Strong cohomological rigidity of a product of projective spaces
Suyoung Choi, Dong Youp Suh
证明了对于复曲面流形$M$，任何分次环同构$H^\ast(M) \to H^\ast(\prod_{i=1}^{m}\CP^{n_i})$都是由一个分次环同构$\prod_{i=1}^m \CP^{n_i} \to M$诱导的.
We prove that for a toric manifold $M$, any graded ring isomorphism $H^\ast(M) \to H^\ast(\prod_{i=1}^{m}\CP^{n_i})$ is induced by a diffeomorphism $\prod_{i=1}^m \CP^{n_i} \to M$.
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继续探索
Strong cohomological rigidity of Hirzebruch surface bundles in Bott towers
我们证明了Bott流形上Hirzebruch曲面丛的强上同调刚性。作为推论，我们得到了强上同调刚性猜想对维数为$8$的Bott流形成立.
Strong Cohomological rigidity of Bott manifolds
证明了Bott流形的强上同调刚性猜想是成立的。即两个Bott流形之间的任何分次上同调环同构都是由一个分次同构导出的。
$p$-local stable cohomological rigidity of quasitoric manifolds
证明了：如果两个维数为$\le 2p^2-4$的拟流形对于一个素$p$有同构的上同调环，则它们有相同的$p$ -局部稳定同伦型.
Strong cohomological rigidity of toric varieties
每个具有第二贝蒂数$2$的两个非奇异完全环面簇和拟流形之间的上同调环同构分别可由一个环同态和同胚实现。
Graph equivariant cohomological rigidity for GKM graphs
我们制定的概念同构的GKM图。然后，我们证明了两个GKM图有同构图等变上同调代数当且仅当图是同构的。
A Counterexample to Cohomological Rigidity of Toric Manifolds
构造两个复维数四的环面流形，它们非同伦等价但整系数上同调环同构，从而给出上同调刚性的反例。
Strong cohomological rigidity of quasitoric manifolds over the 3-cube
拟流形是一个具有局部标准环面作用的光滑流形，其轨道空间由一个简单的多胞形确定。对于一类拓扑空间，如果上同调环的任何同构都能实现为同胚，则称该类为强上同调刚性的。本文证明了$I^3$上拟流形类的强上同调刚性。
Cohomological rigidity of oriented Hantzsche-Wendt manidolds
通过Hantzsche-Wendt流形（简称HW-流形），我们可以理解任何具有和乐群（Z_2）^{n-1}的n维定向闭黎曼流形。两个HW-流形M_1和M_2是上同调刚性的当且仅当M_1和M_2之间的同胚映射等价于分次环H^{*}（M_1，F_2）和H^{*}（M_2，F_2）的同构。证明了HW-流形是上同调刚性的。
Properties of Bott manifolds and cohomological rigidity
复曲面流形的上同调刚性问题是关于复曲面流形的上同调环是否决定了流形的拓扑型。本文考虑了单扭Bott流形类的问题，得到了该问题的肯定答案。我们还将结果推广到拟流形。在这样做时，我们表明，扭曲数的Bott流形是定义良好的，等于上同调复杂性的上同调环的流形。我们还证明了任何上同调的Bott流形同胚的Bott流形。所有这些结果也推广到具有$\mathbb Z_{(2)}$ -系数的情形，其中$\mathbb Z_{(2)}$是在2处的局部化环。
Cohomological rigidity of smooth toric Fano fourfolds
该研究证明整上同调环分次同构的光滑环面法诺四维簇必微分同胚，确立其微分同胚类由上同调环决定的刚性性质。
Toric cohomological rigidity of simple convex polytopes
一个简单凸多胞体$P$是\emph{cohomologically rigid}，如果它的组合结构由$P$上的拟流形的上同调环决定。不是每个$P$都有这个性质，但是一些重要的多面体如单形或立方体是上同调刚性的。本文研究了多胞形的上同调刚性，并对几类新的多胞形，包括单形的乘积，建立了上同调刚性。$P$的上同调刚性与它的\emph{Stanley--Reisner ring}的\emph{bigraded Betti numbers}有关，后者是组合交换代数中的另一个重要不变量.
Degrees of Maps and Cohomological Rigidity of Partial Flag Manifolds
该研究证明不同复或四元数部分旗流形间若上域非Grassmann流形则连续映射Brouwer次数为零，推出这类流形具上同调刚性，并猜想其具同调刚性。
Cohomological non-rigidity of generalized real Bott manifolds of height 2
本文研究了两个高度为2的广义实Bott流形具有同构的Z/2系数上同调环和同构的情形。结果表明，具有Z/2系数的上同调环一般不区分那些直到同构的流形。这给出了\cite{ka-ma08}中实环面流形的上同调刚性问题的一个反例。我们还证明了高度为2的广义实Bott流形是同伦等价的。
(Filtered) cohomological rigidity of Bott towers
Bott塔是一个点上的迭代$\CP ^1$ -丛，其中每个$\CP ^1$ -丛是秩$2$可分解复向量丛的投影化。对于Bott塔，自然定义了过滤上同调。我们证明了Bott塔的同构类可以通过它们的滤上同调环来区分。我们甚至表明，任何过滤上同调环同构之间的两个Bott塔是由同构的Bott塔。
Equivariant cohomological rigidity of certain $T$-manifolds
我们引入了{ \it局部$k$ -标准$T$ -流形}范畴，它包括了著名的流形类，如复曲面流形、拟复曲面流形、良好接触复曲面流形和矩角流形.它们是具有良好环面作用的光滑流形。我们研究了它们的拓扑性质，如基本群和等变上同调代数。然后讨论了环面等变上同调代数何时将它们区分为弱等变同胚。
Cohomological rigidity for Fano Bott manifolds
本文利用矩阵上的三种运算刻画了Fano Bott流形的非同态性质。更精确地说，我们证明了给定两个Fano Bott流形$X$和$X'$，下列条件是等价的：（1）与$X$相关联的上三角形矩阵可以通过这三种运算变换为$X'$的上三角矩阵;（2）$X$和$X'$是同构的;（3）$X$和$X'$的整上同调环同构为分次环.因此，我们肯定地回答了Fano Bott流形的上同调刚性问题。
Classification of complex projective towers up to dimension 8 and cohomological rigidity
复射影塔或简称为$\mathbb CP$ -塔是从一点开始的迭代复射影纤维化。在本文中，我们将所有的6维$\mathbb CP$ -塔分类到同构，并且作为结果，我们证明了所有这样的流形是上同调刚性的，即，它们由它们的上同调环在同构下完全确定。我们还表明，上同调刚性是无效的8维$\mathbb CP$ -塔分类$\mathbb CP^1$ -纤维化$\mathbb CP^3$的单同态。作为推论，我们证明了这样的$\mathbb CP$ -塔是同伦等价的.
Cohomological rigidity of real Bott manifolds
实Bott流形是从一点开始的迭代RP ^1丛的全空间，其中每个RP ^1丛是两个实线丛的Whitney和的投影化。证明了两个实Bott流形是同构的，如果它们的系数为Z/2的上同调环是同构的.一个实Bott流形是一个实环面流形，并且在初等交换2-群的自然作用下有一个平坦的黎曼度量不变量。我们还证明了相反的情况也是成立的，即在初等交换2-群的作用下存在平坦黎曼度量不变量的实环面流形是实Bott流形。
Cohomological rigidity for toric Fano manifolds of small dimensions or large Picard numbers
复曲面流形的上同调刚性问题是关于复曲面流形是否是同构的（或同胚的），如果它们的积分上同调环是同构的。已得到许多肯定的部分解决方案的问题，没有反例是已知的。本文研究复曲面Fano $d$ -折叠与$d=3,4$或与Picard数$\ge 2d-2$的同构分类.特别地，我们证明了除了两个复曲面Fano $4$ -褶皱之外的流形是复纯的，如果它们的积分上同调环是同构的.例外的两个环面Fano $4$ -折叠（它们的ID号是50和57在一个列表上的Bubro）有同构的上同调环和它们的总庞特里亚金类保持在它们的上同调环之间的同构下，但我们不知道它们是同构的还是同胚的。
A family of cohomological complex projective spaces
本文构造了一族在每个奇数复维数上与复射影空间上同调群相同但不同伦等价的复流形，并讨论了偶数维类比。
Cohomological rigidity of manifolds with torus actions: I
本文针对 moment-angle 流形与拓扑环面流形，证明满足组合条件的单纯球面所对应流形具有上同调刚性，并通过面环的 Tor-代数确定其组合类型。
Cohomological rigidity and the number of homeomorphism types for small covers over prisms
本文在M. W. Hirsch（1976）\cite [Chapter 8，§2 Gluing Manifolds Together]{h}，我们给出了构造简单凸多胞体上两个小覆盖之间的同胚的一种方法。因此，我们用$m\geq 3$对三维棱镜$P^3(m)$上的所有小覆盖进行分类，直到同胚。本文引入了两个色棱镜不变量和两个小覆盖的具有${\Bbb Z}_2$ -系数的普通上同调环不变量。在大多数情况下，这些不变量可以构成棱柱上所有小覆盖的同胚类型的完整不变量系统。然后，我们证明了上同调刚性对棱柱$P^3(m)$上的所有小覆盖都成立（即，具有${\Bbb Z}_2$的上同调环-$P^3(m)$上的所有小覆盖的系数确定它们的同胚类型）。此外，我们还计算了$P^3(m)$上所有小覆盖的同胚类型数。
Cohomological rigidity of manifolds defined by right-angled 3-dimensional polytopes
一个闭流形族称为上同调刚性的，如果族中任意两个流形的上同调环同构蕴涵一个上同调环。我们建立了由3维多面体定义的3维和6维流形的大家族的上同调刚性。我们考虑P类的3维组合简单多面体，不同于四面体，其方面不形成3-和4-带。这个类别包括数学富勒烯，即简单的3-多面体，只有5-π和6-π刻面。根据Pogorelov的定理，任何来自P的多面体在Lobachevsky 3-空间中都有直角实现，这在等距空间是唯一的。我们的家庭光滑流形与多面体从类P。第一个家庭包括3维小覆盖多面体从P，或双曲3-流形的Loebell型。第二类流形是P的多面体上的6维拟流形。我们的主要结果是这两类流形都是上同调刚性的，即这两类流形中的任意一个流形M和M'是同构的当且仅当它们的上同调环是同构的。我们还证明了，如果M和M'是双纯的，那么它们对应的多面体是组合等价的。这些结果与几何学和拓扑学中的经典问题，如3-多面体的组合数学、四色定理、非球面流形、6-流形的自同构分类和庞特里亚金类的不变性等紧密联系在一起。证明使用环面拓扑的技术。
On the homotopy types of $4$-dimensional toric orbifolds
本文研究4维托里克轨道的同调刚性问题，引入proper isomorphism概念，证明每个proper isomorphism类最多包含两种同伦类型，并在特殊情况下两种分类一致。
Homotopy rigidity for quasitoric manifolds over a product of simplices
本文研究上同调刚性问题的变体，证明当两个拟环流流形的上同调环同构且其中一个的多胞体为单纯形乘积时，它们在局部化掉显式素数列表后同伦等价。
Dimension rigidity of lattices in semisimple Lie groups
证明了：如果$Γ$是不含欧氏因子的非紧型对称空间的等距群中的格，则$Γ$的虚上同调维数等于它的真几何维数.
Parametrized Borsuk-Ulam problem for projective space bundles
设$π: E \to B$是一个纤维丛，其纤维具有实或复射影空间的模2上同调代数，$π^{'}: E^{'} \to B$是一个向量丛，使得$\mathbb{Z}_2$保持纤维且自由地作用于$E$和$E^{'}-0$上，其中0表示丛$π^{'}:E^{'} \to B$的零截面.对于保纤维$\mathbb{Z}_2$ -等变映射$f:E \to E^{'}$，我们估计了零集$Z_f = \{x \in E | f(x)= 0\}.$的上同调维数.作为应用，我们还估计了保纤维映射$f:E \to E^{'}$的$\mathbb{Z}_2$ -重合集$A_f=\{x \in E | f(x) = f(T(x)) \}$的上同调维数.
Étale cohomological stability of the moduli space of stable elliptic surfaces
我们计算$\mathrm{Hom}_{n}(C, \mathcal{P}(\vecλ))$的（稳定）tale上同调，从光滑投影曲线$C$到加权投影堆栈$\mathcal{P}(\vecλ)$的度$n$态射的模堆栈，后者是由$\mathcal{P}(\vecλ) := \left[\mathbb{A}^N-\{0\}/\mathbb{G}_m\right]$定义的堆栈商，其中$\mathbb{G}_m$通过权重$\vecλ = (λ_0, \cdots, λ_N) \in \mathbb{Z}^N_{+}$起作用。我们的关键成分是制定和证明的étale上同调下降的范畴$ΔS$，对称（半）单纯范畴。一个直接的算术后果是决议的几何Batyrev-Manin型猜想加权投影堆栈上的全球功能领域。同时，我们还分析了光滑Deligne-Mumford栈上向量丛加权投影的相交理论。
Topological classification of generalized Bott towers
若$B$是环面流形，$E$是$B$上复线丛的Whitney和，则$E$的射影化$P(E)$又是环面流形。从$B$作为一个点开始，重复这个构造，我们得到一个复射影丛序列，我们称之为广义Bott塔。证明了如果塔中的顶流形与复射影空间的乘积有相同的上同调环，则塔中的每一纤维化都是平凡的，使得该顶流形与复射影空间的乘积是同构的.这为我们称之为环面流形的上同调刚性问题“如果环面流形的上同调环是同构的，那么环面流形是同构的吗？“我们提供了两个支持上同调刚性问题的结果。
Cohomological and motivic inclusion-exclusion
我们将偏序拓扑空间的容斥原理和方案归结为层的导出范畴上的一个滤子。因此，我们得到函谱序列，推广了两个谱序列的分层空间和某些Vassiliev型谱序列，我们还得到了欧拉示性数类似物的Grothendieck环的品种。作为应用，给出了光滑射影簇的光滑超曲面截面空间的Vakil和Wood同调稳定性猜想的代数几何证明.在特征零点这个猜想以前是由奥莫尼尔通过拓扑方法建立的。
Chern-Simons theory and cohomological invariants of representation varieties
本文证明离散群表示下拉回齐次形式的局部刚性定理，并据此说明局部建模于约化齐次空间的闭流形体积在结构形变下不变，核心在于用陈-韦伊形式与陈-西蒙斯形式重新诠释不变形式代数。
Surprising Examples of Manifolds in Toric Topology!
本文研究了维数为$4$，$5$，$6$和$7$的具有少量顶点的邻接单纯多面体的小覆盖和拟度.在大多数情况下，我们得到了完整的分类小覆盖。所有情况下的提升猜想都被验证为真。研究了小覆盖的上同调刚性问题，得到了一系列新的弱上同调刚性单多面体。流形的新例子提供了第一个已知的例子，quasitoric流形在更高的维度，其轨道多面体的色数$χ(P^n)\geq 3n-5$。
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