolds
一个组合的建设是用来分析的多面体产品和广义矩角复合物的某些操作CW对，包括指数的性质。这允许无限家庭的环面流形的建设，与一个给定的，在某种程度上，简化了组合输入，因此，介绍了上同调环。新的输入是一个纯粹的组合建设与自然相关的尺规作图法有关的多面体产品和复曲面流形的相互作用。这里开发的方法和结果的应用已经出现在文献中。
A Salvetti complex for Toric Arrangements and its fundamental group
我们描述了一个组合模型的补充复杂的环面安排，通过使用神经的非循环范畴。这概括了最近的工作Moci和Settepanella厚环面安排。此外，我们计算它的基本群找到一个（有限）表示。
Cohomology rings of good contact toric manifolds
一个好的接触复曲面流形$M$由它的矩锥$C$决定。利用$C$的组合数据计算了具有$M$的$\Z$系数的等变上同调环.然后在锥$C$上的一个光滑准则下，利用$C$的组合数据计算了$M$的具有$\Z$系数的奇异上同调环.
Toric cohomological rigidity of simple convex polytopes
一个简单凸多胞体$P$是\emph{cohomologically rigid}，如果它的组合结构由$P$上的拟流形的上同调环决定。不是每个$P$都有这个性质，但是一些重要的多面体如单形或立方体是上同调刚性的。本文研究了多胞形的上同调刚性，并对几类新的多胞形，包括单形的乘积，建立了上同调刚性。$P$的上同调刚性与它的\emph{Stanley--Reisner ring}的\emph{bigraded Betti numbers}有关，后者是组合交换代数中的另一个重要不变量.
Fullerenes, Polytopes and Toric Topology
讲座致力于一个显着的一类$3$维多面体，这是数学模型的量子物理，量子化学和纳米技术的重要对象-富勒烯。主要目标是展示环面拓扑结构的结果如何帮助构建富勒烯的组合不变量。主要概念在讲座中介绍。课堂讲稿是针对广大听众的。
On the Integral Cohomology Ring of Toric Orbifolds and Singular Toric Varieties
我们研究了某些$2n$维orbifolds $X$家族的积分上同调环，这些家族具有$n$维实环面的良好行为。这些orbifolds出现从两个不同的，但密切相关的组合源，即从特征对$(Q,λ)$，其中$Q$是一个简单的凸$n$ -多面体和$λ$的标签，其方面，并从$n$维风扇$Σ$。在文献中，它们分别被称为复曲面orbifolds和奇异复曲面簇。我们的第一个主要结果提供了组合条件$(Q,λ)$或$Σ$，确保相关orbifolds的积分上同调组$H^{\ast}(X)$集中在偶数度。我们的第二个主要结果假设这些条件是真的，并表示分次环$H^*(X)$作为一个商的代数多项式，满足完整性条件所产生的基础组合数据。此外，我们计算了几个例子。
Toric origami structures on quasitoric manifolds
我们构造了6维及更高维的拟流形，这些流形与任何环面折纸流形都不等价同胚。所有必要的拓扑定义和组合结构，并重新表述的声明离散几何术语。问题归结为具有一定着色和度量性质的平面三角剖分的存在性。
On the topology of real Lagrangians in toric symplectic manifolds
本文研究环面辛流形中由矩多面体对合对称性产生的实拉格朗日子流形，建立Delzant构造的实类比，证明其微分同胚类型由组合数据决定，并实现环面辛del Pezzo曲面上所有可能的连通实拉格朗日微分同胚类型。
Cohomological rigidity of manifolds with torus actions: I
本文针对 moment-angle 流形与拓扑环面流形，证明满足组合条件的单纯球面所对应流形具有上同调刚性，并通过面环的 Tor-代数确定其组合类型。
Combinatorial Intersection Cohomology for Fans
我们继续对一个纯粹的组合的“虚拟”的交叉上同调的可能非理性球迷的方法，基于我们的调查等变交叉上同调的环面品种（见数学。AG/9904159）。研究的基本对象是“扇空间”上的“极小扩张层”。这些是松弛层的分次模层的多项式环，满足三个相对简单的公理，其特征在于性质的等变相交上同调层的环面品种，赋予有限的拓扑结构所给予的开放不变子集。这些层是模型的“纯”对象的“反常类别”，一个“分解定理”是成立的。--形式化那些定义“等变形式”复曲面品种（其中等变和非等变相交上同调确定彼此的Kunneth型公式）的球迷，我们研究“准凸”球迷（包括球迷与凸或“共凸”支持）。对于这些，有一个有意义的“虚交上同调”。我们拟凸球迷的支持下，他们的边界风扇的拓扑条件，证明了推广的斯坦利的“局部-全球”公式实现的相交庞加莱多项式的一个完整的环面品种的本地数据。证明了拟凸扇的虚交上同调满足Poincare对偶。为了用低维完全多面体扇的虚交上同调来描述局部数据，需要一个“硬莱夫谢茨”型定理。它需要一个消失的条件，这是已知的有理锥成立，但仍有待证明在一般情况下。
Duality in Toric Topology
我们将积分Poincaré对偶矩角复形$\mathcal{Z}_{\mathcal{K}}$表示为单纯复形$\mathcal{K}$的Fan-Wang对偶的组合项，进而表示为Stanley-Reisner环$\mathbb{Z}[\mathcal{K}]$的Gorenstein对偶的代数项.利用单纯复形的多面体连接积，将Poincaré对偶结果推广到某些多面体积.
Theory of multi-fans
我们引入多风扇的概念。它是代数几何中复曲面簇理论中扇形的推广。粗略地说，复曲面簇是代数簇，其代数环面的作用与该簇的作用具有相同的维数，并且扇是与复曲面簇相关联的组合对象。复曲面簇的代数几何性质可以用相关的扇形来描述。我们发展了多扇的组合理论，定义了多扇的“拓扑不变量"。一个光滑流形，其作用是一个紧致环面，其维数是流形的一半，并具有一些方向数据，称为环面流形。将多扇与环面流形联系起来，应用组合理论描述环面流形的拓扑不变量。一个类似的理论也给出了环面orbifolds。作为一个相关的问题，讨论了关于凸多胞体格点个数的Ehrhart多项式的推广。
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